Metody rozwiązania zadania prostego dla przepływu transonicznego w palisadach łopatkowych

ZESZYTY MtgrOire POLITECHNIKI SIĄSKIE!_____

Seria: ENERGETYKA z. 87

Tadeusz CHtUELNIAK

Instytut Maszyn i Urządzeń Energetycznych Politechniki Śląskiej•

METODY ROZWIĄZANIA ZADANIA PROSTEGO DLA PRZEPŁYWU TRANSONICZNEGO 77 PALISADACH ŁOPATKOWYCH

Streszczenie: Podano przegląd głównych metod rozwiązania zadania prostego teorii palisad w zakresie ustalonych przepływów transonicz- nych. Skupiono uwagę; na przedstawieniu grupy metod kolejnych kroków czasowych czyli metod całkowania pomocniczego zadania początkowo-brze- gowego oraz opisie metod rozwiązania zadania Neumanna dla potencjału prędkości (metod relaksacji).

1. Wprowadzenie

W kanałach sprężających i ekspansyjnych prędkość czynnika może w ogólnym przypadku zmieniać swoją wartość od dokrytycznej do nadkrytycznej. Analizie matematycznej tak zmiennej fizycznie struktury przepływu ustalonego (prze p- ływów transonicznych) towarzyszy istotna trudność związana z przejściem (w jednym kanale) od eliptycznego do hiperbolioznego zadania brzegowego.

Z tym samym rodzajem trudności spotykamy się rozpatrując przepływ wokół po­

jedynczego profilu.

Do wyznaczenia prędkości i gęstości w obszarze ustalonych przepływów transonicznych stosowane są zazwyczaj dwie grupy metod: całkowania pomocni­

czego zadania początkowo-brzegowego (grupa metod kolejnych kroków czasowych) i metod relaksacji. Dla obu rodzajów metod są charakterystyczne różne pos­

tacie równań opisujących przepływ.

2. Całkowa i różniczkowa postać rowiań zachowania.

Pomocnicze zadanie początkowo-brzegowe tworzą: układ nieustalonych rów­

nań zachowania:ciągłości, pędu i energii, równanie stanu, odpowiedni waru­

nek początkowy oraz warunki brzegowe. Wychodząc z przyjętego (fikcyjnego) stanu początkowego przechodzimy w procesie obliczeniowym poprzez kolejne stany nieustalone do żądanego stanu ustalonego. Taki sposób postępowania stanowi ideę,-metody kolejnych kroków czasowych (metody ustalenia).

Podstawowy układ równań zapisuje się dla tej grupy metod albo w postaci całkowej lub w zachowawczej postaci różniczkowej {np. 1],

1984 Nr kol. 806

44 T. Chalelnltl Całkowy zapis praw zachowania dla bezwzględnego przepływu trójwymiarowe go płynu idealnego prowadzi do zależności:

Q _

mL J Pdv + | $ dS = 0, P = P ,T, h;

gdzie:

r s , ęc l

ę(ć ń)

ę(ć ń) (ć jj + inp J G w # ń) (ó 3) + 3«p

<?ć k ^(e n) (ć Ł) +

$(e + \ ° 2 ) <>(h + 2 c2)( 5 n ) P =

c = c1 i + c2 j + Cj k - prędkość bezwzględna czynnika,

n (n^j-wektor jednostkowy normalny do powierzchni S ograniczającej objętośl V, p - ciśnienie, ^ - gęstość, e - wewnętrzna energia właściwa, Q2 = ćc, h - włas ciwa entalpia, T - temperatura bezwzględna płynu.

1 2

Równania {1) pozwalają wyznaczyć ę(t), gC (t) i ę(e + 2 c )= 1 (t) wewnątrz danego elementu o objętości V w oparciu o wartości p, ę i c (dla gazu doskonałego ^ e = g 2 - p, k - wykładnik izentropowy),określone

dla danego momentu czasu t = t0 na powierzchni S ograniczającej V. ’7 tym przypadku,gdy objętość V nie zmienia się w czasie, pierwszy człon można za­

pisać w postaci

W przepływie dwuwymiarowym S7 = & h dA, dS = A h d l (ah stała wysokość ba­

danego elementu, dl - element konturu 1A ograniczającego dS).

