• Kartezjańskie, cylindryczne i sferyczne układy  współrzędnych

II.1 Pojęcia podstawowe. Położenie i prędkość

• Pojęcia podstawowe: układ odniesienia, układ  współrzędnych, punkt materialny

• Położenie i tor; ruch i tor

• Kartezjańskie, cylindryczne i sferyczne układy  współrzędnych

•Prędkość jako pochodna położenia

Pojęcia podstawowe

UKŁAD ODNIESIENIA (UO): ciało materialne, względem  którego odbywa się ruch.

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH (UW): twór matematyczny, 

związany z jakimś UO służący do opisu ruchu. Będziemy używać  kartezjańskich, cylindrycznych i biegunowych UW.

PUNKT MATERIALNY: ciało o znikających wymiarach 

obdarzone masą. W niektórych przypadkach ciała sferycznie 

symetryczne mogą być traktowane jako punkty materialne.

Opis ruchu jest inny w różnych UO

Ruch Księżyca w UO Ziemi i UO Słońca

Położenie i tor; ruch i tor

W kartezjańskim UW:

x y z

ˆ ˆ ˆ

r(t) = x(t)e + y(t)e + z(t)e G

W układzie biegunowym:

ˆ r

r(t) = r(t)e ( , , t) φ θ G

Podobnie w układzie cylindrycznym

O

P

r(t) G

x

y z

A

ϑ

ϕ

ˆe _θ

ˆe r

ˆe _φ

r z

ˆ ˆ

r(t) = r(t)e ( , t) φ + z(t)e

G

Ruch i tor

„Ruch” to podanie zależności położenia od  czasu np.

„Tor” to podanie zależności współrzędnych  od innych współrzędnych np. 

r(t) = r cos t 0 ω

G G

2 / 3

x(y) a sin y

b z(y) cy

⎛ ⎞⎟ ⎜

= ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎟

=

Kartezjańskie, cylindryczne i sferyczne układy współrzędnych

Wersory bazy kartezjańskiej mają  ustalony kierunek w przestrzeni.

Kierunki wersorów bazy sferycznej  (ogólnie krzywoliniowej) zmieniają  się zależnie od położenia punktu P  w przestrzeni. Wersory e

i e

leżą w  płaszczyźnie wyznaczonej przez P  i  oś Z, zaś wersor e

jest do niej 

prostopadły.

Zachodzą wzory:

x r sin cos y r sin sin

= θ φ

= θ φ

= θ

x

y z

ˆe x

ˆe y

ˆe z

P ˆe _θ

ˆe r

Pł. XY Pł. (e _z , P)

θ

φ

We współrzędnych 

cylindrycznych zachodzą  następujące związki: 

x r cos y r sin z z

= φ

= φ

=

x

y z

ˆe x

ˆe y

ˆe z

P

ˆe r

ˆe z

Pł. XY Pł. (e _z , P)

φ

r y

ˆe

ˆe _φ

2 2

r = x + y

ˆe

Prędkość jako pochodna położenia

2 2 2

dx dt

dr dy dr ds ˆ

v v t

dt dt ds dt

dz dt

ds dx dy dz

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= = ⎜ ⎟ = =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

i i

r

r dr + _dr

0

ds jest infinitezymalnie małym elementem długości łuku (drogi).

Prędkość jest wektorem stycznym do toru.

ds

Oznaczenie pochodnej czasowej przez kropkę

W mechanice często stosuje się oznaczenie  pochodnej czasowej przez kropkę nad 

różniczkowaną wielkością:

2 2

d a a

d t

d a a

d t

=

=

Składowe prędkości we współrzędnych cylindrycznych

We wsp. cylindrycznych {r, ϕ, z} wersory bazy  zmieniają się od punktu do punktu w czasie  ruchu. Musimy więc je różniczkować.

r z

r r z

r z

r r z z

ˆ ˆ

r re ze

d r dr e ˆ r de ˆ dz e ˆ

dt dt dt dt

ˆ ˆ ˆ

re r e ze

ˆ ˆ ˆ

v e v e v e

φ φ φ

= +

= + + =

= + ϕ + =

= + +

Prędkość radialna

Prędkość transwersalna

Pomiary prędkości

Metody pomiaru prędkości:

• Konwencjonalne: mierzymy drogę przebytą  w (krótkim) czasie.

Pomiar może się opierać na technikach  mechanicznych, elektronicznych itp..

• Wykorzystujemy różne zjawiska fizyczne  wykazujące zależność od prędkości np. 

zjawisko Dopplera (radary policyjne,  prędkość przepływu krwi), zjawisko 

Czerenkowa, jonizację ośrodka przez cząstki