Oi r_.H, ,tł 131.1 ą L ,

ładl ^r

x= (ł;hi^ &

ś,łJ Ę

Oi r_.H, _{,tł 131.1} ^ą L ^,

^|

^ra.Ie,fiL

n.ŁB-

v )J ał lę'|

r"t dńlru ,6n^rta.r,r1 , bo

2J ^2J

Jrt b^1

\r, źĄ

<- ńl

J,ł

Lv'

H _,tn

Ig;)

dor,rrrłrĄ nł),'n3) _,,uL .h?k_

^.d,a^łl

Uy,row&rr'

^,

S",-x ^{U J-4} _3,

oo

h _PŁ*'\ ^C l* rĄry ^{o dnvmt: *}

⁾

-4 l.^ ! ,\

r", i' _ft- ^{,L) ] n}w}

eha,^"łd ^aa4*ż'Tu

J'=

ł ćJ _Ą+VjI

ł W @a/,u,ąl/,;%,

iel,d,oór},alę aaildni,b

'J _{|()r) =} i,h _ft,,

^ęu: )Ż ł _{/r lęl} ^_W.

,ąa- _pdrbŁawŁe ą _ń,*rr,re

uhfuć ^{d" ,r.uał} l łe ^tda./vunL

(bo,Y P

Imię

i

nłzwisko Numer indeksu

Studia stacjonarne, specjalność ... -..

Kolokwium poprar.konre z arralizy funkcjonalnej czerwiec 2a!4

Każde zadańejest ^oceniane w skali od 0 do ⁵ punktów,

1. Spraw&i ć,

@!

w pTue§tłzeni s wszystkich ^ciągów §czbonych ^o wyrazirlch rzeczYwistYch funk- cja

/

^{: s ---ł R} zdefiniowana jako

I(r):§l,

^\*/

_{- HU}

₁₊ ^|€l|=,_l€il

dla

r : ({i)F, €

s, jest poprawnie olaeśloną ^normą,

2.

Niech

s € R. Dlakażdej funkcji.f

^:

R

-+

K ir ^€ nolrreślmy (A"t)@J: _ł@ *s),

^Po_

Wń,zĘ

(i)Ą:BC(n),-+BC(R);

(ii)

Ą

^{jest liniowy}

ⁱ

ograniczony;

(iii) oblicayó normę dla

Ą.

3. Niech

x

będzie zespoloną przestrzenią unitarną. udowodnić, ^że

(x,ń : _Ż$* +

allż

- ^lb -

^{yllz + i,||r}

^{+ iyll' -}

^l,||x

^-

^ty||z)

dla dowolnych nelctoróvr

r,y ę X.

4. Niech

H:Ę.

(i)

Zastosować ortonormŃzację Grama-Seimidta

do

wektoróly ^utr..

:

(1,0, . . . ,0, 1)

i

^u,2

:

(1,2,0,...,0,rt)zH.

{ii) Zlńeźń

wektor z przestrzeni

M

^rozpiętnj na wektorach

ut i

uz najblizej ^{połoŻony wektora}

u: (0,1,1,...

_,1,0).

(iii)

Obliczyć długŃć w przestrzeni

E

nńezionego welłtora.

5,

Niech dana będzie przestrzeń C([0,1]) funkcji

ciągĘch / ^,

[0,1]

-ł ^R.

^OlceŚlamY

^w

^tej

przeŃrzeni nonnę _|| ^. _ll ^wzorem

lllll :

ffitl"-u'll(,)l

dla

/ ^e

C([0, 1l). Wyz,nauyćw tej przestrzeni odległość funkcji

h

^{i gz dta}

^g,(r) :

^,ł2

i

_9z(r)

:

x

- ^!,

^gdzie

^{x €}

^{[0, 1].}

&CI"d ł

|:fi+K ^5e lk(w+utorrn)

(n+)ro- Ę0+)

ł ^dń\ _{tu h..t-)} ^{( ( jat} _Ą{a; y,,*uo,1a* 0

\ (+łrbc(tą)1

\t: ffil@u${^>l = g-l{(x+o|

⁼

V*L ^frg)l z,. (,,,ń,) W'Y,'

^^X1- %^ r'u:-rl\#, lr _ł:, y3:? w ^dta

¹

^{- xt 9}

|nuęrn) ] _f'r!^ol=

!ęćrtr)- _{|t^,*u) l} ^{= i} łi*it,,rl ^źr'L

^.