Po rozpisaniu pierwszego z równań (1) znajdujemy w tym przypadku ;

i h j s “ +ł $ ° i ni dl =0

A l-A

O f } f ci ^ t°jn j) dl + j p n^dl = 0 ¡2) La

O

7 JT dA + + \ c2 ) n£l = 0,

przy czym dla przyjętego kierunku obejścia konturu I (rys.1) wektor jed­

nostkowy n ma postać,4

Metody rozwiązania zadania prostego.. 45

E y 8 „ 1

Rys.2

W ogólnym zadaniu palisadowym rozpatruje się opływ strugą o zmiennej grubości A h profilów umiejscowionych na danej osiowosymetrycznej powierz­

chni prądu. Dla merydionalnego układu współrzędnych) m,®,9 wersory >

rys.2 ) , wirującego ze stałą prędkością kątową 05 , układ równań zachowania

sprowadza sie w tym przypadku do postaci;

^

J

J H

r ¿ h ę

*1 =

r A h ę w m.

H,

r A h p w i u

.u r 1 i 2 2 2 „ rAhpfe + *• w + w — u }J

i1 2 u m “

0

. v. i ,2 O r 0 ( r ńh|

■ ¿ h f ti - rto) 7 — . - p - i ---- - V u ' Q m r (3a

A h p w (w - 2 r « h s -

r ę w n a h

r ę h h w n (w ^-n^p

r ^ A h w E Iw e I + n l 2P r^Ahfw n)

O m

2 2

,

" = wm e1 + w u V *2 = h + 5 (wm + w u “ “ r ‘

A b T. Chaielniłk Rozpatrywanym równaniom w postaci całkowej odpowiadają układy równań róż­

niczkowych (o postaci diwergentnej). Z (1) otrzymujemy po wprowadzeniu wektorów (s = g (e + i c2 )):

M ę » S ei» § c 2 , ^c3 , EJ, B[ ^ c 1 , j Cl + p, §c-c3> Cl (E+p)J,

C l S°2’ S C1C2’ Sc2 + p* t°1C3’ c2 (S+p) J* Dl % c3’ S0103* $C2C3’

2

P + ę<=3 , c3 ¡3+p)J

,na3tępujący układ równań różniczkowych ;

tg O ii O £ O C O ID

U . B . C . D ) = o T + ó x T + 6xT + o T t1 ( i x 2 O x ^ = 0 ( 4)

iiatomiast z (2) wynika układ

0 1 0 3 . O K - ,

O t + ÓTS + O f = ^ ( 5 >

gazie:

2 2

J [ r A h ^ , r i h j w^, r A h £'vu, r A h ^ (e + 1/2 (w^ + w - u )] ;

J [ r A h ę v » m , r A h (^ w^2 + p ), r A h ^ w^ w^, r i h Hg ]|

K [ ? A h w u, ? A h wn w u, A h ( s w u2 + p ) , A h 5 w u H H J,

Ł[ O, - A h s (wu - ru)2 2 1 _ p , § A h wffi(wu - 2 rco) , o ].

Zauważmy, że równania (5) nie mają w pełni postaci zachowawczej ze wzglę­

du na rożną od zera wartość wektora Ł (tak bedzie też dla przepływów względ­

nych w karjtezjsnskim układzie współrzędnych oraz dla większości krzywoli­

niowych układów współrzędnych niekoniecznie w przepływie względnym).

"/e wszystkich przypadkach przy zastosowaniu powyższych równań do budowy schematów różnicowych zachowana jest masa i energia , natomiast nie wszyst­

kie składowe pędu podlegają pełnemu zachowaniu na siatce różnicowej. Hp.dla przepływu względnego w kartezjańskim lub cylindrycznym układzie współrzęd­

nych zachowana będzie na siatce różnicowej składowa pędu w kierunku ^(z.), natomiast z (5) wynika, że dla merydionalnego układu współrzędnych nie za­

chowane są w sposób pełny obi« składowe pędu.

