LOGIKA MATEMATYCZNA wykład 3 - Rachunek zbiorów
Zbiór składa się z tych elementów uniwersum, które do niego należą (posiadają pewną własność definiującą zbiór).
{x : φ(x)} - zbiór elementów x spełniających funkcję zdaniową φ(x)
Zbiór A jest podzbiorem zbioru B (zapisujemy A ⊆ B) ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B).
Działania na zbiorach:
Niech A, B będą zbiorami.
• x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) (suma zbiorów)
• x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) (iloczyn zbiorów)
• x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x 6∈ B) (różnica zbiorów)
• x ∈ A ⇔ x 6∈ A (dopełnienie zbioru)
Najważniejsze prawa rachunku zbiorów:
Niech A, B, C będą zbiorami. Wtedy:
• A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (przemienność)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (łączność)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (rozdzielność)
• C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B) (pierwsze prawo de Morgana)
• C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B) (drugie prawo de Morgana)
• A ∪ B = A ∩ B
• A ∩ B = A ∪ B
• A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B, A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A
• A \ (A ∩ B) = A \ B
• A ∪ (B \ A) = A ∪ B
• A \ (A \ B) = A ∩ B
• A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C
Para nieuporządkowana {a, b} = {b, a}
Para uporządkowana (a, b) 6= (b, a).
Iloczyn kartezjański zbiorów A, B : A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
