Lineaire algebra: Matrixrekening. Deel 2

LINEAIRE A

GEBR~A~~~~

---J

_ _ _ _MATRIXREI<ENI

G

DEEL 2

_ _ DELFTSE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ 1985_ _

C.A. DEN BRABER

H.VANIPEREN

A. SCHUITMAN

M.A. VIERGEVER

ir. C.A. den Braber

ir. H.

van Iperen

ir. A. Schuitman

dr.ir. M

.A.

Viergever

BIBLIOTHEEK TU Delft P 2148 2097

1111111111111

8755 c 891364

2148

209

7

ii

© VSSD

Eerste druk 1985

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toe-stemming van de uitgever.

All rights reserved.No part of this publication may be reproduced , stored in a retrieval sy stem, or transmitted , in any [orm or by any means, electronic, mechcnical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

Inhoud

HOOFDSTUK 4

IR"

&

en.

Rang van een matrix. Metode der kleinste kwadraten

38 Vektoren in IRn([: n). Deelruim ten, lineaire variëteiten 134

39 Bouw van de algemene oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen 136

40 Een matrix opgevat als een lineaire afbeelding 137

41 Lineaire kombinaties, lineair omhulsel 139

. 42 Afhankelijkheid en onafhankelijkheid van een stel vektoren 142 43 Onderzoek naar de aard van een stel vektoren. Uitdunnen van een stel 144

vektoren. Stelling 7

44 Basis van een deelruimte 150

\ '·.45 Het begrip dimensie. Stelling 8 152

46 Stelling 9 over kolom- en rijrang van een matrix 155

47 Rang van een matrix en het verband met de dimensie van de nulruimte van de 158 matrix. Stelling 10

48 Stelling 11 over stelsels lineaire vergelijkingen. Kenmerken van een reguliere 160 matrix;nogmaals stelling 3

49 Koördinatentransformatie 162

50 Het inprodukt in IRn. Rekenregels 166

51 Lengte, afstand en de begrippen hoek en loodrecht in IRn 167 52 Het inprodukt in ([:n. Rekenregels. Lengte, afstand en het begrip loodrecht in ([:n 174

53 Ortonormale basis. Stelling 12 van Gram-Schmidt 177

54 Ortogonale en unitaire matrixen 182

55 Onderling loodrechte deelruim ten 185

56 Het ortogonale komplement van een deelruimte. Stelling 13 over komplemen- 187 taire deelruim ten

57 De twee aan twee komplementaire deelruimten van een matrix. Stelling 14 189 58 De metode der kleinste kwadraten; een met redenen omklede bepaling 192

59 De metode der kleinste kwadraten; de uitvoering 196

HOOFDSTUK 5 Determ inanten

60 Permutaties en verwisselingen 203

61 Inversies en het teken van een permutatie 207

62 Definitie van de determinant. De eigenschappen 0, 1, 2 en 3 211 63 De determinant als funktie van zijn kolommen (rijen). De eigenschappen 215

4, 5, 6 & 7. Slot van het bewijs van stelling 3

64 Eigenschap 8 over ordeverlaging van een determinant 223

65 Eigenschap 9. DetAB = detA -det B 229

iv

HOOFDSTUK 6

Eigenwaarden

&

eigenvektoren

67 Definities en een rekenschema 235

68 Eigenvektoren bij verschillende eigenwaarden 243

69 Een berekeningswijze van machten van een matrix 245

70 Gelijkvormigheid van matrixen en stelling 15 250

71 Spoor en karakteristieke veelterm van een matrix 254

72 Dimensies van eigenruim ten en nogmaals stelling 15 258

73 Lineaire stelsels eerste-orde differentiaalvergelijkingen 262

74 De gelijkvormigheid van een komplexe matrix met een bovendriehoeksmatrix; 267

stelling 16

75 Reële symmetrische- en Hermite-matrixen. Stelling 17 274

76 Kwadratische vormen 280

77 Lineaire operatoren 286

78 Bijzondere lineaire operatoren in het platte vlak 291

79 Bijzondere lineaire operatoren in de ruimte 297

134 §38

HOOFDSTUK 4

R

n

&

en. Rang van een nlatrix.

Metode der 1<leinste I<vvadraten

In dit hoofdstuk zijn k, 1, m, n, r en s steeds positieve gehele getallen en is A een mxn-matrix.

38

Vektoren in IR"

((1:").

Deelruimten, lineaire variëteiten

Een gemeenschappelijke eigenschap van de verzamelingen van vektoren in de ruimte, 2xl-matrixen, 3xl-matrixen, 4xl-matrixen, nxl-matrixen is hun zelfde bouw, of struktuur. In al die verzamelingen is namelijk een optelling en een vermenigvuldiging met een getal gedefinieerd, en deze bewerkingen voldoen in al die verzamelingen aan dezelfde rekenregels.

Op grond van stelling 4 kunnen we 2 x I-matrixen, van de verzameling IR2,

vereen-zelvigen met vektoren van het platte vlak en 3xI-matrixen, van de verzameling IR3,

met vektoren in de ruimte. Het ligt nu voor de hand de nxI-matrixen, van de ver-zameling IRn, voor n# 4, op te vatten als abstrakte vektoren van een abstrakte ruimte. Evenzo voor nxn-matrixen van

en

voor n~ 2. Wil deze vertolking van

kolom matrixen zinvol zijn, dan moeten we typisch meetkundige begrippen zoals twee niet aan elkaar evenwijdige vektoren, drie vektoren alle evenwijdig aan één vlak, een driebeen, een lijn, een vlak en dimensie een passende gelijkwaardige betekenis kunnen bezorgen in de verzameling van n x l-kolommatrixen.

Juist met dit doel voor ogen hebben we in hoofdstuk 3 een begrippenapparaat voor de ruimte opgezet, dat er zich gemakkelijk toe leent dat soort meetkundige begrippen over te dragen naar kolommatrixen. We noemen kolommatrixen, in het raam van deze veralgemening van het platte vlak en de ruimte naar een abstrakte ruimte van kolommatrixen, ook wel vektoren.

IR

n

noemen we dan een reële vektorruimte en

en

noemen we een komplexe vektor-ruimte.

We gaan uit van de reële (komplexe) vektorruimte IRn(Cn). Dat is de verzameling van reële (komplexe) nxI-matrixen voorzien van de in hoofdstuk 2 gedefinieerde optel-ling en vermenigvuldiging met een reëel (komplex) getal welke bewerkingen, zoals we gezien hebben, de volgende rekenregels gehoorzamen.

1. F + G

=

G + F.

2. (F + G) + H

=

F + (G + H).

3. Er is een nulelement On met de eigenschap dat voor iedere F geldt F

+

On = On

+

F = F.

4. Voor iedere F is er een tegengestelde -F waarvoor geldt F + (-F) = (-F) + F = On'

5. De vergelijking F + X

=

G heeft een ond ubbelzinnige oplossing G + (-F) die we schrijven als G - F.

6. l·F

=

F, -l·F

=

-F, O·F

=

_{On, À·On}

=

On voor ieder reëel (komplex) getal À. 7. Als ÀF

=

On, dan is À

=

0 of F

=

On'

8. ÀC/.IF)

=

(ÀJl)F.

9. (À+Jl)F

=

ÀF+JlF. 10. À(F + G)

=

ÀF+ ÀG.

Elementen van lRn en Cn noemen we ook wel vektoren; On heet de nulvektor van lRn(Cn). De begrippen die we nu gaan invoeren onderscheiden zich niet voor lRn en C". Daarom laten we de toevoeging reëel of komplex weg en zullen we over getallen zonder meer spreken. Vergelijk elk nieuw begrip in dit hoofdstuk met het overeen-komstige begrip in hoofdstuk 3.

Een deelruimte van lRn (Cn) is een niet lege deelverzameling Ll van lRn (en) die zowel voor de optelling als voor de vermenigvuldiging met een getal gesloten is. Dat wil zeggen,

1) Ll is niet leeg.

2) Als F en G in Ll, dan is ook F + G in Ll. 3) Als F in Ll ~n À een getal, dan is ook ÀF in Ll.

Uit 1) en 3) volgt dat On= O· F tot iedere deelruimte van lRn (Cn) behoort. Een deel-verzameling van lRn (Cn) die On niet bevat kan dus geen deelruimte van lRn (en) zijn. Uiteraard zijn ook {On} en lRn (Cn) deelruimten van lRn (Cn). Zij heten de triviale deelruimten van lRn (Cn).

Laat

r

en <P deelverzamelingen van lRn (Cn) zijn. De som van

r

en <P, notatie

r

+

<P, is de verzameling ~ met de eigenschap: S in ~ dan en slechts dan, als er een U in

r

is, en een V in <P is, met S

=

U + V.

De doorsnedevan

r

en <P, notatie

r

n

<P, is de verzameling I\. met de eigenschap: L in I\. dan en slechts dan, als L in

r

en L in <P.

Zijn Ll} en Ll2 deelruimten van lRn (Cn), dan zijn ook Ll} + Ll2 en Ll}

n

Ll2 deel-ruimten van lRn (Cn).

Een lineaire variëteit van lRn (en) is een deelverzameling 'J1 van lRn (Cn) die de som is van een uit één vektor P bestaande verzameling {P} en een deelruimte Ll;

136 §39

39

Bouw van de algemene oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen In hoofdstuk 3 hebben we lijnen en vlakken in de ruimte leren beschrijven door stelsels lineaire vergelijkingen in drie onbekenden. Was het stelsel homogeen, dan betrof het een lijn of vlak door de oorsprong, dus een deelruimte, en was het stelsel inhomogeen, dan betrof het een lijn of een vlak buiten de oorsprong, dus een lineaire variëteit. We bekijken nu eens een stelsel S in nonbekenden Xj, j := l(l)n. Of S een reëel stelsel is met oplossingen in IRn , of een komplex stelsel met oplos-singen in

c",

is een verschil dat er in wat volgt niet toe doet.

Laat de mxn-matrix A de koëfficiëntenmatrix van S zijn en laat de mxl-matrix B de bekende termen van S herbergen.

