Twierdzenie o zamianie zmiennych w
R3. Współrzędne walcowe i sferyczne.
1. Podane obszary zapisać za pomocą współrzędnych walcowych:
(i) walec o promieniu r > 0, którego osią jest Oz, ograniczony płaszczyznami z = a, z = b, gdzie a < b;
(ii) stożek ograniczony powierzchnią stożkową z = k√
x2+ y2 oraz płaszczyzną z = a, gdzie k > 0, a > 0;
(iii) bryła ograniczona powierzchnią paraboloidy obrotowej z = a(x2+ y2) i płaszczyzną z = b, gdzie a > 0, b > 0;
(iv) kula o środku w początku układu i promieniu r > 0.
2. Podane obszary zapisać za pomocą współrzędnych sferycznych:
(i) kula o środku w poczatku układu i promieniu r > 0;
(ii) czasza kulista ograniczona powierzchnią sfery x2 + y2 + z2 = r2 i płaszczyzną z = a, gdzie 0 < a < r;
(iii) stożek ograniczony powierzchniami z = k√
x2 + y2, z = a, gdzie k > 0, a > 0;
(iv) kula o środku (r, 0, 0) i promieniu r > 0;
(v) kula o środku (0, r, 0) i promieniu r > 0;
(vi) kula o środku (0, 0, r) i promieniu r > 0;
(vii) górna półkula wydrążona o środku w poczatku układu, promieniu wewnętrznym r1 i prmo- mieniu zewnętrznym r2, gdzie 0 < r1 < r2;
(viii) wycinek kuli o środku w poczatku układu i prmoeniu r ograniczony półpłaszczyznami prze- chodzącymi przez oś Oz i tworzącymi kąty α i β z dodatnią częścią osi Ox, gdzie 0 α < β < 2π oraz r > 0;
(ix) walec ograniczony powierzchniami x2+ y2 = r2, z = 0, z = h, gdzie r, h > 0.
3. Obliczyć całki
U f (x, y, z) dxdydz (wykorzystując współrzedne walcowe), gdzie obszar U jest ograniczony podanymi powoerzchniami:
(i) f (x, y, z) = x2, U : z = 9 − x2, z = 0;
(ii) f (x, y, z) = x2+ y2, U : z = 2√
x2+ y2, z = 8;
(iii) f (x, y, z) = z2, U : z =√
8− x2 − y2, z =√
x2+ y2; (iv) f (x, y, z) = xyz, U : x2+ y2+ z2 = 4;
(v) f (x, y, z) =√
x2+ y2, U : z = x2+ y2, z = 1, z = 4;
(vi) f (x, y, z) = 1, U : z = x2+ y2, z = 4x.
4. Obliczyć całki
U f (x, y, z) dxdydz (wykorzystując współrzedne sferyczne), gdzie obszar U jest ograniczony podanymi powoerzchniami:
(i) f (x, y, z) = z2√
x2+ y2+ z2, U : z =√
4− x2− y2, z = 0;
Arkusz 1
(ii) f (x, y, z) = x2+y12+z2, U : z =√
1− x2− y2, z = 12; (iii) f (x, y, z) = x2+ y2, U : z =√
9− x2− y2, z =√
x2+ y2; (iv) f (x, y, z) = √ 1
x2+y2+z2, U : x2+ y2+ z2 = 4, x2+ y2+ z2 = 16;
(v) f (x, y, z) =√
x2+ y2+ z2, U : x2+ y2+ z2− z = 0;
(vi) f (x, y, z) = xyz, U : x2+ y2+ z2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (I oktant);
(vii) f (x, y, z) = x2+ y2, U : x2 + y2 = 4, z =√
x2+ y2, z = 0.
5. Stosujac twierdzenie o zamianie zmiennych na współrz edne sferyczne lub walcowe, obliczyć nastepuj ace całki:
(i)V √
x2+ y2+ z2dxdydz, gdzie V ⊂R3 ograniczony jest powierzchnia x 2+ y2+ z2 = z, (ii) V √
x2+ y2dxdydz, gdzie V ⊂R3 ograniczony jest powierzchniami: x2+ y2 = z2, z = 1, (iii) V
1− xa22 −yb22 − zc22 dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : xa22 + by22 + zc22 1}, a, b, c = 0, (iv) V z dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈R3 : x2+ y2+ z2 < 1, √
x2 + y2< z}.
Arkusz 2