(*) ł J,Ń ą{"t w ^dk _{$Pu i} ^(t>o

'o.!oa,#i,l{ ^->

-Ił(W) łą!<e

i;)

ll,*n^r^.,,r,l^*Ji

TahJą

3" ^Vęrucc,a1

) ^tl

^Ą'

{[| un*>

lAsf

'l*,, ⁼ U ^{lGf)r-l' -;?'}

e. l-.

tł) _Norrmn,

(r,,,lP*,^1 ,ao Sę ńrł"dd

\< c. ll ł{luc,ą) l

f{r*5;1 = *? _{lf co}

_l

3e ^tR

,,ff"tł, [&[l*,,u)

1

ail,.e P!, |,d tr? ufw i,o

= l,

^ll

_{|ll guo)}

rrnłż"ra ,,^4 _łr= ^4" ₎

Ęga ^a

llxt1lll-ll ^y-,1 ll' _{= (} ^xt j ,;t1) ^{/r-!, r} -7) =

= /ll{> f ^{{x, X)}

⁺

^<|), x)t ^<1 ,y> - z}t X) -1r, r)- ?y,ł ^-L1,17 ₌

=

^|l

xlle + 4Y>/1 ,x)+ltvtrIl,' - ^{llrllu + 1r,,fi} _{*1y, x) -ll1tlł=}

= ^.71l, y) ł

^

/vl x)

^.

ill _xtut1 lla- u ll x-u'ttrllł= ^U (x*,,$ rrtć1)- t /r-q,x-ć1 )=

_c lylx)-t i ^{(x, dg)t t} /agl X)t ^t /ca ,Cf ^-ć(qtx) -ł. {r;-utx)-; LirJ

_l

x>+

-;"q,a)= r'llxllł1 if, (ylg)-t tilkl,x)ł ć.;., (!,U) _{_C,u*t!* a}

+ *i,I (r,1) ^+i,L(9,x) ł-lLTly,y) ₌ tzxl9>-1łl,x)+ _r

_ll

|tlt ⁺ + _4x rg)- <9, X) ^-,)

^l1

|llL=J(yl.a) ^{- e/ulx).}

&,a}g*

?=1lą( &<Y'9)+ Aavlx)-t

^<yly>- Alv,xD- 'Ą(,ł.{x,y))= ^1x,gvL.

flgrd n

G^-|t)|-, rerP,ł] ^{rm,wf _0-q'} l1,tx)-9r(^)| ₌ mny.{6rlrr-xf ^XErp,l- 'mr; _{{l Ę}

xułote Ą

N;r,r/,,

1(x)- ^?-ov (x,|*t)'

1col=e,(D=|l$[r)=e-5(,l^lłl\-*e_r

btŃrłu*n dle ^{xetP, ł)}

^:

$l(x)= {1r ^,G5) fyr -xtł)

= g5r (-5ro t+x-6)

,ąl[r)--0 e> - ^{o rL*} ł r- 6

fuut _l eĘ'(xZ-xtr)]

⁼

kłOrlJ ⁹

? _ulaiolct ,a

t"ń c,all,t

r,^^!dń

^9"Ą7Ł

* {5' ^{( Ax1)= (5"} (q _{,t +5r-5 +2x-Ą.}

=zJ ^{A=hq - ł'tD <0} - ^b,nĘęg6r, 6

%(o)=Ą, W

¹¹

^3;|zll=L.