S: of, in matrixvorm

r

all . aln] Xl

r

bi ] : : =:~AX=B aml· . _amn bm x_n

Laat SH het bij S horende homogene stelsel zijn en laat eI>H en eI> de algemene oplos-singen zijn van achtereenvolgens SH en S. Dus

X in eI>H' dan en slechts dan als AX = Om. X in eI> ,dan en slechts dan als AX = B.

eI>H is niet leeg omdat AO n = Om. Laat nu U en V oplossingen zijn van SH' dus AU = Om en AV = Om. Gebruikmakend van de rekenregels voor de matrixvermenig-vuldiging volgt nu:

A(U +V) = AU + AV = Om + Om = Om-AC\U) = ",AU = ",Om = Om.

Dus als U en V in eI>H' dan zijn ook U

+

V, en ",U voor ieder getal", in (I>H. Blijk-baar is

eI>H deelruimte van IRn(Cn).

Stel nu dat S niet strijdig is. Dan heeft S tenminste één oplossing, zeg P; dus AP = B. Dan is de algemene oplossing (I> van S een lineaire variëteit in IRn(Cn),

Bewijs. Laat U een willekeurig gekozen oplossing van SH zijn; dus AU

=

Om' Dan is

A(P

+

U)

=

AP

+

AU

=

B

+

Om

=

B, en P

+

U is ook oplossing van S. Dit toont dat

{P}

+

<PH C <P.

Laat nu Q ook een oplossing van S zijn; dus AQ

=

B. Dan kunnen we Q schrijven als Q

=

P + (Q - P), terwijl Q - P in <PH is. Immers, A(Q - P)

=

AQ - AP

=

B - B

=

Om'

Dit toont dat <P C {P}

+

<PH' Blijkbaar is <P

=

{P}

+

<PH' 0

Blijkbaar geldt net als in hoofdstuk 3, dat de algemene oplossing van een niet strijdig stelsel lineaire vergelijkingen een lineaire variëteit is, en dat die lineaire variëteit alleen een deelruim te is als het stelsel hom ogeen is.

40

Een matrix opgevat als een lineaire afbeelding

Iedere reële (komplexe) m xn-matrix A kunnen we opvatten als de beschrijving van een afbeelding Jivan IRn naar IRm (Cn naar Cm). Immers, voor iedere X in IRn (en) bepaalt A ondubbelzinnig een m x I-matrix Y, door AX = Y.

Met onderstaande figuur pogen we de lineaire afbeelding JI te verbeelden. Veel figu-ren in dit hoofdstuk die handelen over de vektorruimten IRn en en zijn slechts pogingen iets van die ruimten te verbeelden. Daarbij vormen situaties in de ruimte, die we wel door aanschouwing kunnen kennen, een leidraad.

x,

_IRm

(~m/y~ru

IRn (en) X

=

~

/

x

_n On

°

_m

x,

n

,

,

~

fV

1

]

m8~~

mB

x=

_{~ ~m}

₌

_Y

₌

_AX

₌

x

_n

De afbeelding J1 is lineair. Dat wil zeggen, voor alle X, en X2 in IRn (Cn) en alle

getallen À. geldt:

J1(Xl

+

X2 )

=

JI(Xl )

+

Ji(X2 ) J1(À-Xd

=

À.Ji(Xd.

Immers, J1(Xl

+

X2 )

=

A(Xl

+

X2 )

=

AXl

+

AX2

=

Ji(Xl )

+

Ji(X2 ) , en

J1(À.Xl )

=

A(À.Xl )

=

À.AXl

=

À.Ji(X1 ). We zeggen dat de matrix A een representatie is van de lineaire afbeelding Ji.

koëfficiënten-138 §40

matrix heeft is de deelruim te van IRn(en) die door de lineaire afbeelding A

afge-beeld wordt op Om' Die deelruimte <PH heet de kern of nulruimte van A, notatie

KER ..4, of ook de nulruimte van Ä, notatie NUL (A). Dus

NUL(A) = KERA = <PH'

Een tweede deelruimte die met de lineaire afbeelding ..4, en dus met A, verbonden

is, is de beeldruimte van A. De beeldruimte van A, notatie IM A , bestaat uit alle

vektoren van IRm (Cm) die optreden als beeld van een vektor in IRn(Cn) onder .d.

Y in IMA , dan en slechts dan als er een X in IRn (Cn) bestaat met de eigenschap

A(X)

=

Y, ofwel AX

=

Y. A(On)

=

_{AO n}

=

Om; dus ligt Om in IM.d en dus is IMA

niet leeg. Stel dat YI en Y_z in IMA; dan bestaan er een XI en X_z in IRn (Cn)

waar-voor geldt dat ..d(Xd

=

_{YI en} A(Xz)

=

Y z. Maar dan is A(X I + _{X z)}

=

Jf/(X I) + _Jf/(Xz)

=

YI + _{Yz en YI} + _{Y z} is ook in IMA. Ook geldt voor ieder getal À

dat A(ÀXd

=

ÀJf/(Xd

=

_{ÀY I en ÀYI is ook in IMA}. Blijkbaar is IMA een

deel-ruimte van IRm (Cm).

Opgave 53

a) Lli en Llz zijn deelruimten van IRn. Bewijs dat Lli + Llz en Lli

n

Llz ook

deelruimten van IRn zijn. Geef een voorbeeld uit de ruimte, waaruit blijkt

dat de vereniging van twee deelruimten geen deelruimte hoeft te zijn. b) De matrix F is de representatie van de lineaire afbeelding 5 van IRs naar

IR4.

FJ

_..

~

23 -10 3 1

o

2 42

-11

0 10 -3 . 8 -3

1 0 0 0 0 2

0 1 0 0 0 3

0 0 1 0 0 - 4

0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 1 - 2

(ii) Geef een parametervoorstelling van de kern van g.

(iii) Onderzoek of de volgende vektoren in de beeldruimte van g zitten, en bereken er zo mogelijk een origineel van onder .'Y.

r-n

·r-HriJ·rn

(iv) Geef een X in IRs met de eigenschap dat

c) Onderzoek voor i :

=

1(l)3 of de deelverzameling Ijvan IR4 _{een deelruim te is.}

fi

=

{X in IR4

I

Xl + X2 + X3 + X4 ~ O},

12

=

{X in IR4

I

X12 +

xl

+

xl

+

xl

~

O

}.

IJ

=

{X in IR4

I

XI

=

0 of X2

=

0 of X3

=

0 of X4

=

O}.

d) <1>1, <1>2, <1>3 en <1>4 zijn dee1ruimten van IRS •

<1>1

=

{X in IRs

I

xI + x;::- 2X3 + X4 + 3xs

=

O}.

<1>2

=

{X in IRs 12xl - X2 + 2X3 + 2X4 + 6xs

=

O].

<1>3

=

{X in IRs 13xl

+

2X2 - 4X3 - 3X4 - 9xs

=

O}.

<1>4

=

{X in IRs

I

Xl - X2 + 2X3 + X4 + 3xs

=

O},

Onderzoek of <1>1

n

<1>2

n

<1>3 binnen <1>4 ligt.

41

Lineaire kombinaties, lineair omhulsel

Laat {Fj

I

i:= 1(L)r} een r-tal vektoren in IRn (en) zijn. Een lineaire kombinatie van dat r-tal is een vektor U waarvoor r getallen À_{j ,} i:= 1(l)r bestaan zodat

r U

=

L

x.r..

j=1 1 1

140 §4 l

Uiteraard is de nulvektor een lineaire kombinatie van ieder r-tal vektoren. Immers,

r

On = .~O°Fj . Zijn de vektoren U en V beide lineaire kombinaties van het r-tal

. 1=1

{Fj

I

i := 1(l )r}, dan geldt dat ook voor U

+

V en ÀU voor ieder getal À. Blijk baar is de verzameling van alle lineaire kombinaties van een r-tal vektoren {F_j

I

i := l(l)r} een deelruimte. Die deelruimte heet het lineaire omhulsel van dat r-tal vektoren en wordt aangegeven door

L{Fj

I

i := l(l)r}.

De naam lineair omhulsel drukt fijntjes uit dat het de om dat stel vektoren nauwst sluitende deelruimte is. Dat wil zeggen, als .1een deelruimte is waartoe alle Fj ,

i := 1(l)r behoren, dan is L{F_j

I

i := 1(l)r} binnen Ll gelegen. Men zegt ook dat het lineaire omhulsel L{Fdi := 1(l )r} wordt opgespannen, of voortgebracht door het r-tal

{F_j

I

i := l(l)r}.

Voorbeeld.

F =

UJ

'

G= [

-:J

en H =

UJ·

Het is eenvoudig in te zien dat het lineaire om-hulsel L{F , G, H} de algemene oplossing is van de vergelijking 2xI - 5x2

+

7X3

=

O.

Merk op dat F

=

-3G

+

H, zodat iedere lineaire kombinatie van F, G en H ook ge-schreven kan worden als lineaire kombinatie van G en H. Dus L{F ,G,H}

=

L{G,H}. We bespreken nu twee voorbeelden van lineaire omhulsels die betrekking hebben op de mxn-matrix A. Iedere kolom van A is een geordend rijtje van m getallen, dat we als zodanig opvatten kunnen als een mxI-matrix, dus als een vektor in IRm(Cm).

Voor j := 1(l)n schrijven we voor de je kolom van A

[ a 1j ] A(i)

=

~2j.

. a_{m J}

Het lineaire omhulsel van alle kolommen van A is dus een deelruimte van IRm(Cm)

die de kolomruimte van A heet. We geven de kolomruimte van A aan door KOL(A).

[ a

1j ]

KOL(A) = L{A(J)Ij := I(I) n} = L{ ~2j Ij:= I(I) n]c IRm (Cm) a_{m J}

Evenzo is iedere rij van A een geordend rijtje van n getallen, dat we als zodanig kun-nen opvatten als een nxI-matrix, dus een vektor in JRn (C n). We schrijven voor i := l(l)m de ie rij van A als

Hetlineaireomhulsel van alle rijen van A heet de rijruimte vanA en is een deelruimte van JRn (Cn) die we aangeven door RIJ(A).

[

ail l

RU(A) = L(_ACi)

I

i := 1(l)m) '" L {

~i2

I

i := 1(I)m) C IR"(C"). a_m

Voorbeeld. Laat F de volgende reële 3x5-matrix zijn.

