Piwowar A.: The stability examination method of LTV systems, Mater. konf. XXXVII IC-SPETO, Ustroń, 21-24 maj 2014, s. 39
ANNA
PIWOWAR
POLITECHNIKA ŚLĄSKA, GLIWICE
THE STABILITY EXAMINATION METHODS OF LTV SYSTEMS
METODY BADANIA STABILNO
Ś
CI UKŁADÓW LTV
Słowa kluczowe:LTV, stabilność, BIBO Wstęp
W artykule omówiono wybrane i wykorzystywane w bada-niach nad układami o zmiennych w czasie parametrach LTV (ang. linear time varying) metody wyznaczania warunków stabilności tych układów. Opis matematyczny układów LTV przeprowadza się w dwojaki sposób. Pierwszy z nich wykorzystuje równania stanu [1]:
) ( ) ( ) ( ) ( ' t At yt xt y = + , (1)
Druga metoda opisu układów parametrycznych wyko-rzystuje splot parametryczny [1], [4] względem impulsowej funkcji przejścia układu h(t,
τ
). Spośród wielu sposobów badania stabilności układów LTV do częściej stosowanych zaliczyć można wymienione w pozostałych punktach artykułu metody. Na ogół, różne kryteria stabilności podają tylko warunki wystarczające stabilności, a wyznaczone na ich podstawie obszary stabilności układów mogą być różne.1. e-stabilność układów LTV
Analizę stabilności układów w sensie BIBO przeprowadzić
można poprzez badanie warunków ich e-stabilności (ang. exponential stability) [1]. Można wykazać [4], że jeżeli elementy macierzy stanu A(t) są funkcjami ciągłymi dla czasu i rozwiązania równania jednorodnego ~ ty() odpo-wiadającego równaniu (1) spełnia oszacowanie [1]:
, e ) 0 ( ) ( ~ at b t ≤ y − y a,b∈R+,t∈ 0,∞) (2)
to układ jest e-stabilny. Warunkiem koniecznym i wystar-czającym stabilności układu w sensie BIBO jest jego e-stabilność.
2. Stabilność krótkoczasowa układów LTV
Dla układów LTV opisywanych liniowymi równaniami stanu (1) wprowadza się trzy definicje stabilności krótkoczasowej [3]. Najogólniejszą z nich jest definicja względem warunków początkowych, opisanych wektorem
y(t0) dla wektora wymuszeń x(t)≡0. Według tej definicji,
układ (1) jest krótkoczasowo stabilny dla zadanych parametrów liczbowych i funkcyjnych ε0, εf (t), c(t), t∈R+,
gdy z warunków: 0 1 0 0) ( ) ( =
∑
≤ε = n i i t y t y i () () () 1 t t x t f n i i ≤ε =∑
= x , (3) wynika że: ) ( ) ( ) ( 1 t c t x t n i i ≤ =∑
= y , (4) w przedziale czasu [t0, t0+T] [3].3. Badanie stabilność układów LTV typu frozen Bezpośrednie badanie e-stabilności wymaga konstrukcji oszacowania (2) rozwiązań fundamentalnych równań
stanu. W przypadku sekcji parametrycznych pierwszego
rzędu uzyskanie tych oszacowań nie jest trudne [4]. Dla sekcji parametrycznych drugiego rzędu konstrukcja oszacowań jest bardzo trudna, gdyż wymaga analizy złożonych wyrażeń zawierających funkcje Bessela i funkcje hipergeometryczne [4]. W takim przypadku badanie e-stabilności układów implikującej ich stabilność
w sensie BIBO wygodnie jest przeprowadzać, wykorzystując pojęcie uogólnionych wartości własnych układów LTV z zamrożonymi współczynnikami (ang. frozen LTV systems) [2], [4]. Można wykazać, że [2] układ parametryczny opisany równaniem stanu (1) jest klasy frozen, gdy elementy macierzy stanu A(t) są funkcjami ciągłymi dla czasu t∈[0,∞) oraz spełnione są warunki: supǁA(t)ǁ<∞ i supǁA(t)ǁ<∞ dla t≥0. Jeżeli uogólnione wartości własne λi(t), macierzy A(t) spełniają warunki
:
{ }
() 0 Re 0 ≤ ≥∧
i t tλ
, i=1,2…, (5)to układ LTV jest E-stabilny czyli BIBO stabilny. 5. Podsumowanie
W ramach badań dotyczących analizy sekcji parametrycznych prowadzono prace dotyczące analizy stabilności tych sekcji różnymi metodami. Dla sekcji pierwszego rzędu wykorzystano bezpośrednią metodę
badania e-stabilności wykazano, że sekcje takie mogą
być stabilne gdy funkcje parametryzujące w skończonych przedziałach przyjmują ujemne wartości. Podobne wyniki uzyskano analizując warunki tzw. stabilności krótko-czasowej sekcji LTV. Przy badaniu uogólnionych wartości własnych układów typu LTV frozen, uzyskuje się wyniki narzucające większe ograniczenia na przebieg zmienności funkcji parametryzujących. Szczegółowe wyprowadzenia i określenie obszarów stabilności układów LTV zostaną przedstawione w rozszerzonej wersji artykułu.
Bibliografia
[1]. D’Angelo H.: Linear Time-Varying Systems. Analysis and
Synthesis, Allyn and Bacon, Inc. Boston 1970.
[2]. Da Cunha J.: In stability Results for Slowly time varying
dynamic systems on time scales, J. Math And Appl., No.
328, 2007, Elsevier, pp. 1279 – 1289.
[3]. Davari A., Ramanathaiah, R.K.: Short-Time Stability
Analysis of Time-Varying Systems, Proc. Symp. on System
Theory, 20-22 March 1994, pp.302-304
[4]. Piwowar A: Analysis of parametric systems with first and
second order sections, Rozprawa doktorska, Wydział
Elektryczny, Politechnika Śląska, Gliwice 2011.
Dr inż. Anna Piwowar Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny
Instytut Elektrotechniki i Informatyki ul. Akademicka 10
44-100 Gliwice