Dyskusję różnych aspektów diwergentnej postaci równań zachowania masy, pędu i energii w krzywoliniowych układach współrzędnych zawierają opracowania 12.3,4,5,6],

3. Kćwnanla potencjału prędkości.

Przepływy w palisadach można analizować także w przybliżeniu potencjal­

nym. i7tedy fundamentalny układ równań sprowadza się do równania potencjału prędkości (c = v 0 )

V [ V 0 V 0 ) V 0 - a2 V 2 0 = 0, (6)

równania Bernoulliego oraz związków charakterystycznych dla procesów izen- tropowych.

17 kartezjańskin układzie współrzędnych równanie t6) zapisuje się w postaci;

Si. {2 Ź\- .1. c c s s h . . o O x , \ Q x . l 2 °lci f i x . X . - U

1 i a i j

Historycznie rzecz biorąc pierwsze skuteczne metody numerycznego rozwią­

zania zagadnienia mieszanego dotyczą liniowego równania potencjału otrzy­

manego z (6) po zastosowaniu teorii małych zaburzeń dla opływu potencjal­

nego profiiSŁ. XI 1971 r. Ilurman i Cole [ 7] zaproponowali zróżnicowaną w za­

leżności od rodzaju przepływu postać operatorów różnicowych do dyskusji równania

[ K - (k+1) ^ | ] -^-| + = o, (7) Q x O y

gdzieś

K - parametr podobieństwa ( K ~ S ), k - wykładnik izentropowy,

? - liczba charakteryzująca grubość profilu.

Od tej pory obserwujemy szybki rozwój tego typu postępowania do rozwiązania zarówno liniowych, jak i pełnych równań potencjału prędkości. Główną uwagę jak dotąd skupiano na badaniu prostego zadania dla pojedynczych profilów [np. 1.8.9.1C3. XI ostatnim okresie czasu zaznacza się także mocniejsze zain­

teresowanie problematyką palisadową [np. 11,12,13].

Przy rozpatrywaniu przepływów palisadowych należy brać pod uwagę pełne . równanie potencjału. Istota stosowanych operatorów różnicowych wymaga wy­

odrębnienia kierunku przepływu. To z kolei wymusza przyjęcie odpowiedniego układu współrzędnych,ułatwiającego konstrukcję operatorów różnicowych oraz prawidłowe określenia obszarów poddźwiekowych i naddźwiękowych. Trzy nastę­

pujące propozycje śą godne uwagi.

XI [12] do analizy przepływu w palisadach przyjęto krzywoliniowy układ współ­

rzędnych wyznaczony przez linie prądu i linie stałych wartości potencjału dla przepływu nieściśliwego, stosując odpowiednie przekształcenie kOEforenę.

Metody rozwlgzanle zadania proateeio... 4 7

-li_______________________ ______________ __________ Ł - S W - a A s W

Dodgo [11] rozpatruje równania potencjału dla opływu palisady strugą o wysokości A h przyjmując lokalny układ współrzędnych naturalnych s,n.

'5 efekcie uzyskuje:

c 2 . -2 . 2 c c _ 2 . c 2 ‘ n 2 »5 fi | s 1 O f i s n O fi 1 n l\ 1 0 p L1 - \ —5; -5- “ _s - ---5 --- + l

1

a H O s H H a O s O n a H O n

s s n n

+ 1 7 2 / + 1 r - o H 1 O s H" 2 n a _ 0 )

o n

gdzie: 2 ₂

c V ___

O Hn

— —— X

cs O H O H

s *1 n 1 O H

___s 1 ' a 2F 2

n

O s • ~2~~2 a Hs

“ “O s H H ~ 75s

s n T *

s O s ’

1 Gl£ + H“T E ““

s Q

c 2 s

" 2 = - z z ~ r a H3

O Hs 0 2

n o H » ł , , O H

n 1 O A h

O n - + ~2I“S

a Hn " Q n ' 0 ' r 5

3 n n

on"

H A h n

O ”

liczby H g i ustala sie z zależności:

^ 1 I ^ dl I „ I ~2 2 2 2-1

di I n = idem’ * n “ 5n I s = idem’ al = V Hg dg + dfl

lokalny naturalny układ współrzędnych wykorzystje także Jameson h , 1 3 ], przedstawiając równanie potencjału prędkości dla przepływu płaskiego w postaci:

2

(1 - ”2 “)^ ss + ^ nn = °* (3) a

gdzie:

. - J [ ( 2

i f Ą t 2 ±& 2 l l

I2£f Ł i 1

3- c O x O x 2 O y Q x O y lO y ; O y 2 J

pf = 5 t l fc r, O f i O f i Q 2 f i i Q f i \ 2 O 2 f i 1

rji' o xr ' o l ^ ^ ló 7 ó 7 ' J

7,' [1 4 ] Dodge proponuje przyjąć układ współrzędnych zgodny z przebiegi en

charakterystyk w obszarze przepływu naddźwiękowego. "7 tym celu przedstawio­

no równanie potencjału dla dowolnego nieortogonalnego układu współrzędnych o wersorach e1 j e2 , tworzących odpowiednio’z osią x kąt 6 ^ i z osią y p>2 .

Do budowy różnicowych operatorów zachowawczych wykorzystuje się równa­

nie potencjału w postaci diwergentnej

~ ( ę “ “ )= 0 l10>

0 x ^ 0 * O y 1 » O y '

Przedstawione sposoby postępowania nie wyczerpują rzecz jasna wszyst­

kich możliwości określenia postaci równań zachowania oraz układów współ­

rzędnych [ np. 15]. Wy daje się przy tym celowe, j aby \i badaniach przepły­

wów transonicznych w palisadach profilów metodami relaksacyjnymi wykorzys­

tać w pełni doświadczenia uzyskane przy rozwiązywaniu dwu-i trójwymiaro -f wych przepływów wokół p ł a tó w lotniczych.

4. -.letody rozwiązywania pomocniczef-o zadania początkowo-brzęgowego.

4.1 Schematy różnicowe

Interesować nas będzie rozwiązanie zadania prostego palisad łopatkowych [4,6,16,17,18,19,20,21,22].

Po scałkowaniu układu (1) w przedziale t^ - t^+ "* otrzymujemy;

Metody rozwiązania zadania prostego... 49

«j*1

j F

^+1

11

v v .j

Jeżeli przyjąć definicje: ’

8 * 1 - I 6 a s ‘ I i | i i > s , W < ’ 1 1 2 1

V

to (11) można sprowadzić do następującego ogólnego schematu różnicowego

»j+1 k

f + 1 - d t ^ ( i 4 i ) . . » (13)

łm.( J. «.i l i łcC

W K I /j

gdzie:

* A

F, E - odpowiednio uśrednione wartości w przedziale A t i na po­

wierzchni A S , - indeks i-tej komórki o objętości A V, k - liczba powierzchni A S ograniczających A T . Z (i3) łatwo uzyskać ogólny schemat dla przepływu dwuwymiarowego, przyjmując V = A h dA. Zauważmy, że ten sam schemat otrzymujemy z równań typu (5) po scałkowaniu ich po j komórce czaso­

wo-przestrzennej A V At. Przyjmując konkretne układy współrzędnych,różne postacie komórek oraz definiując strumienie O A S (lub G Al) otrzymujemy różne schematy różnicowe. Omówimy niektóre z nich,najczęściej stosowane w obliczaniach palisad łopatkowych,

a. Algorytm GODUKOTiA i współpracowników (4. 6. 2d1

V rozpatrywanym algorytmie wartości strumienia poszczególnych wielkości na powierzchniach (konturach) ograniczających elementarną, komórkę obliczem niową wyznacza się w oparciu o rozwiązanie jednowymiarowego zadania Riema- nna [ np.4]. Dla siatki pokazanej na rys. 3 schemat różnicov/y dla gęstości

(pierwszej składowej wektora F) bedzie miał postaó;

-52--- --- — --- T. Chwiejmy

y

Bys.3

3+1 3 At

S z = ^ rlE U )

J n+ 1/2, m + 1/2 ->n + 1/2, m + 1/2 xl n , m + 1/2 ^-(RU) n + 1 , mt 1/2J¹

Metody rozwiązania zadania prostego__ 51.