5Ęd

łĄhn W

-ml W

H--

_0t^

\tŁ,,u.t= U, _Ąe,',€ł . l ^{u - (0,4t4,,, Ą,0)}

t= (ulQ,,)e'ł (u,el7eł _{= (O} a ^{+ A.o+} 0-0+,,,+Ą-oł o,Ę\err

lnaLt,

]

łt=łć

tVlrŁd4

Oł^rłĄ,Jilui'

^1{

r ^{C We} ą

bł - _tn=(

^{

,or

^,, ,, O

rl)

lllp,|l=@-*n

trn*.

e,-h=@)O,...0l Ł)

:Ót _{L,er: łer=}

,

bł= ux- 1u,,,

0

)cr= [,t,ł,o..,,0,,^) - (" Łonot",t ^n, ń,(?.r0,,,, O,Ł)=

= ^(Ą,x r0,,,,0,^) - ę ^{(?;o t,,)0 ,ń=}

⁽⁴

,1,0,",,0t )- (+ fl..,l r+}

=(4- B*r&)O,..) n- Ę)=H,1,0,,,,,0, ę)

=Wań

bL_ rt

ń=ffi(*, !.lor,)o,+) br--(ł,g,,,,,O,)

₎

6^=G';,;: _,,',,,o,y

) t^**ń'ńalYw ^*,

L.l\

[)

iii) rrqilffi-fu-fu ^{F(mĘJ=

= ,l

n?-Lu+4

⁺

9

-_

Ł

--&, _{G,{@Ń= &}

Imię

i

nazwisko Numer indeksu

Studia stacjonarne, specjdność

Kolokwium popratrkone z analiry funkcjonalnej czerryiec 2Ot4

Każde zadanie jest oceniane w sloli od 0 do 5 punktón,,

1. Dla

r : ((,")Ł,

Q ¹² określalrry funkcję:

ll, ll,

¹²

*

R wzorem:

llrll :^m*i*ru.

\o1 ^{r=1 Z}

Pol<azń, źre _||

,ll jot

poprawnie zdefiniowana i jest _normą, 2. Niech

H :

C(l0,1]). Dla fr.ę

II

^(t

e

_[0, ^1]) określamy operator

trd$): /'"*r(t ^-

^{s)r(s) d,s.}

Pokaz,ń, że

(i)T:H-H;

(ii)

r

^{jest liniowy}

ⁱ

ograniczony;

(iii)

_ll?,||

:

_*.

3.

Niech

H :

12

i

niech ^(e,n) będzie standardową baaą ortonormalną

w tej

przestzreni, tan.

et

:(O,... ,0,1,0,...)

(gdzie 1jۤ,t na /c-tym miejscu)- Niech dalej

M:{trcąg+beg8 : a,be

C}

i

niech.fo

:

(1,

+,*,...).

^{Wyzanczyć wektor}

9 € M taK,że ilocryn

^s|ra|arny

(g,to):0

oraz

llgll:

^1-

4. Niech

H :&2

_z frrnkcją .f ^,

R' x

R2 --ł

n

określoną jako

f

(r,ń :

_ItUt

ł

^xzaz

_{- f,@rr,} ^*

^rzUt)

(i) Sprawdzió, że jest to iloczyn slralarny.

(ii)

zastosować ortonormdizację Gra,ma-schmidta wzg!ędem

tąo

iloczynu slralarnego do wek- torórp (2,0)

i

(0, 1).

(iii) ZLńeźń

wektor

z

przestrzeni

ll

^rozpiętej na rych ^wektorach

najbliźrj

położony wektora u

:

(-7,,4).

5. obliczyć

kąW

wtrójkryie

owierzchołkach

rl(t) : _{a,,ł2(t): t,} ą(t):tw

przestrzeni

Lz(-L,1).

&4!-,__

, ż

hełc'

^lrnl" _i t"t ^ńiaey,,ń n=fn)i, ^{łol*x dn Lu} . ^(*)

ł,

ńa^Ntur"Ą^gĄd,

L+ó|du*

:

?, ^{i-lr.t -} (,ę, @)n

=(t, t)o (ł,lr.l)"

= ń(Łl1 ^{.l o)"* L&)}

Ą 'n§ouę-W Spr,alł&an*,ł,rradfr",arłd

ĄDr-,-lr^,w:

