Digitale Techniek van probleemstelling tot realisatie, deel 2

....

-.----

....

-...-

~~--~----~-~

1 1 1 1 - - -t - - - t-- - - -1- - - -j -I,,;;; .... - - - -... ---~ 1 1 1 1 I 1 I I 1 1 1 1 I 1 1 I 1 I I I 1 I I 1

GBK

,

195

1 I 1 1

• ~ I •

Digitale Techniek

.

.

.

.

van probleemstelling tot realisatie

.

'"

.

, . Bibliotheek TU Delft

\\\\\\ \\\\\ \\\1\ \

~\

\\\\1 \

\\\\\1

\

.

.

. C 0003148624

.

1

,

'<

1551

/l::B

Có

.

Tel excelIe

à

rimer qui juge sottement

(Boileau)

! '

I

•

I

Digitale Techniek

van

"

probleemstelling tot realisatie

ir. A

.P. Thijssen, TU Delft

ir. H.A. Vink, Philips Research Laboratories, Eindhoven

prof.ir. C.H. Eversdijk, oud-hoogleraar TU Delft

·

deel 2

,.

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag

Thijssen, A.P.

Digitale TechnIek: van probleemsPecificatie tot real.isatie : niet IEC-symbolen / door A.P.Thijssen, H.A. Vink en C.H. Eversdijk ;

Delft: Delftse Universitaire Pers Dl. 2: Met lit.opg., reg.

Oorspr. uitg. : Delft: Delftse U.M., 1982. - Met lit.opg., reg.

ISBN 90-407-1149-6 .. \

SISO 664.2 UDC 681.32(075.8) Trefw.: digitale techniek. .

©VSSD Eerste druk 1995 Uitgegeven door:

Delftse Univ~rsitaire Pers Stevinweg I, 2628 eN Delft

tel. 015 - (2)783254, telefax 015- (2)781661. In opdracht van:

Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft Poortlandplein 6, 2628 BM Delft

tel. 015 - (2)782124, telefax,015 - (2)787585, e-mail VSSD@du~iws.twi.tudelft.nl

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opna-men, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van

. de uitgever. .

All rights reserved. No·part of this publication may be reproduced, stored in

ti

retrieval system, or transmitted, in ariy form or by· arly means, electronic, mechanica I, photocopying, recording, or otherwise, without the prior l'I'ritten permission of the publisher.

s

Voorwoord bij derde druk

In deel 1 van Digitale Techniek worden de basisbeginselen van de digitale techniek behandeld. In dit tweede deel houden we ons bezig met het ontwerpen van datapaden en de bijbehorende besturingen.

Ten opzichte van de vorige is deze druk sterk gewijzigd. De tekst sluit aan bij die van deel 1, druk 1988 en later.

De eerste drie hoofdstukken behandelen de grondslagen van het binaire rekenen. Hierbij beperken we ons tot optellen, af trekken, vermenigvuldigen en delen in de verzameling der gehele getallen. De overeenkomende bewerkingen in andere getallen-verzamelingen zijn hiervan gemakkelijk af te leiden. De behandeling is vrij strak top-down gericht. Eerst worden de gehele getallen afgebeeld op eet;! restklassen systeem

. modulo m. Dit maakt het mogelijk de meest toegepaste algoritmes voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in eer1 uniforme notatiewijze te beschrijven. De bewijsvoering van :een. algoritme, alsmede het daarvan afgeleide onderzoek naar eventuele randvoorwaarden bij toepassing, verloopt daardoorgemalO<elijk.Een en .

ander sluit direct aan bij de bewerkingen op bitniveau. De opgestelde algoritmes zijn gemakkelijk af te beelden op hardware.

In het vierde hoofdstUk worden implementatiestructuren vaD optellers besproken. Deze stof geeft inzicht in de speelruimte die de ontwerper van logische schakelingen heeft bij het opstellen van datapaden. Het toepassingsgebied van de behandelde structuren is .

niet beperkt tot Qptellers, maar is veel ruimer. Het antwoord op de vraag welke

, I

structuren voor een bepaalde toepassing relevant zijn, is mede afhankelijk van de technologie wàarin de schakelingen gerealiseerd gaan worden. Dit valt echter buiten het kader van dit boek. Het vijfde hoofdstuk introducee~t de theorie van sequentiële

sch~elingen, metjnbegrip van het Mealy en het Moore sequentiële machine model.

Kennis van deze modellen en van de voorwaarden waaronder toepassing ervan mogelijk is, vormen de basis voor het ontwerpen van sequentiële schakelingen. De reductie van sequentiële schakelingen op basis van 'equivalentie en compatibiliteit,' .' . wordt in de volgende twee hoofdstukken besproken. Deze theorie kan ook worden

toegepast bij het oplossen respectievelijk verminderen van passingsproblemen bij bijvoorbeeld programmeerbare logica. Ook is kennis van welke redundantie een specificatie bevat essentieel bij testbaar ontwerpen. Het achtste en (voorlopig) laatste hoofdstuk bespreekt enkele voorbeelden van specificaties van sequentiële schakelingen. De voorbeelden dienen om een indruk te geven van de ma,te van gedetailleerdheid; welke nodig is voor een goed ontwerp.

6

Digitale Techniek

Enkele vervolghoofdstukken zijn nog in voorbereiding, zij konden niet meer in deze druk worden meegenomen.

Een bundeloefenopgaven zal in het najaar 1990 beschikbaar komen.

De ervaring heeft geleerd dat de stof, zij het met enige moeite, ook op HBO-niveau gedoceerd kan worden. Naar de mening van de auteurs is dit ook nodig, zeker voor di~ studenten welke zich gaan bezighouden met IC-ontwerpen (ICTO-project). De tijd dat men daar kon volstaan met onder andere 'de bits omkeren en er een 1 bij optellen' bij de behandeling van het two's complement is definitief voorbij! Onze dank gaat daarom uit naar enkele generaties studenten van de ~vond-HTS van de Haagse Hogeschool. Zonder hun inbreng en hun geduld, wanneer een stuk tekst op hen werd uitgeprobeerd, zou dit boek niet zijn geworden wat het nu is.

Voor docenten/gebruikers in het HBO zijn overhead sheets van delen van de tekst besc~baar. Ook komt er gelegenertijd extra oefenmateriaal.

'Velen hebben bijgedragen aan het tot stand komen van deze tekst. Voor het inhoudelijke commentaar van studenten van de TU Delft en anderen op vorige drukken is dankbaar gebruik gemaakt. Vele flessen Cötes du Rhöne zijn met plezier uitgereikt. Zie de mededeling hieronder. Bij het voorbereiden en steeds weer opnieuw aanpassen

, van de verschillende voorlopers van het manuscript was het goed samenwerken met Gerda Duvé-Randsdorp. Daarnaast is ook een woord van waardering voor de ~edewerkhs van Vereniging van Studie en Studentenbelangen te Delft (VSSD) op zijn plaats. Zij verzorgden de definitieve opmaak van dit boek.

PijnackerN alkenswaard juni 1990

A.P.Thijssen H.A. Vink

Om een traditie in ere te houden: voor vijf eerste aanmeldingen van fouten e%f suggesties voor verbeteringen ligt een fles Cötes du Rhöne klaar.

7

Inhoud

VOORWOORD

5

1.

OPTELLEN EN AFI'REKKEN IN HET BINAIRE TALSTELSEL

11

1.1.

Getallenrepresentaties

11

1.2.

Rekenen in teken-en-modulus

15

1;3.

De representant.~epr(g) van een geheel getal

17

1.4.

Gehele getallen modulo m

-

20

1.5.

De two's complement representatie

22

1.6.

De optelling in het two 's complement

26

1.7.

De binaire uitvoering van de two's complement optelling

33

1.8.

Optellen en aftrekken in het two 's complement 40

1.9.

De conversie van

±

Igl naar R1(g) en omgekeerd 44

1.1.0. Uitbreiding van het bereik in het two 's complement

47

1.11.

Enkele eigenschappen van het two 's complement

50

1.12.

Samenvatting van de two 's complement representatie

55

1.13.

De one 's complement representatie

59

I

1.14.

De optelling in het one 's complement

63

1.15.

Samenvatting van de one 's compl«ment representatie

67

1.16.

Een vergelij"king van het one's met het two's complement

71

I,

1.17.

Literatuur De ten's en de nine 's complement representatie . 78 72

2.

VERMENIGVULDIGEN

79

2.1.

Inleiding tot de vermenigvuldiging

79

2.3.

8erie-parallelvennenigvuldigers voor niet -negatieve gehele getallen

87

2.4.

Two's complement vennenigyuldigers voor gehele getallen

89

2.5.

-

Vermenigvuldigers met de optelling in het two's complement

96

2.6.

Het Booth-algoritme

99

'

2.7.

Het gemodificeerde Booth-algoritme

104

2.8;

Bijzohdere vennenigvuldigers

108

Literatuur

109

3.

DELEN

110

3.1.

De delingsalgoritme voor niet-negatieve gehele getallen .

110

3.2.

De deling in het binaire talstelsel

113

3.3.

