Une version quantitative du th´eor`eme de Lindemann–Weierstrass

LXVII.1 (1994)

Une version quantitative du th´ eor` eme de Lindemann–Weierstrass

par

Mohammed Ably (Lille)

1. Introduction. En 1873, Hermite d´emontre la transcendance de e.

D´eveloppant la m´ethode d’Hermite, Lindemann d´emontre en 1882 la tran- scendance de π et ´enonce un th´eor`eme, contenant les r´esultats pr´ec´edents, dont la d´emonstration a ´et´e compl´et´ee par Weierstrass. Ce th´eor`eme, appel´e th´eor`eme de Lindemann–Weierstrass, est le suivant : Si y

, . . . , y

sont des nombres alg´ebriques lin´eairement ind´ependants sur Q alors e

, . . . , e

sont alg´ebriquement ind´ependants.

Dans l’´etude de l’ind´ependance alg´ebrique, parall`element `a l’aspect qua- litatif, on s’int´eresse `a l’aspect quantitatif des r´esultats. Pour d´ecrire l’ana- logue quantitatif du th´eor`eme pr´ec´edent, on utilise la notion de “mesure d’in- d´ependance alg´ebrique” de e

, . . . , e

; c’est la fonction de H et D d´efinie par Φ(e

, . . . , e

, H, D) = min |P (e

, . . . , e

)|, o` u le minimum est pris sur l’ensemble des polynˆomes non nuls de Z[X

, . . . , X

] de degr´e (total)

≤ D et de hauteur “na¨ıve” ≤ H; la hauteur “na¨ıve” d’un polynˆome de Z[X

, . . . , X

] ´etant le maximum des valeurs absolues de ses coefficients.

En 1932, par la m´ethode de Siegel, K. Mahler [M] obtient une minoration asymptotique (en H) de Φ(e

, . . . , e

, D, H). Il d´emontre, sous les condi- tions du th´eor`eme de Lindemann–Weierstrass, que Φ(e

, . . . , e

, D, H) ≥ H

pour H ≥ H

, H

d´ependant de D, y

, . . . , y

et c = c(y

, . . . , y

)

> 0.

Dans ce r´esultat, la mesure Φ est “presque” optimale; en effet, `a l’aide du principe des tiroirs de Dirichlet, on montre que pour tout n-uplet de nombres complexes θ

, . . . , θ

, il existe D

= D

(θ

, . . . , θ

) > 0 tel que pour tout D, D ≥ D

, et tout H ≥ 1, on ait

Φ(θ

, . . . , θ

, H, D) ≤ H

.

Mais la d´ependance de H

en fonction de D dans le r´esultat de Mahler n’est pas explicite.

[29]

En 1977, Y. Nesterenko [N

] comble cette lacune en utilisant la m´ethode de Siegel sur les E-fonctions; sous les hypoth`eses du th´eor`eme de Lindemann–

Weierstrass, il montre qu’il existe C = C(y

, . . . , y

) > 0 tel que, si l’in´egalit´e (∗) log log H > CD

log(D + 1)

est v´erifi´ee, alors on a

Φ(e

, . . . , e

, D, H) ≥ H

, o` u

c

= 4

([Q(y

, . . . , y

) : Q])

(n([Q(y

, . . . , y

) : Q])

+ [Q(y

, . . . , y

) : Q] + 1).

L’objet de ce texte est de raffiner ce r´esultat; nous d´emontrons le th´eor`eme suivant :

Th´ eor` eme. Soient y

, . . . , y

des nombres alg´ebriques Q-lin´eairement ind´ependants et K = Q(y

, . . . , y

). Alors, il existe C = C(y

, . . . , y

) > 0 tel que pour tout polynˆome P ∈ Z[X

, . . . , X

] non nul, de degr´e ≤ D et de hauteur na¨ıve ≤ H, on ait

log |P (e

, . . . , e

)| ≥ −c

D

(log H + exp(CD

log(D + 1))) o`u

c

= 2

n

(4[K : Q] + n + 1)

([K : Q])

. En particulier, si l’in´egalit´e

(∗∗) log log H > CD

log(D + 1) est v´erifi´ee, alors on a Φ(e

, . . . , e

, D, H) ≥ H

.

La condition (∗∗) est plus faible que la condition (∗) dans le r´esultat de Nesterenko mais la constante c

dans notre r´esultat est moins bonne que la constante c

.

