Czas pierwszego przejścia
Zagadnienie: jak długo cząstka, znajdująca się w chwili t=0 w pewnym punkcie
przedziału <a,b>, pozostanie w tym przedziale (przypadek jednowymiarowy)
Dwie bariery pochłaniające
Cząstka opuszcza przedział po dotarciu do jednego z krańców i już nie wraca do przedziału Niech w chwili t=0 cząstka znajduje się w punkcie x,
a<x<b.
Prawdopodobieństwo, że po czasie t cząstka jest w
przedziale <a,b> (nie opuściła przedziału)
p
(
x
t
x
)
d
x
G
( )
x
t
b a
,
0
,
,
T- czas, po którym cząstka opuszcza przedział <a,b>
(
T
t
)
p
(
x
t
x
)
d
x
G
( )
x
t
b a
,
0
,
,
Pr
=
=
Niech parametry układu nie zmieniają się w czasie
p
(
x
,
t
x
,
0
) (
=
p
x
,
0
x
,
−
t
)
Spełnione jest więc wsteczne równanie Fokkera-Plancka(
)
( )
(
)
( )
(
)
( ) ( )
( )
( )
G
( )
x
t
x
x
B
t
x
G
x
x
A
t
x
G
t
x
d
x
t
x
p
x
x
B
x
t
x
p
x
x
A
x
t
x
p
t
b a,
2
1
,
,
0
,
,
2
1
0
,
,
0
,
,
2 2 2 2
+
=
+
=
( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
Pr
(
)
0
( )
,
( )
,
0
,
0
,
1
0
,
0
,
0
,
,
2
1
,
,
2 2=
=
=
=
=
=
−
=
+
=
t
b
G
t
a
G
t
T
b
t
x
a
t
x
t
b
a
x
b
a
x
x
G
x
x
x
x
p
t
x
G
x
x
B
t
x
G
x
x
A
t
x
G
t
Równanie na funkcję G Warunek początkowy Warunki brzegowe( )
( )
x
t
dG
t
x
G
,
,
−
- prawdopodobieństwo, że cząstka nie opuściła przedziału <a,b> do chwili t
- prawdopodobieństwo, że cząstka opuściła przedział <a,b> w czasie do t do t+dt Gęstość prawdopodobieństwa dla
czasu pierwszego przejścia
( )
( )
(
)
−
=
−
=
b ax
d
x
T
x
p
dT
d
dT
T
x
dG
T
x
w
,
,
,
,
0
Średni czas pierwszego przejścia
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
− =
=
=
=
=
=
−
=
=
=
0 1 0 0 0 0,
,
1
0
,
0
,
,
,
,
dt
t
x
G
t
dt
t
x
w
t
T
x
T
x
G
x
G
dt
t
x
G
dt
dt
t
x
dG
t
dt
t
x
tw
T
x
T
n n n n- prawdopodobieństwo, że cząstka w ogóle nie opuściła przedziału <a,b> - prawdopodobieństwo, że cząstka kiedykolwiek opuściła przedział <a,b> Podobnie
Scałkujmy obustronnie po czasie równanie na G
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
nT
( )
x
dx
x
T
d
x
B
dx
x
dT
x
A
b
T
a
T
dx
x
T
d
x
B
dx
x
dT
x
A
dt
t
x
G
x
x
B
dt
t
x
G
x
x
A
dt
t
x
G
t
n n n 1 2 2 2 2 0 2 2 0 02
1
0
;
1
2
1
,
2
1
,
,
− −
=
+
=
=
−
=
+
+
=
Podobnie( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
−
=
x a b a x a y a b x b x y a x ax
d
x
B
x
A
x
y
dy
dz
z
B
z
y
y
d
y
dy
dz
z
B
z
y
y
d
y
dy
x
T
2
exp
,
2
Bariera odbijająca w x=a, bariera pochłaniająca w x=b, a<b
Warunki brzegowe( )
,
0
,
( )
,
0
( )
0
,
( )
=
0
=
=
=
= =a x a xx
T
x
b
T
t
x
G
x
t
b
G
( )
=
( )
( )
( )
b x y adz
z
B
z
y
dy
x
T
2
Bariera odbijająca w x=b, bariera pochłaniająca w x=a, a<b
Warunki brzegowe
( )
,
0
,
( )
,
0
( )
0
,
( )
=
0
=
=
=
= =b x b xx
T
x
a
T
t
x
G
x
t
a
G
( )
=
x( )
( )
( )
a b ydz
z
B
z
y
dy
x
T
2
(♠)Przejście nad barierą potencjału
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
− − → − → −
−
=
−
−
=
−
=
=
0 0exp
exp
1
exp
lim
1
exp
lim
1
x a y a y a a x a ydz
D
z
f
D
y
f
dy
D
a
T
D
a
f
y
f
x
d
x
f
D
y
dz
z
y
dy
D
a
T
( )
( )
D
x
f
x =
( )
x
f
Rozpatrujemy potencjał- funkcja bistabilna, niekoniecznie symetryczna Równanie Fokkera-Plancka
( )
( ) ( )
p
( )
x
t
A
( )
x
f
( ) ( )
x
B
x
D
x
D
t
x
p
x
f
x
t
t
x
p
2
,
,
,
,
2 2=
−
=
+
=
Korzystamy ze wzoru na czas pierwszego przejścia dla przypadku bariery odbijającej
w x=-∞, bariery pochłaniającej w x0>b (dowolny
punkt w prawej studni potencjału), w chwili początkowej cząstka znajduje się w x=a (dno lewej studni potencjału)
f(x) x b c a x0 (♠)
=
𝐷
𝐷
ln 𝐷 −
1
𝐷
න
0 𝑥𝐷
1𝑥
′𝑑𝑥
′⇒ 𝐷
1𝑥 = −𝑓′(𝑥)
Średni czas, po jakim cząstka, znajdująca się w chwili początkowej w punkcie x=a, opuści przedział (-∞, x0), przechodząc przez punkt
( )
max
exp
( )
0
b yD
y
f
b
f
→→
−
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− − − − 0exp
exp
1
exp
exp
exp
x a b b y ydy
D
y
f
dz
D
z
f
D
a
T
dz
D
z
f
dz
D
z
f
dz
D
z
f
Wiadomo że 𝑦 ∈ 𝑎, 𝑥0 ; w okolicy y=b, y=x0 funkcja f(y) ma maksimum, więc całka obok słabo zależy od y w okolicach y=b, można więc przybliżyć
Rozwińmy f(x) w szereg wokół x=a, x=b
( )
( )
(
( )
)
( )
( )
(
( )
)
12 2 2 1 2,
2
1
;
,
2
1
−
−
−
+
−
−
f
b
x
b
f
b
f
x
f
a
x
a
f
a
x
f
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
− − −D
a
f
b
f
a
T
D
b
f
D
D
b
y
D
b
f
dy
dy
D
y
f
D
a
f
D
D
a
z
D
a
f
dz
dz
D
z
f
x a bexp
2
exp
2
2
exp
exp
exp
exp
2
2
exp
exp
exp
2 2 2 2 0
Całka obejmująca okolicę x=a:
Całka obejmująca okolicę x=b:
Wzór Arrheniusa
(prawdziwy np. w teorii reakcji chemicznych i in.)
Zauważmy, że skomplikowana całka podwójna zmieniła się dzięki temu przybliżeniu w iloczyn całek
Z górną granicą całki można dokonać zamiany 𝑏 → ∞, ponieważ funkcja wykładnicza pod całką szybko maleje przy oddalaniu się od x=a i taka zamiana nie zmienia istotnie wartości całki.
Wzór Kramersa