F

=[

~

-4

°

₂ 6 3 5 7

°

_~

-7]

; . F(2)

=

[0]

~

en F(2)

=

2 2 5 1 4 KDL (F)

=

Lr[

j]

,

m

,

m

,

m

,

[-n

}

C IR'. 1

°

RIJ(F)

=

L{ 3

°

- 7 2 2 5 1 4 -4 6 7 } C JRs. 8 5

We kunnen nu het stelsel S, waarvan A de koëfficiëntenmatrix is, ook op een andere wijze dan door AX

=

B gestalte geven in een matrixvergelijking. We kunnen namelijk AX schrijven als een lineaire kombinatie van de kolommen van A.

Immers, passen we voor kolommatrixen achtereenvolgens de definitie toe van ver-menigvuldiging met een getal, optelling en gelijkheid dan leidt dat tot de

oorspron-142 §42

kelijke gedaante van het stelsel S. Het aardige van deze sch rijfw ijze is, dat we er

onmiddellijk een kenmerk voor oplosbaarheid van S aan ontlenen kunnen. Immers,

als S een oplossing heeft, dan is B kennelijk een lineaire kombinatie van de kolo

m-men van A;dus B in KOL(A). Omgekeerd, als B niet te schrijven is als lineaire

kom-binatie van de kolommen van A, dan heeft S kennelijk geen oplossing. Blijkbaar

geldt

S is niet strijdig, dan en slechts dan als B in KOL(A).

Brengen we dit in verband met de lineaire afbeelding JI waarvan A een

represen-tatie is, dan is het duidelijk dat IMJI

=

KOL(A).

42

Afhankelijkheid en onafhankelijkheid van een stel vektoren

Laat [F,

I

i:= I (l )r} een r-tal vektoren in IRn (en) zijn. Als de nulvektor On

geschre-ven kan worden als de lineaire kombinatie

terwijl minstens één der getallen \ niet nul is, dan heet het r-tal [F,

I

i := l(l)r}

afhankelijk. Is die lineaire kombinatie voor On alleen mogelijk als alle \ nul zijn,

\ = 0, i := l(l)r, dan heet het r-tal {F_i

I

i := l(l)r} onafhankelijk.

Het is duidelijk dat de begrippen afhankelijk en onafhankelijk elk aar uitsluiten;ieder

r-tal vektoren is derhalve of afhankelijk of onafhankelijk, één van tweeën .We zullen

die eigenschap van een r-tal vektoren de aard van het betreffende r-tal vektoren

noemen. De aard van een r-tal vektoren is dus of afhankelijk, of onafhankelijk.

In hoofdstuk 3 hebben we gezien dat een drietal vektoren in de ruimte waarvan alle

vektoren evenwijdig zijn aan één vlak, afhankelijk is en dat een drie been

onafhanke-lijk is. We stelden dat toen vast met behulp van stellingen uit de meetkunde. Voor

een stel vektoren in IRn (en) zijn we gedwongen uit te gaan van de definitie van

afhankelijk en onafhankelijk.

Voorbeeld. We onderzoeken de aard van het volgende 4-tal vektoren in IRs.

6 1 -1 -1 { 7 1 - 1 -1 8 I 6 -1 À₁ 7 +À₂ -1 8 I 0 2 }. 0 3 I 1 1 0 6À1 + À2 + À3 + À4 = 0 -1 0 1 0 - À_{1 -} À2 + À4 = 0 1 + À3 2 + À4 1 = 0 ~ 7À1 +À2 + 2À3 + À4 = 0 -1 0 1 0 - 11.1 - À2 + À4 = 0 I 3 1 0 8À1 + À2 + 3À3 + À4 = 0

~] ~

T--->

o

weg

nM-+

Met het rekenschema uit hoofdstuk 1 volgt:

-

!-:

~

:

~

T

-3

~ [_~

_

~ ~ ~

-1 -1 0 1 0 weg - 5 - 1 0-1 8 1 3 1 0 -10 -2 0 -2

[

-~ -~ ~ ~ ~O]

[_5

₂₁

-

~ ~ ~

-4 0 0 -2

*-1

0 0 1 [ 1 0 1 0 0] À.3 = -1 -3 2 - 1 0 0 0O. A1sÀ.i = 1 , d a n i s À.2 = - 3

o

0 1 À.4 = -2

Blijkbaar is het 4-ta1 afhankelijk. We laten nu van dit 4-ta1 de laatste vektor weg en onderzoeken de aard van het overgebleven 3-ta1.

6 1 -1 -1 7

+

/12 1 -1 -1 8 1 1

o

+/13 2 =

o

3

o

o

o .

Het rekenschema uit hoofdstuk 1 voor het

o

o

hieruit voortvloeiende 5-tal vergelijkingen wordt: 6 1 -1 -1 7 1 -1 -1 8 1 1

o

2

o

3

~

T-3

o

weg

o

[ 6 -1 -5 -la 1 -1 -1 -2 1

o

o

o

~]J

@

o

1

o

weg

[=1 -

!

_~

n.

Uit de laatste rij volgt dat /11 = 0 en daaruit volgt dat ook /1, en /13 noodzakelijk nul zijn. Blijkbaar is het overgebleven 3-tal vektoren

6 1 1

-1 -1 0

{ 7 1 2 } onafhankelijk.

-1 -1 0

8 1 3

We beschouwen nog eens het stelsel Smet koëfficiën tenmatrix A. Als de kolommen van A een onafhankelijk n-tal vektoren in IRm (Cm) vormen, dan betekent dat, dat

144 §43

alleen mogelijk is als alle Xj nul zijn; x_j = 0,j := I (l)n. Dat wil zeggen dat het

homo-gene stelsel SH alleen de nuloplossing On heeft; NUL(A)

=

<DH

=

{On}' Het stelsel S is dan öf strijdig, als B niet in de kolomruimte KOL(A) van A zit, öf heeft precies één oplossing P als B wel in KOL (A) zit. Omgekeerd, als het homogene stelsel SH al-leen de nuloplossing heeft, dan vormen de n kolommen van A een onafhankelijk n-tal vektoren in IRm (Cm). Blijkbaar geldt:

SH heeft uitsluitend de nuloplossing On, dan en slechts dan als het n-ta1 kolomvektoren van A onafhankelijk is.

Beschouwen we weer eens het bijzondere geval dat m

=

n, dan is A vierkant, en weten we uit stelling 3 dat de volgende twee uitspraken gelijkwaardig zijn.

1) A is regulier, dat wil zeggen A-I bestaat. 2) SH: AX

=

On heeft alleen de nuloplossing On'

We kunnen hier nu een derde met 1) en 2) gelijkwaardige uitspraak aan toevoegen. 3) De kolommen van A vormen een n-tal vektoren in IRn(Cn) dat onafhankelijk is.

43

Onderzoek naar de aard van een stel vektoren. Uitdunnen van een stel vektoren. Stelling 7

We zullen nu een rekenschema ontwikkelen waarmee we de aard van een r-tal vek-toren in IRn(Cn) vlot kunnen vaststellen.

Het is duidelijk dat als de nu1vektor On deel uitmaakt van een r-tal vektoren, dat r-ta1 afhankelijk is. We gaan daarom uit van een r-tal vektoren {F_j

I

i := 1(l )r} in IRn

(C"), dat de nu1vektor niet bevat; Fj ;f:On, i := 1(l)r. Verder ordenen we de vektoren, wat we weer door een haakjesnotatie tot uitdrukking brengen, en we geven het gehe-le r-tal met één kgehe-leine gehe-letter aan;

f = (F_j

I

i := l(l)r).

Laat nu het r-ta1 vektoren g uit f ontstaan na tenuitvoerlegging van de volgende zogenaamde elementaire bewerkingen.

(i) Verwisselen van de volgorde der vektoren van f.

(ii) Het vermenigvuldigen van één der vektoren van f met een getal ongelijk aan nul. (iii) Het vermeerderen van één der vektoren van f met een veelvoud van een andere

vektor van f.

Dan zijn f en g van dezelfde aard. Voor de bewerkingen (i) en (ii) is dit onmiddellijk duidelijk. We bewijzen de uitspraak voor bewerking (iii). Merk op dat het bewijs overeenkomstig is met dat van stelling 1.

r

Bewijs. Stel dat f onafhankelijk is. Dus uit .~ _{ÀiF i}= On volgt noodzakelijk dat alle À; 1=1

nul zijn: À_i = 0, i:= l(l)r. Laat nu r > 2 en 1~ k

<

Q~ r zijn en laat Jleen getal zijn. We laten het r-tal vektoren g ontstaan uit f door FQ te vermeerderen met Jlkeer F_k.

1

c,

= F_{i ,} i:= l(l)Q-l g = _{(G i}

I

i := l(l)r) met GQ= F Q+ _JlFk

G_i = F_i, i:= Q+l(l)r.

r

We laten zien dat ook g onafhankelijk is; dus dat uit .~ 'YiGi= On noodzakelijk volgt 1=1

dat alle getallen 'Yi nul zijn: 'Yi = 0, i := 1(l)r.

r Q-l r

~ -y.G.= On ~ ~ 'Y. F. + 'YQ(F_Q+ JlF_{k )} + ~ 'Y' Fi = On ~

i=1 I I i=1 I I i=Q+1 I

k-I r

"{We sorteren naar _{F i}"} ~.~ 'YiFi+ ('Yk + _Jl'YQ)Fk +. ~ 'YiFi = On'

1=1 l=k+1

Omdat f onafhankelijk is volgt noodzakelijk hieruit dat: 'Yi = 0, i := l(l)k-l 'Yk

+

Jl'YQ

=

0

'Yi = 0, i:= k+l(l)r. Dus 'YQ = 0 en daaruit volgt dat 'Yk = -Jl'YQ = 0, zodat alle getallen 'Yi nul zijn.

