SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 11, 2014-01-03 Całki z funkcji wymiernych: Sposób obliczania całki z funkcji wymiernej na przykładzie całki:

(1)

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 11, 2014-01-03 Całki z funkcji wymiernych:

Sposób obliczania całki z funkcji wymiernej na przykładzie całki:

Z x⁴ + 1 x³− xdx

1. Dzielimy licznik przez mianownik ( o ile st P st Q ) : x⁴+ 1

x³− x = x + x²+ 1 x³− x Obliczamy teraz całkę

Z x²+ 1

x³− xdx (stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika).

2. Sprawdzamy czy licznik jest pochodną mianownika pomnożona przez stałą:

(x³− x)⁰ = 3x²− 1 6= a(x²+ 1)

3. Rozkładamy mianownik na czynniki:

x³− x = x(x − 1)(x + 1)

Uwaga: W rozkładzie tym występują tylko wielomiany stopnia pierwszego lub drugiego z deltą ujemną.

4. Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:

x²+ 1

x(x − 1)(x + 1) = A

x + B

x − 1+ C x + 1

Uwaga: Każdemu czynnikowi w rozkładzie odpowiadają ułamki proste:

1. Czynnik stopnia pierwszego jednokrotny: (x − a) −→ A x − a

2. Czynnik stopnia pierwszego wielokrotny: (x−a)ⁿ −→ A₁

x − a+ A₂

(x − a)²+· · ·+ A_n (x − a)ⁿ 3. Czynnik stopnia drugiego jednokrotny: (x²+ ax + b) −→ Ax + B

x²+ ax + b 4. Czynnik stopnia drugiego wielokrotny: (x²+ax+b)ⁿ−→ A₁x + B₁

x²+ ax + b+ A₂x + B₂ (x²+ ax + b)²+ . . . A_nx + B_n

(x²+ ax + b)ⁿ

Obliczamy niewiadome współczynniki A, B, C : x²+ 1 = A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1)

Wielomiany stopnia drugiego są sobie równe ∀x ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy są równe w 3 różnych punktach:

x = 0 : 1 = −A x = 1 : 2 = 2B x = −1 : 2 = 2C

stąd A = −1 , B = 1 , C = 1 : x²+ 1

x(x − 1)(x + 1) = −1 x + 1

x − 1 + 1 x + 1 5. Obliczamy całki:

Z x⁴ + 1 x³− xdx =

Z

xdx−

Z 1 xdx+

Z 1

x − 1dx+

Z 1

x + 1dx = 1

2x²−ln |x|+ln |x−1|+ln |x+1|+C Przykład: Obliczyć całkę:

Z 2x − 3 x⁴+ x²dx

(2)

Stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika, nie dzielimy więc wielomianów.

Rozkład mianownika na czynniki:

x⁴+ x² = x²(x²+ 1) Rozkład na ułamki proste:

2x − 3

x²(x²+ 1) = A x + B

x² + Cx + D x²+ 1

2x − 3 = Ax(x²+ 1) + B(x²+ 1) + (Cx + D)x²

Porównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach x:

A + C = 0 , B + D = 0 , A = 2 , B = −3 stąd: C = −2 , D = 3

mamy więc:

2x − 3

x²(x²+ 1) = 2 x +−3

x² +−2x + 3 x²+ 1 stąd:

Z 2x − 3

x⁴+ x²dx = 2

Z 1

xdx − 3

Z 1

x²dx − 2

Z x

x²+ 1dx + 3

Z 1

x²+ 1dx = 2 ln |x| + 3

x − ln |x²+ 1| + 3 arc tg x + C całkę

Z x

x²+ 1dx obliczyliśmy przez podstawienie: t = x²+ 1 , dt = 2xdx,

Z x

x²+ 1dx =

Z 1

2tdt = 1

2ln |t| + C = 1

2ln |x²+ 1| + C Przykład: Obliczyć całkę:

Z 4x³ + 6x + 1 x⁴+ 3x²+ x + 2dx

Licznik jest pochodną mianownika, więc podstawiamy t = x⁴+ 3x²+ x + 2 i dostajemy:

