Ryszard J. Barczyński, 2019 Samoindukcja

Samoindukcja

Ryszard J. Barczyński, 2019

Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego

Dodanie do obwodu elektrycznego zależnego od czasu

pola magnetycznego oznacza, że całka z natężenia pola elektrycznego po krzywej zamkniętej już nie wynosi zero...

(pole nie jest zachowawcze)

ze wszystkimi tego faktu konsekwencjami.

Na szczęście sytuacja nie jest beznadziejna: możemy nadal tworzyć równania opisujące zachowanie się obwodów

- korzystamy przy tym z prawa indukcji elektromagnetycznej Faradaya.

∮

l

E   dl=− d dt ∫

S

B   dS

Rozważmy obwód pokazany na rysunku. Zakładamy,

że powierzchnia części obwodu

w kształcie koła jest znacznie większa niż powierzchnia pozostałej części.

W czasie t=0 zamykamy wyłącznik, w obwodzie popłynie prąd powodując powstanie pola magnetycznego o indukcji B. Przy zaznaczonym kierunku obiegu obwodu lewa strona prawa Faradaya

∮

l

E   dl=− d dt ∫

S

B   dS

∮

l

E   dl=−i R

Dalej wybierzmy element powierzchni dS (kwadrat na rysunku), wtedy iloczyn

B dS będzie dodatni.

Zauważmy, że wartość wektora indukcji magnetycznej B w dowolnym punkcie jest proporcjonalna do prądu i.

Istotnie, z prawa Biota-Savarta mamy

Zatem strumień indukcji pola magnetycznego musi być również proporcjonalny do prądu

B=i  

4  ∮

l

dl×r  r



= L i

Strumień indukcji

pola magnetycznego jest proporcjonalny do prądu



= L i

Współczynnik proporcjonalności

jest zależny tylko od geometrii obwodu. Nazywamy go współczynnikiem samoindukcji albo krótko

samoindukcją lub indukcyjnością. Jego jednostkę w układzie SI nazwano henrem.

Joseph Henry

Samoindukcja

Nasze równanie Faradaya

Otrzymaliśmy równanie podobne do prawa Kirchhoffa... Tylko podobne, bo przecież prawo Kirchhoffa zostało sformułowane dla pola zachowawczego!

Przybierze teraz postać

−i R=−L d i dt

∮

l

E   dl=− d 

dt

−i RL d i

dt =0

O Henrym mówi się czasami, że odkrył zjawisko samoindukcji, czyli wystąpienie dużego napięcia na zaciskach cewki

po nagłym przerwaniu płynącego przez nią prądu. My jednak wiemy, że jest to dokładnie to samo zjawisko, które odkrył Faraday, a jego spektakularność wynika z dużej liczby zwojów cewki,

a co za tym idzie - dużego strumienia indukcji pola magnetycznego.

Samoindukcja

Rozważając obwody elektryczne bardzo często mamy do czynienia z częścią obwodu (na przykład z cewką zawierającą dużo zwojów)

skupiającą praktycznie cały strumień magnetyczny.

Zwykle nazywa się ją również indukcyjnością.

które oczywiście można rozwiązać...

Rozważmy teraz obwód składający się jedynie z indukcyjności i oporu.

Zgodnie z naszymi rozważaniami można go opisać równaniem

i RL d i

dt = 0

Można je również pomnożyć przez i dt:

Całkujemy stronami

i RL d i

dt = 0

i R i dtL i di=0⇒ U dqL i di=0 ⇒U dq=−L i di

Uq=− L i

2  const ⇒ Uq L i

2 = const

Widzimy, że Li²/2 ma sens energii... Jest to energia zgromadzona w polu magnetycznym.

Przyjrzyjmy się jeszcze raz solenoidowi. Policzyliśmy wektor indukcji magnetycznej w jego wnętrzu

zatem całkowity strumień indukcji pola magnetycznego i współczynnik samoindukcji wyniosą

B= 

i N l



= N B S= 

i N

S l

L= 

N

S l

pole magnetyczne solenoidu

podstawiając objętość solenoidu Sl = V Po wstawieniu indukcyjności

do wyrażenia na energię pola magnetycznego otrzymujemy

L= 

N

S l

pole magnetyczne solenoidu

E

=i

N



S

2l = B

l





S 2l

E

= B

2 

V

widzimy, że z wyrażenia na energię można wydzielić człon mający sens gęstości energii pola magnetycznego

w

= B

2 