Laat nu f afhankelijk zijn. Dan bewijzen we uit het ongerijmde dat ook g afhankelijk is. Stel hiertoe dat g onafhankelijk is. De omgekeerde elementaire bewerking van de hierboven beschreven bewerking doet na tenuitvoerlegging g overgaan in f. Volgens het bovenstaande is dan ook f onafhankelijk. Tegenspraak, dus g is afhankelijk. 0

Voorbeeld

We onderzoeken de aard van het volgende 4-tal vektoren in IR4,

{~]

,m'[-

iJ '[

~

l}

Om het schrijfwerk te verminderen bergen we deze [

1 4 1 -1]

vier vektoren op als kolommen van één 4 x 4-matrix,

~ ~

_: _: . We gaan nu

5 5 1 2

de bovengenoemde bewerkingen op de kolommen van deze matrix uitoefenen. De aanduiding van die bewerkingen is overeenkomstig met die uit hoofdstuk 1 en spreekt voor zich.

l~

4

-:J

~ l~

0 1

0J

l

0

0

1 0J

7 1 3 1 2 -10 3 -2 -7 2 -1 -1 4 6 -1

-~ ~

-2 00 6 -7 -20

~

5 1 2 4 1 1 1

o

0 +---cd) _~

_*

1 +--@ Q)-+

-w

CD--+-

@---+

146 §43

o

0 1 0 2 -6

o

0 1

o

-3

o

o

0

o

1 -6 2

o

0 <:.:»

-

~

l

r~ ~ ~ ~l

r

~

-20

~

2 0 -3 -6

~

-3

o

0 I 0 0 0

~

o

1 3 -2 6 -7 1 0

<3r

(D---+

0..---+

We zijn aangeland bij een benedendriehoeksmatrix waarvan alle elementen op de

hoofddiagonaal ongelijk aan nul zijn. Daaruit lezen we onmiddellijk af dat de 2e kolom

geen lineaire kombinatie kan zijn van de Ie kolom, vanwege de 1 op de (1,l)-plaats.

Evenzo kan de 3e kolom geen lineaire kombinatie van de Ie en de 2e kolom zijn,

van-wege het niet nul zijn van de diagonaalelementen op de (1,1)- en (2,2)-plaats. Om

de-zelfde reden is de 4e kolom geen lineaire kombinatie van de eerste drie kolommen.

Blijkbaar is geen der kolommen een lineaire kombinatie van de eraan voorafgaanden. Maar dan is het 4-tal onafhankelijk. Wij bewijzen dat algemeen voor het r-tal

f = (F,

I

i:= 1(1 )r) dat in IRn (Cn) ligt.

Bewijs. Stel dat f afhankelijk is. Dan zijn er getallen \ , i := 1(1)r waarvan er

ten-r

minste één niet nul is zodat .L \Fj= On' Laat _À.Q=F 0, terwijl, alsQ=Fr, \ = 0 voor

1=1

i :=Q+1(1)r. Merk op dat Q= 1 uitgesloten is, omdat f de nulvektor niet bevat. Dus

Q Q Q À.. Q-IÀ. .

.L \F j

=

On' .L \F j

=

On ~ .L "\1Fj

=

On ~ .L"\1Fj

+

F_Q

=

On ~

1=1 1=1 1=II\Q 1=II\Q

Q-l\

~ F_Q

=

-L x-Fj, en FQ is een lineaire kombinatie van zijn voorgangers.

j=1 Q

Stel nu dat f een vektor bevat die een lineaire kombinatie van zijn voorgangers is. k-l

Bijvoorbeeld Fk

=

.L ,ujFj, met 2 ~ k ~ r. Dan is

-,uI

F1

-,uz

F

z - ... -

,uk-l F k- 1+

1=1

+ _l-Fk+ _0-Fk+₁+ ... +O-Fr

=

On en f _{is afhankelijk vanwege de I voor F k.}

Met een bewijs uit het ongerijmde, gebruikmakend van het bovenstaande, volgt dat wat we juist hebben bewezen gelijkwaardig is met de uitspraak:

f is onafhankelijk, dan en slechts dan als f geen vektor bevat die een lineaire

kombi-natie van zijn voorgangers is. 0

Passen we dit toe op een nxn-benedendriehoeksmatrix C =

[~:;~],

cn1 cn2 cnn

dan zien we dat het n-tal kolommen van C een onafhankelijk stel vektoren in IRn

(Cn) vormt dan en slechts dan als alle diagonaalelementen van C niet nul zijn. Evenzo

voor een bovendriehoeksmatrix. Dus boven- (of beneden-) driehoeksmatrixen zijn

[10-

1 1

0

- 1

1

7 0 0 0 0

o

10-2 0 5 8 0 0 0 0

o

0 10-3 - 1 is regulier, en 2 3 -2 0 0 is singulier.

o

0 0 10-4 3 - 6 1 5 0 5 7 3 4 9

We onderzoeken de aard van het stel kolomvektoren van de matrixen PI en P_{2 .} 1 -1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 3 2 2 1 - 1 2 0 1 0 PI = 0 1 -2 -3 ~ 0 1 -2 -3 ~ 0 5 -2 -5 = QI . 5 -3 1 9 5 2 1 -1 5 0 1 0 1 3 -3 -5 1 4 -3 -7 1 10 -3 -10 ~

+---C;P

GD

C!)----+

Van de matrix QI is de 4 e kolom gelijk aan (O*le kolom + -1*2e kolom +

+ 0*3e kolom); de 4 e kolom is blijkbaar een lineaire kombinatie van zijn voorgangers en de kolomvektoren van QI, en dus die van PI vormen een afhankelijk stel.

13 10 6 9 4 1 -3 9 0 1 0 0 -8 -7 -3 - 5 -3 -2 2 - 5 5 -2 - 4 1 5 3 4 5 0 -2 -1 5 8 - 2 -7 2 P2 = 12 7 6 8 ~ _{4 -1 -2 8} ~ _{8 -1 - 5 2} ~ 9 7 11 18 -9 -11 -7 18 35 -11 -40 -3 3 15 13 3 0 12 10 3 -48 12 46 33 6 8 -10 5 1 3 -15 5 -11 3 -6 -42 ~ ~(J)-+

CD--*

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -2 1 -4 5 -2 1 0 0 -2 1 0 0 -2 2 -7 8 -2 2 1 -2 -2 2 1 0 ~ _{-1 2 -5 8} ~ _{-1 2 3 - 2} ~ _{-1 2 3 4 = Q2} - 11 -3 - 4 0 35 -11 -3 -52 50 - 11 -3 -52 -54 12 33 46 -48 12 33 158 - 2 13 12 33 158 103 3 -42 -6 -11 3 -42 -174 -221 3 -42 -174 -569 ~

eD----+

@

Geen der kolomvektoren van Q2 is een lineaire kombinatie van zijn voorgangers. Blijkbaar vormen de kolomvektoren van Q2, en dus die van P_{2 ,} een onafhankelijk stel. Laat nu eens het r-tal vektoren f = (F,

I

i := l(l)r) in IRn (en) afhankelijk zijn. Dan bevat f een vektor die een lineaire kombinatie van zijn voorgangers is. Bijvoorbeeld

k-l

is Voor 2 ~k ~ r, F_k = .~ J.LjF_{i .} Schrappen we F_k uit het r-tal f, dan ontstaat het

1=1

(r-l)-tal vektoren h = (Fili:= l(l)k-l, i :=k+l(l)r). Dan is het lineaire omhulsel L(f) van f gelijk aan het lineaire omhulsel L(h) van h.

148 §43

Bewijs. Laat Veen willekeurig gekozen lineaire kombinatie van het r-tal f zijn. Dan

r

zijn er getallen \ , i:= l(1)r zodat V =): \F_{j ,} 1=1 r k-l r k-l k-l r V = ~ \F. = ~ À..F. + _{À.kF k} + ~ \F. = ~ À..F. + _À.k ~ fJ..F. + ~ \F. = kl 1 kl 1 1 kk+l 1 kl 1 1 j=l 1 1 j=k+l 1 k-l r

=

~

()..

+ À.kfJ..)F. + ~ À.F .. j=l ''i 1 1 j=k+l''i 1

Blijkbaar is V een lineaire kombinatie van het (r-l)-tal h. Omdat Veen willekeurig gekozen lineaire kombinatie van f is, is iedere lineaire kombinatie van f ook een lineaire kombinatie van h. Dus L(f) C L(h).

Dat L(h) C L(f) is onmiddellijk duidelijk. 0

Mocht nu het (r- 1)-tal h nog afhankelijk zijn, dan kunnen we weer een vektor uit h schrappen, en spant het overgebleven (r - 2)-tal ook L(f) op. We kunnen zo door-gaan totdat we eindigen bij een onafhankelijk stel vektoren, dat een deelverzameling vormt van f en hetzelfde lineaire omhulsel heeft als f. Dit proces, dat eindigt zodra men op een onafhankelijk stel vektoren stuit, heet het uitdunnen van het r-tal vek-toren f. Het uitgedunde en onafhankelijke stel vektoren waar men ten leste bij aan-landt spant dezelfde deelruimte op als f. We vatten het voorgaande samen in de vol-gende stelling.

Stelling 7

Laat f = (F,

I

i := 1(1 )r) een geordend r-tal vektoren in IRn (Cn) zijn, dat de nulvektor On niet bevat.

1) Ontstaat het r-tal vektoren g uit f na tenuitvoerlegging van één der volgende zo-genaamde elementaire bewerkingen, dan zijn fen g van dezelfde aard.

(i) Verwisselen van de volgorde der vektoren van f.

(ii) Vermenigvuldigen van één der vektoren van f met een getal ongelijk aan nul. (iii) Vermeerderen van een vektor van f met een veelvoud van een andere vektor

van f.

2) f is afhankelijk dan en slechts dan als één der vektoren van f een lineaire kombi-natie is van zijn voorgangers.

Hiermee gelijkwaardig is de uitspraak: f is onafhankelijk dan en slechts dan als geen dervektoren van f een lineaire kom binatie van zijn voorgangers is.

3) Is f afhankelijk, dan kan door uitdunnen van f een onafhankelijk stel vektoren gevonden worden dat dezelfde deelruimte opspant als f.

Opgave

54

a) f = (F,

I

i := l(1)r) is een afhankelijk r-tal vektoren in IRn (Cn). Laat zien dat er geen vektor V in IRn(Cn) bestaat zodat het (r +1)-tal (F,

I

i := 1(1 )r, V) onafhankelijk is.

~ -~ =~l

2 0 I ' 4 5 3 3 1 4 1 6 0 2 2 5 3 0 0 5 3 7

o

1 1 2 3 I 1 2 2 I - I 2 -I 3 4 4 1 5 6

o

o

2

o

L:l,

Ms =

o

-4 I

o

3 2 5 4 -2 1

dat, als r ~ 2, uit g geen afhankelijk stel vektoren kan ontstaan door één der vektoren van g te schrappen.

b) Bewijs: Het r-tal vektoren h in IRn(Cn) is onafhankelijk als geen der vektoren van h een lineaire kombinatie van zijn voorgangers is.

c) Onderzoek voor i := I(1)6 de aard van het stel kolomvektoren in de matrix Mi'

~l

=

[~

(i)

d) (F, G, H) is een onafhankelijk stel vektoren in IRn (Cn) . Onderzoek de aard van de volgende 3-tallen vektoren.