- l ę f H . 1/2, * 1 ‘ '“ In* 1/2, > * ' I” >a . 1/2, . ,/2 „j

gdzie:

B,U,V eą wartościami gęstości oraz prędkości wzdłuż osi x i y, ustalonymi n a konturach siatki i wyznaczonymi z rozwiązania początkowo- brzegowego zadania Biemanna. Podobnie zapisać można schematy dla pozosta­

łych składowych F. Zauważmy przy tym, że obliczenia według tego schematu wymagają wprowadzenia siatki obliczeniowej i geometrycznej (rys.3).Algo­

rytm jest stabilny przy spełnieniu warunku Couranta-Friedriechsa-Lew/ego ( CFIi) [23,24] w postaci!

— K

r

<»>

hx ^

x m a x (u + a, a - u) y max (v + a - v)

u,v prędkości: w kierunku osi x,y, a - lokalna prędkość dźwięku.Pewne szczegółowe (aspekty obliczeniowe dotyczące zastosowania rozpatrywanego algorytmu przedstawiono w [ 25, 26],a także w artykule [27] niniejszego zbioru prac.

b. Procedury KcDonalda [28] i VKI [20. 291

’.7 budowie konkretnych algorytmów wykorzystuje sie zazwyczaj siat kg po­

kazaną na rys,4. Charakterystyczne wielkości na brzegach poszczególnych oczek określa sie jako średnią między ich wartościami w Dunktach węzłowych.

Dla ilustracji zastosowano to założenie do pierwszego z równań (3)(biorąc przy tym pod uwagę (1 3 ), oznaczenia dla poszczególnych punktów siatki - rys.4).

K = ? k + S { ? i wm i sin £ i j - w ui 008 £ ij A h i +

+ S . (wm;) sin i 13 - w u3 cos Al.

U

Założenie liniowej zmienności poszczególnych,składowych wektora wzdłuż ustalonych odcinków obwodu oczka implikuje najprostszą, możliwą do przy­

jęcia procedurę wyznaczania całek i| 6^ S , prowadzącą w efekcie do od­

powiednio uogólnionego na przypadek skończonych powierzchni, schematu Fulera. Dla zabezpieczenia zbieżności należy wprowadzić odpowiednie relac­

je wygładzajane,np. w oparciu o idee Laxa [24].

Mimo przyjęcia w założeniach metody przepływu bezwirowego przedstawione w [28] wyniki obliczeń wskazują na dostateczną odpowiedniośó (zwłaszcza

52 T. Chmialnf, vi o b s z a r z e przepływów dodświelco-

wych)rezultatów oblicza, z dany­

mi eksperymentalnymi.

W [20, 29 ] opisano pewne rozwi­

dnię cie algorytmu EcDonalda pole­

gające na wprowadzeniu dodatko­

wego członu, który dla przepływu ustalonego eliminuje wpływ członu uśredniającego. Z dyskusji nad zagadnieniami stabilności schema­

tu wprowadza sif wnioski dotyczące lokalizacji powierzchni tłumienia [20]. Pewną modyfikacje omawianej propozycji przedstawiono i spraw­

dzono z bardzo dobrym skutkiem w [19, 30].

c. Schematy McCormacka i 31]

U pierwszym etapie schematu omówionego v(ji] definiuje się dla równań ty-

?u (1) ( przępływ dwuwymiarowy, rys.5) następujące wielkości:

Rys. 4

\ (At) =

3+1/2

‘m,n “ a" LA3 + Gm,n-1 m,n

.3+1/2 m,n

At_

rm,n

3 3

- 1 M

2 *-im,n

„3 + 1/2 At

m,n m,n

3 + 1/2 - .-3+1/2 T m,n+1 A3 m,n LA1 Za ich pomocą określa sie poszukiwane wartości składowych wektora P w cza­

sie t + At

I j A t )

[ p3+1 , p3 + 1/2 _ A t i i + 1/2 j ;+ 1/2 )

m,n m,n A m,n m,n A4 m-1,n A 2 '

P^+ ^ = lfp^+ [f-3+1 T -3+1 t 1

m,n ^ m,n m,n A ^ ^ m + I ,n LA 4 m,n LA2'

17 ogólnym przypadku operatory (śt)i im (At) nie są przemienne, dlatego też algorytm

1,3+1 = [ _E,n

K

pi

zapewnia dokładność rzgdu pierwszego względem kroku At.