La m´ethode utilis´ee par Nesterenko est la m´ethode de Siegel [S] sur les E-fonctions, alors que la m´ethode que nous utilisons est la m´ethode de Gel’fond. Le d´eveloppement r´ecent de cette m´ethode est bas´e sur des outils g´eom´etrico-alg´ebriques tels que les lemmes de z´eros (cf. [P

], par exemple) et les crit`eres d’ind´ependance alg´ebrique. Le crit`ere le plus g´en´eral est le crit`ere d´emontr´e par P. Philippon dans [P

] grˆace aux techniques de l’´elimination projective introduite par Y. Nesterenko dans [N

] pour l’´etude des nombres transcendants.

Enfin, signalons que dans ce cadre, T. T¨opfer [T] a obtenu r´ecemment,

en utilisant une m´ethode bas´ee sur l’´elimination lin´eaire, un r´esultat moins

fort que le th´eor`eme ci-dessus.

I. Notations et r´ esultats pr´ eliminaires. Pour un polynˆome P `a co- efficients p

, . . . , p

dans un corps de nombres F, on d´esigne par h(P ) la hauteur logarithmique de Weil du point (1, p

, . . . , p

) de P

(F) (cf. [Wa

], p. 19) et par deg P le degr´e total de P .

Si P est `a coefficients entiers rationnels non tous nuls, on a h(P ) = log H(P ), o` u H(P ) est la hauteur na¨ıve de P .

Pour un id´eal I pur de F[X

, . . . , X

] et ω ∈ C

, ht(I), deg I et kIk

d´esignent respectivement la hauteur, degr´e et valeur absolue de I en ω d´efinis via les formes U -´eliminantes associ´ees `a I (cf. [P

]).

Pour d´emontrer des r´esultats qualitatifs d’ind´ependance alg´ebrique de plusieurs nombres, le crit`ere d’ind´ependance alg´ebrique le plus efficace est le crit`ere de P. Philippon (cf. [P

]). La version quantitative de ce crit`ere qui permet d’obtenir des mesures d’ind´ependance alg´ebrique a ´et´e d´emontr´ee par E. M. Jabbouri (cf. [J]). On en d´eduit l’´enonc´e suivant qui permet d’avoir des mesures d’ind´ependance alg´ebrique en codimension un.

Crit` ere. Soient K un corps de nombres et θ = (θ

, . . . , θ

) ∈ C

. Soient 1 ≤ δ, τ, σ et U des nombres r´eels positifs avec σ ≥ 1 et U ≥ 2 max(τ, σ

).

On suppose que pour tout entier S v´erifiant (a) τ /σ

< S ≤ U/σ

,

il existe une famille finie de polynˆomes (Q

)

⊂ K[X

, . . . , X

] telle que :

(b) max

deg Q

≤ δ;

(c) max

h(Q

) + δ(n + 1) log(n + 1) ≤ τ ;

(d) max

|Q

(θ)|/|θ|

≤ exp(−Sσ

) o`u |θ|= max(1, |θ

|, . . . , |θ

|);

(e) les polynˆomes Q

(j = 1, . . . , m(S)) sont sans z´eros communs dans la boule de centre θ et de rayon exp(−Sσ

) de C

.

Alors, pour tout polynˆome P non nul de Z[X

, . . . , X

], de hauteur loga- rithmique h et de degr´e D, satisfaisant

(f) (4[K : Q]+n+1)(27σ)

(hδ

+(τ n+δ(n+1)

log(n+1))Dδ

) ≤ U , on a

log |P (θ

, . . . , θ

)| ≥ −U − nD log 2(n + 1) − n

log |θ| − 2n log(n + 1).

P r e u v e. Remarquons d’abord que la hauteur utilis´ee dans le crit`ere de Jabbouri (cf. [J]) est la hauteur invariante h d´efinie dans [J]. Nous l’avons remplac´e dans l’´enonc´e pr´ec´edent par la hauteur logarithmique absolue h (cela revient `a remplacer, localement en les places archim´ediennes, la mesure de Mahler par la hauteur na¨ıve) en utilisant l’estimation

h(P ) ≤ h(P ) + (log(n + 1)) deg P.

Cela explique les l´eg`eres modifications intervenues dans les propri´et´es (c) et (f) par rapport `a l’´enonc´e original de Jabbouri.

Notons encore θ le point de P

(C) de coordonn´ees (1, θ

, . . . , θ

),

P l’homog´en´eis´e de P dans Z[X

, . . . , X

] et I l’id´eal de Z[X

, . . . , X

] en- gendr´e par

P .