(i) (F + G + H, F + G - H, F - G)

(ii) (F + G + H, F - G + H,2F - G + 2H) (iii) (F+G+H,F+2G,H-G)

(iv) (F

+

2G, H

+

F,H)

e) 0:,{3, 'Y en

5

zijn getallen. Onderzoek voor welke waarden van 0:,{3, 'Y en

5

onderstaande stelsels lineaire vergelijkingen oplosbaar zijn. Een oplossing wordt niet gevraagd.

2x I 2X2 + X3 + 4 X4 = I x I 3X2 - 5x3 - X4 = 2 + 20:X2 + IIx3 + 6X4 = -3 4xI 8X2 - 9X3 + O:X4 ={3

XI + X4 = {3

(ii) 2xI + 3X2 + O:X3 X4 = 0 O:XI + (0:-I)X2 + X4 = 'Y

XI + O:X4 = 0

l

XI + X3 + 0:X4 = I

(iii) (3x1 + X2 + X4 = 1

o:xI + J3X2 + X3 + (0:+2)X4 =0:+3

Onderzoek voor welke waarden van 0: en (3 de bijbehorende homogene stelsels alleen de nuloplossing hebben.

150 §44

44

Basis van een deelruimte

Een basisvoor een deelruimte .1 van IRn (en) is een geordend k-tal vektoren

f = (F i

I

i := 1(1 )k) in .1 met de eigenschappen 1) f spant .1op; .1

=

L(f).

2) f is onafhankelijk.

Iedere vektor in IRn en en is een lineaire kombinatie van de kolomvektoren van de eenheidsmatrix In. Voorbeeld, waarin n

=5.

Xl 1 0 0 0 0 X2 0 1 0 0 0 X3

=

Xl 0 + X2 0 + X3 1 + X4 0 + Xs 0 X4 0 0 0 1 0 Xs 0 0 0 0 1

De kolomvektoren van In spannen dus IRn en en op. Maar bovendien vormen die kolommen een onafhankelijk n-tal, omdat gegroepeerd in In geen ervan een lineaire kombinatie van zijn voorgangers is. Daarmee hebben we een basis voor IRn en en gevonden. We geven die basis aan met e = (Ei

I

i := 1(L)n), waarin Ei de ie kolom-vektor van In is.

o

o

E·I

=

o

1

o

o

+- (l op de ie plaats)

e heet de natuurlijke basisvoor IRn en voor en. Voor de triviale deelruimte {On} van IRn (en) bestaat geen vektor die {On} opspant en tevens onafhankelijk is. Men noemt daarom de lege verzameling cp een basis voor {On}.

We beschouwen eens de nulruimte van de reële 1x5-matrix M

=

[6 -2 3 4] . Dat is de algemene oplossing van de homogene vergelijking

6XI - 2X2 + X3 + 3X4+ 4xs

=

O. Stel x,

=

0:, X2

=

{3, X4

=

"I en x,

=

o.

Dan is een parametervoorstelling van de algemene oplossing

Xl 1 0 0 0 X2 0 1 0 0 X3 =0: -6 +{3 2 +"1 -3 +0 -4 0:,{3,"I,0 in IR. X4 0 0 1 0 Xs 0 0 0 1 ,

-1

o

Het is onmiddellijk duidelijk dat het 4-tal ( -6

o

o

o

1 2

o

o

o

o

-3 1

o

o

o

-4 ) de

nul-o

1

ruimte NUL(M) van [6 -2 3 4] opspant, en daar geen van dit 4-tal een lineaire kombinatie van zijn voorgangers is, is het onafhankelijk en dus een basis voor de nulruimte van M. Merk op dat [1] een basis voor de kolomruimte van Mis. Laat f = (F,

I

i:= 1

Cl

)k) een basis voor de deelruim te .ó. in IRn (en) zijn. Dan is er

voor iedere vektor U in .ó. precies één stel van k getallen xi' i := 1(l)k zodat k

U

=

~

x.r..

i=1 1 1

Immers, stel dat er nog zo'n stel getallen Yi' i:= 1(l)k zou bestaan. Dan geldt

k k k

U

=

~ x.F.

=

~ y.F. ~ ~ (x. - y.)F.

=

On.

i=1 1 1 i=1 1 1 i=1 1 1 1

Omdat f onafhankelijk is, zijn alle Xi - Yi nul; dus Xi = Yi' i := 1(l )k. Deze eigen-schap kenmerkt een basis. Immers, als er voor iedere U in .ó. ondubbelzinnig bepaalde

k

getallen Xi bestaan zodat U

=

.~ _{xiFi, dan spant f ten duidelijkste .ó. op, en}

boven-1=1 k

dien is On alleen te schrijven als ~

o·

_{Fi waaruit volgt dat f onafhankelijk is.} i=1

De getallen Xi heten de koördinaten van U ten opzichte van de basis f. Zij vormen een geordend rijtje getallen dat we in de vorm van een k x I-matrix kunnen opslaan. We voeren een voor zich zelf sprekende notatie in die overeenkomstig is met een notatie uit hoofdstuk 3.

[Uj'

=

r

::l

[U]fheet de koördinatisering van U ten opzichte van de basis f. Is V nog een vektor

in A met

tvi'

=

l:~1

dan is gemakkelijk in te zien dat

[U

+

vi'

=

tur'

+

tvi'.

[ÀU]f

=

À[U]f voor ieder getal À.

Merk op dat de afbeelding U-++ [U]f een lineaire afbeelding is van .ó. naar IRk (ek).

Bovendien is deze afbeelding een bijektie (l-op-l-afbeelding); dat wil zeggen, zowel een injektie (l-in-l-afbeelding), als een surjektie (op-afbeelding).

152 §45

Opgave 55

a) Toon voor i := 1(1)3 aan dat f_i een basis voor IR4 is. Bereken de koördinaten van Pi ten opzichte van de basis f_{i .}

-1]

3 , 2 -1

o

o

-2 2 3 3 -2 6 1 M, =

[~

M,

=

[~

=1

b) Bereken voor i := 1(1)3 een basis voor de nulruimte _NUL(Mi), voor de kolomruimte _{KOL(M i)} en voor de rijruimte _{RIJ(M i)} van de reële matrix Mi'

Bereken de koördinaten van Ui'

Vi

en

\\i

achtereenvolgens ten opzichte van de gevonden basis voor NUL (Mi)' voor _{KOL(M i)} en voor RIJ(MJ

M1

=[

~ =~ =~ ~], Ul=[-~j'

_V1

=[

~], Wl=[-~j'

-5 3 5 -5 -3 -2 0

-2 0

U, -

[-;s:J

V,

=

[rl

w, =

[ü

~J

u,

=

[-n

v.

=

[=~J

w,

= [

-iJ

45

Het begrip dimensie. Stelling 8

Hoewel we een basis voor IRn(en) hebben gevonden is het niet zonder meer duidelijk dat iedere deelruimte van IRn een basis heeft. Verder weten we dat er oneindig veel basissen zijn voor één deelruimte in het platte vlak en in de ruimte. Een deelruimte in IRn zou ook wel eens meer dan één basis kunnen hebben. Maar dan is het niet vanzelfsprekend dat al die basissen voor één deelruim te evenveel vektoren bezitten.

In de volgende stelling tonen we aan dat iedere deelruimte van IRn (Cn)' een basis heeft, en dat alle basissen voor één deelruimte evenveel vektoren bezitten. Dit

kon-stante aantalvektoren in een basis voor een deelruimte zullen we de dimensie van

die deelruimte noemen.

Stelling 8

Laat

t.

een deelruim te van IRn(Cn) zijn, die niet alleen uit de nulvektor On bestaat

Dan geldt:

I) Spant een k-tal vektoren

t.

op, dan is ieder (k+I )-tal vektoren in

t.

afhankelijk.

2)

t.

heeft een basis. Ieder onafhankelijk stel vektoren in

t.

kan worden uitgebreid

tot een basis voor

t..

3) Iedere basis voor

t.

heeft evenveel vektoren.

4) Heeft

t.

een basis die uit k vektoren bestaat, dan is ieder onafhankelijk k-tal

vek-toren in

t.

een basis voor

t..

Merk op dat uit 1) volgt dat ieder (n

+

1)-ta1 vektoren in IRn(C") afhankelijk is.

Immers, de natuurlijke basis e= (E_j, j := I

Cl

)n) spant IRn (en) op.

Bewijs van de stelling.

1) Laat het k-tal vektoren f = (F,

I

i:= I

Cl

)k) de deelruimte ~ opspannen en laat het

(k

+

1)-tal vektoren g= (G,

I

i := I (Ljk

+

I) in

t.

gelegen zijn. Omdat f de

deel-ruimte

t.

opspant is iedere G_i een lineaire kombinatie van f.

=

=

k+1

Stel .I: _{À-jG j}

=

On, dan tonen we aan dat er getallen \ te vinden zijn die niet alle J=1

nul zijn, waarmee we dan aangetoond hebben dat g afhankelijk is.

k+1 k+1

.I: _À-jGj = On ~ .I: À-j(cljFl

+

c 2 jF2

+ ..

.

+

ckjFk) = On

J=1 J=1

~ "{sorteren naar

F)"

k+1 k+1 k+1

~(.I: À-jc1j)F1

+

(.I: À-jc2)F2

+ ... +

(.I: À-jck)Fk = On'

J=1 J=1 J=1

k+1

Aan deze vergelijking is voldaan als voor i := I (Ljk geldt .I: À-jcij = O. Dit leidt tot

J=l

een homogeen stelsel van k lineaire vergelijkingen in de k

+

1 onbekenden À-_j,

154 §45

Omdat dit homogene stelsel meer onbekenden dan vergelijkingen heeft, heeft het volgens stelling 2 een niet triviale oplossing, hetgeen betekent dat er een oplossing bestaat waarvoor niet alle \ nul zijn. Dus g is afhankelijk.