Z 4x³ + 6x + 1

x⁴+ 3x²+ x + 2dx =

Z 1

tdt = ln |t| + C = ln |x⁴+ 3x²+ x + 2| + C

Całki z funkcji:

Z

R



x, ⁿ

sax + b cx + d



dx

Całki takie sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej przez podstawienie: ax + b cx + d = tⁿ Przykład: Obliczyć całkę

Z 1

√x +√³ xdx Podstawiamy: x = t⁶ , dx = 6t⁵dt

Z 1

√x +√³ xdx =

Z 6t⁵dt t³+ t² = 6

Z t³dt t + 1 = 6

Z

(t²−t+1− 1

t + 1)dt = 2t³−3t²−6 ln |t+1|+C = 2√

x − 3√³

x − 6 ln |√⁶

x + 1| + C

Przykład: Obliczyć całkę

Z s

x − 1 x + 1dx Podstawiamy: x − 1

x + 1 = t² , wtedy:

x − 1 = xt²+ t² x(t²− 1) = −1 − t² x = −1 − t²

t²− 1

dx = −2t(t²− 1) + 2t(1 + t²)

(t² − 1)² dt = 4t (t²− 1)²dt

(3)

Z s

x − 1 x + 1dx =

Z

t 4t

(t²− 1)²dt =

Z 4t²

(t − 1)²(t + 1)²dt Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:

4t²

(t − 1)²(t + 1)² = A

t − 1 + B

(t − 1)² + C

t + 1+ D (t + 1)²

4t² = A(t − 1)(t + 1)²+ B(t + 1)² + C(t − 1)²(t + 1) + D(t − 1)² Przyrównujemy wielomiany stopnia ¬ 3 w 4 różnych punktach:

dla t = 1 : 4 = 4B =⇒ B = 1 dla t = −1 : 4 = 4D =⇒ D = 1

dla t = 0 : 0 = −A + 1 + C + 1 =⇒ C − A = −2 dla t = 2 : 16 = 9A + 9 + 3C + 1 =⇒ 3A + C = 2 stąd:

A = 1 , C = −1

Z 4t²

(t − 1)²(t + 1)²dt =

Z 1

t − 1dt +

Z 1

(t − 1)²dt −

Z 1 t + 1dt +

Z 1

(t + 1)²dt = ln |t − 1| − 1

t − 1 − ln |t + 1| − 1 t + 1+ C więc:

Z s

x − 1

x + 1dx = ln

sx − 1 x + 1 − 1

− 1

q_x−1

x+1 − 1− ln

sx − 1 x + 1 + 1

− 1

q_x−1

x+1 + 1 + C Całki z funkcji trygonometrycznych:

Często wykorzystujemy pewne wzory trygonometryczne.

Przykład: Obliczyć całkę:

Z

sin 3x cos 6xdx

Z

sin 3x cos 6xdx =

Z 1

2(sin 9x − sin 3x)dx = − 1

18cos 9x +1

6cos 3x + C Całki z wielomianów trygonometrycznych:

Całki takie obliczamy jako sumę całek:

Z

sinⁿx cos^mxdx Są dwa przypadki:

1. Jedna z liczb n ,m jest nieparzysta. Podstawiamy wtedy t = cos x, gdy n jest nieparzysta, t = sin x, gdy m jest nieparzysta. (jeśli obie są nieparzyste to mamy obie możliwości).

Przykład: Obliczyć całkę: I =

Z

sin³x cos⁴dx =

Z

sin²x cos⁴sin xdx =

Z

(1−cos²x) cos⁴sin xdx Podstawiamy: t = cos x , dt = − sin xdx

I = −

Z

(1 − t²)t⁴dt =

Z

(t⁶− t⁴)dt = 1 7t⁷ −1

5t⁵+ C = 1

7cos⁷x − 1

5cos⁵x + C 2. Obie liczby n ,m są parzyste. Korzystamy wtedy ze wzorów:

cos²x = 1 + cos 2x 2 sin²x = 1 − cos 2x

2

Przykład: Obliczyć całkę:

Z

sin⁴xdx

Z

sin⁴xdx =

Z

(sin²x)²dx =

Z (1 − cos 2x)²

4 dx = 1

4

Z

(1 − 2 cos 2x + cos²2x)dx = 1 4x − 1

4sin 2x+1 4

Z 1 + cos 4x

2 dx = 1 4x−1

4sin 2x+1 8x+ 1

32sin 4x+C = 3 8x−1

4sin 2x+ 1

32sin 4x+C Całki z funkcji wymiernych trygonometrycznych:

Z

R (sin x, cos x) dx

(4)

Całki takie obliczamy stosując podstawienia: t = sin x , t = cos x , t = tgx

2 , t = tg x i.t.p.

