OBLICZENIA TEMPERATURY W TORZE WIELKOPRĄDOWYM Z PRZEWODAMI RUROWYMI W UKŁADZIE PŁASKIM

DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0008

__________________________________________

* Politechnika Częstochowska

Tomasz SZCZEGIELNIAK^*, Dariusz KUSIAK^*, Zygmunt PIĄTEK^*

OBLICZENIA TEMPERATURY W TORZE

WIELKOPRĄDOWYM Z PRZEWODAMI RUROWYMI W UKŁADZIE PŁASKIM

Przepływ prądu przemiennego w torach wielkoprądowych wywołuje efekty natury elektromagnetycznej, termicznej i dynamicznej. Podstawę do analizy zjawisk termicz- nych stanowi informacja o rozkładzie gęstości prądu i stratach mocy. Poprawne określe- nie parametrów elektrodynamicznych ma duże znaczenie praktyczne bowiem sumarycz- ne straty mocy określają podstawowy parametr konstrukcyjny jakim jest temperatura pracy urządzenia.

W artykule przedstawiono analizę rozkładu temperatury w przewodach fazowych ru- rowego nieekranowanego trójfazowego toru wielkoprądowego. Obliczenia gęstości prądu a tym samym rozkład wewnętrznych źródeł ciepła wykonano metodą analityczną.

Natomiast obliczenia temperatury w przewodach rurowych dokonano za pomocą metody różnic skończonych. W obliczeniach gęstości prądu uwzględniono zjawisko naskórko- wości i zbliżenia.

SŁOWA KLUCZOWE: tory wielkoprądowe, gęstość prądu, rozkład temperatury.

1.WSTĘP

Przesyłanie energii elektrycznej na duże odległości odbywało się dotychczas i nadal będzie się odbywać liniami napowietrznymi wysokich lub najwyższych napięć, gdyż do tej pory jest to sposób najbardziej ekonomiczny. Jednak do przesyłu energii elektrycznej szczególnie na krótkich odcinkach coraz częściej stosuje się m.in. nieosłonięte tory wielkoprądowe. W urządzeniach tego typu przepływ prądu wywołuje efekty natury elektromagnetycznej, termicznej oraz dynamicznej. Poprawne wyznaczenie parametrów elektrodynamicznych ma duże znaczenie praktyczne. Znajomość relacji ilościowych pomiędzy parame- trami elektrodynamicznymi takimi jak straty mocy, naprężenia elektryczne, temperatura, a parametrami konstrukcyjnymi jest niezbędna w procesie optyma- lizacji konstrukcji torów wielkoprądowych [1-12]. Wyznaczenie gęstości prą- dów w przewodach fazowych pozwala następnie na określenie strat mocy a tak-

że temperatury pracy, która jest jednym z podstawowych parametrów konstruk- cyjnych [1-7, 10-12].

Nieosłonięte trójfazowe tory wielkoprądowe o przewodach rurowych insta- lowane są w m.in. rozdzielniach NN i WN. W obiektach takich występuje za- zwyczaj ograniczona przestrzeń dla zainstalowania torów prądowych. Dlatego też projektanci mają niejednokrotnie problemy z określeniem sposobu zainsta- lowania torów prądowych w tego typu obiektach. Najczęściej stosowanym w rozdzielniach rozwiązaniami konstrukcyjnymi nieosłoniętych torów wielkoprą- dowych jest konfiguracja przedstawiona na rysunku 1 [1-12].

Analiza zjawisk elektrodynamicznych i termicznych zachodzących w torach wielkoprądowych wymaga uwzględnienia kształtów przewodów fazowych oraz osłon. Ponadto konieczne jest uwzględnianie wszystkich wzajemnych sprzężeń pomiędzy poszczególnymi przewodami a także między przewodami i osłonami.

W artykule przedstawiono analizę rozkładu temperatury w przewodach fa- zowych rurowego nieekranowanego trójfazowego toru wielkoprądowego.

W obliczeniach elektromagnetycznych uwzględniono zjawisko naskórkowości oraz zbliżenia.

