Caract´ erisation d’un ensemble g´ en´ eralisant l’ensemble des nombres de Pisot

ACTA ARITHMETICA LXXXVII.2 (1998)

Caract´ erisation d’un ensemble g´ en´ eralisant l’ensemble des nombres de Pisot

par

Toufik Za¨ımi (Riyadh)

1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier alg´ebrique de module > 1 et de polynˆome minimal Irr(θ, K, z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans C le polynˆome σIrr(θ, K, z) poss`ede une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ont ´et´e d´efinis par A. M. Berg´e et J. Martinet [2]. Comme dans [2], on repr´esente un K-nombre de Pisot θ dans l’alg`ebre A = R ^r

× C ^r

, o` u (r ₁ , r ₂ ) d´esigne la signature du corps K, par la suite (θ σ ) σ de ses conjugu´es de module > 1 et on note S K leur ensemble dans A.

D’apr`es le th´eor`eme 1 de [7], l’ensemble S _K est ferm´e dans A seulement lorsque K = Q ou bien K = Q( √

d) o` u d ∈ Z ⁻ . On peut esp´erer obtenir dans A un ensemble ferm´e d’entiers alg´ebriques g´en´eralisant l’ensemble S Q

en rajoutant aux ´el´ements de S _K les points limites suivant la preuve du th´eor`eme 1 de [7] et l’on obtient alors un ensemble Σ K qu’on peut d´efinir comme ´etant l’ensemble des entiers alg´ebriques θ de module > 1 tels que pour tout plongement σ le polynˆome σ Irr(θ, K, z) admet au plus une racine de module > 1 et aucune racine de module 1. L’ensemble Σ K co¨ıncide avec l’ensemble S _K seulement lorsque K = Q ou bien K = Q( √

d) o` u d < 0 et dans ces cas il est ferm´e. On donne ici une caract´erisation de cet ensemble.

2. Les r´ esultats. La caract´erisation suivante de l’ensemble Σ _Q est dˆ ue

`a C. Pisot :

Th´ eor` eme A [4]. Soit θ un nombre complexe de module > 1. Alors θ ∈ Σ Q si et seulement si il existe un nombre complexe non nul λ et une suite (a _n ) _n d’entiers de Q tels que

X

n≥0

(λθ ⁿ − a n ) ² < ∞.

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 11R06.

[141]

142 T. Za¨ımi

Une autre caract´erisation de l’ensemble Σ Q d´emontr´ee par C. Pisot et T. Vijayaraghavan est la suivante :

Th´ eor` eme B [5]. Soit θ un nombre complexe alg´ebrique de module > 1.

Alors θ ∈ Σ _Q si et seulement si il existe un nombre complexe non nul λ et une suite (a n ) n d’entiers de Q tels que

lim n (λθ ⁿ − a _n ) = 0.

Avec les notations pr´ec´edentes et si on repr´esente dans A un ´el´ement θ de Σ K par la suite (θ σ ) σ o` u θ σ est soit la racine de module > 1 du polynˆome σ Irr(θ, K, z) lorsqu’elle existe, soit 0, on obtient alors le r´esultat suivant :

Th´ eor` eme 1. Soit θ ∈ Σ _K ; il existe alors un nombre complexe non nul λ dans K(θ) et une suite (a _n ) _n d’entiers de K tels que

X

σ

X

n≥0

|σλθ ⁿ _σ − σa _n | ² < ∞.

Ce th´eor`eme a ´et´e prouv´e pour l’ensemble S K lorsque le corps K est to- talement r´eel dans [3] et la preuve donn´ee allait dans le sens de l’application de l’algorithme de Schur. On donne ici une preuve simple de ce r´esultat. De la derni`ere in´egalit´e on d´eduit lim n |σλθ ⁿ _σ − σa n | = 0 pour tout σ et par suite le th´eor`eme 1 montre une des implications des th´eor`emes A et B.

R´eciproquement, si d d´esigne le degr´e du corps K sur Q on a alors : Th´ eor` eme 2. (i) Soient d nombres complexes (θ _σ ) _σ tels que |θ _σ | > 1 ou bien θ σ = 0. On suppose l’existence d’une suite (a n ) n d’entiers de K et de d nombres complexes (λ _σ ) _σ tels que Q

σ λ _σ 6= 0 et P

σ∈G

P

n≥0 |λ _σ θ _σ ⁿ − σa _n | ²

< ∞. Alors θ _σ ∈ Σ _σK pour tout plongement σ tel que |θ _σ | > 1.

