Wykład 2: Wektory
dr inż. Zbigniew Szklarski
szkla@agh.edu.pl
http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/
Wielkości fizyczne
Długość, czas, masa, pęd
temperatura, , natężenie prądu elektrycznego, strumień pola magnetycznego. ,
siła, prędkość, , przyspieszenie,
natężenie pola elektrycznego przemieszczenie,
SKALARY WEKTORY
naprężenie
moment bezwładności,
Pojęcie wektora
A
Podstawowe cechy wektora:
• Kierunek
• Zwrot
• Wartość (długość)
A
−
A A
A = − =
Długość wektora, wersor
aˆ
Oś liczbowa
Wersor to wektor jednostkowy
ˆ = 1 a
0 1 5 5
5 ˆ
=
=
= a A
a
y z
iˆ jˆ
kˆ k z
y j
x i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
=
=
=
A
Działania na wektorach
Dodawanie Odejmowanie Mnożenie:
• Iloczyn wektora przez liczbę
• Iloczyn skalarny dwóch wektorów
• Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
Nie ma dzielenia wektora przez wektor !
Dodawanie wektorów
C B
A
= +
A B
C
B
Reguła równoległoboku A B
B A
C +
=
Odejmowanie wektorów
B
−
C
( ) B C
A B
A
=
− +
=
−
A
B
to wektor przeciwny
Rozkład wektora na składowe
A x
A y
iˆ y
jˆ x
j a
i a A
A
A = x + y = x ˆ + y ˆ
Przykład:
rozkład sił na równi
F
gN F
SN F
S- siła grawitacji - siła nacisku - siła ściągająca
j i
A
a
a x y
3 ˆ 4 ˆ
3 4
+
=
=
=
Iloczyn wektora przez liczbę
a
Wynik działania jest wektorem
b a
k
=
b a = 3
b a =
− 5, 1
Wektory i są równoległe - (mają ten sam kierunek) a b
Wartość (długość)
wektora: b = k a
Gdy k>0, zwroty zgodne Gdy k<0, zwroty przeciwne
b a b
a
k =
Wynik mnożenia jest liczbą:
• dodatnią
• ujemną (kiedy?)
• zero (kiedy?)
Iloczyn skalarny jest przemienny
Iloczyn skalarny wektorów
A
φ
B
cos
= A B B
A
A B
B
A
=
Iloczyn wektorowy
Wynik działania jest wektorem.
Należy zatem podać nie tyko wartość ale również kierunek i zwrot wektora
•
•
B
C A
C B
A
=
φ
Właściwości iloczynu wektorowego
C B
A
=
1. Kierunek
- jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory i
2. Zwrot
- określa reguła śruby prawoskrętnej (prawej
•
•
B
C A
φ C A i C B
⊥
⊥
B
A
C
sin
= A B C
A B
B
A
−
=
0
0 = A
= 0
A A
Właściwości iloczynu wektorowego
3. Wartość iloczynu Pozostałe właściwości:
• Nie jest przemienny
• Jeżeli przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy lub wektory mają ten
sam kierunek (pokrywają się lub są równoległe)
→
→
→
→
Algebra wektorów
Rozdzielność iloczynu skalarnego i wektorowego względem dodawania (odejmowania)
Przykład:
Obliczyć wektor z równania:
( B C ) A B A C
A
=
( B C ) A B A C
A
=
X
( ) 0
3
2 A − B + X A + B B =
Z rozdzielności mnożenia względem dodawania:
ale: więc
dodając i odejmując stronami jak w „zwykłym”
równaniu:
skoro wyrażenie w nawiasie jest liczbą, to otrzymujemy:
( ) 0
3
2 A − B + X A + B B =
0
3
2 A − B + X A B + B B =
B 2
B B =
2 A − 3 B + X A B + B 2 = 0
A B B A B
X
+ 2 = − 2 + 3
2
3 2 A B
X − +
=
Wektor w układzie kartezjańskim
ˆ 0 ˆ
ˆ 0 ˆ
ˆ 1 ˆ
ˆ ˆ ˆ
=
=
=
=
j j
i i
j i
k j i
x
y z
iˆ jˆ
kˆ 𝐴 Ԧ
x𝐴 Ԧ
y𝐴 Ԧ
zzależności między wersorami:
k a j
a i
a
A = x ˆ + y ˆ + z ˆ A
iˆ jˆ
kˆ
i j k
j k
i ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ
Oblicz: 1
0 1 0
𝐴 = Ԧ Ԧ 𝐴 𝑥 + Ԧ 𝐴 𝑦 + Ԧ 𝐴 𝑧
Działania na wektorach w układzie kartezjańskim
▪ Dodawanie:
▪ Iloczyn skalarny
k a j a i
a
A = x ˆ + y ˆ + z ˆ
k b j b i b
B = x ˆ + y ˆ + z ˆ
( a b ) i ( a b ) j ( a b ) k
B
A + = x + x ˆ + y + y ˆ + z + z ˆ
( + + ) ( + + ) =
= a i a j a k b i b j b k B
A x ˆ y ˆ z ˆ x ˆ y ˆ z ˆ
= +
+ +
= a x b x i ˆ i ˆ a x b y i ˆ ˆ j a x b z i ˆ k ˆ ...