2. POLE TEMPERATURY W TORZE WIELKOPRĄDOWYM Z PRZEWODAMI RUROWYMI W UKŁADZIE PŁASKIM Przedmiotem analizy będzie pole temperatury w układzie trzech równole- głych przewodów rurowych, przedstawionym na rysunku 1.

R2

rXY

y’

y

x’

x

d X(r,Θ,z)

2 γ1

H1

γ1

Θ r

R1

μ0 1

I2

R1 R2

μ0

I1

x’’

3 y’’

rXZ

I3

γ1

R2

R1

d μ0

H2 H3

Rys. 1. Trójfazowy tor wielkoprądowy w układzie płaskim

Zakładając, że długość przewodów rurowych jest wielokrotnie większa od ich rozmiarów poprzecznych można przyjąć, że nie ma przepływu energii ciepl- nej w kierunku osiowym, natomiast cała energia cieplna wydzielana w przewo- dach rozchodzi się promieniowo. W stanie ustalonym temperatura w przewodzie fazy L1 spełnia równanie

 

2 1 2

2 2 2

2 1 1 (r,Θ)

d T d r dr dT r dr

T

d J







 (1)

gdzie  oznacza przewodność cieplną, zaś  jest konduktywnością.

Całkowita gęstość prądu w przewodzie pierwszym ma postać [3]

J₁(r,Θ)J₁₁(r)J₁₂(r,Θ)J₁₃(r,Θ) (2) gdzie gęstość prądu J₁₁(r) uwzględnia zjawisko naskórkowości i określona jest wzorem [2, 3]

         



   

 



1

0 1 1 0

1 1 2 1

11 2π I ΓR K ΓR I ΓR K ΓR

r Γ K R Γ I r Γ I R Γ K R I r Γ

J 

  (3)

natomiast gęstość prądu J₁₂(r,Θ) uwzględnia zewnętrzne zjawisko zbliżenia i jest dana wzorem [3]







 



 



1 2 2 2

12 ( )cos

) π , (

n n

n

nΘ r

d f R R

I Θ Γ

r

J (4)

przy czym

( ) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( ) ) (

(

2 1 1 1 1 1 2 1

1 1 1

1

R Γ K R Γ I R Γ K R Γ I

r Γ K R Γ I r Γ I R Γ r K

f

n n

n n

n n

n n

n    







  (4a)

zaś gęstość prądu J₁₃(r,Θ) wyznacza prądy indukowane w przewodzie fazy L ₁ przez pole magnetyczne prądu I w przewodzie fazowym ₃ L i określona jest ₃ wzorem [3]







 



 



1 2 2

3

13 ( )cos

2 ) π

, (

n n

n

nΘ r

d f R R

I Θ Γ

r

J (5)

przy czym funkcje I₀(Γr), K₀(Γr), I₁(Γr), K₁(Γr), I_n( rΓ ), K_n( rΓ ), )

1(Γr

I_n , K_n1(Γr), I_n1(Γr) i K_n1(Γr) są zmodyfikowanymi funkcjami Bessela, odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju, rzędu 0, 1, n-1, n, n+1 [13], nato- miast Γ  jμ₀ oznacza zespoloną stałą propagacji,  jest pulsacją a 0

przenikalnością magnetyczną próżni.

Jeśli prądy fazowe są symetryczne, tzn.

_{2 1 3} π ] ₁

3 exp[j2

oraz ] 3π j2

exp[ I I I

I    (6)

wówczas całkowita gęstość prądu w przewodzie fazowym L ma postać ₁











 



 



 





1 2 2

1

1 ( ) 2 ( )cos

π ) 2 , (

n n

n

n f r nΘ

d A R r

R j I Θ Γ r

J (7)

w którym

¹₂

 





 

n A

A   ^   ^   (7a)

Wyznaczając temperaturę w przewodzie fazowym L , w równaniu (1) nale-₂ ży gęstość prądu J₁(r,Θ) zastąpić wzorem J₂(r,Θ)1_z J₂(r,Θ), w którym











 



 



 





1 2 2

2

2 ( ) 2 ( )cos

π ) 2 , (

n n

n

n f r nΘ

d B R r

R j I Θ Γ r

J (8)

oraz

   



  

 

2 1

n n

n n

n B

B          (8a)