_*o€ilł,

I =o ^(:)

a ^{ĘnF' =0 ^} E,ł" ^|§"l

⁼

o <> _{,Y^..,_,,} ^{l5," l =o}

ń... ^*, łn=0 &§ ^{K3 O}

^,

-twln

i^* rJu&fl!( 2brbń,rvŁ' _xT,llłtlu

: _|Ąl

_|l

_xll

_.

to,) *dy h*Ą ^*,U ęLL

|l

x+3ll ₌ t?,l 3.rŃ

?, e' ^ł-|sJ bUłllłur{r+a/ry

(Ł,..'f ^=_

='G)'"ę,[3,.1ł-

[ ^{, (*l)}

llrrql|. Ż, _{0 'Jłł} ^{ł" kn}

t+gr"larłąDd. _|ĄĄąĄ'.

ąl _Lu

ltnll1.

,rfr1l|r, + rt,#,Ir"l

, l*Ą

o,

( dto- *..(ęn),.i l 3= Cz-),,.i )

-r# _{lęnrlnl =}

,7,| s ^{iltllt,t ilx} ll,. + Ź, k(e"t",ĘJ)

Ń) rtxłi*'?lę t/*1 ^Worrrł * ^{@oł^^ł xe[&} *ż,b{)3n| ^{d XćK ąfikĄ} = W

n r,ł"tul ^{- {xll f t(5tl}

^.

t

tĄłLĄ

Ą ^{T: tt +ll} J ⁿ

⁼

^c(ro,'])

NOry ^xe C(ro, n) . ?"lu,łł,,r,,y, *.e Tx 6

C

(ro,'])

_.

?on.cu.tr

{ ^tO, _{r1 lŁrt Wńakejm}

.łit"#,* ie-

Vrro łdro _Yo.,toe|o

r,]

W,?W ^{Cke^^,{i)} _laanłĄg

lt,-t.l< d- + ^lr*c+ ₎ ^-Trt)

Ńńt11 t>o. ^N/ic.,h ł=Ą(oqd{€dl'{ oil,ą tr,Ęefo,l] _,. lt

^?

,wll-

=l| (rcaTr(t,-s) - cpzrT(ł"-' _x(Ddtl . f lcooli-(t,+)

^_

w|Tt+.-s)llx6tl ó1

<ć

-ł:IsJ*

śĘd

Ę,.,fi Lrt

Ą

I c

l

T

^x [+

) ^'i-*

^[E

^l) l ś

^ll

^*'lcc.o,

,D :€

rd"?, (

q łłnbucrłló,.

T*T _{dtn" dou, .} ^obu} _betor ^{:,x e C(co,tJ) u dorp h rr, K. łoliw^,v,2}

|l

^:

T d*- _fł1) ^{(O =} i ^{cmlT (t-s) ( I x *P!) (s) ds =}

= ( ^{.oI (t} r)(rxc,l*pgĄ 0łĄ =

!'@u,* ^-r) łt )

⁺

^rcł]i-(+ 9r,3G))o{s=

= oĄ

S' * [tft) ^{u\x(r) ols *} _['* ^{ll-(+ *)} _Px ^{C,)oh =}

!= f _{ ⁶²

^IT

^ct-i

^x

^{(s) d* +} _{P \'}

^coa

^{TI(t -s)} ₁₍₎ ^{&\ = Ąl-x tt) +p} _Ęc+)

^,=

(tr^ * _FTz)Ctl

do,ur. łefor|J:

ąrOrł*.1 d,"Ą^, xe ^C(o,11)

^.

'|T^'lu*,,,) :

.l$,,, ^{IT,,(t)l =}

! l..r _§' ^l _-n(t*§)l ^{I r(lll}

Ęto,D

^§

ł

,ory, li ^{co,T-lG.) r(noh} l .

Ęń,,]l

^§

|U

rymób

¹

4\ 'l['J_g,,, ^§" t,

łr^,,i,,ll ^,,n

⁼

= wr _l'l,

1

łt|o,1] { zo}€Ąyl *N=ł

il^l[&,,,f :

"^".@,,., T-u{'* ⁼ "o'L@,,)u

ti.