Een deelschakeling voor niet-negatieve gehele getallen

117

8. Digitale Tethniek

3,4. Deelproeedures 121

3.5. De deling voor gehele getallen 125

3.6. De non-performing division voor 'gehele g~tallen 127 3.7. De non-restoring division voor gehele getallen 132

3.8. Deleninhettwo'scomplement 135

, Literatuur 136

4. V AA ALGORITME NAAR SCHAJ(ELING 137

4.1. Inleiding 137

4.2. Twee-operand binaire op,tellers 138

4.3. Carry-select optellers 140

4.4. Carry skip optellers , 143 .

4.5. Optellers op basis van de gemiddelde propagatietijçl , 146 4~6. De optelling van BCD-gecodeerde getallen . 154

4.7. Meer-operand binaire optellers 158

4.8

..

Arithmetic Logic Units 164

LiteratUur 169

. 5. INLEIDINq TOT DE THEORIE VAN DE SEQUENTIELE SCHAKELINGEN 171

5. 1. Inleiding 171

5.2. De equivalentierelatie '5.3. De compatibiliteitsrelatie

'5;4. Het bepalen van maximale klassen 5.5. Het sequentiële machine model' 5.6. Het Mealy model en het Moore model 5.7. De cloek mode interpretatie

5.8. De level mode interpretatie

5.9. De uitgebreide toestandsfunctie en uitgangsfunctie LiteratUur

6. REDUCrIE OP BASIS VAN EQUIVALENTIE

. 6.1. Redundantie 175 179 185 190 196 , 200 205 208 215 216 216 6.2. De werking van een sequentiële machine 219

6.3. Equivalentie van toestanden 221

6.4. De equivalentiedriehoèk 229

6.5. De minimale equivalente machine van een volledig

gespeCificeerde sequentiële machine 233

6.6. Equivalentie van volledig gespecificeerde sequentiële machines 235 '

6.7. De minimale equivalente machine van ~n onvolledig gespecificeerde

I·

Inhoud 9

,

6.8. Passingsproblemen en equivalentie van toestanden 6.9. Equivalentie van ingangssymbolen

Literatuur

240

245 2~0

7.

REDUCTIE OP BASIS VAN COMPATIBILITEIT

251

7.1. Equivalent versus compatibel 251

7.2. Compatibele toestanden ' 255

7.3. Minimale compatibele machines van een onvolledig gespecificeerde

'«X}uentiële machine 263

7 .4. De constructie van ~ale gesloten dekkingen 267

7.5. . Een methode voor het bepalen van alle gereduceerde machinès van een onvolledig gespecificeerde sequentiële machine 273

Literatuur 276

8. INLEIDING TOT HEf ONTWERPEN VAN SEQUENTIELE SCHAKELINGEN, 277

8.1. De interface van een d r u k t o e t s 2 7 7

8.2. De pulsgever . 280

. 8.3. De pulsgever metterugmelding 289

8.4.

De

relatie tussen pulsgever'en het erdoor bestuurde proces 293

8.5. De pulsgever met onthoudfunctie 298

8.6. Een instelbare reeks generator 301

8.7. Het datapad-besturing ontwerpmodel 305

Literatuur . 308

1

Optellen

en aftrekken

In het

bi

,

naire talstelsel

1.1. Getallenrepresentaties

,

11

Uit de wiskunde zijn de verschillende getallenverzamelingen bekend, welke gewoon.,. lijk worden aangeduid met:

IN de natuurlijke getallen; Z de gehele getallen;

Q de rationale getallen; R de reële getallen;

G:: de complexe getallen.

Elke volgende verzameling heeft de vorige als deelverzameling. Een aardige verhande-ling hierover staat in [Loonstra].

Op deze getallenverzamelingen zijn rekenkundige bewerkingen gedefinieerd. In het , eerste deel van deze tekst beperken we ons tot een bespreking van de bewerkingen optellen en aftrekken in de verzameling der gehele getallen Z. In de hoofdstukken 2 en 3 volgt de behandeling van vermenigvuldigen en delen. Hoofdstuk 4 gaat in op de ,implementatie van de diverse structuren in hardware.

Getallenrepresentaties

,

GetallenverzaII).elingen kunnen op vele manieren worden voorgesteld. Stellen we bijvoorbeeld natuurlijke getallen voor door rijen knikkers. Het natuurlijke getal n wordt dan voorgesteld door een rij van n knikkers. We noemen deze rij dan de representant van n, met knikkers. Ook kan op deze wijze de somvan twee natuurlijke getallen n en m worden voorgesteld en wel door de rijen van n en m achter elkaar te leggen. Met deze constatering is het 'recept' om de som te bepalen in deze representatie bekend. Een dergelijk recept noemt men het algoritme.

Een talstelsel, met grondtal g en de cijfers 0 tot en met g - 1, is een veel handiger manier om geJallen voor te stellen. Ten opzîchte van rijtjes is het een veel compactere notatie. Het decimale talstelsei (zie hoofdstuk 1 van deel 1) is gebaseerd op het aantal

12 Digitale Teèhniek

, vingers aan onze handen. Het binaire taistelsel past meer bij digitale schakelingen en dankt daaraan het veelvuldig gebruik ~rvan, Daarnaast bestaan er allerlei tussen-vormen, de BCD-code bijvoorbeeld. Hiervan is het grondtallODEC en worden de afzonderlijke cijfers binair voorgesteld.

In feite zit in het vorenstaande een zekere-ordening. Op het hoogste abstractieniveau spreken we van getallenverzamelingen. Deze kunnen dan nog willekeurig worden voorgesteld. Op het volgende niveau spreken we van een talstelsel, waarbij het

: grondtal en de cijfers zijn vastgelegd en de spelregels voor de interpretatie van een rij cijfers gegeven zijn. Vervolgens worden de cijfers voorgesteld door een 'bit string'; in de BCD-code vier bits per cijfer. Een dergelijke tqp-down gerichte lijn komt ook verder in dit hoofdstuk veel voor. Zo zullen we eerst de correctheidsbewijzen van onder andere het two's complement afleiden, waarna de implementatie ervan in een digitale schakeling volgt. Alvorens hiertoe over te gaan geven we een overzicht van enkele veel gebruikte voorstellingen van getallenverzamelingen, met enkele van hun kenmerkende eigenschappen.

Natuurlijke getàllen / binair

Het natuurlijke getal m E IN wordt in het binaire talstelsel voorgesteld door een bitcombinatie (bit string). Dit is een rij nullen en enen met waardering van de hits volgens de regels van het binaire tal~telsel,'zodat na 'evaluatie van de bit string het natuurlijke getal m resulteert.. .

De representant van het getal m E IN met n bits,

is dan zodanig dat

2n-l 2n-2 21 20

=

an-l

+

an-2

+ ..

.

+

al -

+

lkl (l.I) Het bereik van de voor te stellen natuurlijke getallen ligt tussen

(l.2) _

bij bitcombinaties van lengte n. Het bereik is beperkt.

Hoe in dit talstelstel kan worden opgeteld is toegelicht in de paragrafen 7~2 tot en met 7.4 van deel 1. De aftre~ng is niet gedefinieerd, daar de verzamelmgder natuurlijke getallen geen negatieve getallen kent.

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel 13

Gehele

'

getallen / binair

In de rekenkunde worden gehele getallen g uit,Z meestal voorgesteld met een teken (+ of -) en de modulus. De binaire voorstelling hiervan door een bitcombinatie,

is zodanig dat, .---~---~ an-l teken OH+ , ' l H - -_{- an-2} . 2n-2 + ... + al . 21 + ao 20

Bij een bitcombinatie van lengte n is het bereik van de voor te stellen getallen g: _2n-l + 1 ::; g ::; 2n-l - 1

(1.3)

(l.4) Ret bereik is symmetrisch. Van elk getal behoort ook het tegengestelde ervan tot het bereik, zodat ook de aftrekking als bewerking kan worden gedefinieerd (mits er geen capaciteitsoverschrijding optreedt). Het bereik is gemakkelijk uitbreidbaar door meer bits te nemen. Het tekenbit verandert daarbij van positie.

Voorbeelden

-6 H 1110(n=4); +21 H

o

1 0 1 0 1 (n = 6) - 6 H 1 0 1 1 0 (n = 5); +21 H ' 0010101 (n = 7) - 6 H 1 0 0 1 1 0 (n = 6); + 21 H 000 1 0 1 0 1 (n = 8)

Het linkerbit is altijd het tekenbit.

o

·Opmerking

De

teken-en-mOdulus voorstelling kent een dubbele represeiuant van 0 (nul), namelijk: +0 H 00 ... 00

-0 H 10 ... 00

I ./

14 Digitale Techniek

Rationale getallen / binair

Door het plaatsen van een komma in de binaire getalvoorstelling kunnen rationale getallen uit Q worden voorgesteld:

an-l an-2 ..• al aO, lLllL2 •.• lL_{m+l a-m}

, 2n-l ' 20 2-1 2-m

H an-} + ... + ao + lL} + ... + lLm (1.5)

Zo. kan

worden vo()rgesteld door 1 1 1 0 1, 1 0 1.

Verder kan door middel van een tekenbit het bereik naar de negatieve kant worden uitgebreid. Bij gebruik van n bits voor en m bits achter de komma is het bereik van de voor te stellen getallen beperkt, zoals dit ook liet geval was bij de eerder besproken voorstellingen. Daamaast kunnen niet alle rationale getallen binnen het bereik worden voorgesteld. Dit zijn er namelijk oneindig veel.

Voorbeeld }

3" = 0,333 ...