Dla przewodu fazowego L3 temperatura spełnia równanie (1), w którym gęstość prądu J₁(r,Θ) należy zastąpić wzorem











 



 



 





1 2 2

3

3 ( ) 2 ( )cos

π ) 2 , (

n n

n

n f r nΘ

d C R r

R j I Θ Γ r

J (9)

przy czym

 

 





 

n n

n C

C       

 ^{ } (9a)

Analityczne rozwiązanie równania (1) nie istnieje m.in. ze względu na brak analitycznych rozwiązań całek zawierających funkcje Bessela takich jak:

r r Γ I r Γ

I₀( ) ₀( ^ )d





Aby określić temperaturę przewodów fazowych trójfazowego toru wielko- prądowego przedstawionego na rysunku 1 konieczne jest zastosowanie dowolnej metody numerycznej (np. metody różnić skończonych) oraz warunków brzego- wych [14-16]:

0

1

 



 





R

dr r

dT (10)

oraz





R r

T dr T

dT  



 











2

(11) w których α oznacza współczynnik przejmowania ciepła, natomiast T0 jest tem- peraturą otoczenia.

Stosując metodę różnic skończonych, równanie (1) można zdyskretyzować następująco:



2 11

2 2

1 , , 1 , , 1 , 1 2

, 1 , ,

1 2 ( , )

2

2 1 i j

i

j i j i j i r

j i j i r i

j i j i j

i r

h r

T T T

h T T h r

T T

T 



 

 

 

















 J

(12) natomiast warunki brzegowe (10) i (11) mogą być zastąpione odpowiednio róż- nicami

0

2

, 1 ,

1  _ 

 r

j i j i

h T

T (13)

oraz





r j i j

i T T

h T

T_  _  

, ,

1 , 1

2 

 (14)

przy czym

n R h_r  R² ¹ ,

h_r 2m oraz i 1,n , j 1,m .

Jednym z najistotniejszych elementów we wszelkiego rodzaju analizach i obliczeniach cieplnych jest wyznaczenie wartości współczynnika konwekcyj- nego i radiacyjnego przejmowania ciepła. W przypadku konwekcji swobodnej (bo taka zazwyczaj występuje w torach wielkoprądowych) współczynnik przej- mowania ciepła αk wyznaczany jest z równań określających liczbę Nusselta, przy czym liczba Nusselta jest funkcją liczb Prandtla oraz Grashofa. Liczba Prandtla określona jest wzorem [14, 16]



  cp

a

 



Pr (15)

gdzie:  – lepkość kinematyczna płynu w [m²/s], a – dyfuzyjność cieplna płynu w [m²/s], η – lepkość dynamiczna płynu, ,w [Pa·s], ρ – gęstość płynu w [kg/m³], c_p – ciepło właściwe płynu przy stałym ciśnieniu, w [J/(kg·K)],  - przewodność cieplna płynu w [W/(m·K)].

Natomiast liczba Grasshofa [14, 16]:

₂ ³



 T l

Gr  g   (16)

gdzie: g – przyśpieszenie w polu sił potencjalnych w [m/s²] (w ziemskim polu grawitacyjnym g9,81 m/s²), l – wymiar charakterystyczny dla geometrii układu, w [m], T T_S T_O – różnica temperatury płynu i temperatury po- wierzchni, w [K],

273 1

 

 T – współczynnik rozszerzalności cieplnej w [1/K].

Iloczyn liczb Prandtla oraz Grasshofa nazywany jest kryterium Rayleigha [14, 16]:













 



 a

l T

g ³

Gr Pr

Ra (17)

Przypadek konwekcji swobodnej występującej w torach wielkoprądowych można opisać równaniem

Nu_mC Ra ⁿ_m (18)

przy czym Nu oznacza liczbę Nusselta i wynosi [14]



_kl



Nu (19)

natomiast stała C oraz wykładnik potęgi n zależą przede wszystkim od charakte- ru przepływu i są określane z tablic. Jeżeli konwekcja zachodzi wokół kul i cy- lindrów poziomych wówczas liniowy wymiar charakterystyczny występujący w liczbie Nusselta i Grasshofa przyjmuje wartość średnicy zewnętrznej lD_z. Ponadto indeks m przy liczbach kryterialnych Nu i Ra oznacza, że wielkości fizyczne wstawiane do tych liczb są wyznaczane dla temperatury równej śred- niej arytmetycznej temperatur: płynu w dużej odległości od powierzchni T_O i temperatury powierzchni przegrody T_S, T_m0,5(T_ST_O)[14, 16].