łtTrll _ccorl]

)1 ^{H'lt xl{ ,(ro,|])}

dln ^dflr, .xeC§0,1]J.

W _{_ 1r spońb} Ą

^_4

' ll _b,,,o ^§'

^t

^*n(tr)I llxll6p,,])A ⁼ lln|ł.,ro,,r)

Tfo,,, ł^n ^{t +)|o[s}

^=-

=

!( ^{s)=ą ł} = llrll h ^'TT|

=f'b;ąl= l}[,",,l'#"fĘtrl'fu = tlr'l/<o,tD

f !*** ^{z -lt xl|,b,r)#}

t| _{e t) rsoób qrdł1}

.,

ne

[t§ = Ąrf ^llTlll' ś *? _.

_.

ltril*ioj ^il*Ętr.fd

A d"sx W ldtn 1cĄ=l w

't

lI

*Jta,,fltc _Eor[ lr§)l ⁼ t ^{a !*}

L r

^fi

^xl\

^'

Crro, r])

3L jr

VUr}rł

llll| ⁼ t*? ^{ll Trll} ₇

nrllcid,o

= ^{/^rf} '' l _§ ^{l uoelrtt *)'}

^,|

łretro ll]

^§

= t§' ^uoTl( ł*-łĄ _l - --

o

llTro U ⁼ "r.f _Ęrąll ^{lTx, [t>l}

⁼

0t^ l

€, T. ł-

: _teiolll .^r l \- coaftr _c ł -§ dĄl -

d,ad,1,

--}

l

]

1d' ^{ge{ ,Ło %= ar,rqrb%, ) o,be a,} *'

3* ^co

^{10 1,}

^10, ft!&;, 0'bi%;;)

h

g

^{l|= tl}

{ź>

a@r)

11 ,fu),O

q,łł _bfu - ^l,

ę> 0.0+ ^L7.0t.,,+ _tg 0 t _{tao* ĘOt,,,t} h.o- łrbrfiOr,--o

e _{{rarhb=o lq} 8

ę' _{)p+ b--o}

W** ^ulŃafl' _{#Yr==l ę ^b=-A*

g,2łĘo'= _l 5aL= l

5ę ^?Ą)+łr| &r}4" łuhźe W

3^= (OrO,, ,,O) 96 )O"... l0, -T _{,O ..}

_.

_{, )}

j^*(Ol0,,,, ^O) -Ę _{rp.,. ro,} €

¹

^{O,-,, )} V*-^ą* ^Łru _-r,ąr*

wr= t

a.-t.;E=tE _v5T

b, rt?

.-7

9.

l,na q

^/

r-(r,

ro\

, 3-(1,,,1r)eLz

'

UJM,,ł*i ilo(W tl,nlnrul1o,,

ł ^{łU, r) żt} o ^V _rep"

,|(x,') = xł'x/ ^- _Ł(*,rr+ x,X,) = 'rł

ⁿ

xł - K,lĄł = !, (,.,?tx"._

= _'r&( (,- ^r)o

⁺

rn,rhr") ż.O VO Vo 27p

f(r,r) Q 6 x=o

(r, ^,r) = O 4)

^ł

txł ^- _Ł ^(r,r2ł ri x)

ę) €, -*. Y ^t

^n,'+

y: -o ęł) X"C0,0),

* ^{(r,Jo *}

_^",Jo)

łx, x"+r|or).

?^

lł _łG-I,Ł)

⁼

t(^-!,)

⁼

=

=o

<-)

&,yJ

f ^łA,

(,'1)r, ł (,,9)r. _ź(

F&ł rl'l7t -ł(l,rrr xlz) f

f{,,u\

va t (,,,t.l)r)

₌

' !,Z,.- łQt2* ł _J

",)=

c'')

K*,1)=

K"J)=K1

X, Wer*,clrt

h,wD;^PĄLU .

{[)x,y)= 0 ^{uh, "} 6*ł.1"- ^{ ((lńu,n 6^)lł

⁼

a _ęG,!,\r

{Ą,ł

^.