Bij m

=

5

bits achter de komma is de binaire voorstelling die er het dichtst bijkomt:

Het binaire getal 0; 0 1 0 1 OsIN = 0,312500EC ligt er verde~ van af. o

Conclusie

Bij het voorstellen van rationale getallen moet men afronden. Hetzelfde geldt bij het voorstellen van reële getallen.

Rationale getallen

I

binair / (Ioating point / exponentiële

~~~ .

hl de zogenaamde floating point n~tat1e stelt men getallen voor met twee bitcombina-ties,

voor de mantisse en

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel 15

g = 0 _, lL ₁ a _{_-2 ...} lL _n+l-n a . 2bm-lbm-2 ... blbo _(1.6) is bij het grondtal 2 en

g = O,a_la_2 ... a-n+._{la-n . lOb}m_-lbm_{-2 ... blbO (1.7)}

bij het grondtal 1 OoEC. Mantisse en exponent kunnen van een teken voorzien· worden. Vooral bij wetenschappelijke berekeningen past men deze notatie toe. Ook voor deze notatie· geldt dat niet alle rationale getallen kunnen worden voorgesteld, zodat afronden noodzakelijk is.

Reële getallen kunnen ook op deze wijze voorgesteld worden. Voor afronden geldt dan eenzelfde conclusie.

Samenvatting

Het voorstellen van getallenverzamelingen door bitcombinaties van eindige lengte introduceert een verschil tussen de getallentheorie en de praktijk. In de eerste plaats is. het meestal niet mogelijk alle getallen binnen een bereik voor te stellen, waardoor er moet worden afgerond. Dit veroorzaakt een afrondingsfout. Bij het uitvoeren van rekenkUndige bewerkingen is daarom een foutberekening of foutschatting een belang-rijk aspect.

Daarnaast introduceert de toepassing van bitcombinaties van beperkte lengte n capaci-teitsoverschrijding. Bij het opstellen van algoritmes moet men aandacht schenken aan de mogelijkheden ~t de detectie hiervan.

1.2. Rekenen in teken-en-modulus

Het ligt voor de hand bij de implementatie van rekenkundige bewerkingen te proberen deze te baseren op de reeds bekende getalv·oorstellingen. Als voorbeeld de optelling met behulp van de teken-en-modulus representatie. Hierop is het volgende schema van toepassing.

Schema

a

I "

Irl = lal

+

Ibl tr=ta=tb lal b

I "

lal~lbl

+

/

Irl = lal - Ibl

Ibl (1.8) lal~lbl

+

Irl= Ibl':"lal Lr= 1b

16 Digitale Tèchniek

Toelichting

We splitsen de getallen a en b in teken ta en lb en modulus lal en Ibl. Zijn de tekenbits gelijk, dan is de modulus van het resultaat, Irl, gelijk aan

Irl :;: lal

+

Ibl

Het tekenbit van het resultaat,

tr,

is dan gelijk aan ta of lb. Op overeenkomstige wijze kunnen de andere twee takken geiilterpreteerd worden.

Voorbeeld

. De binaire uitvoering van de optelling van +13+ (-18), op ~es bits, verloopt als volgt. aH"001101 ta

=

0

lal = 0 1 101BIN bHI10010 lj,=1

Ibl = I 0 0 I OBIN

De tekenbits zijn ongelijk, we moeten de moduli aftrekken. Het teken van het verschil van lal en Ibl bepaalt of lal vaillbl dan wellbl van,lal moet worden afgetrokken:

lal 01101

Ibl- 10,010 I . 1111011

i

l

leen met gewicht _25

Er is een leen met gewicht _25, hetgeen betekent dat lal - Ibl < 0 was. Om Irl te vinden moeten we de moduli verwisselen:

lbI 10010

lal - 0 110 1 - '

lrI .

o!oolàl

i

l geen leen

Volgens het schema is de teken-en-modulus voorstelling van het resultaat r:

1 0 0 1 0 1 H r

= -

5' o

Al met al levert dit geen prettige procedure op om in een digitale schakeling uit te

"

Optel/en en aftrekken in het binaire talstelsel 17

- de tekenbits op een andere wijze behancield moeten worden dan de bits van de _, moduli;

- de schakeling bewerkingen moet kunnen uitvoeren die corresponderen met optellen en aftrekken;

- het teken van het verschil van lal en Ibl bepaalt of Ibl van lal ,dan wel lal van Ibl moet worden llfgetrokken.

Om deze redenen gaat men meestal over op een andere representatie van gehele getallen door bitcombinaties. De volgende paragrafen beschrijven er twee, het two' s complement en het one' s complemenl.

1.3. De representant

R~epr(g)

vaneen geheel

'

getal

Digitale schakelingen verrichten logische bewerkingen op"bitcombinaties. Dat is het enige wat zij kunnen. Wanneer we een lógischè schakeli~g willen ontwerpen voor het verrichten van rekenkundige bewerkingen op verzamelingen getallen, dan moeten we deze getallen eerst afbeelden op bitcombinaties. Zo'n afbeelding noemen we een representatie. Vervolgens moeten er logische bewerkingen gedefinieerd worden op de bitcombinaties en wel zodanig dat de resulterende bitcombinatie gelijk is aan de bitcombinatie'waarop het resultaat van de corresponderende rekenkundige bewerking zou zijn afgebeeld. Aldus kunnen we uit de resulterende bitcombinatie weer het reJiénkundig resultaat afleiden.

Wanneer men eigenschappen van

getallenrepresentatiesoverzicht~lijk

wil formuieren, is het 'handig formules op te stellen. Deze geven de eigenschappeI! in een soort van stenografie weer. Formules waarin bitcoinbinaties voorkomen zijn zelden overzichte-lijk en daarom niet gemakkeoverzichte-lijk te hanteren. We streven er dan ook naar om voor bitcombinap,es in formules bijvoorbeeld getallen te noteren, maar wel bij voorkeur zodanig dat de eigenschappen die zijn beschreven in formules met bitcombinaties, ' beter zichtbaar zijn in formules met de vervangende getallen.

Nt! bestaat er een één-éénduidige (bijectieve) afbeelding van combinaties van n bits op de niet-negatieve gehele getallen (natuurlijke getallen) 0 tot en met 2n - 1, namelijk die

welke volgt uit het binaire talstelsel. De bit,combinatie

correspondeert dan met het niet-negatieve gehele getal m, dat bepaald is door

n-I n-2 ' I 0'

m

=

an_12 + an_22 + ... + al2 + ao2

Uit m

is

direct de bitcombinatie afte leiden en omgekeerd. Men kan daarom stellen dat het getal m de i:Jitcombinatie representeert.

18 Digitale Techniek

Gehele getallen g E Z zijn op verschillende manieren voor te stellen door bitcombi-naties. Een ervan is de teken~en-modulus representatie, welke is gedefinieerd in (1.3) en (l.4). De hierna te introduceren two's complement en one's complement representaties (1.18 tot en met 1.19 en 1.71 tot en met 1.72) zijn twee andere. Deze representaties zijn in feite afspraken omtrent de afbeelding van (een deelverzameling van de) gehele getallen op een verzameling bitcombinaties (bit strings) van lengte n. Met zo'n 'afbeelding correspondeert een afbeelding R van de gegeven verzameling gehele getallen g E 7L op niet-negatieve gehele ge!allen m E Z+, waarbij het getal m

verkregen wordt door interpretatie van de met het getal g corresponderendebitcombi-natie an-1an-2 ... a1ao en wel volgens de regels van het binaire talstelsel. Met andere woorden,

(1.9) Hie'rin staat 'repr' voor een aanduiding van de gegeven voorstellingswijze, bijvoorbeeld

Rw:

representatie gebaseerd op de afspraken volgens teken-en-modulus R2: representatie gebaseerd op het two's complement

Een en ander leidt tot defmitie 1.1.

Definitie 1.1

Is R_{repr een bepaalde representatie van een deelve'rzamelirig gehele getallen guit} Z

door een verzameling bitcombinaties van lengte n,

dan is de representant Rrepr(g) van g het niet-negatieve gehele getal, dat correspondeert

met de aan g tOegekende bitcombin,atie ,volgens '

Rrepr(g)

=

an-1an-2 ... a1 aO BIN

2n-1 2~-2 21 20 =

a

n-1

+

a

n-2

+ ... +

al

+

ao

(1.9.a)

o

De representant Rrepr(g) van een geheel getal g wordt gewoonlijk in het decimale talstelsel weergegeven. Elk ander talstelsel is in principe toegestaan. Wanneer dit voor