Pour un polynˆome Q ∈ C[X

, . . . , X

], on note H(Q) (resp. M (Q)) la hauteur na¨ıve (resp. la mesure de Mahler de Q). On utilisera les in´egalit´es suivantes :

H(Q)2

≤ M (Q) ≤ H(Q)(n + 1)

.

Soient u

, 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ n, des nouvelles variables; on pose u

= (u

)

(i = 0, . . . , n − 1). Une forme U -´eliminante de

I (cf. [N

], lemme 2) est la forme f de Z[u

, . . . , u

] d´efinie par

f (u

, . . . , u

) =

P (∆

, . . . , ∆

) o` u ∆

est le d´eterminant du cofacteur de X

dans la matrice



 

X

. . . X

u

. . . u

. . . . u

. . . u



  .

On a par d´efinition (cf. [P

], d´efinition 1.14 avec d = 1) deg I = deg f . Comme deg f = n deg P , on a deg I = n deg P. Puisque f ∈Z[u

, . . . , u

], on a ht(I) = log M (f ). Comme

M (f ) ≤ H(f )(n + 1)

et H(f ) ≤ H(P )((n + 1)!)

, on en d´eduit que

ht(I) ≤ log H(P ) + (2n + 1) log(n + 1) deg P.

Soient S

= (s

)

0≤l≤n

(i = 0, . . . , n−1) des matrices antisym´etriques g´en´eriques d’ordre n + 1 (les variables s

(0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n) sont li´ees alg´ebriquement par les seules relations s

= 0 et s

+ s

= 0 si l 6= k).

On note

S

· θ =

 X

k=0

s

θ



0≤l≤n

,

∂

(f )(S

, . . . , S

) le polynˆome de C[S

, . . . , S

] d´efini par

∂

(f )(S

, . . . , S

) = f (S

· θ, . . . , S

· θ) et L

(X

, . . . , X

) la forme lin´eaire d´efinie par L

(X) = P

j=0

X

θ

. D’apr`es la d´efinition 1.15 de [P

],

kIk

=: M (∂

(f ))

M (f )(M (L

))

.

On a

M (∂

(f )) ≤ H(∂

(f ))(n + 1)

≤ H(∂

(f ))(n + 1)

et (cf. [N

], preuve de la proposition 1) on a l’estimation

H(∂

(f )) ≤ |P (θ

, . . . , θ

)|(n + 1)

|θ|

. D’autre part,

M (f ) ≥ H(f )2

≥ 2

≥ 2

et

M (L

) ≥ H(L

)

2 ≥ 1

2 |θ|, d’o` u

kIk

≤ |P (θ

, . . . , θ

)|2

(n + 1)

|θ|

. Les conditions du crit`ere de Jabbouri (cf. [J]) ´etant v´erifi´ees avec k = n − 1, l’id´eal I ´etant de dimension n − 1, d’apr`es ce mˆeme crit`ere on a log kIk

≥ −U . Cette in´egalit´e jointe `a l’in´egalit´e pr´ec´edente entraˆıne le crit`ere pr´ec´edent.

Pour des nombres r´eels c > 0, L ≥ e et 0 < ν < 1, on d´efinit les fonctions positives suivantes :

δ

(L, ν) = c(log L)

, H

(L, ν) = cL(log L)

et r

(L) = cL log L.

On consid`ere, pour toute la suite, y

, . . . , y

, n nombres alg´ebriques Q lin´eairement ind´ependants. Notons K = Q(y

, . . . , y

), θ

= e

(i = 1, . . . , n), θ = (θ

, . . . , θ

), den(y

) le d´enominateur de y

et y

le maximum des valeurs absolues des Q conjugu´es de y

dans C.

La d´emonstration du th´eor`eme est bas´ee sur la proposition principale qui fait l’objet de la section suivante.

II. La proposition principale. L’objet de cette proposition est de con- struire une famille de polynˆomes v´erifiant les conditions du crit`ere pr´ec´edent.