Uwaga: Podstawienie t = tgx

2 zawsze sprowadza całkę

Z

R (sin x, cos x) dx do całki z funkcji wymiernej. Jeżeli, jednak uda się zastosować podstawienia: t = sin x , t = cos x , lub t = tg x, to otrzymana całka jest zwykle prostsza.

Z cos³x sin²x + 1dx I =

Z cos³x

sin²x + 1dx =

Z (1 − sin²x) cos x sin²x + 1 dx stosujemy podstawienie t = sin x , dt = cos xdx I =

Z 1 − t² t²+ 1dt =

Z

(−1 + 2

t²+ 1)dt = −t + 2 arc tg t + C = − sin x + 2 arc tg(sin x) + C Przykład: Obliczyć całkę: I =

Z 1

cos x + 2dx stosujemy podstawienie t = tg^x₂

wtedy:

x = 2 arc tg t dx = 2

1 + t²dt

cos x = cos^{2 x}₂ − sin^{2 x}₂ = cos^{2 x}₂ − sin^{2 x}₂

cos^{2 x}₂ + sin^{2 x}₂ = 1 − tg^{2 x}₂

1 + tg^{2 x}₂ = 1 − t² 1 + t² sin x = 2 sin^x₂cos^x₂ = 2 sin^x₂cos^x₂

cos^{2 x}₂ + sin^{2 x}₂ = 2 tg ^x₂

1 + tg^{2 x}₂ = 2t 1 + t² Mamy:

I =

Z 1

1 − t² 1 + t² + 2

· 2

1 + t²dt =

Z 2

1 − t²+ 2 + 2t² =

Z 2

t² + 3dt = 2 3

Z 1

√t 3

!2

+ 1 dt =

2 3

√

3 arc tg t

√3 + C = 2√ 3

3 arc tg tg^x₂

√3

!

+ C

Całki z funkcji wymiernych zależnych od e^x:

Z

R(e^x)dx

Całki takie obliczamy stosując podstawienie: t = e^x Przykład: Obliczyć całkę: I =

Z 1

e^x+ 1dx Podstawiamy t = e^x , dt = e^xdx , dx = dt

t I =

Z 1

t(t + 1)dt

Rozkładamy na ułamki proste:

1

t(t + 1) = A t + A

t + 1 1 = A(t + 1) + Bt dla t = 0 : A = 1

dla t = −1 : −B = 1 =⇒ B = −1 I =

Z 1 tdt −

Z 1

t+!dt = ln |t| − ln |t + 1| + C = ln |e^x| − ln |e^x+ 1| + C = ln e^x

e^x+ 1 + C

Całki z funkcji wymiernych zależnych od sinh x i cosh x:

Z

R(sinh x, cosh x)dx

(5)

Całki takie obliczamy sposobami analogicznymi dla całek z funkcji trygonometrycznych lub stosując podstawienie t = e^x

Z sinh x cosh x + 4dx Podstawiamy t = cosh x , dt = sinh xdx

I =

Z dt

t + 4 = ln |t + 4| + C = ln | cosh x + 4| + C

Całki z funkcji wymiernych zależnych od x i √

ax²+ bx + c:

Z

R(x,√

ax²+ bx + c)dx

1. Czasami udaje się obliczyć całkę stosując podstawienie: t = ax²+ bx + c Przykład: Obliczyć całkę: I =

Z

x³√

x²+ 2dx

Podstawiamy: t = x²+ 2 , dt = 2xdx , x³dx = x²· xdx = (t − 2)1 2dt I =

Z √

t(t − 2)1

2dt = 1 2

Z

t√ tdt −

Z √

tdt = 1 5t

5 2 −2

3t 3

2 + C = 1 5

√

x²+ 2⁵−2 3

√

x²+ 2³+ C 2. Stosując podtsanienie liniowe s = Ax + B można przekształcić wyrażenie ax²+ bx + c do postaci: 1 − s² , s²+ 1 lub s²− 1 a następnie stosując obpowiednio podstawnienia:

1 − s² : s = sin t , √

1 − s² =√

1 − sin²t =√

cos²t = cos t s²+ 1 : s = sinh t , √

s²+ 1 =

q

sinh²t + 1 =

√

cosh²t = cosh t s²− 1 : s = cosh t , √

s²− 1 =

q

cosh²t − 1 =

√

sinh²t = sinh t można pozbyć się pierwiastka.

Z 1

√x² + 1dx Postawiamy x = sinh t , dx = cosh tdt,√

x²+ 1 =

q

sinh²t + 1 =

√

cosh²t = cosh t I =

Z cosh t cosh tdt =

Z

dt = t + C = sinh⁻¹x + C = ln(x +√

x²+ 1) + C Przykład: Obliczyć całkę: I =

Z 1

√x² − 1dx Postawiamy x = cosh t , dx = sin tdt, √

x²− 1 =

q

cosh²t − 1 =

√

sinh²t = sinh t I =

Z sinh t sinh tdt =

Z

dt = t + C = cosh⁻¹x + C = ln(x +√

x²− 1) + C

Uwaga: Podstawiając x = cosh t robimy założenie, że x > 0 . Dla x < 0 podstawiamy x = − cosh t. Ponadto zakładamy, że t 0.

Z √

x − x²dx

√x − x² =

s

−(x − 1 2)²+ 1

4 = 1 2

q

1 − (2x − 1)² Postawiamy 2x − 1 = sin t , 2dx = cos tdt, √

x − x² = 1 2

q

1 − (2x − 1)² = 1 2

q

1 − sin²t = 1

2cos t I =

Z 1

2cos t · 1

2cos tdt = 1 4

Z

cos²tdt = 1 4

Z 1 + cos 2t

2 dt = 1 8t + 1

16sin 2t + C = 1 8t + 1

8sin t cos t+C = 1 8t+1

8sin t

q

1 − sin²t+C = 1

8arc sin(2x−1)+1

8(2x−1)^q1 − (2x − 1)²+C 3. Jeżeli w wielomianie ax²+ bx + c mamy ∆ = b² − 4ac > 0 to można przekształcić:

(6)

√ax²+ bx + c = ^qa(x − x₁)(x − x₂) = ±(x − x₁)

s

ax − x₂

x − x₁ i zastosować podstawienie:

ax − x₂ x − x₁ = t²

Z √

x − x²dx

√x − x² =^qx(1 − x) = x

s1 − x

x ( x > 0 )

Podstawiamy: 1 − x

x = t² , wtedy:

1 − x = xt² x(t²+ 1) = 1 x = 1

t²+ 1 dx = −2t

(t²+ 1)²dt

Z

x

s1 − x x dx =

Z 1

t²+ 1t −2t

(t²+ 1)²dt =

Z −2t² (t²+ 1)³dt Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:

−2t²

(t²+ 1)³ = −2t²− 2 + 2

(t²+ 1)³ = −2(t²+ 1)

(t²+ 1)³ + 2

(t²+ 1)³ = −2

(t² + 1)² + 2 (t²+ 1)³ Korzystając ze wzorów rekurencyjnych, obliczamy:

Z −2t²

(t²+ 1)³dt = −2

Z 1

(t² + 1)²dt+2

Z 1

(t²+ 1)³dt = −t

t²+ 1−arc tg t+ t

2(t²+ 1)²+ 3t 4(t²+ 1)+ 3

4arc tg t + C = t

2(t²+ 1)² − t

4(t²+ 1) −1

4arc tg t + C więc:

Z √

x − x²dx =

q1−x x

2(^1−x_x + 1)² −

q1−x x

4(^1−x_x + 1) − 1 4arc tg

s1 − x

x + C = 1 4

s1 − x

x (2x² − x) − 1

4arc tg

s1 − x

x + C = 2x − 1 4

√x − x²− 1 4arc tg

s1 − x x + C