(4) Niech F będzie ciałem, charF 6= 2, niech L = F (x2, y2), M = F (x, y)

Zestaw zadań 11: elementy rozdzielcze, rozszerzenia rozdzielcze i pojedyńcze, rozszerzenia normalne.

(1) Pokazać, że jeśli F jest ciałem skończonym, to każdy element algebraiczny nad F jest skończony.

(2) Podać przykład ciała F i elementu algebraicznego nierozdzielczego nad F . (3) Znaleźć element pierwotny rozszerzenia:

(a) Q ⊂ Q(i,√ 2), (b) Q ⊂ Q(√

3,√ 2), (c) Q ⊂ Q(√

3 + i,√ 2 − i), (d) Q ⊂ Q(√³

2,√ 2), (e) Q ⊂ Q(√

3 +√ 2,√

2 + i,√ 3 − i).

(4) Niech F będzie ciałem, charF 6= 2, niech L = F (x², y²), M = F (x, y). Wykazać, że istnieje taki element c ∈ M , że M = L(c).

(5) Niech F będzie ciałem, charF = 2, niech L = F (x², y²), M = F (x, y). Wykazać, że istnieje taki element c ∈ M , że M = L(c).

(6) Dla dowolnej liczby pierwszej p podać przykład rozszerzenia skończonego ciała charakterystyki p nie mającego elementu pierwotnego.

(7) Podać przykład takich elementów algebraicznych a, b nad ciałem Q, aby Q(a + b) 6= Q(a, b).

(8) Podać przykład rozszerzenia skończonego, dla którego istnieje nieskończenie wiele ciał pośrednich.

(9) Niech F ⊂ L. Pokazać, że liczba ciał pośrednich pomiędzy F i L jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy L jest rozszerzeniem pojedynczym F .

(10) Które z następujących rozszerzeń są normalne:

(a) Q ⊂ Q(√ 2), (b) Q ⊂ Q(√³

2), (c) Q ⊂ Q(√⁴

2), (d) Q ⊂ Q(√

2, i), (e) Q ⊂ Q(√³

2, ξ₃), gdzie ξ₃ oznacza pierwiastek pierwotny z jedynki stopnia 3, (f) Q ⊂ Q(√³

2, i), (g) Q ⊂ Q(√

2,√ 3), (h) Q ⊂ Q(√⁴

2, i), (i) Q ⊂ Q(√⁶

3, i), (j) Q ⊂ Q(√⁶

2, i), (k) Q(x²) ⊂ Q(x), (l) Q(x³) ⊂ Q(x), (m) C(x³) ⊂ C(x), (n) C(xⁿ) ⊂ C(x), (o) Z³(x²) ⊂ Z³(x), (p) Z³(x³) ⊂ Z3(x), (q) Z3(x⁴) ⊂ Z3(x)?

(11) Znaleźć najmniejsze rozszerzenie normalne ciała Q zawierające ciało (a) Q(√

2), (b) Q(√³

2), (c) Q(√⁴

2).

(12) Znaleźć najmniejsze ciało zawierające Q(x) będące rozszerzeniem normalnym ciała (a) Q(x³),

1

2

(b) Q(x⁴), (c) Q(xⁿ).

(13) Znaleźć najmniejsze ciało zawierające Z3(x) będące rozszerzeniem normalnym ciała Z3(x⁴).

(14) Udowodnić, że jeżeli ξ_n jest pierwiastkiem pierwotnym z jedynki stopnia n, to Q(ξn) jest rozsze- rzeniem normalnym ciała Q.