(ii) Soient d nombres complexes alg´ebriques (θ _σ ) _σ tels que |θ _σ | > 1 ou bien θ σ = 0. On suppose l’existence d’une suite (a n ) n d’entiers de K et de d nombres complexes (λ _σ ) _σ tels que Q

σ λ _σ 6= 0 et lim _n (λ _σ θ _σ ⁿ − σa _n ) = 0 pour tout σ. Alors θ _σ ∈ Σ _σK pour tout plongement σ tel que |θ _σ | > 1.

Le th´eor`eme 2(i) a ´et´e ´egalement prouv´e pour l’ensemble S _K lorsque le corps K est totalement r´eel dans [3].

3. Preuve des th´ eor` emes

Preuve du th´eor`eme 1. Avec les notations pr´ec´edentes, soient Irr(θ, K, z)

= z ^s − u 1 z ^s−1 + u 2 z ^s−2 + . . . + (−1) ^s u s et α 1,σ , α 2,σ , . . . , α s,σ les racines du

polynˆome σ Irr(θ, K, z). Par induction sur les identit´es de Newton : a _k,σ =

(σu ₁ ) a _k−1,σ − (σu ₂ ) a _k−2,σ + . . . + (−1) ^k+1 kσu _k , o` u a _k,σ = α ^k _1,σ + α ^k _2,σ +

. . . + α ^k _s,σ et k ≥ 1, on obtient alors a k,σ = σa k o` u a k = a k,I est un entier

de K, I d´esignant l’identit´e de Gal(K/Q).

G´en´eralisation des nombres de Pisot 143

La s´erie P

n≥0 |σλθ _σ ⁿ − σa n | ² o` u θ σ d´esigne ou bien la racine de module

> 1 du polynˆome σ Irr(θ, K, z) lorsqu’elle existe ou bien 0 et o` u λ = 1, converge alors comme une s´erie g´eom´etrique pour tout σ; d’o` u le r´esultat.

Preuve du th´eor`eme 2. (i) Consid´erons le d´eterminant

∆ _n,σ =        

σa 0 σa 1 . . . σa n

σa ₁ σa ₂ . . . σa _n+1 .. .

σa _n σa _n+1 . . . σa _2n         .

Le d´eveloppement de ∆ n,σ montre que les (∆ n,σ ) σ sont des entiers alg´e- briques conjugu´es sur Q. De mani`ere identique `a la preuve dans [4], on obtient la majoration |∆ _n,σ | < 1 `a partir d’un certain rang N ne d´ependant pas de σ et par suite les (∆ n,σ ) σ sont tous nuls `a partir d’un certain rang.

Le crit`ere de rationalit´e de Kronecker montre alors que la s´erie P

n≥0 σa _n z ⁿ est r´ecurrente pour tout plongement σ. Le lemme de Fatou g´en´eralis´e [1]

montre qu’on peut ´ecrire la s´erie P

n≥0 σa n z ⁿ sous la forme P

σa n z ⁿ = R _σ (z)/Q _σ (z) o` u R <sub>σ</sub> et Q <sub>σ</sub> sont deux polynˆomes `a coefficients entiers de σK, premiers entre eux et tels que Q σ (0) = 1. Soit f σ la fonction d´efinie par

f σ (z) = λ _σ

1 − θ σ z − X

n≥0

σa n z ⁿ = X

n≥0

(λ σ θ _σ ⁿ − σa n )z ⁿ lorsque |θ σ | > 1.

Comme cette fonction a un rayon de convergence au moins ´egal `a 1, le polynˆome Q <sub>σ</sub> admet une seule racine 1/θ <sub>σ</sub> de module < 1 et comme f <sub>σ</sub> est sans pˆole de module 1, les autres racines de Q σ sont de module > 1. Soit P <sub>σ</sub> le polynˆome unitaire `a coefficients entiers de σK d´efini par P _σ (z) = z ^q Q _σ (1/z) o` u q est le degr´e de Q _σ . Si θ _σ = 0 alors les racines de P _σ sont toutes de module < 1 et si |θ σ | > 1 alors θ σ est la seule racine de module

> 1 du polynˆome P _σ , ses autres racines sont de module < 1. Si on note R(z)/Q(z) = P

n≥0 a n z ⁿ alors σR(z) σQ(z) = X

n≥0

σa _n z ⁿ = R _σ (z) Q σ (z) .

