CZAS PRACY: 120 MINUT

CZAS PRACY: 120 MINUT

LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50

Zadanie 1. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność .

Zadanie 2. (6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że .

Zadanie 3. (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wykres wielomianu

ma dokładnie dwa punkty wspólne z osią Ox.

Zadanie 4. (4 pkt)

Wykaż, że dla każdych dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c, dprawdziwa jest nierówność .

Zadanie 5. (5 pkt)

Rozwiąż równanie .

Zadanie 6. (4 pkt)

Trzy liczby, których suma jest równa 26, są jednocześnie trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz drugim, trzecim i szóstym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Wy- znacz te liczby.

Zadanie 7.(5 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie raz cyfra 1, oraz dokładnie dwa razy cyfra 2.

Zadanie 8. (4 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABCodcinek CDjest wysokością opuszczoną na przeciwprosto- kątną AB. Obwód trójkąta ADCjest równy 40, a obwód trójkąta BDCjest równy 24. Oblicz ob- wód trójkąta ABC.

Zadanie 9. (4 pkt)

Długości przekątnych rombu o kącie ostrym 45^o są równe e oraz f .

Wykaż, że .

Zadanie 10. (4 pkt)

Punkty oraz leżą na okręgu, którego środek leży na prostej o równaniu . Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 11. (6pkt)

Dany jest zbiór trójkątów równoramiennych o obwodzie 24. Oblicz długości boków trójkąta należącego do tego zbioru, który przy obrocie dookoła prostej zawierającej jego podstawę o kąt 360^owyznacza bryłę o największej objętości.

ROZWIĄZANIA

Zadanie 1. (4 pkt)

Wyróżniamy na osi liczbowej parami rozłączne przedziały, których sumą jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: , , .

Zapisujemy nierówność w każdym z przedziałów i rozwiązujemy układy nierówności 1.

albo

2. ; brak rozwiązań

albo 3.

Zapisujemy odpowiedź

Odpowiedź: .

Zadanie 2. (6 pkt)

Zapisujemy warunki zadania

i kolejno je rozwiązujemy:

1. ,

2.

Korzystając ze wzorów Viete’a otrzymujemy

i nierówność jest postaci

Rozwiązaniem tej nierówności jest .

Rozwiązaniem zadania jest część wspólna rozwiązań warunku 1. oraz 2. czyli .

Odpowiedź: .

Zadanie 3.(4 pkt)

Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej

Jednym z punktów wspólnych wielomianu W z osią Ox jest . Jeżeli , to innych punktów wspólnych nie ma.

Jeśli , to punkt też jest punktem wspólnym.

Jeśli ^mm!00, to punktami wspólnymi są też

 

^{0, 0}



^{ m, 0}



i

 

^{m, 0} . Jednym z nich ma być

 

^{2, 0} . 0

m

 

^{2, 0}

 

     

       

5 4 3 2 2 2

4 2 2

4 2 2 2 2

2 2 4 2

2 2 2 2

2 2 2

W x x x mx mx m x m

x x mx x m x

x x mx m x x m

    

    

    



^2;



m f



^2;



m f



^2;1

 

^2;



m  ‰ f

3 2

3 4

m  m!m  m œ m³m²4m !4 0

   

2 1 4 1 0

m m  m ! œ



^m1

 

^m24



^!0

œ



m1



m2



m2



!0

 

3 3 2 3

1 2 3 3

x x m m  m  m

       

     

3 3 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

2 3

3

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

       

  

   

0 m ; 2 2;

' ! œ  f  ‰ f

2 4

' m 

3 3 2

1 2

1. 0

2.x x m m 4

­ ' !

®  !  

¯



^{; 4}

 

^{7, 5 ;}



x f  ‰ f

3

2 3 9 23

x

x x

­ t

®    !

¯ œ 3

4 30 x

x

­ t

® !

¯ œ x!7, 5

2 3

2 3 9 23

x

x x

 d 

­®    !

¯ œ 2 3

2 12 x x

 d 

­® !

¯ 2

2 3 9 23

x

x x

­  

®    !