2) Daar Ll=1= {On} is er een vektor F_l =1= On in Ll. Als F_l de deelruimte Ll niet op-spant, dan is er nog een vektor F₂ in Ll die geen lineaire kombinatie van F_l is. Dus (F_l,F_{2 )} is onafhankelijk en in Ll gelegen. Spant (F_l,F₂) Ll niet op dan is er een derde vektor F₃ in Ll die geen lineaire kombinatie van F_l en F₂ is.

Kennelijk is (F_{l ,}F₂,F_{3 )} onafhankelijk en in Ll gelegen. Spant ook (F_l,F2,F_{3 )} Ll

niet op dan kunnen we op deze weg voortgaan totdat we bij een onafhankelijk stel (F,

I

i:= 1(1 )k) aankomen dat Ll wel opspant. Zo'n k ~ n zal zeker gevonden worden omdat ieder (n

+

1)-tal vektoren in Ll, die immers gelegen is binnen IRn (Cn), afhankelijk is. Daarmee is een basis f = (F,

I

i := 1(1 )k) voor Ll gevonden. Op dezelfde wijze kunnen we ieder onafhankelijk stel vektoren in Ll uitbreiden tot een basis voor Ll.

3) Stel Ll heeft twee basissen f = (Fi

I

i := 1(l )k) en g = (Gi

I

i := 1(l)Q). Stel eens dat k

<

Q. Omdat f een basis voor Ll is, spant het k-tal vektoren f de deelruimte Ll op en is ieder (k

+

1)-tal vektoren in Ll afhankelijk. Dus ook het Q-tal vektoren g.

Maar g is een basis, dus onafhankelijk. Tegenspraak. Dus k ~Q. Nu omgekeerd: stel k

>

Q. Dan spant het Q-tal g de deelruimte Ll op en is f enerzijds als k-tal vek-toren afhankelijk en anderzijds als basis onafhankelijk. Tegenspraak. Dus k ~ Q.

Uit k ~Qen k ~Qvolgt dat k = Q.

4) Laat f = (Fili:= l(l)k) een basis voor Ll zijn. Laat g = (Gili_:= l(l)k) een onaf-hankelijk k-tal vektoren in Ll zijn. Stel eens dat g de deelruimte Ll niet opspant. Dan is er een vektor H in Ll die geen lineaire kombinatie is van g. Volgens stel-ling 7 is dan (G,

I

i := 1(1 )k, H) onafhankelijk. Anderzijds spant het k-tal vektoren f Ll op en dus is het (k

+

1)-tal vektoren (G,

Ii := 1(1 )k, H) afhankelijk.

Tegen-spraak. Dus g spant Ll wèl op. Daar g ook onafhankelijk is, is g een basis voor Ll.

o Stelling 8 rechtvaardigt de volgende definitie. De dimensie van een deelruimte Ll van IRn (C"), notatie dim Ll, is het aantal vektoren in een basis voor Ll; dim {On} = O.

Omdat de natuurlijke basis e = (Ei

I

i := 1(1 )n) voor IRn (Cn) n vektoren heeft is dim IRn = n en dim Cn = n.

Opgave 56

a) Voor i := 1(l)3 is zowel <Pi als 'lrj een deelruimte van IR4. Bepaal voor

i := 1(l)3 een basis voor <Pi' een basis voor 'lrj , een basis voor <Pi

+

'lr_{i en een}

basis voor <Pi

n

'lr_i.

~l

=L([H

r

-IJ

[-~},

W

l

=NUL([I

6 5 -2]).

~'=Lc[J[iJ[~}

W,=NUL([l

IJ).

~,

=

RIJC[~

_:

~}

b) ~ en

r

₂ zijn deelruimten in IRs.

2

_{1 -1}

-

3 0]

_{- 11 ).} 3 -5 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ~

=

L( 1 1 1 0 0 ), 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

r;

=

L( 0 0 -2 -1 1 ). 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0

Bereken dim ~ en dim

r

₂ en geef een basis voor

Ti

n r

2 •

c) <P en 'Ir zijn deelruimten van IRn. dim <P + dim 'Ir

>

n. Toon aan dat dim(<P

n

'Ir)

>

o.

d) .6.₁ en .6.₂ zijn deelruim ten van IRn.

Toon aan dat dim .6.₁ + dim .6.₂

=

dim (.6.1 + .6.2 ) + dim(.6.1

n

.6.2 ) .

46

Stelling 9 over kolom- en rijrang van een matrix

Is A een rnxn-m atrix , dan heet de dimensie van de kolomruimte van A de kolomrang van A. De dimensie van de rij ruimte van A heet de rijrang van A.

156 §46

We beschouwen nogmaals het homogene stelsel SH dat A als koëfficiëntenmatrix

heeft. In hoofdstuk 1 hebben we een rekenschema ontwikkeld waarmee we het

stel-sel SH kunnen overvoeren in een met SH gelijkwaardig gereduceerd stelsel TH dat

bestaat uit, zeg r vergelijkingen en dat een koëfficiëntenmatrix, zeg C, heeft.

m

n

A

x

Het is onmiddellijk duidelijk dat de elemen taire bewerkingen van stelling 1, die be-trekking hebben op de vergelijkingen van het stelsel of de rijen van het rekenschema, dezelfde elementaire bewerkingen zijn van stelling 7, als we die betrekken op de rij-vektoren van de koëfficiëntenmatrix. Met stelling 7 trekken we dan de slotsom dat de rijen van A en de rijen van C hetzelfde lineaire omhulsel hebben, en dus dezelfde

dimensie hebben; rijrang A

=

dim Ru(A)

=

dim RU(C)

=

rijrang C.

Nu is C de koëfficiëntenmatrix van een gereduceerd stelsel. De kolommen van C die

maken dat TH een gereduceerd stelsel is, zijn de r kolommen van C waarvan alle

ele-menten nul zijn met uitzondering van het ene element in zo'n kolom dat als spil ge-bruikt is bij het schoonvegen van die kolom. Al die spillen staan in verschillende kolommen en in verschillende rijen van C.

Daaruit volgt, met stelling 7, dat:

1) Het r-tal rijen van C is onafhankelijk en dus is het een basis voor RU (C). Daaruit

volgt dat r

=

rijrang C

=

rijrang A.

2) Het r-tal kolommen van C, waarvan elke kolom een spil bevat, is onafhankelijk,

en de overige kolommen zijn elk een lineaire kombinatie van dit r-tal. Immers, met het voor stelling 7 ontwikkelde rekenschema kunnen we, uitgaande van dit r-tal kolomvektoren met spil, door goed gekozen elementaire bewerkingen de

overige kolomvektoren van C naar O, vegen.

Voorbeeld

l~

0 -7 0 -1

~]~l~

0 0 0 -6 2 -2 0 -6 1 -4 0 -3 I -4 0 -3 0 -4

o

-3 0) @)---+

CD

®

l~

0 0 0 0

~]~l~

0 0 0 -6 2 -2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -3 0 -4 0 -3

+--

<I>

w-o

0 2 -2

o

-3

o

-4

o

0 2 0

o

0

o

-4

o

o

I

o

o

o

o

o

o

2

o

o

o

o

o

o

Blijkbaar is dit r-tal kolomvektoren met spil, een basis c voor de kolomruimte van C en er geldt kolomrang C = dim KOL(C) = r = rijrang C.

Nu hoort bij dit r-tal kolomvektoren c van C precies één r-tal kolornvektoren a van A in de volgende zin. Is de k" kolom van C in c, dan ook de k" kolom van A in a, en omgekeerd; a bestaat dus juist uit die kolommen van A waar een spil in staat. We tonen aan dat a een basis voor de kolomruimte van A is. Daar de onbekenden her-nummerd mogen worden is het geen beperking als we aannemen dat a en c bestaan uit de eerste r kolommen van achtereenvolgens A en C. Nu hebben volgens stelling 1 SH en TH precies dezelfde oplossingen.

Dus uit

o

o

volgt dat a onafhankelijk is omdat c onafhankelijk is. Voegen we aan deze r-tallen van c en a nog een kolomvektor van achtereenvolgens C en A toe, zeg de Qe met r

<

Q,:::;;;; n, dan volgt evenzo uit

= Om ~ "{stelling I}" À-Q +- Qe plaats

o

~C

=

O, ~ À-₁

dl)

+ .

..

+

À-rc(r)

+

_À-Qc(Q)

=

O, À-Q +- Qe plaats

o

158 §47

dat met (CO), C<Q)li:= l(I)r) ook (Ai), AQ)li:= l(I)r) afhankelijk is. We kunnen im-mers ÀQ = 1 kiezen. Kennelijk leidt het uitbreiden van a met een kolomvektor van A

tot een afhankelijk stel vektoren. Het n-tal kolomvektoren van A, dat de kolomruim-te van A opspant, kunnen we dus uitdunnen tot het onafhankelijke r-tal a dat ook de kolomruimte van A opspant. Maar dan is a een basis voor de kolomruimte van A

en geldt kolomrang A = dim KOL(A) = r. Daar ook rijrang A = r hebben we de vol-gende stelling, stelling 9, bewezen.

Stelling 9

Is A een mxn-matrix, dan geldt

kolomrang A = rij rang A.

47

Rang van een matrix en het verband met de dimensie van de nulruimte van de matrix. Steil ing 10

Stelling 9 rechtvaardigt het weglaten van de voorvoegsels "kolom" en "rij" in achter-eenvolgens kolomrang en rijrang. We spreken daarom in het vervolg meestal over de

rang vanA.

We nemen het homogene stelsel SH uit de vorige paragraaf nog even onder de loep. Het aantal rijen van het gereduceerde stelsel TH' dat gelijkwaardig is met SH' bleek gelijk te zijn aan de rang van de koëfficiëntenmatrix A. We vergelijken dit met de uitkomst van het rekenschema uit hoofdstuk 1. We zien dan dat, wat we in hoofd-stuk 1 het aantal vrijheidsgraden van SH noemden en het aantal parameters van de algemene oplossing <PH van SH' juist gelijk is aan het aantal onbekenden, n, van SH verminderd met de rang r van A. Het vermoeden rijst dat het aantal vrijheidsgraden van SH juist gelijk is aan de dimensie van de algemene oplossing <PH van SH' dat is de dimensie van de nulruimte van A. Inderdaad blijkt uit de volgende stelling dat dit het geval is.

Stelling 10

Laat A een mxn-mat rix met rang gelijk aan r zijn en laat de dimensie van de nul-ruimte van A gelijk aan k zijn. Dan geldt

k + r

=

n

ofwel

dim NUL(A) + dim KOL(A) = n.

