LOGIKA MATEMATYCZNA wykład 2 - Rachunek kwantyfikatorów
Funkcja zdaniowa φ(x) jest spełniona (zachodzi) dla x jeśli dla określonej wartości zmiennej x zdanie φ(x) jest prawdziwe. Mówimy też wtedy, że x spełnia funkcję zdaniową φ(x).
Kwantyfikator ogólny (uniwersalny) jest oznaczany symbolem ∀ (albo V). Zapis ∀x ∈ X φ(x) czytamy dla kazdego x ze zbioru X zachodzi φ(x). Kwantyfikator ogólny (V) jest uogólnieniem spójnika koniunkcji.
Kwantyfikator szczegółowy (egzystencjonalny) jest oznaczany symbolem ∃ (albo W). Zapis ∃x ∈ X φ(x) czytamy istnieje x ze zbioru X, dla którego zachodzi φ(x). Kwantyfikator szczegółowy (W) jest uogólnieniem spójnika alternatywy.
Najważniejsze prawa rachunku kwantyfikatorów:
Niech φ(x), ψ(x) funkcje zdaniowej zmiennej x ∈ X. Wtedy:
• ∀x φ(x) ⇒ ∃x φ(x)
• ¬(∀x φ(x)) ⇔ ∃x (¬φ(x)) (pierwsze prawo de Morgana)
• ¬(∃x φ(x)) ⇔ ∀x (¬φ(x)) (drugie prawo de Morgana)
• ∀x (φ(x) ∧ ψ(x)) ⇔ (∀xφ(x)) ∧ (∀x ψ(x)) (prawo rozdzielności kwantyfikatora ogólnego względem koniunkcji)
• ∃x (φ(x) ∨ ψ(x)) ⇔ (∃x φ(x)) ∨ (∃x ψ(x)) (prawo rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego wzglę- dem alternatywy)
• ∃x (φ(x) ∧ ψ(x)) ⇒ (∃x φ(x)) ∧ (∃x ψ(x)) (prawo rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego wzglę- dem koniunkcji)
• (∀x φ(x)) ∨ (∀x ψ(x)) ⇒ ∀x (φ(x) ∧ ψ(x)) (prawo rozdzielności kwantyfikatora ogólnego względem alternatywy)
Metody dowodzenia tautologii:
• Metoda zero-jedynkowa (tabelkowa)
• Skrócona metoda zero-jedynkowa
• Dowód nie wprost (zakladamy, że zaprzeczenie jest prawdziwe i doprowadzamy do sprzeczności)