, de context noodzakelijk ot gewenst is, dan wordt een aanduiding van het talstelsel in de representant Rre,pr(g) opgenomen, bijvoorbeeld

Rrepr,DEdg) (1.10.a)

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel 19

Rrepr,BIN(g) (1.lO.b)

bij toepassing van het binaire talstelsel. Uiteraard legt Rrepr(g) ondubbelzinning Rrepr,DEdg) en Rrepr,BIN(g) vast, en omgekeerd. .

Voorbeeld

In de teken-en-modulus representatie. (1.3) worden de gehele getallen g uit het bereik: (l.4) voorgesteld door

O <_ g <_ 2n-1 - 1 L-'>. _"<OT 0 an-2an-3 ... a _I ao en

waarbij de bits an-2 tot en met

ao

de modulus van g voorstellen, I g I = an-2 2n-2 . + an-3 2n-3 + ... + al 21 +

ao

2

.

0

We kunnen het verband tussen g en de met g corresponderende bitcömbinatie nu ook vastleggen middels het verband tussen g en de representant Rtm(g) en wel volgens

o

~ g ~ 2n-1 - 1 Ç:> Rtm(g) = Igl (1.11.a) _2n-1 + 1 ~ g ~ 0

r>

Rtm(g) = 2n-1 + Igl (1.11.b) Het getal 0 heeft hierbij twee verschillende representanten.

Uit formules (1.11) volgt onmiddellijk de bij g behore~de bitcombinatie (definitie 1.1,

, formule 1.9), zodat nu beknopt is vastgelegd hoe het gehele getal g in de

teken-en-modulus representatie wordt voorgesteld. o

Voorbeeld

Het gehele getal -:-11 kan in de teken-en-modulus representatie op verschillende manieren worden voorgesteld, afhankelijk van het aantal bits van de bitcombinatie.

Bijvoorbeeld:

-11 H 1 1 0 1 1 Ç:> 27

-11 H 10 1 0 1 I Ç:> 43 . (= R6 tm(-11»

-11 Hl 001 0 1 1 Ç:>75 (= Rim(-ll) o

De representant is slechts ondubbelzinnig bepaald indien het aantal bits n van de

bitcombinatie bekeiui is.

Voorbeeld '

In de teken-en-modulus representatie is gegeven Run(g)

=

27. Bij toepassing van vijf bits geldt dan:

20 · Digitale Techniek

Rtrn(g) = 27 H 1 1 0 11 ~ g:;::-l1 Bij toepassing van zes bits daarentegen is:

Rtrn(g) = 27 HOI

Lo

11 ~ g = +27

o

Ui~ deze twee voorbeelden volgt dat vermelding van het aantal bits n van de bitcom-binatie noodzakelijk is. We doen dit met veinielding van n als index bij Rrepr(g): .

Rrm(g) H teken-en:-modulus, n bits

R~(g) H two's complement, n bits

(1.12) (1.13) Bet nut van de introductie van het begrip 'representant' als kortschrift voor de ermee corresponderende bitcombinaties ial

in

het volgende snel bÜjken. ,

1.4.

Geh~le

getallen modulo m

Alvorens het two's en het one's complement te kunnen introduceren zijn ~nkele

wiskundige begrippen nodig.

Definitie 1.2

Is m een natuurlijk getal, dan noemt men twee gehele getallen a en b congruenJ modulo m dan en slechts dan als m een deler is van a - b.. 0 Notatie

We noteren dit als

a = b (mod m) ~ m is een deler van a - b , 0 (1.14)

I In de getallentheorie wordt bewezen dat, als een 'geheel getal a door een natuurlijk getal

m

>

0 gedeeld wordt; a=qm+r

het quotiënt q en de rest r met 0 ~ r < m altijd ondubbelzinnig bepaald zijn (Euclidische algoritme). Dan geldt dè volgende stelling .

. Stelling 1.1

Twee gehele ~etallen a en b zijn dan en slechts dan congruent modulo m als hun resten rl en r2 na deling door m gelijk zijn, met 0 ~ rl; r2 qn.·

Bewijs

Zij

a

= b (mod m), dan is op grond van de definitie a - b = md :::) a = b + md

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel. 21

Daar b = <urn + r2 met 0 $ r2 < m is, volgt hieruit dat a = b + md = m(q2 + d) + r2

Het getal a heeft na deling door m dezelfde rest r2,'

Omgekeerd, als a= qlm + rl en b = q2in + r2 en rl = r2, dan volgt a - b = (ql - q2)m

Dan is m een del~r van a-b, of a=b(modm)

Hiermee is de stelling bewezen. o

Eigenschappen

Voor de congrueruierelatie op de verzameling der gehele getallen Z gelden de volgende eigenschappen:

a=a(modm) (reflexieve eigenschap)

a = b (mod m) =:) b = a (mod m) (synunetrie eigenschap)

a = b (mod m), b = c (mod m) =:) a = c (mbd m) (transitieve eige~hap)

Op grond hiervan is de congruentierelatie ëen zogenaamde equivaleritierelatie. Hiervan is bekend (hoofdstuk 5) dat deze. de verzameling der gehele getallen in een m-tal disjuncte equivalentieklassen verdeelt, ook wel congrue,,:tiek.lassen of restklassen genaamd. Twee gehele getallen met dezelfde rest 0 $ r < m na deling door m liggen in dezelfde restklasse, gekenmerkt door r:

[r] = {g I g = km + r met k geh~l} (1.16) (Uiteraard kan een klasse ook door elk van zijn anoere elementen worden aangeduid.)

Voorbeeld

De verzameling der gehele getallen wordt modulo 7 in zeven restklassen verdeeld:

[0]

= { ... ,

-21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, ... } [1]

= {

...

,

-20, -13, -6, 1,8, 15, 22, ... }

[6] = { ... , -15, -8, -1, 6, 13, 20, 27, ... }

o

, .v

22 Digitale Techniek

In het hierna te introduceren two' s complement wordt 'modulo 2°' gerekend, dat wil zeggen dat als een resultaat groter dan of gelijk aan 2° wordt, hiervoor in de plaats de .• 'rest modulo 2°' genomen wordt, welke rest dan altijd ligt tussen 0 S r < 2°. Bij een

eventueel negatief resultaat wordt er zoveel keer 2° bij opgeteld totdat het resultaat weer tussen 0 en 2° - 1 ligt, beide grenzen inbegrepen.,

In het eveneens te introduceren one' s complement wordt modulo 2° - 1 gerekend. De

namen two's en one's complement zijn verwarrend, beter zou het zijn te spreken van '2° complement' en '2° - 1 ·complement'. Men doet dit echter niet. I

Voorbeelden

-3

(mod 24) ==

-

13}

.

.

5 (mod 24)

=

5 met 0 S r ~ 24 . 23 (mod 24) = 7 o

Notatie

Wanneer we in het vervolg schrijven

(rekenkundige expressie) (mod m) (1.17)

. .

dan dient dit vervangen te worden door de rest rna deling door m van het na evaluatie .

verkregen resultaat van de expressie, waarbij deze rest r tussen 0 S r <; m ligt. Staat de toevoeging (mod m) bij de linker of de rechter expressie in een gelijkheid, dan heeft de toèvoeging (mod m) uitsluitend betrekking op die helft van de gelijkheid, tenzij (mod

m) bij beide helften vermeld is. 0

.

1.5~

De two's complement representatie

We introduceren nu het two's complement. Na de introductie van deze repr:esentatie en enkele eigenschappen ervan wordt het bewijs voor de correctheid van het algoritme voor optellèn/aftrekken afgeleid. Een en ander op formeel-wiskundig niveau. Vervol-gens zetten we de afgeleide formules en 'conclusies om in een logische specificatie voor de te ontwerpen schakeling. De laatste stap is d~ afbeelding van deze specificatie in hardware. Bij het schrijven van software zal deze laatste stap anders zijn, de vooraf-gaande echter niet. Hieruit blijkt het voordeel van een strakke, top-down gerichte aanpak. We besteden verder aandacht aan het vaststellen van de randvoorwaarden, waaronder algoritmes en schakelingen nog juist correct werken. _{; ,}

Definitie 1.3

In het two' s complemerlt worden de gehele getallen g tussen

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel 23

voorgesteld door

R~(g)

=

g (mod 2n) (afbeelding R~) Uit afspraak (1.17) volgt dan dat R~(g) altijd tussen

o

~ R~(g)·~ 2n - 1 (bereik van R~(g»

ligt. De index n geeft het aantal bits van de binaire representanten aan.

Toelichting

(1.19)

(1.20)

o

Voor de niet-negatieve gehele getallen g van het two's complement bereik.(1.l8),

o

~ g ~ 2n-l_l

geldt op grond van de afspraak (1.17):

o

~ g :5 2n-l - 1 <=> g (mod 2n)

=

g Uit de defInitie van het two 's complement volgt dan:

I