Gelijkwaardig hiermee is de volgende uitspraak. Is .A de lineaire afbeelding van IRn naar IRm (C" naar Cm) waarvan A een representatie is, dan geldt

tI

I

1

Bewijs. Kies een basis u = (Ui

I

i := 1(1 )k) voor de nulruimte van A. Kies een basis b

=

(BjIj

_

:=

1(1 )r) voor de kolomruimte van A. _{Omdat Bj in} KOL(A) is er een

\\j

in IRn(Cn) met de eigenschap AWj = Bj, j := 1(1)r.

U.

I W.

J

1

=Bj:=1

1

_1Ir_. We tonen aan dat het in IRn (Cn) gelegen (k

+

r)-ta1 vektoren

een basis is voor IRn(Cn) ; dan is k

+

r = dim IRn (en) = n en zijn we klaar. We laten zien dat veen basis voor IRn(C") is door aan te tonen dat voor iedere vektor X in IRn(Cn) ondubbelzinnig bepaalde getallen xi' i := 1(1)k en Yj' j := 1(1)r bestaan zodat

k r

X

=

~

s.u

+ ~ y.Wj i=l 1 1 j=l J •

Laat X een willekeurig gekozen vektor uit IRn(Cn) zijn. Laat Y

=

AX zijn. Dan is Y een lineaire kombinatie van de kolomvektoren van A, en dus is Y in KOL(A). Omdat b basis is voor KOL(A) bestaan er r ondubbelzinnig bepaalde getallen Yj' j := l(1)r Zodat r Stel nu Z

=

X - ~ y.Wj. Dan is j=l J r r AZ

=

A(X - ~ y.Wj)

=

AX - A(~ y.W)

=

Y - Y

=

0 . j=l J j=l J J m

160 §48

Dus Z is in de nulruimte van A. Daar u = (Ui

I

i := 1(l )k) een basis is voor NUL(A)

zijn er k ondubbelzinnig bepaalde getallen xi' i := 1(l)k zodat

k Z

=

.~ _xiUi. 1=1 Er volgt dus r k r X

=

Z + ~ y.Wj

=

~ X·U. + ~ y.W. j=1 J i=1 1 1 j=1 J J

waarmee aangetoond is dat veen basis voor IRn (en) is. o

48

Stelling

11

over stelsels lineaire vergelijkingen. Kenmerken van een

reguliere matrix; nogmaals stelling 3

We passen stelling 10 eens toe op één homogene echte vergelijking in nonbekenden.

De kolomrang van zijn koëfficiëntenmatrix is 1. Dus de dimensie van zijn algemene oplossing is n - 1. Is de vergelijking inhomogeen, dan is de algemene oplossing een lineaire variëteit. Het ligt voor de hand, net als in hoofdstuk 3, aan een lineaire va-riëteit de dimensie toe te kennen van de bijbehorende deelruimte.

Laat Peen vektor en Ll een deelruimte van IRn (en) zijn. Laat I\. de lineaire variëteit

zijn bepaald door I\.

=

{P} + Ll. De dimensie van 1\., notatie dim 1\., is gelijk aan

dim Ll. Een basis voor Ll heet een stel richtingsvektoren voor I\.. P heet een

steun-vektor voor I\.. We zeggen dat I\. evenwijdig is aan Ll.

Een (n -l)-dimensionale lineaire variëteit in JRn(C") wordt een (hvper-Ivlak in JRn

(en) genoemd. Het is de algemene oplossing van één echte vergelijking in n

onbeken-den.

Een I-dimensionale lineaire variëteit in JRn(Cn) wordt een (hvper-lliin in IRn (en)

ge-noemd. Uit stelling 10 volgt dat een hyperlijn in IRn(Cn) de algemene oplossing is

van een stelsel lineaire vergelijkingen in n onbekenden waarvan de koëfficiëntenmatrix

rang n -1 heeft. Merk op dat in JR2 (C2) de begrippen hypervlak en hyperlijn

samen-vallen. In de volgende stelling, stelling 11, ligt besloten wat in het voorafgaande be-handeld is over stelsels lineaire vergelijkingen.

Stelling 11

Laat S een stelsel van m lineaire vergelijkingen in nonbekenden x_{j ,} j := 1(l)n zijn.

Laat A de koëfficiëntenmatrix van S zijn en laat de mxI-matrix B de bekende

ter-men van S herbergen. Laat SH het bij S horende homogene stelsel zijn.

Dan geldt:

1) De algemene oplossing <PH van SH is een deelruimte van IRn (C") met dimensie

n - rang A.

2) S is oplosbaar ~ B in KOL(A) ~ rang A

=

rang [AIB1.

3) Is P een oplossing van S, dan is de algemene oplossing <P van S een lineaire

4-4 5]

[ 2

8 4 -2 , N₃

=

1 -4 J.L 3 -1

2-1 _1]

1 -1 0 1 0 -1 ' 3 -1 -2 <P

=

{P}+ <PH'

We verwoorden stelling 3 nog eens maar nu uitgebreider.

Stelling

3 (uitbreiding)

Is A een vierkante nxn-matrix, dan zijn de volgende uitspraken gelijkwaardig.

1) Ieder stelsel lineaire vergelijkingen met A als koëfficiëntenmatrix heeft precies één

oplossing.

2) A is regulier, dat wil zeggen A-I bestaat.

3) Het n-tal kolomvektoren van A is onafhankelijk.

4) Het n-tal rijvektoren van A is onafhankelijk.

5) rang A = n.

6) detA =1= 0 (alleen bewezen voor n ~ 3).

Opgave 57

a) Bereken voor i := 1(1)5 de rang van de matrix Mi'

[ -1 1

i}

M,

~

U

2 3 4 5 6

n

MI = ~ 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 1 2 0 3 1 M3

~ [~

- 2 2

~l

M. = 3 2 2 3 1 -4 0 0 2 2 3 1 0 1 -1 2 -1 2 -2 4 2 3 -2 5 -3 -2 3 3 5 -4 0 -4 6 1 2 -4 0 M =₅ 0 -1 2 4 -3 2 2 3 -2 -3 0 0 -8 11 4 8 -11 2 -2 2 10 17 -11 2

b) À en J.L zijn getallen. De rang van de matrix Ni is 2, i:= 1(1)3. Bereken voor i := 1(1)3 À en J.L.

[

1 2

À

3]

[2

N,

=

-1 À 2 1 , N₂

=

À

2 1 -3 À 2

c) Ij is een matrix, i:= 1(1)3. Bepaal voor i:= 1(1)3 een basis voor NUL(Ij),

KOL(Ij) en RIJ (Ij),

Pl

=

[~ ~ -~

•

_P2

=

[~

162 §49 2 0 3 -1 3 1

o

2

~ -~J

10 -3 . 8 -3

d) À. en /1 zijn getallen. M is een matrix met rang M

=

2 en KOL(M)

=

RIJ(M). Bereken À. en /1 als M

= [

~ ~ ~].

-3À. 7 /1

e) À., /1 en IJ zijn getallen. P en Q zijn matrixen met RIJ(P) C RIJ(Q).

[

4 2

1~0]

. Bereken À., /1 en IJals P

=

[~ ~

2J en Q

=

2 3

/1 1 1

f)

r

en ~ zijn deelruirnten van 1R4. V is een vektor in 1R4.

1 0 -IJ

2 -1 0 )'

v=m

Bereken een vektor U in

r

en een vektor W in ~ zodat V

=

U + W. g) A is een mxn-mat rix en B is een nxp-matrix.

(i) Bewijs: rang AB ~ rang A rang AB ~ rang B.

P is een inverteerbare mxm-matrix en Q is een inverteerbare nxn-matrix. (ii) Bewijs: rang PA

=

rang A

=

rang AQ.

C is een nxm-matrix waarvoor geldt dat AC

=

Im . (iii) Bewijs: rang CA ~ m.

D is een mxn-mat rix.

(iv) Bewijs: rang (A +0) ~ rang A + rang O. h) Bewijs de tweede uitspraak van stelling 11:

S is oplosbaar ~ rang A

=

rang [A

I

B] .

49

Koördinatentransformatie

Beschikken we over een basis f = (F_i

I

i := 1(l)k) voor een deelruirnte ~ in IRn(en), dan is het soms handig een nieuwe basis voor die deelruirnte te kiezen. De reden daartoe is dikwijls dat men gegevens of uitkomsten eenvoudiger kan formuleren in de nieuwe koördinaten dan in de oude. De gegevens blijken bijvoorbeeld tot zulke een-voudige betrekkingen tussen de nieuwe koördinaten te leiden dat een eeneen-voudige op-lossingswijze van het vraagstuk mogelijk wordt. Of de uitkomsten kunnen met behulp van de nieuwe koördinaten zo worden geformuleerd dat een meetkundige uitleg mo-gelijk wordt die het inzicht in het vraagstuk vergroot. In hoofdstuk 6 zullen we hiervan voorbeelden tegenkomen.

Laat g = (G_jIj := l(l)k) een nieuwe basis voor A zijn waarvan de vektoren als volgt bepaald zijn ten opzichte van de oude basis f.

k Gl

=

tllFl + t 2 lF2 + ... + tklF k

=

i~ltilFi k Gj

=

tljFl + t 2jF2 + ... + tkjF k

=

.~ tijFi 1=1 k Gk

=

tlkFl + t 2 kF2 + ... + tkkFk

=

.~ tikfJ 1=1

Laat U een willekeurig gekozen vektor uit A zijn. Dan kunnen we U op precies één wijze schrijven als lineaire kombinatie van f

k U

=

~ x·p.

i=l 1 l '

en op precies één wijze als lineaire kombinatie van g k

U

=

~ y.G ..

j= 1 J J

We zoeken nu een betrekking tussen de oude koördinaten xi en de nieuwe

koördi-naten Yjvan U. De koördinatiseringen van U ten opzichte van de oude basis f en de

nieuwe basis g geven we achtereenvolgens aan door

[UJoud

~

[UJ'

~

[:J

~

X, en [U]"i'uw

~

[UJ'

~

nJ

~

y

Nu geldt

Daar U op precies één manier geschreven kan worden als

... + x_kF_k volgt k

.~ tljYj

=

xl' J=l

ofwel

tUYl + t12Y2 + + tljYj + + tlkYk

=

Xl t2lYl + t22Y2 + + _{t 2jYj} + + t2kYk = X2

164 §49

Hiermee zijn de gezochte betrekkingen tussen de oude en de nieuwe koördinaten van

U gevonden. De koëfficiëntenmatrix T van dit vierkante stelsel in de konbekenden

Yj, j := 1(l)k staat in de volgende betrekking tot de oude basis f en de nieuwe basis g.

j := l(l)k

De { kolom van T bevat dus juist de koördinaten van de nieuwe { basisvektor G_j

ten opzichte van de oude basis f.