Proposition principale. Il existe un nombre r´eel L

> 0, ne d´epen- dant que de y

, . . . , y

, tel que pour tout L ∈ R, L ≥ L

, et tout ν ∈ R, 0 < ν < 1, v´erifiant les conditions (1), (2) et (3) suivantes :

(1) log log L ≥ 2(n + 7) log 2[K : Q]/ν, (2) (log L)

≥ c

, avec

c

= 2

[K : Q](log max

1≤i≤n

( y

+ 1) + log n + log max

1≤i≤n

(den(y

))) (3) 8[K : Q]ν(log L)

≤ log L/ log log L,

il existe un id´eal I

engendr´e par des polynˆomes G

(1 ≤ j ≤ m

(L, ν))

de K[X

, . . . , X

] satisfaisant les propri´et´es suivantes :

(i) I

n’a pas de z´eros dans la boule de C

de centre θ et de rayon exp(−r

(L)),

(ii) max

1≤j≤m⁰(L,ν)

|G

(θ)| ≤ exp(−r

(L)), (iii) max

1≤j≤m⁰(L,ν)

deg G

≤ δ

(L, ν),

1≤j≤m

max

h(G

) ≤ H

(L, ν), o`u

c

= 2

[K : Q]n et c

= 2

[K : Q] + 2.

Le sch´ema de d´emonstration de cette proposition est une variante du sch´ema classique de d´emonstration de transcendance par la m´ethode de Gel’fond.

La d´emonstration se fait en 3 pas :

1er pas. Construction des “polynˆomes auxiliaires”. Pour h = (h

, . . . , h

)

∈ N

, l = (l

, . . . , l

) ∈ N

, i = (i

, . . . , i

) ∈ N

, P ∈ K[X

, . . . , X

], β ∈ N, γ ∈ N et s ∈ N, on note

h · y = h

y

+ . . . + h

y

, h + l = (h

+ l

, . . . , h

+ l

),

|h| = max

1≤j≤n

|h

|, khk = h

+ . . . + h

, D

P = 1

i

! . . . i

! ∂

. . . ∂

P, M

(Z, X) = Z

X

,

∆

M

(Z, X) =

min(β,s)

X

s⁰=0

 s s



β(β − 1) . . . (β − s

+ 1)γ

Z

X

. Notons que

d

dz

M

(z, e

) = ∆

M

(z, e

).

Enfin, pour Y = (Y

, . . . , Y

), on pose M

(Y ) = ∆

M

 h · y,

Y

Y

 . Comme on a pos´e θ

= e

, on a ´evidemment

M

(θ) = ∆

M

(h · y, e

).

Soit L

= L

(y

, . . . , y

) un nombre r´eel assez grand. Dans la suite, on d´esigne par L un param`etre r´eel ≥ L

, et par M, D et T

des param`etres entiers ≥ e. On pose

ϕ

(L, D, M, T

) = T

(log L + log D + log T

) + L log M + n log nDM + ([K : Q] max

1≤i≤n

h(y

) + log max

1≤i≤n

den(y

) + log 2n)L + log LD, ϕ

(L, D, M, T

) = ϕ

(L, D, M, T

) + (n log(max

i

|θ

| + 1) + n

)DM.

Lemme 1. Si la condition

(C

) LD > 2

[K : Q]T

M

est v´erifi´ee, alors il existe des polynˆomes P

(0 ≤ β < L, 0 ≤ γ < D) non tous nuls de Z[Y ] satisfaisant

deg P

≤ nDM, h(P

) ≤ ϕ

(L, D, M, T

) et tels que les polynˆomes d´efinis par

Q

(Y ) = X

0≤β<L 0≤γ<D

P

(Y )M

(Y )

soient nuls pour tout s ∈ N, 0 ≤ s < T

, et tout h ∈ N

, |h| < M .

P r e u v e. Si |h| ≤ M et γ ≤ D, on a deg M

≤ nDM . En notant m

les coefficients de M

, M

s’´ecrit

M

(Y ) = X

kjk≤nDM

m

Y

.

Pour |h| ≤ M , γ ≤ D, s ≤ T

et kjk ≤ nDM , on v´erifie que log m

≤ T

(log L + log D + log T

) + L(log M + log n + log max

i

|y

|) + log L, o` u m

d´esigne le maximum de valeurs absolues des Q-conjugu´es de m

dans C.

Soient p

, 0 < β ≤ L, 0 ≤ γ < D, i = (i

, . . . , i

), kik ≤ nDM , des nouvelles variables. Notons

P

(Y ) = X

kik≤nDM

p

Y

, Q

(Y ) = X

0≤β<L 0≤γ<D

P

(Y )M

(Y ).

