Informacja Kwantowa 1/2
Seria 1 i 2
do oddania na 15.10.2014
Zadanie 1. Cztery stany polaryzacji pojedynczego fotonu dane s¡ wektorami stanu:
|τ1i = 1 0
, |τ2i = 1
√3
√1 2
, |τ3i = 1
√3
1
e2πi/3√ 2
, |τ4i = 1
√3
1
e−2πi/3√ 2
. a) Obliczy¢ moduªy iloczynów skalarnych pomi¦dzy tymi stanami.
b) Znale¹¢ wektory Blocha. Jak¡ bryª¦ tworz¡ ich wierzchoªki?
c) Czy istnieje pi¦¢ stanów polaryzacji dla których iloczyny skalarne pomi¦dzy wszystkimi ró»nymi kombinacjami s¡ co do moduªu sobie równe?
d) Taktuj¡c powy»sze wektory jako wektory Jonesa narysowa¢ odpowiadaj¡ce im elipsy polaryzacji, podaj¡c dªugo±ci póªosi gªównych i ich orientacj¦ wzgl¦dem laboratoryjnego ukªadu odniesienia.
Zadanie 2. Otrzymujemy qubit przygotowany w jednym z dwóch nieortogonalnych stanów
|ψi = sinθ2 cosθ2
, |χi =− sinθ2 cosθ2
z prawdopodobie«stwami odpowiednio p oraz 1 − p. Qubit mierzymy za pomoc¡ urz¡dzenia, które posiada dwa mo»liwe wyniki pomiarów odpowiadaj¡ce identy kacji stanów |ψi oraz |χi i opisane jest par¡ dodatnio okre±lonych operatorów ˆMψ, ˆMχ ≥ 0, gdzie ˆMψ + ˆMχ = ˆ11. Za poprawn¡ identy kacj¦ stanu zyskujemy 1e, natomiast za bª¦dn¡ tracimy 1e.
a) Pokaza¢, »e wyra»enie na ±redni zysk w grze P mo»na zapisa¢ w postaci:
P =Tr[ ˆ∆ ˆMψ] + D,
gdzie operator ˆ∆ i staªa D zale»¡ od stanow |ψi i |χi oraz prawdopodobie«stwa p.
b) Rozwa»y¢ rozkªad operatora ˆ∆na warto±ci wªasne i znormalizowane wektory wªasne:
∆ = λˆ 1|u1ihu1| + λ1|u1ihu1|
i przedyskutowa¢, jak wybór operatora ˆMψ maksymalizuj¡cy P zale»y od znaków warto±ci wªasnych λ1, λ2.
c) Obliczy¢ maksymaln¡ warto±¢ P dla stanów |ψi i |χi przygotowywanych z prawdopodobie«stwami p oraz 1 − p.