T=

De gezochte betrekkingen tussen de oude en de nieuwe koördinaten kunnen we nu

in één matrixvergelijking gestalte geven.

TY

=

X ~ T[U]nieuw

=

[Ufud.

Daar de kolornvektoren van T een basis vormen voor .1vormen ze een onafhankelijk

k-tal en bestaat, volgens stelling 3, T-1• Blijkbaar is

TY

=

X ~ Y

=

T-1X.

Een overgang van de ene basis naar de andere basis in een deelruimte noemen we een

koördinatentransformatie of korter een transformatie. De betrekkingen

T[Ujnieuw

=

[Ujoud ~ [Ujnieuw

=

T-1_[Ujoud

heten de transformatievergelijkingen, en de matrix T heet de transformatiematrix van

de transforma tie.

Voorbeeld

We gaan in IR3 over van de natuurlijke basis e naar de nieuwe basis b

=

(BI' B2,B3 )

met B,

~

m'

B2

= [ -:]

en B,

=[

-n.

We berekenen de koördinaten van de

[

-46]

vektor V

=

~~ ten opzichte van de basis b. De transformatiematrix M is hier

[

1-1

-S]

[1 -1

-Sl

[YI]

[-46]

M

=

2 1 1 . We moeten dus oplossen 2 1 1 Y2

=

31. Toepas

-1 1 2 1 1 2_ Y3 33

Blijk-haar is V = [V)' =

[

-m

= 7B,

+

8B,

+

9B, = 7

DJ

+

8 [ - : ]

+

9

[i]

en

[V l b

=

m

·

Opgave 58

a) In IR3 gaat men over van de natuurlijke basis e naar de basis b

=

(B j,B2, B3 ).

U en V zijn vektoren in IR3. 1 2 2 3 3" 3 U

=

[UI'

=

[H

[Vlb

=

m

BI

=

_3"2 , B2

=

₃1 , B3

=

-32 2 2 1 -3 ₃ -3

Bereken de transformatiematrix voor de overgang van de e-basis naar de

b-basis. Bereken [U]b en

tvr.

.

b) In IR3 gaat men eerst over van de natuurlijke basis e naar de basis

b

=

(B,,B₂,B_{3 )} en vervolgens van de basis b naar de basis c

=

(Cl,C2 ,C3 ) ·

U is een vek tor in IR3.

[Bd' =

[H

[B,]' =

[n

[B,]' =

[H

[Cdb =

[!l

[C,)b=

[U

[C,]b =

[H

[U)' =

GJ

(i) Ga na dat b en c basissen voor IR3 zijn.

Bereken de transformatiematrix voor de overgang van de

(ii) e-basis naar de b-basis

(iii) b-basis naar de c-basis

(iv) e-basis naar de c-basis

(v) Bereken [U]b en

rur.

c) In IR4 gaat men eerst over van de natuurlijke basis e naar de basis

b = (B}, B2,B3,B4 ) en vervolgens van de natuurlijke basis e naar de basis

c

=

(Cl> C2,C3,C4 ) , U is een vektor in IR4.

166 §50

Cl

~

[-IJ

C, =

[jJ

C, =

[~n

C4

~

[=!l·

(i) Ga na dat b en c basissen voor IR4 zijn.

Bereken de transformatiematrix voor de overgang van de (ii) b-basis naar de c-basis,

(iii) c-basis naar de b-basis, (iv) Bereken

rur

en [U]c.

d) In IRn zijn T en S de transformatiematrixen voor achtereenvolgens de over-gang van de basis e naar de basis f en van de basis e naar de basis g.

Bereken de transformatiematrix voor de overgang van de basis f naar de basis g.

50

Het inprodukt in IR"" Rekenregels

De begrippen lengte van een vektor, loodrechte stand van twee vektoren, afstand en hoek tussen twee vektoren zijn in de ruimte en het platte vlak meetkundig van aard en kennen we door aanschouwing. Die begrippen willen we ook in

JltI

(en) invoeren. We zullen dan wel anders te werk moeten gaan omdat we er ons, als n ~ 4, in IRn geen voorstelling van kunnen maken. We vinden wel in hoofdstuk 3 een aanwijzing hoe te handelen. Immers, daar hebben we die begrippen leren uitdrukken met behulp van het inprodukt. Is !!.een vektor in de ruimte dan is zijn lengte

II!!II

=

..J!!"!!, en is

~ nog een vektor in de ruimte dan staat u loodrecht op y... als !!"~

=

0, en voor de hoek l{) tussen u en ~ geldt dat cos

e

=

g"y/(llgllllyll).

Het ligt daarom voor de hand te pogen een skalair produkt van vektoren in IRn en en in te voeren dat dezelfde reken-regels kent als het inprodukt in de ruimte. Mogelijk kunnen we dan, overeenkomstig met de formules uit hoofdstuk 3 tot een goede definitie van lengte, afstand, lood-rechte stand en hoek geraken in IRn en en. We beginnen met IRn. (Het is hier overi-gens voor het eerst dat we tussen IRn en en moeten onderscheiden.) Voor de invoe-ring van een inprodukt in IRn laten we ons leiden door een formule uit hoofdstuk 3. Hebben namelijk u en Y... ten opzichte van een ortonormale basis e in de ruimte de

koördinatiseringen [y]'

~ [~:] ~

U en

[~]'

= [ ::]

~

Y, dan bleek dat

y'~

= U1V1

+

u,v,

+

u,v,

~

[UI U, u,] [::] = UTy.

Laat nu U en V vektoren in IRn zijn. Het inprodukt van U en V, notatie (U,V>, is het reële getal UTV. Uitgeschreven volgt

De rekenregels voor dit inprodukt blijken dezelfde te zijn als die voor het inprodukt van vektoren in de ruimte. Is W ook een vektor in IRn en is À. een reëel getal, dan geldt

<V,U>

=

<U,V>

<u + V,W>

=

<U,W> + <V,W> <U,V + W>

=

<U,V> + <U,W> <"XU,V>

=

<U,À.V>

=

:VU,V> <U,U> ~ 0

<u,u>

=

0 ~ U

=

On'

Het bewijs van deze regels kan geleverd worden met behulp van de rekenregels van de matrixvermenigvuldiging. We bewijzen de tweede regel.

o

51

Lengte, afstand en de begrippen hoek en loodrecht in IRn

n

<U,U>

=

L Uj2 ~ O. Dus bestaat v'<u,U> voor iedere U in IRn, en is de volgende defi-j=l

tie gerechtvaardigd. De lengte of norm van U, notatie I/UI/, is v'<U,U>. De afstand

tussen U en V, notatie d(U,V), is de lengte van U - V; d(U,V)

=

IIU - VI/. We moeten nog nagaan of de zo ingevoerde lengte en afstand wel de kenmerkende eigenschappen hebben van lengte en afstand die we ervan kennen uit de ruimte en het platte vlak.

We gaan vijf kenmerkende eigenschappen na.

1) Lengte en afstand moeten positief zijn. Dat is duidelijk het geval. 2) Als IIUII = 0, dan moet U = On' Duidelijk aan voldaan.

Als d(U,V)

=

0, dan moet U

=

V. Daar uit d(U,V)

=

IIU - VII

=

0 noodzakelijk volgt dat U - V

=

On is ook hier aan voldaan.

3) Is À. een reëel getal dan moet gelden: IIÀ.UII = IÀ.IIIUII.

I/À-UI/

=

v'<"XU,À.U>

=

v'À.À.<U,U>

=

1À.1v'<U,U>

=

IÀ.II/UI/. Klopt. d(U,V) moet gelijk zijn aan d(V,U).

d(V,U)

=

I/V - UI/

=

l/-l(U - V)II

=

l-llliU - VI/

=

d(U,V). Klopt dus. 4) De afstand moet verschuivingsonafhankelijk zijn. Dat wil zeggen, d(U,V)

=

168

§

51

" "

o

d(U

+

W,V

+

W)

=

IIU

+

W - (V

+

W)II

=

IIU - VII

=

d(U,V). Klopt. 5) De zogenaamde driehoeksongelijkheid moet gelden. Dat wil zeggen

o

L _ __-\,---:l~'1!..

u

d(U,V) ~ d(U,W)

+

d(V,W). Het nagaan van deze eigenschap vergt wat meer werk. We hebben de stelling van Cauchy-Schwarz nodig die als volgt luidt

Zijn zi en wi' i := 1(l)n komplexe getallen, dan geldt

I

n - 1

2

n 2 n 2

~ z.v« ~ ~ Iz·1 .~ lw.l" i=1 1 1 i=1 1 i=1 1

Bewijs. _{Zijn alle getallen zi nul, of alle getallen wi nul, dan zijn beide leden nul. Het} gelijkteken geldt en de bewering is juist. n n

Stel nu dat noch alle zi' noch alle wi nul zijn. Dan is dus .~ Izi

l

2

>

0 en .~ Iwl

>

o.

1=1 1=1

Is À. een willekeurig gekozen komplex getal, dan geldt

We werken het linkerlid uit.

n n _ ~ (z,

+

À.w.)(z.

+

À.w.)

=

~ (z,

+

À.w.)(z.

+

À.w.)

=

i=1 1 1 1 1 i=1 1 1 1 1 n _

=

_i=l~ (z.z,_{1 1}

+

À.z.w._{1 1}

+

À.z·w._{1 1}

+

À.À.w.w.)_{1 1}

=

n _ n _ _ n = _ _ n _ = ~ z.z.

+

À.~

z.v«

+

À.~

z,».

+

À.À.~ w.w· = i=1 11 i=1 1 1 i=1 1 1 i=1 1 1

n 2 n -

_n---=-

-

n 2

=

~ Iz·1

+

À.~ z.v«

+

À.~ z·w.

+

À.À.~ Iw·1 . i=l 1 i=1 1 1 i=1 1 1 i=1 1