W przypadku nieekranowanego przewodu rurowego współczynnik radiacji jest obliczany ze wzoru [14]

o o

r T T

T T



 





4 4

0



 (20)

gdzie: o- stała Stefana,  - współczynnik emisyjności ciała szarego.

Podczas obliczania temperatury należy również uwzględnić zmiany prze- wodności cieplnej  oraz konduktywności γ wraz ze wzrostem temperatury.

Zmiany przewodności cieplnej wraz ze wzrostem temperatury można odczytać z tablic, natomiast konduktywność zmienia się według zależności [16]:

1 ( 20)

20



  T k

  (21)

gdzie k jest temperaturowym współczynnikiem rezystywności, natomiast γ₂₀ oznacza konduktywność w temperaturze 20°C.

3.PRZYKŁADOBLICZENIOWY

W celu wykazania wpływu zjawiska naskórkowości i zbliżenia na tempera- turę osiąganą przez przewody rurowe w układzie trójfazowym przedstawionym na rysunku 1, wykonano przykładowe obliczenia. W obliczeniach przyjęto:

R1 = 0.02 m, γ = 35 MS∙m⁻¹, ₀ 4 10 ⁷ H

   ^ m , 200 W

 mK , 10 W₂

  m K , K

T₀ 293 , I₁2000A, f 50Hz. Obliczenia powtarzano zmieniając śred- nicę przewodu oraz odległość między przewodami przyjmując odpowiednio:

‒ R2 = 0,025 m, d = 0,075 m (rys. 2 i 3),

‒ R2 = 0,03 m, d = 0,075 m (rys. 4),

‒ R2 = 0,025 m, d = 0,1 m (rys. 5).

Obliczenia temperatury na powierzchni przewodów dla przypadku prądu si- nusoidalnie zmiennego wykonano metodą różnic skończonych, natomiast dla prądu stałego korzystając ze wzoru [12]

 

2 2 1 2 2

2 2

2 2 1

2 2 ln 4

2

4 T

R R q R R q

q R R r r q r q

T  ^V  ^V  ^V  ^V  ^V 









 ⁽²²⁾

Rys. 2. Rozkład temperatury wzdłuż promienia w przewodach fazy L1 i L2

Rys. 3. Rozkład temperatury na powierzchni przewodów dla: R2 = 0,025 m i d = 0,075 m

Rys. 4. Rozkład temperatury na powierzchni przewodów dla: R₂ = 0,03 m i d = 0,075 m

Rys. 5. Rozkład temperatury na powierzchni przewodów dla: R2 = 0,025 m i d = 0,1 m

Dopuszczalna temperatura dla sztywnych przewodów aluminiowych wynosi 100°C [17]. Oznacza to że, tylko tor o parametrach: R₁ = 0,02 m, R₂ = 0,03 m, d = 0,075 m (rys. 4) spełnia wymagania temperaturowe.

4.WNIOSKI

Przedstawione w pracy obliczenia pokazują, że w trójfazowym torze wiel- koprądowym z przewodami rurowymi w układzie płaskim, wpływ zjawiska naskórkowości i zbliżenia na temperaturę przewodów fazowych jest tym więk- szy im silniejsze są te zjawiska to znaczy gdy mniejsza jest odległość między osiami przewodów lub im większa jest grubość ścianek przewodów rurowych,

co potwierdzają rysunki 3 ÷ 5. Uwaga ta szczególnie dotyczy przewodu fazy środkowej, gdzie zjawisko zbliżenia jest najsilniejsze.

Z rysunku 2 wynika, że rozkład temperatury w stanie ustalonym wzdłuż promienia przewodów rurowych jest niemal stały. Stały rozkład temperatury występuję również na powierzchniach zewnętrznych przewodów fazowych.

Oznacza to że podczas wyznaczenia temperatury, w równaniu przewodnictwa ciepła, wydajność wewnętrznych źródeł ciepła qv może być przyjęta jako stała wartość. Możliwe jest zatem analityczne określenie wartości temperatury osią- ganej przez przewody fazowe.