z z y
y x
x b a b a b
a + +
=
cos
= A B B
A
ˆ 0
; ˆ ˆ 1
ˆ = =
j i i
i
▪ Przykład:
1. Wędrowiec przeszedł 25 km w kierunku północnym, a
następnie 35 km w kierunku południowo-zachodnim. Oblicz wektor przemieszczenia wędrowca. (sin45 0 = 0,7071)
2. Wektor 𝑉 = 3 Ƹ𝑖 + 4 Ƹ𝑗. Ile razy dłuższy/krótszy jest wektor 𝑊 = 𝑛 ∙ 𝑉, który ma długość 𝑊 = 7 ?
3. Wektor Ԧ 𝐴 o długości 6 jednostek jest skierowany przeciwnie do osi OY, a wektor 𝐵 o długości 4,5 jednostek jest
skierowany pod kątem 45 0 w kierunku dodatnim osi OX i OY.
Oblicz sumę tych wektorów.
4. Położenie cząsteczki opisane jest równaniem: r(t) = 2,6ti +
3,85j - 𝑡 2 k. Oblicz szybkość cząsteczki w drugiej sekundzie
(t = 2s).
Oblicz: oraz kąt między wektorami:
z x
z x
b b
a jˆ a
−
y x
y x
b b
a kˆ a
+ k
a j a i
a
A = x ˆ + y ˆ + z ˆ
k b j b i b
B = x ˆ + y ˆ + z ˆ
z y
x
z y
x
b b
b
a a
a
k j
i B
A
ˆ ˆ ˆ
=
z y
z y
b b
a iˆ a
=
k j
B
k j i
A
B A B
A
3 ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ 2
,
+
=
− +
=
Iloczyn wektorowy c.d.
Iloczyn skalarny:
Praca W = F·S·cos = Iloczyn wektorowy:
siła dośrodkowa zakrzywiająca tor:
Zastosowanie rachunku wektorowego w fizyce
S F
F S
r B mV
qV F
B V
q F
L L
= 2
=
=
⊥
Zastosowanie rachunku wektorowego w fizyce - zadanie
Stałe siły F 1 = i + 2j + 3k oraz F 2 = 2i – 5j – 2k (gdzie i, j, k są wersorami układu) działają równocześnie na cząstkę przesuwając ją z punktu A (0, 4, 0) do B (2, 3, 4).
Oblicz:
a) wektor przesunięcia;
b) wypadkową siłę;
c) kąt między siłami składowymi;
d) pracę wykonaną przy przesunięciu cząstki;
Moment siły wypadkowej działającej na cząstkę w
punkcie B względem środka układu.
Przykład
Wykazać, że pole magnetyczne nie zmienia energii
kinetycznej poruszającej się w nim, naładowanej cząsteczki.
v v
2 E k = m
dt d m
dt d m dt
dE k v
v v
v
2
2 =
=
ale v a F
= dt = m
m d
czyli ( )
2 1 2
1 v F v v B
=
= q
dt
dE k E k =const
0
Podsumowanie
Działanie Wynik Metoda
postępowania Zastosowanie dodawanie
wektor
reguła równoległo-
boku
wypadkowe przemieszczenie
wypadkowa siła odejmowanie
wektor
algebra wektorów, dowodzenie
twierdzeń rozkład wektora wektory
składowe
równia pochyła, rzut ukośny, itp .
b a
+ b a
−
Działanie Wynik Definicja Wzór w układzie kartezj.
W mate-
matyce W fizyce iloczyn
skalarny skalar
prosto- padłość wektorów
praca,
energia np.
kinetyczna
iloczyn wektorowy
wektor 1. kierunek 2. zwrot 3.wartość
równo- ległość wektorów
moment pędu, moment siły, siła Lorentza mnożenie
wektora przez liczbę k
wektor 1. kierunek 2. zwrot 3.wartość
równo- ległość wektorów
pęd, II zasada dynamiki
b a
b a
= a b cos b
a
sin b
= a
b a
b a b
a
= k
z z y y x
x
b a b a b
a + +
= b a
z y x
z y x
b b b
a a a
ˆ ˆ
ˆ i j k b
a =
z z
y y
x x