Gl

ę) _{rł, *ł} -l\}l:O _<ą

f,r-frz -O

^ \=O Ą l<2-QQ

(Ow,ryńrV, to, r*rtry ^{W, &}

fu,,ilą;,/Ą ,r)

Vo,h slr,

ż,,

Yrł"d

^tł

* ,ćt

^,

r) _{11rłan b,=(t,o)}

|l

l,tll =Ęą-h-) = ^=[Ę-_L

eĄ=hu: ry ^{= Cł,o).}

b^= [o,ł) - +((ort),en) eą=(o,Ą- Kr,ł),(ł,0)) ^€n

⁼

= (0,D-

[n.n ^* Ą,O - Ę@oł,{.ł)] ^(ł,o) :

C _{(O1Ą+ lta (ł,o)= (t2,,t)}

|\

brt|=

=W=[T=2

*,,^w,rą u!tra{ ryW ^{w Vą} lą.,S,slall, _{

e,= b'=

'\ llbrl|

bł

⁼

^{( 1,o)}

Lx= (l'l,D 5Ęd

e

^Yl €,,"'( r(ą -(

^Ą

q,rq _{), j} ^{p) lv} ) _hn,rą

^I

,rilad ^{tR2 *fl. tL ,d.} ł

iń) _/ ^{u --C+, ł)}

TJI ^{adb lr, ĄŁn,Oą] d % płv ,adofi v} lb

1= (rl,rn)eł ⁺ _1ol €)0l

(u.,ę.) r. -.[([ł,Ę);tł,o), ^{(ł,o) = (-+., t \,O -'tl,(} +-o-, ^q,{)) (ł,o ₎₌

, t4 ^{- Ą ,(4 ,o) -- -q,(lro) -- ?a,o1}

4 u ,t,") ^er= ł(c-ł,ł) ^,( ż,,Ę)

^r

2 ,Ę) ⁼

= ?*o"q,ę-|/L(ł ź +,|,^)(q,ą),

= (z-_łn(,ry\ e,,Ą= ę ^{-T)€, T)}

⁼

^{AG (E,,Ę).}

= ^{( t,Ę)}

r ^{(-g,o)*(l ,y)= [-yly)}

Ę ^Fd*vŁ

Er,*-

|ą=0

4

Xwlll- _-1 § G-ł.ot

= t5*

_{1,'/b =}

llrilf

ł= §'

C-,l"o;

-1

rn[=

Ę*t ^{= *tr} =łrr ¹²

n&)= ).1(9-r,lg)=9 w(ł) - r{ęY

_h|p.)e!-

Łl^' = l+1=g )

1

1Qlw} _-!*

ll.ril-:ffi = #=

C=r- ^ffi= Y

Ąd, ^boo, bo

_,

Ą

1(Ą)= Sł(aguat

I

Ęft]a ą/

4

h,

_4n'

^{d-- lffil Z.u,wż}

,?wahtń : ^LfuC-ł, ł) _{t tł,n} , _{ł ,%,} ^LoC-l ,t) h

Il

(ll=

(,*dń'

"

^I

Wvłe ^\,vlożnn_

X.(0

=ł

.ł

rv&,)*

h^,t

ż^u

_fullĄIwll

+

Tot, ^-- Z

^llrłll=

^U& _t3

E ₆

fł

W

⁴ .l

?de ^,a, y 7wlłhł*{ ,,r"rr^dr*'Ę)

?Ą

1q,wż^ J t./ dt

⁼

4

- ^ ^1U,wź

ąd-ffitl

:.) _{4= t §.}

1lwĘ=J7

G h Ę ^J.=-

*[t)=x3(t)-xł(r)-tą 4

4

u(t)- r,k)-Ht)= o-Ą=_4 1ą,wŻ-t

_-|

@ĄG)db !Q+loF=

= _G ^- tt) _{1_,'}

= r^!* ^_

(ą

^_

t) ^§

= łu łl ^+/e- _Ł

=

S,,€-rtrł)d*= Qya-t,-qL: ^{= |a_lrł _ (-rs_/ _l).}

, L-D

-o

ź*l!,- ł

lłory ńiW* Wl*,,,l

^,