Le syst`eme {Q

= 0 : s ∈ N, 0 ≤ s < T

, h ∈ N

, |h| < M } est ´equivalent au syst`eme lin´eaire, en les inconnues p

et `a coefficients m

, suivant :

(S) X

0≤β<L 0≤γ<D i+j=k

p

m

= 0,

kkk ≤ 2nDM, s ∈ N, 0 ≤ s < T

, h ∈ N

, |h| < M.

Le nombre d’inconnues de (S) est sup´erieur ou ´egal `a (L − 1)D

et le nombre d’´equations de (S) est major´e par T

M

n

.

Notons den(y

) le d´enominateur de y

et δ = max

den(y

). En

multipliant par δ

les deux membres du syst`eme (S), on obtient un syst`eme

(S

) d’´equations lin´eaires homog`enes `a coefficients entiers dans K, ´equivalent

`a (S).

Sous la condition (C

), le lemme de Siegel (cf. [Wa

], lemme 1.3.1) montre qu’il existe des entiers naturels non tous nuls (p

, 0 ≤ β < L, 0 ≤ γ < D, i ∈ N

, kik ≤ nDM ) v´erifiant (S

) et donc (S). En plus, d’apr`es ce lemme, on a

log max

β,γ,i

|p

| ≤ log( √

2LDδ

max

β,γ,s,h,j

m

).

Comme P

(Y ) ∈ Z[Y ], on a h(P

) = log max

|p

|; ces polynˆomes P

(0 ≤ β < L, 0 ≤ γ < D) v´erifient alors le lemme 1.

“Modification” des polynˆomes. Les polynˆomes Q

(0 ≤ s < T

, |h| <

M ) peuvent poss´eder un z´ero commun dans un voisinage de θ pour cela nous allons les modifier, suivant une id´ee de G. Diaz (cf. [D]), afin d’obtenir des polynˆomes satisfaisant la condition (i) de la proposition 1.

Soient r > 0 et e θ dans B(θ, e

), la boule de C

de centre θ et de rayon e

. Comme les polynˆomes P

(0 ≤ β < L, 0 ≤ γ < D) donn´es par le lemme 1 ne sont pas tous nuls et de degr´es major´es (pour D et M fix´es), il existe j =: j(e θ) ∈ N

tel que les nombres D

P

(e θ), 0 ≤ β < L, 0 ≤ γ < D, ne soient pas tous nuls et que les nombres D

P

(e θ), 0 ≤ β < L, 0 ≤ γ < D, soient tous nuls d`es que i v´erifie kik < kjk. Il suffit de prendre j tel que

kjk = min{kik : ∃β, 0 ≤ β < L, ∃γ, 0 ≤ γ ≤ D, D

P

(e θ) 6= 0}.

Notons

I

= {j = j(e θ) : e θ ∈ B(θ, e

)}, Q

(Y ) = X

0≤β<L 0≤γ<D

D

P

(Y )M

(Y ).

Lemme 2. Pour tout j ∈ I

, tout s ∈ N, 0 ≤ s < T

, et tout h ∈ N

,

|h| < M , on a

|Q

(θ)| ≤ exp(−r + 2ϕ

(L, D, M, T

) + log 2LD).

P r e u v e. Soient j ∈ I

, e θ ∈ B(θ, e

) tels que j = j(e θ), s ∈ N, 0 ≤ s <

T

, et h ∈ N

, |h| < M . On a

|D

P

(e θ) − D

P

(θ)|

≤ max

i

|θ

− e θ

| · H(D

P

)(max

i

|θ

| + 1)

(deg D

P

+ 1)

; or,

H(D

P

) ≤ 2

H(P

) ≤ exp(ϕ

(L, D, M, T

)),

donc on obtient

|D

P

(e θ) − D

P

(θ)| ≤ max

i

|θ

− e θ

| · exp(ϕ

(L, D, M, T

))

≤ exp(−r + ϕ

(L, D, M, T

)).

De la mˆeme fa¸con, on a

|M

(θ) − M

(e θ)| ≤ exp(−r + ϕ

(L, D, M, T

)).

Par ailleurs, on a

|D

P

(θ)| ≤ H(D

P

)(max

i

|θ

| + 1)

(deg D

P

+ 1)

≤ exp(ϕ

(L, D, M, T

)).

De mˆeme, |M

(e θ)| ≤ exp(ϕ

(L, D, M, T

)).