0

~

g :5 2n-l - 1 <=>

R~(g)

= g<=>O

~ R~(g) ~

2n-l - 11 (1.21.a) Voor niet-negatieve gehele getallen is de representant J(lig) van het getal g gelijk aan het getal g zelf. De representant heé/t dan hetzelfde bereik als g ..

Bij toepassing van n == 4 ,volgt hieruit de linkerhelf( van tabel 1:1. Hierin zijn de decimale en de binaire representanten aangegeven, welke (1.9) corresponderen met

R~(g). (Voor niet-negatieve gehele getallen komen de two's complement represen-tanten overeen met die volgens het binaire talstelsel en ook met die volgens de teken-en-modulus representatie.)

Voor de negatieve gehele getallen uit het bereik (1.l8), de getallen _2n-l:5 g:5-1

geldt op grond van afspraak (1.17): g,(mod 2n)

=

2n

+

g

Voor de negatieve getallen in het two 's complement geldt daarom

(1.21.b) In het two' s complement worden negatieve gehele getallen g voorgesteld doof een representant J(li g) die 2n groter is dan gzelf.

24 Digitale Tèchniek

g R1(g) g R1(g)

DEC R1,DEdg) R1,BIN(g) DEC RtDEdg) R1,BIN(g)

0 0 0000 1 1 0001 -1 15 1 11 1

:2

2 0010 -2 14 1 1 10 ' 3 3 0011 -3 13 1 101 4 4 0100 :.. -4 12 1100 5 5 0101 -5 11 1011 6 6 0110 -6 10 1010· 7 7 01 1 1 . '(a) -7 9 100 1

-8

8

1000 (b) Tabel 1.1. Two 's complement representatie bij vier bits.

Voor n

=

4 volgt dan de rechterhelft van tabel 1.1. (Deze voorstellingen wijken wel af

van die in teken-eD.-modulus.) 0

Figuur l.I. geeft aan hoe in het. two' s complement de gehele getallen g tussen _2n-1 ~ g ~ 2n-1 - -1

worden afgebeeld.

Het tekenbit

Uit formules (1.21.a) en (1.21.b) volgt:

o

~ g ~ 2n-l_ 1 Ç:) 0 ~ R~(g) ~ 2n-1 - 1

_2n-1 $ g ~ -1 Ç:) 2n-1 ~ R~(g) $ 2n - 1

\

yeven we R~g) en deze grenzen in het binair~ taf stelsel aan, dan vinden we: .

0$ g $ 2n-1 - 1 Ç:) 0 0 A" 0 OBIN ~ R~.BIN(g) ~ 0 1 : .. 1 lBIN' (1.22.a) _2n-1 ~ g ~ -1 Ç:) 1 0 ... Ö OBIN ~ R~.BIN(g) ~ 11 ... 1 lBIN (1,22.b)

Het linkerbit an-l van de representant in het binaire talstelsel is altijd 0 voor niet-negatieve gehele getallen en 1 voor niet-negatieve gehele getallen. Voor de hiermee corres-ponderende bitcombinaties geldt dan:

' I

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel 25 .--'--_ _ _ _ _ 2"-1 ~ 9 ~ 2 "-1 -1 _ _ _ _ -. bereik twp's complement . '_2"-1 _2"-1 + 1 -2' -1 0 +1 +2"-1_1 -

-.--_e__---, _

_{• •}

_•

__.o--_-_---_. ---

_•

_•

_•

-

--I

.... !afbeelding

.,

9 -7 g(mod2") gehele getallen il

,

.

'"

Rj(g) = 9

o

1 2"-1 -1 2"-1 + 1 2" 2 2" 1 Representanten R~(g) •• __ ~_--_.-_. _ _ .. ....,.... _ . - - - _ - . _ ... ~ _ ~_ Bereik representanten lafbeelding

t

RzBuJg) -7 a "-1--.ao

2"~1-2 2"-1 gehele getaIIe nil +

l . . -_ _ _ _ _ 0 S ~(g) S 2 "_1___,_----,---'

bitcombinaties

Figuur 1.1. Afbeelding volgens het two's complement.

o

~ g ~ 2n-l, - 1 (=:> an-l = 0

_2n-l ~ g ~ -1 (=:> an-l = 1

(1.23.a) (1.23.b)

. \

Het linkerbit an~1 mag daarom' geïnterpreteerd worden' als tekenbit. Het is echter een.

normaal bit van de two's complement representant, dat in de nog te beschrijven

proc~ures niet anders verwerkt gaat worden dan de overige bits. '

Asymmetrie in het bereik

Het bereik van de in het two's complement voor te stellen getallen is asymmetrisch. Het negatieve getal-2n":l heeft geen positieve tegenhanger. Op grond hiervan kan

. bijvoorbeeld bij n = 4 het tegengestelde. van -8, te weten het getal +8, niet worden voorgesteld. Bij het bepalen van de representant van het tegengestelde van een getal moet hierop altijd getest worden.

Men zou daarom kunnen besluiten het two' s complement te definiëren op het bereik

_20-1 + 1 ~ g ~ 2n-l - 1

Dit heeft echter weer andere nadelen, o.nder andere bij de detectie van capaciteits~ overschrijding (zie hierna) .

. . Tegenover het ongemak van een asymmetrisch bereik staat het voordeel dat het two's.

26 Digitale Techniek

R~(O)

=

0 H 0

a ...

0 0

De test of een resultaat 0 is verloopt daarom gemakkelijker dan bij de representatie volgens teken-en-modulus.

Notatie met

.

Igl

Bij onder andere de conversie van teken-en-modulus naar het two 's complement is de vorm (1.24) van de formules (1.21) handig.

o

:5 g :5 2n-1 - 1 <=> g

=

Igl <=> R~(g)

=

Igl _2n-l :5 g :5 -1 <=> g

=

-Igl <=> R~(g)

=

2n _lgl

(1.24.a) (1.24.b)

Deze vorm volgt direct uit (1.21) door g te vervangen door

±

Igl. Zie verder paragraaf l.9.

1.6. De optelling in het two's complement

Optellen

en

aftrekken

In de verzameling Z der g;ehele getallen zijn de bewerkingen 'optellen 'en 'aftrekken'

gedefmieerd. Volgens de rekenkunde kan de aftrekking in de verzameling der gehele

. getallen worden teruggebracht tot de optelling van het 'tegengestelde' van het af te

trekk~n getal. Aldus behoeft geen aparte aftrekking te worden gedefinieerd. We voigen

deze strategie ook bij het two 's complement. Hierin wordt een aftrekking altijq teruggebracht tot een optelling van de 'representant van het tegengestelde'. Een aparte aftrekker is dan niet nodig. Als gevolg hiervan moet wel uitgezocht worden hoe de representant van het tegengestelde van g, R~(-g), uit de representant R~(g) van g bepaald kan worden. Voorlopig beperken we ons tot de optelling. Zie verder paragraaf

1.8.

Capaciteitsoverschrijding

Het bereik van de in het two's complement vóor te stellen getallen is beperkt (1.18) en wel afhankelijk van n. Als gevolg hiervan kan bij de optelling capaciteitsoverschrijding

optreden. Capaciteitsoverschrijding treedt dan en slechts dan op als bij de optelling van . twee gehele getallen gl en g2,

_2n-1 :5 gl; g2 S 2n-1 - 1

de som tussen

2

n-1 :5 gl + g2:5 2n - 2 . (gl en g2 positief) (1.25.a) ligt of tussen

f,

Optel/enen aftrekken in het binaire talstelsel 27

bereik gl; g2 _2"-1 < 9 . 9 < 2"-1 -1

r - - 1. 2- - '.

_2"

I I ,-' _ _ _ : - ; -_ _ - - - '

capaciteits- som binnen· overschrijding het bereik

2"-1 -1 2" -2 71. I I capaciteits-overschrijding '---2"Sgl+g2 S2"-2---' bereik 91 + 92

Figuur 1.2. Bereik van de som g, + g2'

Ligt de som van gl en g2 tussen _2n-l ~ gl

+

g2 ~ 2n-l - 1

dan treedt geen capaciteitsoverschrijding op. Zie ook figuUr 1.2.

(1.25.b)

(1.25.c)

Bij getallen met tegengesteld teken ligt gl + g2 nooit buiten het toegestane bereik. limners met

ligt hun som gl + g2 tussen

_2n-l ~.gl + g2 ~ 2n-l - 2 (tekens gl en g2 verschillend) (1.26)

h~tgeen binnen de grenzen van (1.18) blijft.

.

De optelformule

In deze paragraaf leiden we de formule af voor de optelling in het two 's complement, uitgedrukt in een betrekking tussen de representant van de som enerzijds en de representanten van de op te tellen getallen anderzijds. Tevens leiden we criteria af voor "de detectie van capaciteitsoverschrijding. De vertaling naar logische bewerkingen op de bitcombinaties volgt in paragraaf 1.7. Figuur 1.3 beschrijft het schema volgens welk we een en ander zullen afleiden.

De volgende stelling legt het verband tussen de representant van de som R~(gl + g2) enerzijds en de som ~an de representanten R~gl) en R~(g2) anderzijds.

28 Digitale Techniek

(

Gehelegetallen:"2n-1 S g S 20-1_1

Rekenkundig: optelalgoritme bekend

I

Afbeelding: g ~ g .(mod 2n)

-} (two's cpmplement) .

Niet-negatieve g~hele getallen

o

S R~(g) S 2n - 1

Optelalgoritme gezocht

I

Afbeelding: R

_211N

(g) ~ R

₂

,bit(g) -} (via proposities)

Bitcombinatiesvan lengte n '

Logische bewerkingen gezocht