Comme les fractions σR/σQ et R _σ /Q _σ sont irr´eductibles on d´eduit que Q _σ divise σQ et σQ divise Q σ . De l’´egalit´e Q σ (0) = σQ(0) = 1 on d´eduit Q _σ (z) = σQ(z), d’o` u le r´esultat.

(ii) Soit Irr(θ _σ , σK, z) = σu ₀ z ^k + σu ₁ z ^k−1 + . . . + σu _k le polynˆome mi- nimal de θ σ sur σK, choisi tel que les (u i ) 0≤i≤k soient des entiers de K. Le polynˆome P d´efini par P (z) = Q

σ σ ⁻¹ Irr(θ _σ , σK, z) o` u σ ⁻¹ Irr(θ σ , σK, z) = u 0 z ^k + u 1 z ^k−1 + . . . + u k ,

est alors `a coefficients entiers de K. De l’´egalit´e σq 0 + σq 1 θ σ + σq 2 θ ² _σ + . . . +

σq _s θ ^s _σ = 0 o` u les (q _i ) _0≤i≤s sont tels que P (z) = q ₀ + q ₁ z + . . . + q _s z ^s , on

144 T. Za¨ımi

d´eduit λ σ

P σq i θ _σ ⁱ⁺ⁿ = 0. Si ε σ,j = λ σ θ ^j _σ − σa j o` u (j, n) ∈ N ² alors X s

i=0

σq i σa i+n = − X s i=0

σq i ε σ,i+n .

De l’hypoth`ese on d´eduit alors l’existence d’un rang N `a partir duquel les entiers alg´ebriques conjugu´es (σ P _s

i=0 q i a i+n ) σ sont tous de module < 1 et donc nuls. La s´erie P

n≥0 σa _n z ⁿ est alors r´ecurrente pour tout plongement σ et la suite de la preuve est identique `a celle du th´eor`eme 2(i).

L’hypoth`ese lim n (λ σ θ <sub>σ</sub> <sup>n</sup> − σa n ) = 0 suffit pour que la fonction f σ d´efinie dans la preuve du th´eor`eme 2(i) soit sans pˆole de module 1.

Remarque. Dans l’espoir d’obtenir des ensembles ferm´es d’entiers alg´e- briques g´en´eralisant l’ensemble S _Q , on peut enlever les points limites de l’ensemble S K suivant la preuve du th´eor`eme 1 de [7] en rajoutant une hypoth`ese du type θ ∈ S _K et K ⊂ Q(θ). Toutefois d’apr`es [6], si K est un corps quadratique contenant une racine de l’unit´e non r´eelle j alors la suite (θ n ) n d´efinie par |θ n | > 1 avec θ n racine du polynˆome z ⁿ (z ² −z−1)+j(z ² −1) est une suite de K-nombres de Pisot qui v´erifie K ⊂ Q(θ _n ) et converge vers le K-nombre de Pisot θ = (1 + √

5)/2 qui lui ne v´erifie pas l’hypoth`ese K ⊂ Q(θ).

Bibliographie

[1] B. B e n z a g h o u, Anneaux de Fatou, S´eminaire Delange–Pisot–Poitou, Th´eorie des nombres, 9-i`eme ann´ee (1968/69), no. 9, 8 p.

[2] A. M. B e r g´e et J. M a r t i n e t, Notions relatives de r´egulateurs et de hauteurs, Acta Arith. 54 (1989), 155–170.

[3] M. J. B e r t i n, K-nombres de Pisot et de Salem, ibid. 68 (1994), 113–131.

[4] C. P i s o t, La r´epartition modulo 1 et les nombres alg´ebriques, Ann. Scuola Norm.

Sup. Pisa 7 (1938), 205–248.

[5] T. V i j a y a r a g h a v a n, On the fractional parts of the powers of a number (II ), Proc.

Cambridge Philos. Soc. 37 (1941), 349–357.

[6] T. Z a¨ım i, Sur les nombres de Pisot relatifs, th`ese de l’universit´e Paris 6, Mai 1994.

[7] —, Sur la fermeture de l’ensemble des K-nombres de Pisot, Acta Arith. 83 (1998), 363–367.

Department of Mathematics King Saud University P.O. Box 2455

Riyadh 11451, Saudi Arabia E-mail: zaimitou@ksu.edu.sa

Re¸cu le 8.12.1997 (3313)