Or, on a

|Q

(θ) − Q

(e θ)|≤ X

0≤β<L 0≤γ<D

|D

P

(θ)| · |M

(θ) − M

(e θ)|

+ X

0≤β<L 0≤γ<D

|D

P

(e θ) − D

P

(θ)| · |M

(e θ)|,

d’o` u

|Q

(θ) − Q

(e θ)| ≤ exp(−r + 2ϕ

(L, D, M, T

) + log 2LD).

De la d´efinition de j, on tire l’´egalit´e Q

(e θ) = (D

Q

)(e θ); comme Q

= 0, on en d´eduit que Q

(e θ) = 0 et l’in´egalit´e pr´ec´edente entraˆıne le lemme.

2e pas. Extrapolation. Moyennant certaines conditions sur L, D, M, T

et r, nous allons extrapoler la majoration du lemme 2 aux valeurs Q

(θ) pour tout s ∈ N, s < T , avec T v´erifiant T

< T ≤ cT

o` u c = c(y

, . . . , y

).

Soient j ∈ I

, e θ ∈ B(θ, e

) tels que j = j(e θ) et f la fonction enti`ere d´efinie par

f (z) = X

0≤β<L 0≤γ<D

D

P

(e θ)M

(z, e

).

On a (cf. les d´efinitions du 1er pas)

et

d

dz

f (z) = X

0≤β<L 0≤γ<D

D

P

(e θ)∆

M

(z, e

)

d

dz

f (h · y) = X

0≤β<L 0≤γ<D

D

P

(e θ)M

(θ).

On a, de la mˆeme fa¸con qu’au 1er pas, pour tout s ∈ N, 0 ≤ s < T

, et tout h ∈ N

, |h| < M ,

(4)  

 Q

(θ) − d

dz

f (h · y)    

≤ X

0≤β<L 0≤γ<D

|D

P

(e θ) − D

P

(θ)| · |M

(θ)|

≤ exp(−r + 2ϕ

(L, D, M, T

) + log LD).

Cette in´egalit´e et le lemme 2 entraˆınent l’in´egalit´e

(5) max

0≤s<T⁰

|h|<M

    d

dz

f (h · y)  

  ≤ exp(−r + 2ϕ

(L, D, M, T

) + log 4LD).

D’autre part, la formule d’extrapolation (cf. [R], lemme 4.5) appliqu´ee `a f , avec R

> R

≥ (max

y

+ 1)M et δ

= min

kh · yk, montre que pour tout s ∈ N, on a

1 s!

    d

dz

f    

R2

≤ 2|f |

 4R

R



+ 2M

R

 33R

δ

M



0≤s

max

|h|≤M

    1

s

! d

dz

f (h · y)    

o` u |f |

= sup

|f (z)|.

Les nombres y

(1 ≤ i ≤ n) ´etant alg´ebriques, l’in´egalit´e de la taille (cf.

[Wa

], 1.2.4) montre que δ

≥ exp(−[K : Q] log c

M ) o` u c

= 2n max

1≤i≤n

(den(y

)) · max

1≤i≤n

( y

+ 1).

D’autre part, on a

|f |

≤ LD max

0≤β<L 0≤γ<D

|D

P

(e θ)|R

e

≤ exp(L log R

+ R

D + ϕ

(L, D, M, T

) + log LD).

En prenant R

= L, R

= (max

|y

| + 1)M et en supposant la condition

(C

) L

> 4( max

1≤i≤n

|y

| + 1)M

v´erifi´ee, on d´eduit de l’in´egalit´e (5) et de la formule d’extrapolation pr´ec´e-

dente que pour tout T ≥ T

, on a

0≤s<T

max

khk<M

    d

f

dz

(h · y)    

≤ exp(L(log L + D) + ϕ

(L, D, M, T

) + log LD + T log T −

T

M

log L) + exp([K : Q]T

M

log c

M + 2ϕ

(L, D, M, T

) + log 8LD + T log T − r) o` u

c

= c

+ 33( max

1≤i≤n

|y

| + 1) + n/2 − 1.

Or, comme dans l’in´egalit´e (4), pour tout s ∈ N, 0 ≤ s < T , et tout h ∈ N

, |h| < M , on a

 Q

(θ) − d

dz

f (h · y)  

  ≤ exp(−r + ϕ

(L, D, M, T ) + log LD), d’o` u

(6) |Q

(θ)|

≤ exp(L(log L + D) + ϕ

(L, D, M, T

) + log LD + T log T −

T

M

log L) + exp([K : Q]T

M

log c

M + 2ϕ

(L, D, M, T

) + log 8LD + T log T − r) + exp(−r + ϕ

(L, D, M, T ) + log LD).

