10.3.2020, kl 2b Ciągi I
Ciąg skończony x1, x2, . . . , xno wartościach w zbiorze A może być rozumia- ny jako funkcja {1, 2, . . . , n} → A. Przez ciąg nieskończony (o wartościach w zbiorze A) rozumiemy funkcję N → A. Szczególne miejsce zajmują ciągi licz- bowe (A = C), a wśród nich ciągi arytmetyczne (tj. takie, że różnica, zwana przyrostem c. a. xi+1 − xi jest stała — nie zależy od i) i geometryczne(tj.
takie, że xi+1 = q · xi, przy czym q (iloraz c. g.) jest ustalone).
Zadanie 1. Wykaż, że ciąg (an) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy an+1=12(an−1+ an+1) dla każdego n 2.
Zadanie 2. Ciąg (xn) jest arytmetyczny. Wykaż, że (a) an= 2xn jest geometryczny,
(b) bn= x2n+12− x2n−1 jest arytmetyczny,
(c) cn= an+ an+1+ . . . + an+13 jest arytmetyczny.
Zadanie 3. Znajdź wzór na 1 2 + 2
22 + 3
23 + . . . + n 2n. Wskazówka: Wzór ma postać a + b+cn2n .
Zadanie 4. Znajdź wzór na
1 · 2 + 2 · 22+ . . . + n · 2n.
Zadanie 5. Wyrazy ciągu (an) są rózne od 0. Wykaż, że ciąg (an) jes cią- giem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n ∈ N zachodzi równość
1 a1a2
+ 1
a2a3
+ . . . + 1 an−1an
= n − 1 a1an
.
Zadanie 6. Uzupełnij tabelkę, tak by liczby w każdym wierszu i w każdej kolumnie tworzyły postęp arytmetyczny:
74
186 103
0
Zadanie 7. Znajdź a2020, jeśli a1 = 2020 oraz an+1 = 10 + suma cyfr liczby an.
Zadanie 8. Kąty wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny. Najmniej- szy z kątów ma 119◦, a największy 169◦. Ile boków ma wielokąt?
Zadanie 9. Czy istnieje ciąg arytmetyczny, którego pewne trzy wyrazy to liczby√
2,√ 3,√
5?
Zadanie 10. Niech Sk oznacza sumę pierwszych k wyrazów ciągu arytme- tycznego (an). Wykaż, że S4n− Sn= 3 (S3n− S2n).
Zadanie 11. Czy istnieje ciąg arytmetyczny, którego wszystkie wyrazy są liczbami pierwszymi?
Zadanie 12. Podziel zbiór liczb naturalnych na dwa rozłączne podzbiory w taki sposób, by żaden z tych podzbiorów nie zawierał nieskończonego i rosnącego ciągu arytmetycznego.
Zadanie 13. Zbiór A ⊂ Q jest skończony. Wykaż, że istnieje ciąg arytme- tyczny zawierający wszystkie liczby zbioru A.
Zadanie 14. Puszka aluminiowa waży 10 gramów. W wyniku utylizacji odpa- dów odzyskuje się co rocznie 75 procent zużytego aluminium. Ile puszek można wyprodukować z tony aluminium w ciągu 10 lat? Ile to razy więcej, niż gdyby odzyskiwano połowę zużytego aluminium? Ile to razy więcej, niż gdyby wyrzucano puszki bezpowrotnie?
Zadanie 15. Dane są cztery liczby takie, że trzy pierwsze są kolejnymi wy- razami ciągu geometrycznego, trzy ostatnie są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, suma liczb skrajnych jest równa 56, a suma liczb środ- kowych 48. Wyznacz te liczby.
Zadanie 16. Dla jakich wartości parametru a ∈ R pierwiastki wielomianu x4− (3a + 2)x2+ a2tworzą ciąg arytmetyczny?
Zadanie 17. Niech A = {1,12,13, . . .}. Wykaż, że dla każdego n 3 zbiór A zawiera ciąg arytmetyczny długości n, ale nie zawiera on nieskończonego ciągu arytmetycznego.
Zadanie 18. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n 3 istnieją ciągi arytmetyczne (a1, a2, . . . , an) i geometryczny (g1, g2, . . . , gn), oba o wyrazach będących liczbami naturalnymi tekie, że
g1< a1< g2< a2< . . . < bn< an.
Zadanie 19. Wykaż, że w każdym nieskończonym rosnącym ciągu arytme- tycznym złożonym z liczb naturalnych można znaleźć wyraz, który nie jest potęgą liczby naturalnej z wykładnikiem większym od 1.