LITERATURA

[1] Nawrowski R., Tory wielkoprądowe izolowane powietrzem lub SF6, Wydawnic- two Politechniki Poznańskiej, Poznań 1998.

[2] Piątek Z., Impedances of high-current busducts, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Czestochowa 2008.

[3] Szczegielniak T., Straty mocy w nieekranowanych i ekranowanych rurowych to- rach wielkoprądowych, Praca Doktorska, Gliwice, 2011.

[4] Bednarek K., Nawrowski R., Tomczewski A., Trójfazowe tory wielkoprądowe złożone z przewodów rurowych w indywidualnych osłonach, Przegląd Elektro- techniczny, 01/2008, s. 62-64.

[5] Bednarek K., Nawrowski R., Tomczewski A., Analiza rozkładu pola elektryczne- go w optymalizacji trójfazowych torów wielkoprądowych pracujących w układzie płaskim, Przegląd Elektrotechniczny, ISSSN 0033-2097, R. 82, Nr 12, 2006, s.

49-52.

[6] Kusiak D., Piątek Z., Szczegielniak T., The Asymmetry of the Magnetic Field Distribution in a Flat Unshielded 3-Phase High Current Busduct, Acta Technica Jaurinensis Vol.6 nr 1, s. 49-55, 2013.

[7] Kulas S., Tory prądowe i układy zestykowe, Oficyna Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2008.

[8] Piątek Z., Kusiak D., Szczegielniak T., Pole magnetyczne trójfazowego płaskiego toru wielkoprądowego, Prace Naukowe Politechniki Śląskiej, nr 1815, Elektryka z.1(209), s. 51-65, 2009.

[9] Szczegielniak T., Piątek Z., Kusiak D., Analiza gęstości prądów w nieosłoniętym trójfazowym torze wielkoprądowym, Electrical Engineering, , Iss. 77, s.79-84, 2014.

[10] Ho L., Li Y., Lin X., Edward W. C. Lo, Cheng K. W. E., Wong K. F., Calcula- tions of Eddy Current, Fluid and Thermal Fields in an Air Insulated Bus Duct Sys- tem, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 43, No. 4, April 2007.

[11] Hongtao L., Naiqiu S., Hui P., Zipin L., Electromagnetic-thermal Scale Model of Gas-Insulated Bus Bars, TELKOMNIKA Indonesian Journal of Electrical Engi- neering, Vol. 12, No. 7, pp. 4988-4995, 2014.

[12] Szczegielniak T., Wpływ zjawiska naskórkowości na temperaturę przewodu ruro- wego, Electrical Engineering, s. 69-76, 2017.

[13] Mc Lachlan N.W., Funkcje Bessela dla inżynierów. PWN, Warszawa 1964.

[14] Szewczyk W., Wojciechowski J., Wykłady z Termodynamiki z Przykładami Za- dań, Uczelniane Wydawnictwo Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2007.

[15] Wiśniewski St., Wiśniewski T. S., Wymiana Ciepła, WNT, Warszawa, 2000.

[16] Hering M., Termokinetyka dla elektryków, WNT, Warszawa 1980.

[17] Musiał E., Prądy zwarciowe w niskonapięciowych instalacjach i urządzeniach prądu przemiennego, Biul. SEP INPE, nr 40, s. 3-50, 2001.

CALCULATION OF THE TEMPERATURE IN THE FLAT THREE-PHASE HIGH-CURRENT BUSDUCT

Design of the high-current busducts on high currents and voltages causes necessity precise describing of electromagnetic and thermal effects. Moreover, knowledge of the relations between electrodynamics and constructional parameters is necessary in the optimization construction process of the high-current busducts. Information about distri- bution current density and power losses is a base into analysis of electrodynamics and thermal effects in the high-current busducts.

This paper presents an analysis of the temperature in the flat three-phase high-current busduct. Calculations of the current density in the phase conductors were made by ana- lytical method, but the temperature was determined by finite difference method. The mathematical model takes into account the skin effect and the proximity effects.

(Received: 19.01.2018, revised: 12.03.2018)