3e pas. Utilisation du lemme de z´eros

Lemme 3. Soit r un nombre r´eel tel que r > max

|y

|. Si les condi- tions

T ([M/2])

> 4LD (C

)

et

T > 2D (C

)

sont v´erifi´ees, alors les polynˆomes Q

(s ∈ N, 0 ≤ s < T, h ∈ N

, |h| <

M, j ∈ I

) n’ont pas de z´eros communs dans la boule B(θ, e

) de C

. P r e u v e. Supposons que ces polynˆomes s’annulent en un point e θ = (e θ

, . . . , e θ

) de B(θ, e

). Puisque r > max

|y

|, on en d´eduit que e θ

6= 0 pour tout i, i = 1, . . . , n. Soit, alors, e y

∈ C tel que e

= e θ

(i = 1, . . . , n).

Rappelons que, par d´efinition, on a Q

(e θ) = X

0≤β<L 0≤γ<D

D

P

∆

M

(h · y, e

).

Consid´erons, en particulier, le n-uplet j de I

tel que j = j(e θ) et le polynˆome

P (Z, X) = X

0≤β<L 0≤γ<D

D

P

(e θ)M

(Z, X).

Pour h ∈ N

, |h| < M , notons F

la fonction enti`ere d´efinie par F

(z) = P (h · y + z, e

).

On a

d

dz

F

(0) = Q

(e θ).

Comme on a suppos´e que Q

(e θ) = 0, pour tout s ∈ N, 0 ≤ s < T , et tout h ∈ N

, |h| < M , alors selon la d´efinition de [P

], le polynˆome P s’annule `a l’ordre T le long de l’application Ψ d´efinie par

Ψ : C → G

× G

, z → (z, e

), sur l’ensemble e Γ (M ) = {(h · y, e

) : h ∈ N

, |h| < M }.

Or j =: j(e θ), donc les coefficients D

P

(e θ), 0 ≤ β < L, 0 ≤ γ < D, de P ne sont pas tous nuls, donc P est non nul sur G

× G

. Par suite le lemme de z´ero (cf. th. 2.1 de [P

]) joint au lemme 3.4 de [P

] montre qu’il existe un sous-groupe G

= G

× G

( G

× G

de G

× G

tel que (7) T card(( e Γ (M/2) + G

)/G

) ≤ 2

L

D

o` u r

= dim G

/G

et r

= dim G

/G

. Deux cas peuvent se pr´esenter :

• ou bien G

= G

, on a alors r

= 0 et l’in´egalit´e (7) entraˆıne l’in´egalit´e T ≤ 2D, ce qui est absurde vue la condition (C

);

• ou bien G

= {0}, on a alors r

= 1 et on a, dans ce cas, card(( e Γ (M/2) + G

)/G

) ≥ ([M/2])

et l’in´egalit´e (7) entraˆıne l’in´egalit´e T ([M/2])

≤ 4LD, ce qui contredit (C

), d’o` u le lemme.

Choix des param`etres et preuve de la proposition principale. Soit L

= L

(y

, . . . , y

) un nombre r´eel suffisamment grand; soient L ≥ L

et 0 < ν

< 1 deux nombres r´eels v´erifiant les conditions (1), (2) et (3) de la proposi- tion principale. Posons

T

= [4L(log L)

+ 1], M = [(log L)

+ 1],

D = 2

[K : Q], T = [2

[K : Q]L(log L)

], r = L log L.

Les conditions (C

), (C

), (C

) et (C

) pr´ec´edentes sont ´evidemment sa-

tisfaites avec ces param`etres. De plus, puisque L ≥ L

et (L, ν) v´erifie les

in´egalit´es (2) et (3) de la proposition principale, on en d´eduit que ϕ

(L, D, M, T

) ≤ 9L(log L)

et

ϕ

(L, D, M, T ) ≤ (2

[K : Q] + 1)L(log L)

.

D’autre part, avec le choix ci-dessus des param`etres D, M, T

, T et puis- que (L, ν) v´erifie les in´egalit´es (2) et (3) de la proposition principale, l’in´e- galit´e (6) pr´ec´edente s’´ecrit

|Q

(θ)| ≤ exp(−L log L + (2

[K : Q] + 11)L(log L)

) + exp(−L log L + (21 + 2

[K : Q])L(log L)

) + exp(−L log L + (2

[K : Q] + 2)L(log L)

) et par suite l’in´egalit´e (1) de la proposition principale entraˆıne

|Q

(θ)| ≤ exp(−

L log L), ou encore

(8) |Q

(θ)| ≤ exp(−r

(L)).