Figuur 1.3. Afbeelding volgens het two's complement.

Daarnaast wordt, indièn relevant, een criterium voor de detectie van capaciteitsover-schrijding vastgesteld en uitgedrukt in eisen aan het bereik van de som R~(gl)

+

R~(g2) van de representanten.

Stelling 1.2

Treedt geen capaciteitsoverschrijding op, _2n-l ~ gi + g2 ~ 2n-l - 1

dan geldt:

(1.27) , Capaciteitsoverschrijding treedt op indien gl + g2 niet in het toegestane bereik valt. Dit

kan gedetecteerd worden aan

(1.28.a) voor twee positieve gehele "getallen gl en g2 en aan

o

~ R~(gl) + R~(g2) (mod 2n) ~ 2n-l -

i

(1.28.b) voor twee negatieve gehele getallengl en g2. Dan geldt fOI1l)ule (1.27) niet!

I

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel ,29

Bewijs

Bij het bewijs onderscheiden we vier gevallen, afhankelijk van het teken van gl en van g2·

Gevalt: 0 $ gl ~ 2n-l - 1 en 0 ~ g2 ~ 2n-l - l. Uit het gegeven bereik van gl en g2 volgt dat (1.2l.a):

_,

De som-der-representanten, R~gl) + R~(g2), is:

Als er geen capaciteitsoverschrijdingoptreedt, ligt de som gl + g2 tussen . 0 ~ gl + g2 ~ 2n-l - 1

Dan geldt (1.21.a):

R~(gl + g2) = gl + g2

(l.29)

(l.30)

I Uit (1:29) en (l.30) volgt nu:

R~(gl

+

g2)

=

R~(gl)

+

R~(g2) (l.31)

Bij niet-negatieve gehele getallen gj en g2 is, wanneer er geen capaciteitsoverschrij-ding optreedt, de representant-van-de-som gelijk aan de som-van-de-répresentanten. Er treedt dan en slechts dancapaciteitsoverschrijding op als (l.25.a)

2n-l ~ gl + g2 ~ 2n.:... 2 (1.32)

De som.van gl + g2 kan dan (met n bits) niet worden voorgesteld. Formule (l.30) en dus ook formule (l.31) gelden dan niet meer. Omdat (1.29) echter nog steeds geldt, onafhankelijk van een eventuele capaciteitsoverschrijding; volgt uit (1.29) en (l.32):

, I ,

capaciteitsoverschrijding ~ 2n-l ~ R~(gl) + R~(gz) ~ 2n - 2' (l.33) .

Formule (1.33) legt het verband tussen capaciteitsoverschrijding en het bereik van de som-van-de-representanten. Hiermee is een criterium'voor het vaststellen van capa-citeitsoverschrijding bekend.

Opmerking

Bij het

gegev~~

bereik van gl en g2ligt volgens (l.29) de som-van-de-representanten tussen'

32 Digitale Techniek R~(gr+ g2) = 2n + gl + g2

=

,R~(gl) + R~(g2) Aangezien nu nl ' -2 - ~ gl + g2 ~ -1 is, geldt (1.21.b): 2n-l ~ R~(gl +gz) ~ 2n - 1 zodat (1.43.b) Ook hier is de toevoeging 'mod 2n, overbodig, maar wel toegestaan.

Met (l.31.a), (l.38);.(l.43.a) e.n (l.43.b) is de stelling voor alle gevallen aangetoond .

. Fo~le (1.27) beschrijft"de optelling in het /Wo' scomPlement.

Tevens zijn met (l33.a) en (l.40) de'criteria voor detectie van capaciteitsover-schrijding vastgesteld. Daarbij dient te worden opgemerkt dat deze criteria vooralsnog

afhankelijk zijn van de waarde van de getallen gl en g2 zelf. De cri terig voor positieve

en voor negatieve getallen zijn verschillend. 0

Voorbeeld

Met n

=

5 rekent het two's complement m<?dulo 32. Het getalbereik is dan _25-1 ~ gl; g2; gl + g2 ~ 25-1_,1

-16 ~ gl; g2; gl + g2 ~ 15.

Tellen we met n

=

5 de representanten van +7 en -13 op, modulo 32, dan vinden we: +7' H R~(+7) == 7 ~ 7 . -13 H R~(-13) = 25:"'13 = 19 ~ 19 V Eveneens is R~(gl

+

g2)

=

R~(7

+

(-13))

=

Rk-6) . =25-6 =26 i~ (mod 32) = 26

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel 33

Voorbeeld

'Met n = 5 is ,de som van -13 en -8 niet voor te stellen. Tellen we de representanten tOCh op, dan vinden we

. 5 ' 5

-13 H R2(-13)

=

2 - 13

=

19 ~ 19

-8 H R~(-8) = 25 - 8 =,24 --+ 24 +

43 (mod 32)

=

11

Het gevonden resultaat, + 11, is de representant R~ + 11) en niet de representant van de som van-13 en-8.

Tevens constateren we dat

+

11, de som van de representanten, in het volgens (l.28.b) voor negatieve getallen verboçlen bereik ligt:

o OPiDerking

De two' s complement representatie houdt niet noodzakelijk in dat er binair gerepresenteerd en gerekend mpet worden! In,principe kan in elk talstelsel in het two' s complement gerekend worden. Binair, zo zal blijken, is de implementatie ervan in een

. digitale schakeling echter gemakkelijk. 0

1.7.

De binaire uitvo

.

ering van de two's complement

.

optelling

De optelling in het two's complement is gebaseerd op (1.27): R~(gl + gÛ = R~(gl) + R~(g2) (mod 20)

met als voorwaarde dat geen capaciteitsoverschrijding optreedt We gaan nu de binaire

uitv~ring van de two's complement optelling na. Zie ook figUl,lf 1.4.

In fi~ur 1.4 onderscheiden we drie ontwerpniveaus,

- gehele getallen g met bereik ~20-1 ~ g ~ 20-1_ 1;

representanten R~(g) = ,g (mod 20), waarbij de representantt(fi liggen tussen

o

~ R~(g) ~ 20 _ 1;

- bitcombinaties ao-lan-2 ... alaO van n bits.

Om op het.onderste niveau. te geraken beeldèn we de representanten R~(g) via pro-posities af op bitcqmbinaties. Elk bit heeft daarbij een logische waarde,'O (F) of 1 (T).

Om deze afbeelding via proposities mogelijk te maken, drukken we de representanten

R~(g) eerst uit in het binaire talstelsel, R~.inN(g). De interp~etatieregels,:an het binaire .

talstelsel bepalen dit verband ondubbelzinning.

34 Digitale Techniek

,/ ." _

.. Z- :- - -- - --... "'''.

, 9 • som gl + g2 I

\. 1-

2.2 -

~I ~,+ • g2 " 'j~ --~ .... J ""'- ... _ I I _ ... 'I , .. -I.

,

.

\

1

1 Gehele getallen -2"-1:5; g:5; 2<>-1_1 Rekenkundig: optelalgoritme bekend

~ Afbeelding: 9 -+ 9 (mod 2")

Niet-negatieve gehele getallen

o

:5; R~(g) :5; 2"-1

R~(gl + g2)

=

R~(gl) + R~(g2) (mod 2") R~.BN(gl + g2)

=

R~.Btigl) + R~.BN(g2) (mod 2")

I

Afbeelding via propostities,

y

o.a.'bita/b;lSivanR~.BNis1'

Bitcombina ties R~.bit(g), lengte n Logische bewerkingen gezocht

Figuur _{. ,} 1.4. Afbeeldingen volgens het two's complement. _.

In het binaire talstelsel is de two' s complement optelling gebaseerd op schema (l.45):

R~.BIN(gl) = an-l an-2 ... al aoBIN R~.BIN(g2)

+

=

bn-I b~-2 ... bI

ho BIN

+

---~~==

(l.45) Van de sombits SnSn-I ... SISO heeft Sn het gewicht 2n en heeft Sn-lSn-2 ...

SISO BIN een bereik tussen 0 en 2n - 1, zodat . .

(1.46) Samen met (1.27),

leidt dit tot

Optel/en en aftrekken in het binaire talstelsel 35

De binaire representant van de som gl + g2, van twee gehele getallen gl

tm

g2 in het two's complement wordt verkregen door de binaire representanten van R'2(gl) en

R1( gz) op te tellen en vervolgens van de verkregen som het sombit Sn uit de binaire opteller weg te laten.

FornlUles (1.27) en (1.47) geven aan hoe de two's complement optelling in het binaire talstelsel verloopt. Met behulp van proposities van de vorm

'bit ai van de representant ~.BIN(g) is 1 '

wordt een en ander vervolgens afgebeeld op het logische niveau. Het ontwerp van de hierbij behorende logische schakeling is uitvoerig toegelicht in de paragrafen 7.2 tot en met 7.4 van qeel 1. Voor de optelling op bitniveau kan met een standaard binaire optelschakeling worden volstaan.

Afspraak

W~ nemen in het vervolg stilzwijgend aan dat de afbeelding va,n R~(g) op bit": combinaties altijd via R~.BIN(g) verloopt. We duiden het beeld op bitniveau,de bitcombinatie an-lan-2 ... alao, dan aan met

waarbij de bits de logische waarde 0 of 1 bezitten.

(Overigens zullen we de subscripts BIN eri bit vaak weglaten·indien uit de cO(ltext blijkt op welk ontwell'niveau we bezig zijn.)

Capaciteitsoverschrijding

Bij positieve gehele getallen gl en g2 treedt capaciteitsoverschrijding op indien (1.25.a)