¯ œ 2

4 16 x

x

­  

® !¯ œ x 4



3;f



2;3



^{f ; 2}



3 0 x  y



^5,10

 

^9,12



B

A e 2 1

f 



^{e f}



2 2

cos 2x 3 sin 2˜ x cos x7 sin x



^{a c b d}



^



^{t ab cd}

 

^{5 2 4 2 3 4 2 2 2 2}

W x x  x  mx  mx m x m

3 3 2

1 2 4

x x !m  m

1, 2

x x

2 1 0

x mx

2 3 9 23

x  x !

1 Środa 27 kwietnia 2011 1Gazeta Wyborcza1wyborcza.pl

32 Gazeta Edukacja

Sprawdź, czy zdasz!

Matura

Poziom rozszerzony

Maturzysto! Już za tydzień egzaminy. A już dziś drukujemy próbną maturę z matematyki na poziomie rozszerzonym przygotowaną przez naszych ekspertów. Jutro – angielski i niemiecki

Próbna matura 2011

matematyka

R E K L A M A

Partner radiowy

Studia w kraju, za granicą, a może rok przerwy? Co planują tegoroczni maturzyści po egzaminie, słuchaj w Faktach RMF FM.

Jakie stroje na egzamin dojrzałości są modne w tym roku, co powinny ubrać maturzystki, a co maturzyści? Słuchaj w Faktach RMF MAXXX

30680131

Stąd wynika, że aby były dwa punkty wspólne, to , czyli .

Odpowiedź: , .

Zadanie 4. (4 pkt)

Obie strony nierówności są dodatnie, po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy nierówności równoważne:

.

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy .

Podnosząc jeszcze raz obie strony do kwadratu, otrzymujemy ,

czyli

.

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d. Zadanie 5. (5 pkt)

Korzystając ze wzorów na oraz , zapisujemy równanie w postaci ,

czyli

nie jest rozwiązaniem tego równania, możemy więc obie strony tego równania po- dzielić przez .

Otrzymujemy czyli

Stąd albo .

Odpowiedź: , gdzie k jest liczbą całkowitą albo , gdzie k jest liczbą całkowitą.

Zadanie 6. (4 pkt)

Oznaczmy przez apierwszą z trzech liczb (najmniejszą) oraz przez r różnicę ciągu arytme- tycznego; . Liczby możemy zapisać w postaci: (a oznacza drugi wyraz cią- gu arytmetycznego).

Znając sumę tych liczb oraz własność ciągu geometrycznego, zapisujemy układ równań

Po przekształceniach otrzymujemy układ równań

Z drugiego równania wynika, że lub , a to rozwiązanie jest sprzeczne z założeniem.

Stąd , czyli , .

Odpowiedź: Liczby opisane w treści zadania, to 2, 6, 18.

Zadanie 7. (5 pkt)

Stwierdzamy, że są trzy parami rozłączne przypadki. Pierwszą cyfrą tej liczby może być:

1. cyfra 1, 2. cyfra 2,

3. cyfra należąca do zbioru . Obliczamy, ile jest liczb w każdym przypadku.

ad. 1.

ad. 2.

ad. 3.

Odpowiedź: Łącznie jest takich liczb.

Zadanie 8. (4 pkt)

Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy

oznaczenia: .

Oznaczmy przez p obwód trójkąta ABC.

Trójkąty ADC oraz ABC są podobne, stąd . Trójkąty BDC oraz ABC są podobne, stąd .

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ABC i przekształcamy tę równość ,

stąd .

Odpowiedź: Obwód trójkąta ABC jest równy .

Zadanie 9. (4 pkt)

Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia: , .

Stosując twierdzenie kosinusów do trójkątów BAD oraz ABC, otrzymujemy

.

Stąd , co należało wykazać.

Zadanie 10. (4 pkt)

Środek S okręgu to punkt wspólny podanej prostej oraz symetralnej odcinka AB. Symetralna odcinka AB ma równanie . (Punkt leży na symetralnej odcinka AB wte- dy i tylko wtedy, gdy ).

Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań

Otrzymujemy .

Obliczamy kwadrat promienia r okręgu: .