Par ailleurs, on a

deg Q

≤ max

β,γ

(deg D

P

+ deg M

)

≤ 2nDM ≤ 2

[K : Q]n(log L)

; avec les notations du chapitre I, cette in´egalit´e s’´ecrit

(9) deg Q

≤ δ

(L, ν) avec c

= 2

[K : Q]n.

On a aussi

h(Q

) ≤ max

β,γ

(h(D

P

) + h(M

)) + 2nDM

≤ 2ϕ

(L, D, M, T ) + 2nDM ≤ 2ϕ

(L, D, M, T )

≤ (2

[K : Q] + 2)L(log L)

, d’o` u

(10) h(Q

) ≤ H

(L, ν) avec c

= 2

[K : Q] + 2.

Soit I

l’id´eal de K[Y

, . . . , Y

] engendr´e par la famille des polynˆomes

Q

(Y

, . . . , Y

), s ∈ N, 0 ≤ s < T , h ∈ N

, |h| < M , j ∈ I

, o` u

T, M, r sont les param`etres d´efinis ci-dessus en fonction de L et ν. D’apr`es

le lemme 3, l’id´eal I

n’a pas de z´eros dans la boule de C

de centre θ et

de rayon exp(−r(L)); il v´erifie donc la condition (i) de la proposition prin-

cipale. L’in´egalit´e (8) (resp. (9) et (10)) montre que I

v´erifie la condition

(ii) (resp. (iii)) de la proposition principale.

III. Preuve du th´ eor` eme. Rappelons que y

, . . . , y

d´esignent des nombres alg´ebriques Q-lin´eairement ind´ependants et on note

K = Q(y

, . . . , y

) et θ

= e

, 1 ≤ i ≤ n.

Pour f et g deux fonctions de R

dans R

, on note f  g s’il existe c

= c

(y

, . . . , y

) > 0 tel que pour tout L ≥ L

on ait f (L) ≥ c

g(L) et f  g ⇔ f  g et g  f .

Soit C = C(y

, . . . , y

) un nombre r´eel suffisamment grand par rapport aux constantes c

, . . . , c

, . . . qui interviennent dans ce texte. Soient h, D deux nombres r´eels > 0. Posons

h

= (h + exp(CD

log(D + 1))), ν = (n log D + log c

)/ log log h

, o` u

c

= 2

n

([K : Q])

(4[K : Q] + n + 1)

. On a bien 0 < ν < 1.

Rappelons les notations H

(L, ν) = L(log L)

, δ

(L, ν) = (log L)

et r

(L) = L log L.

Soit L le plus petit entier v´erifiant

(11) c

h

D

≤ r

(L),

o` u

c

= 2

n

([K : Q])

(4[K : Q] + n + 1)

. Posons δ = δ

(L, ν), τ = H

(L, ν) + δ(n + 1) log(n + 1), σ = 2, U =

r

(L) o` u c

et c

sont les constantes d´efinies dans la proposition principale.

Nous allons montrer que ces param`etres v´erifient les conditions du crit`ere du chapitre I.

L’in´egalit´e (11) et L suffisamment grand entraˆınent que log log L ≥

1

2

log log h

, et de la d´efinition de ν, on tire que log log h

≥ (log c

)/ν, d’o` u log log L ≥ (log c

)/2ν et comme c

> 2

c

, on en d´eduit que U ≥ 2 max(τ, σ

) et δ > 1.

Soit S un entier v´erifiant la condition (a) τ /σ

< S ≤ U/σ

du crit`ere, et L

le nombre r´eel d´efini par r

(L

) = Sσ

. Montrons que (L

, ν) v´erifie les hypoth`eses de la proposition principale.

Comme S > τ /σ

, on a r

(L

) > τ et, par suite, log L

 log L; or l’in´egalit´e (11) entraˆıne log L  log h

, d’o` u log L

 log h

et puisque log h

> C et que C est suffisamment grand par rapport `a L

, on en d´eduit que L

> L

.

Par ailleurs, log L

 log h

et log h

> C entraˆınent l’in´egalit´e log log L

≥

log log h

; or log log h

≥ (log c

)/ν et log c

> 4(n + 7) log 2[K : Q],