hetgeen aan ~et bereik van de som-van-de-representanten gedetecteerd kan worden als

·(1.28.a):.

capaciteitsoverschrijding Ç::> 2n-1 ~ R3(gl) + R3(g2) (mod 2n) ~ 2n - 2 Geven we dit in het binaire talstelsel aan, met n bits, dan wordt (1.28.a):

(1.48)

Conclusie

Treedt bij de optelling van de binaire representanten van niet~negatieve gehele getallen capaciteitsoverschrijding op, dan is het sombit Sn-l

=

1. Zonder capaciteitsoverschrij-ding blijft het sombit Sn-l = O. '

36 Digitale Techniek

Bed~nken we verder (1.23) dat bij niet-negatieve getallen gl en g2 de bits an-l en bn-l

van R~,BIN(gl) en R~.BIN(g2) altijd 0 zijn (en bij negatieve getallen altijd 1), dan kan bij'

positieve getallen gl en g2 capaciteitsoverschrijding op het logische niveau vastgesteld worden met de logische formule

capaciteitsoverschrijding ~ Cap(pos) =' _{an-l bn-1} Sn-l = 1 (1.49) Bij negatieve gehele getallen gl en g2 treedt capacit~itsoverschrijding op als (1.28.b):

, capaciteitsoverschrijding ~ 0 ~ R~(gl)

+

R~(g2) (mod 2n) ~ 2n-l - 1 Schrijven we deze grenzen weer in het binaire talstelsel, met n bits, dan vinden we

(1.50) Het sombit Sn-l in schema (l,45) is hierbij altijd O. VeJ'der zijn bij negatieve gehele getallen gl en g2 de bits an-l en bn-l van R~.BIN(gl) en R~.BIN(g2) aitijd 1 (1.23), zodat capaciteitsoverschrijding bij negatieve getallen kan 'worden vastgesteld met de logische formule

capaciteitsoverschrijding ~ Cap(neg) = an-lbn-lSn_l = 1 (1.51) Uit formules (1.49) en (1.51) volgt nu dat, als bij de optelling van de'binaire representanten capaciteitsoverschrijding optreedt, w'e dit op het logische niveau kunnen detecteren aan:

capaciteitsoverschrijding ~ ~ ~Sn-l

+

an-lbn-l~

=

1 (1.52)

Zoals eerder is aangetoond treedt bij de optelling van een positief en een negatief getal geen capaciteitsoverschrijding op. Bij getallen met verschillend teken is aI)-lbn-l = 01

, of an~lbn-l

=

1 O. Formule (1.52) is dan nooit 1. '

Formule (1.52) kan gemakkelijk geïmplementeerd wot:,den. Zie figuur 1.5. ,.. _{& ~1} ~ .... ~ 1 i ndien capaciteitsoverschrijding t--- & -

_,.

. . . I Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel 37

Detectie capaciteitsoverschrijding met C

n #-

C

n-7

. Meestal wordt een ;mdere ltitvoering van de detectie van capaciteitsoverschrijding toegepast. IIi schema (1.53) zijn ten opzichte van schema 1.45 de transportenCn en Cn- 1 toegevoegd.

=

SnSn-l Sn-2 ... SISO BIN

'--'-

Cn Cn-l

(1.53)

R~.BIN(gl) + R~.BIN(g2) (mod 2n) Stelling 1.3

Capaciteitsoverschrijding treedt op als

capaciteitsoverschrijding ~ Cn::;:. Cn-l . (1.54)

~Be~ijs .

. Hèt bewijs kan eenvoudig geleverd worden door alle gevallen na te gaan.

- Bij de optelling van de binaire representanten van twee niet-negatie~e _{, .} gehele getállen _. (an-l

=

hn-l

=

0) treedt capaciteitsoverschrijding op dan en. slechts dan als hèt SOmbi\

Sn~1

=

1 is (de binaire vorm van 1.28.a). Dan volgt uit het schema Cn

=

ben Cn-l = 1, de tran~potten zijn ongelijk bij' capaciteitsoverschrijding. Is er geen capa-citeitsoverschrijding, dan is Cn= _Cn-l = 0, de transporten zijn gelijk.

- ,Bij negatieve gehele getallen is an-I = bn-I = _{1, zodat Cn} = 1 is. Capaciteitsover-schrijding treedt dan en slechts dan op als Sn-I = 0 is. Zie de binaire vorm van (1.28.b). Dit kan alleen als Cn- I = 0 is.

- Bij deoptellirig van een positief en negatief geheel getal is altijd an-I ::;:. brt-I, zodat. een

Cn

~

I

= 0 resulteert in een Cn = 0 en Cn-I =

i

.

in Cn = 1. De transporten zijn altijd gelijk en er treedt nooit capaciteitsoverschrijding op.

Conclusie

Bij capaciteitsoverschrijding is Cit::;:' Cn-I. Vertalen we dit naar het logische niveau, dan volgt:

capaciteitsoverschrijding ~ _{Cn EB Cn-I} = 1 (1.54.a) Figuur 1.6 toont een eenvoudige detectieschakeling, die hierop berust. o

38 Digitale Techniek

Binaire opteller

t

'1' indien capaciteitsoverschrijding

Figuur 1.6. Detectieschakeling voor capaciteitso vers chrijding.

,

Opmerking

De formule (1.54.a)

capaciteitsoverschrljding ~ Cn EB C~l = 1 kan ook langs algebraische weg uit formule (1.52)

capaciteitsoverschrijding ~ an_l bn-1 Sn-l

+

an-lb~-lSn_l

=

1

worden afgeleid, en omgekeerd. Dit gaat als volgt. Voor een fuIl adder gelden de formules

Zie hoofdstuk 7 van deel 1. Substitutie van .

in de formule

en van

ip de formule

leidt in beide gevallen tot dezelfde formule:

Optel/en en aftrekken-in het binaire talstelsel 39 Voorbeelden +3 R1(+3) H 0011 +2 + R1(+2) +H 0010 + +5 R1(+3) + R1(+2) I H 0;0101 RtBIN(+5) ...,.3 R1(-3) H 1 101 -2 +- R1(-2) +H 1110 + -5 --R1(-3) +R1(-2) H - 1!1011' 1--..-RtBIN(-5) -3 R1(-3) H 1 101 +2 + . R1(+2) +H 0010 + -1 R1(-3) + R1(+2) H O! 1 1 1 1 I

--RtBIN(-I) +3 R1(+3) H 0011 -2 + R1(-2) +H 1110 + R1(+3) + R1(~2) I +1 H 11₀₀₀₁ 1 _____ RtBIN(+I) 0 Voorbeeld +3 R1(+3) H 0011 +6 + R1(+6) +H 0110 + +9 R1(+3)

+

R1(+6) H . 011001 1 -R1 BIN(-7)

.

Het antwoord 1 0 01 stelt R₂4•_{BIN(-7) voor}. Dit-komt omdat +9 in het two's complement niet met vier bits kan worden voorgesteld. _{Tevens geldt CnCn- l}

=

0 I,

lIt • ;

40 ,Digitale Techniek Voorbeeld

-3

R~(-3) H 1101

-6

+

R1(-6) +H 1010 +

-9

R1(-3) + R1(-6) I H 1: 0 1 11 --.-R~ BI'N(+7)

Het antwoord 0 1 listelt R~.BIN(+7)voor. Dit komt omdat ook hier

capaciteits-overschrijding is opgetreden: ' '

0 ,

Opmerking'

Indien uit de optelling van twee negatieve ll-:-bit gehele getallen het getal-2n-1 ontstaat, dan wor.dt <llt in de schakeling niet gedetecteerd met '_{Cn EB C~l}

=

1.

Er is geen

mel-'

ding van capaciteitsoversckrijding.

Dir is een belangrijke reden om het getal-2n-l in

het two's complement toe te staan, hoewel het bereik daardoor enigszins asymmetrisch

wordt. o

1.8. Optellen en

aftr~kkèn

in het

'

two#scomplement

In de aimhef van paragraaf 1.6 is gesteld dat in het two 's complement de

aftrekking

teruggebracht kan worden tot <;ie optelling van de representan~ van het

tegengestelde

getal.

Stelling 1.4

Tussen R~(g) en R~-g) bestaat het verband

R~( -g)

=

2n '- R~(g) (mod in) (1.55) (Vanwege de

as~etrie

in

het bereik bestaat

R~(+4n-l)

niet.) ,

Bewijs

Uit de formule (1.21.a) volgtdat voor getallen g die voldoen aan 0< g ~ 2n-l_l

geldt:

R~(g)

=

g , ,i

,Dan geldt voor -g (1.21.b):

Optellen en aftrek~en in het binaire talstelsel 41 Tellen we R~(g) en R~( -g) ,op, dan vinden we

R~(g) + R~( -g) = 2n of

R~( -g) = 2n - R~(g)

Voor de, getallen

g

die voldoen aan _2n-l + 1 ~ g ::; -1 , , geldt (1.2J.b) dat en R~(-g) =-g (1.56)

, Optelling hiervan levert eveneens formule (1.56). Gezien het bereik van R~g) in beide gevallen (1.21.a/b) mogen we (1.56) ook schrijven als

waarmee (1.55) is aangetoond.

Voor g = 0 blijkt formule (1.55) ook op te gaan: R~( -0) = 2n -:-R~( +0) '(mod 2n).

= 2n - 0 (mod2n)

=0

Dit is de representant van 0 in het two's complement.

,Voor g ~ _2n-l kan het tegengestelde getal g = +2n-l niet met n bits in het two's com-plement worden voorgesteld. In voorkomende gevallen moet men dus eerst op , g :t _2n-l testen alvorens de procedure om de ~epresentànt van het tegengestelde te bepalen gestart mag worden.

Wanneer niet getest wordt op,&

'*

-2n-llevert toepassing van formule (1.55) op: R~(+2n-l) = 2n _ 2n-l = 2n-l

Dit is weer de representant van g' = _2n-l.

,

Een schakeling voor het bepalen van m(-g) uit mig)

o