Odpowiedź: Równanie okręgu jest postaci: . Zadanie 11. (6 pkt)

Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku

, czyli .

Bryła powstała z obrotu trójkąta dookoła prostej ABto suma dwóch przystających stożków o promieniu i wysokości .

Zapisujemy wzór funkcji : objętość bryły w zależności od x,

Funkcja V przyjmuje największą wartość dla .

Odpowiedź: Wymiary trójkąta są następujące: podstawa ma długość 6, ramiona mają długość 9.x 3

 

^{2 1 12 12 2}

 

¹⁶



⁶



V x ˜3S˜ ˜  x ˜ x S  ˜x x

 

^{0; 6}

x

 

V V x 1 2

2 3 V ˜ ˜Sr ˜x

    

2 2 2

12 12 2 r y x yx yx ˜  x

h x r DC

12 x y 2x2y 24

A B

C

D

x x

y y

.



^x28

 

^{2 y31}



^{2 2210}

2 2

2210 r AS



^{28, 31}



S 

3 0

2 25 0

x y x y

 

­®  

¯

AP BP

 

^,

P x y 2x y 25 0

e 2 1

f 

 

     

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

3 2 2 2 1

2 2 2 e a

f a

 

 



 

2 2 2 2 2 2

2 cos 45 2 2 2 2

e a a  a a˜ ˜ q a a a 

 

2 2 2 2 2 2

2 cos135 2 2 2 2

f a a  a a˜ ˜ q a a a 

A B

C D

a

a a

45q ,

BD e AC f

AB BC CD DA a

2176 8 34 8 34 p

2 2 2

c a b œ

2 2

2 2

2

24 40 2176

1 a b

c c p p p

§ · § ·

§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸

¨ ¸ ¨ ¸

© ¹ © ¹ © ¹ © ¹

24 a c p

40 b c p

, ,

BC a AC b AB c

A B

C

D a b

c

.

5120 10240 13440  28800 5 4 2

7 8 13440

1 2

§ · § ·

˜¨ ¸ ¨ ¸˜ ˜

© ¹ © ¹ 5 4 3

1 8 10240

1 1

§ · § ·

˜¨ ¸ ¨ ¸˜ ˜

© ¹ © ¹ 5 3

1 8 5120

2

˜§ ·¨ ¸˜

© ¹

^

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

`

4 2 r a 2 r a

0 r 2 r a

 

3 5 26

2 0

a r r r a

­ 

® 

¯

 

²

 

4 26 4 a a r a r

a r a a r

   

­°®

 

°¯

, , 4

a ar a r 0

r! 5 x 6SkS

x kS tg 3

x  3 tgx 0

tg tg 3 0

x§ x 3 ·

¨  ¸

¨ ¸

© ¹

2 3

tg tg 0

x 3 x 6 cos x2

cosx 0

6 sin2x2 3 sin cos˜ x x 0

2 2 2 2

cos xsin x 3 2 sin cos˜ x x cos x7 sin x sin 2D cos 2D



^adbc



^2t0

   

^{ad 2 bc 22abcdt4abcd}

2 adbct abcd



^{a c b d}







t^{ab cd} ^{2 abcd}

2 4

1 0 m m

4 m 2 m

1

Próbna matura z matematyki

¹

Gazeta Edukacja 33

wyborcza.pl1Gazeta Wyborcza1Środa 27 kwietnia 2011

OGŁOSZENIE WŁASNE WYDAWCY

Od jutra w kioskach WIEDZA O KULTURZE

co czwartek kolejny tom

ZAMÓWIENIA PRZYJMUJEMY NA LUB POD NUMEREM TELEFONU 801 130 000

KOSZT POŁĄCZENIA WYNOSI 0,29 ZŁ W SIECI TP SA

P O L E C A J Ą

Sprawdzasz i wiesz

n

ponad 1000 zwięzłych haseł, pojęć i terminów

n

kulturoznawstwo

n

tradycje i nurty teatralne

n

gatunki sztuki filmowej NOWA SERIA

SŁOWNIKÓW TEMATYCZNYCH

NIEZBĘDNA DLA UCZNIA

30701557