Om het tegengestelde van R~(g) te kunnen bepalen moet R~(g) van 2n wörden afge-trokken: Nu is in het binaire talstelsel de, aftrekking van 2n - 1, Zijnde 1 I ... 1 IBIN, een bijzonder geval:

42 Digitale Techniek

1 1 11 BIN

an-l ao-2 ... al ao

BIN-Alle bits ai van het af te trekken getal veranderen in hun

complement,

aangeduid met

~,.wdat 0 ~ 1 en 1 ~ O. We mogen (1.56) nu ook schrijven als R~(-g) = 2° - R~(g) (mod 2°)

= 2° ~ 1 - R~(g) + 1 (mod 2°) of op binair niveau:

R~.BIN(-g) = CR~.BIN(g) + 1 (mod 2°) (1.57) Het wgenaamde complement CR~ BIN(g) van R~.BIN(g) ontsta~t hierbij uit R~.BIN(~) door alle bits van R'2 BIN(g) te complementeren (inverteren).

. "

Formule (1.57) kaQ gemakkelijk op een logische schakeling. worden afgebeeld. Figuur 1.7 toont het resultaat. De eerste laag EXOR-poorten complementeert de bits, waarna de opteller er de extra 1 bij optelt.

x

)

x=o

a~_l· .. a~ = R~.tit(g)

x=1

a~_l···a~ = R~.bit(-g)

Figuur 1.7. Schakeling voor het bepalen van R9(- g) uit R9(g).

Opmerking

Uit (1.57) volgt ook

R~(-g) =.2° -·1 - (R~(g) - 1)

zodat

Rf,BIN(-g) = CR~.BIN(g)-1

o

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel 43

gegeven schakeling met R~,bit(-2n-l) doet, dan blijkt deze bij conversie (x, = 1) weer

R~,bii(-2n-l) op te leveren: R~,bit(-2n-l ) =10 ... 00 Dan is CRlbit(-2n-l) =01 ... 11 complement 1 + plus 1 Rn _2,bit (2n-l) _{- =10 ... 00 resultaat}

In alle overige gevallen werkt de schakeling correct, ook voor R~,bit(O). Eenvoudig kan worden nagegaan dat

- bij conversie (x = 1) uitsluitend voor R~.bit(-2n-l) de bits an-l en a~_'l (figuur 1.6) beide 1 zijn.

- bij geen conversie (x = 0) de bits an-l en a~-l beide I-zijn wanneer de representant van een negatief getal wordt aangeboden.

Figuur 1.8 toont een eenvoudige detectieschakeling die aangeeft wanneer de conversie niet lukt.

Figuur 1.8. Detectieschakeling.

Met deze laatste conclusie en schakeling zijn we in staat de binaire uitvoe~ing van de optelling/aftrekking in het two' s complement in een logische schakeling om te zetten. Inuners, het is bekend hoe we moeten optellen (1.27) en de aftrekking kan worden omgezet naar de optelling van het tegengestelde (1.57).

Opmerking

De schakeling in figuur 1.7 kan ook

R~(±gl)

+

R~(g2)

bepalen en wel doorR~,bit(g2) op de met 0 aangeduide ingangen van de opteller te -zetten. De detec~eschakeling 1.8 werkt dan echter niet altijd correct. Tevens moet de schakeling dan met een de~ctie voor capaciteitsoverschrijding worden uitgerust. D Opmerking

Indien' uitsluitend R~(g) in R~(.:..g) wordt geconverteerd, dan kan het feit dat

R~(_2n-l)

is aangeboden ook

gedetecte~rd

worden aan

44 Digitale Techniek

Rn 2.bit -(2n-l), . (:::) C n

=

W C n-l = 1 (1.58) Er kaQ dus gebruik gemaakt worden vàn de reeds aanwezige detectieschakèling

(EXOR) voor capaciteitsoverschrijding 0

1.9. De conversie van

±

Igl naar R;(g) en omgekeerd

De gebruikelijke mariier om getallen in rekenschakelingen in te. voeren is door middel van teken-en-modulus, welke representatie in par. 1.1 is geïntroduceerd. Geschiedt ·de interne verwerking in het two's complement~ dan is een

conversie van en naar de

andere representatie noodzakelijk. Gezien het bereik bij gebruik van n bits in teken-en-modulus (1.4),

_2n-l

+

1 ~ g ~ 2n-1 - 1

vergeleken met het bereik van het two's complement (1..18),. _2n-l $ g $ 2n-l - 1

is conversie naar het two's complement altijd mogelijk en van het two's complement uit ook, behalve voor g =_2n-~. Voordit laatste getal moét een detectie/alarm voorzi~n worden.

De conversie van ±

Igl

naar

R';(g)

De conversie naar het iwo's·complement berust voor positieve gehele getallen 1 ~ g $ 2n-'l_ 1 (:::) _{an-l =} 0' (bij teken-en-modulus)

op formule (1.24.a):

1 $ g $·2n-l - 1 ~ R~g) = Igl (1.59.a)

Voor negatieve gehele getallen

_2n-l + 1$ g $ -1 (:::)

á

_n-1 = 1 (bij' teken-en-modulus)

berust de conversie op (1.24.b):

_2n-l

+

1 $ g $ -1 ~ R~(g) = 2n .:....Igl (1.59.b) _{, .} Het getal g = 0' heeft in teken-en-modulus twee representanten, namelijk + 0' en - 0-(0' 0' ... 0' 0' en 1 0' ... 0' 0').

Passen we op +0' (0' 0' ... 0' 0') formule (1.59.a) toe, dan blijkt het antwoord' correct te zijn. Voor -0' (1 0' ... 0' 0') levert formule (1.59.b) het antwoord 2n, een antwoord dat modulo 2n gelijk is aan o'. Zodat we mogen stellen::

Optellen en aftrekken in het binaire talstelsel 45

{

0 $; g $; 2n- 1 - 1

an-l= 0 bij teken-en-modulus

_ R~(g) = Igl (mod 2n) waarbij de toevoeging (m~ 2n) facultatief is en

'{ _2n-l

+

1 $; g$;O an-l = 1 bij teken-en-modulus

-R~(g) = 2n - Igl _ (mod 2n)

In formule (1.60.b) is de toevoeging (mod 2n) noodzakelijk.

(1.60.a)

(1.60.b)

Hiermee ligt de conversie van teken-en-moduJus naar het two' s complement vast. FigUur 1.9 toont een schakeling waàrmee de conversie kan worden uitgevoerd. Hierbij is verondersteld dat Igl op bitniveau met n bits gerepresenteerd wordt. De binaire representant van Igl is gewoonlijk gegeven in n - 1 bits,

Igl = an-2an-3 ... alao BIN

en Igl moet daarom links met een 0 worden uitgebreid:

, ,

De schakeling berust op het feit dat de aftrekking van 2n kan worden teruggebracht tot betbepalen van hetcomplement van de binaire voorstelling van Igl, waarbij vervolgens 1 dient te worden opgeteld.

Opmerking

De linker EXOR-poort is overbodig. Deze poort is opgenomen om te la:ten zien dat er in wezengeen versc~il is tpssen de bewerking in figuUr '1.7 en die in figuur 1.9 (met

dien verstande dat we bij teken-en~modulus ee~st teken en modulus moeten scheiden);

De conversie van

R';(g}

naar

'

±

191

. Wanneer

R~.BIN(g) = ~n-lan-2 ... alaO BIN

D·

het gehele getal g in het two~s complement voorstelt, dan geldt (1.23.a) afhankelijk van het ~it an-l van R~.BiN(g):

,

an-l = 0 ~

o

$; g $; 2n-l - 1

en (1.23.b)

•

46 Digitale Techniek,

I

tekenbit 0 _{I~I in n - 1 bits}

Figuur 1.9. _{Schakeling voor de conversie van Rtm}(± IglJ naar R~(gJ. Samen met (l.24.a/b) leidt dit tot

(:::> Igl ='R~(g) ,

an-l = 1 (:::> R~(g) = 2!1- Igl (:::> Igl = 2n - R~(g)

(1.61.a) (1.61.b) Hoewel formule 1.61.b op zichzelf klopt, moet worden vastgesteld dat de modulus '

van g = _2n-l niet met n bits in de teken-en-modulus representatie kan worden voorgesteld. Laten we g = _2n-l even buiten, beschouwing, dan resulteren formules (1.61) in de schakeling vanfiguur 1.10. Hierin is weer gebruik gemaakt van het feit

, dat aftrekken van 2n kan worden ~eruggebracht tot het bepalen van het complement, vermeerderd met l. (Merk op dat Igl.met n - 1 bits kan worden voorgesteld.)

,In figuur 1.10 wordt Igl gevonden op n bits, waarvan an-l altijd 0 is (g:t _2n-l). Hiervoor in de plaats komt dan het tekenbit an-I van de binaire representant van R~(g).

Het is gemakkelijk na te gaan dat de schakeling niet tot het gewenste resultaat kan

'leiden als g = _2n-l is. Dit komt doordat de Plodulus van _2n-l niet met n - 1 bits is weer te geven. De schakeling geeft dan als antwoord a~_la~_2 ... afat = 1 0 ... 00, welk antwoord als an-la~-2 ... afat = 1 0 ... 00 naar buiten komt. We kunnen dit geval weer detecteren met Cn :t.Cn-i. ImIners, de linker FA kiijgt twee nullen aan~ geboden (an-l Ee an-l = 0) zodat Cn = 0 is. Dan kan an-l uitsluitend 1 zijn als Cn-l = 1 is, met andere woorden a~l = 1 geeft aan dat de 'representant van ~2n-l werd aange-boden.