Niedogodność tę można usunąć rozpatrując inne sekwencje operatorów L fL . prowadzenie np. obliczeń według schematu

Metody rozwiązania zadania prostego... 53

ł*i.ri‘yj.ł*i|

■¿Ł___

i) II.

L (At) L (At) 1 (At) L ( At)

n m

12

Łn V 2 Ln (ût)

prowadzi już do dokładności drugiego rzędu przy przechodzeniu od do F^+ 2 . Operatory Łn (At) i L (At) są stabilne dla przepływu nielepkiego przy spełnieniu kryterium (C P I).

Schemat KcGorraacka w sformułowaniu do równań typu (5) był miedzy innymi wykorzystywany do

obliczeń przepływu na osiowosymetrycznej po- Rys.5

wierzchni prądu po uprzednim przekształceniu fizycznego obszaru przepływu do kanonicznego obszaru prostokątnego (32). Rozwinięcie rozpatrywanej procedury dla przepływów lepkich przedstawiono w [33].

d. Dwustopniowa procedura Łaxa-1?endroffa (24 . 34l

Biorąc pod uwagę równanie (4 ) dla przepływu dwuwymiarowego otrzymujemy:

(i) pierwszy krok czasowy (schemat laxa):

. n+1

*lAi+1,3

A*1 A11 Aû \

+ A i-1,j + i,j+1 + i.j-1*

T»n

+ - i i i i i — i i t i ),

2 ¿ X 2 A y

( ii) drugi krok czasowy:

n+1 n+1 n+1 _ n+1

A n+2 = A . n+1 - 2 A t -iii lilii- + -iiiil iiicl + 0(At2h 2)

i»3 i»3 2 A x 2 A y

Schemat ten był modyfikowany przez wielu badaczy [np. 35> 36] przez wprowadzenie połówkowych kroków czasowych i przestrzennych. '? [37]

rozpatrzono zastosowanie omawianej procedury z modyfikacją Lapidusa (38] (schemat uzupełnia się członami hipotetycznej lepkości typu Rusa- nóva [39]) do wyznaczenia przepływu transonicznego przez palisadę profi­

lów łopatkowych.

c. Metoda Dentona [18]

Denton dla przepływu dwuwymiarowego rozpatruje równanie zachowania dla elementarnej objętości A V w postaci:

- równania zachowania masy

A t ^ T ( ę u d S 1 + ę v dS2 ) = A V A 5

5JL T # Chnielnlak .:i oruni: u x

-r,y£ju w iii er unii u

-energii

~azie:

aV aS2

+ S u 2 )a si + S u v d32l= a v a(^u) y

A t 3 ę u v dS1 +(p + ę v 2 )dS2 J =A7 Alę-/)

A tJ J ę u h Q dS^+ęv hQ dS^) = 4 vA ( j e ) .

- składowe prędkości odpowiednio w kierunku x i - rzuty powierzchni bocznych oczek na kierunek x

ynkowa.

75 i y;

e - energia wewnętrzna, hQ - entalpia sp Równania zachowania uzupełnia równanie stanu

p = ę E T = j R ( e - \ c2 ) lub w przypadku hQ = idem

p = ę RT = ę R lho - 1 c2 )

0^ - ciepła właściwe, 2 2 2 c = u + V Siatkę różnicową tworzą przybli­

żone linie prądu oraz linie rów­

noległe do osi y (rys.6). Ogól­

nie rzecz biorąc charakterystycz*»

na cecha, metody jest założenie, że strumienie masy i pędu przez ściankę leżącą wzdłuż linii prądu nożna określić przez pa­

rametry odpowiadające punktowi obliczeniowemu położonemu w jej centrum. Strumienie poprzez po­

wierzchnię leżącą wzdłuż x =idem określa się natomiast przyjmu­

jąc interpolację poszczególnych

wieluOECi wzdłuż linii prądu(wsteczny iloraz różnicowy dla gradientów masy i pędu oraz przedni dla gradientu ciśnienia). Denton proponuje następują­

cą kolejność rozwiązania układu równań zśćhówania:

równania ciągłości- obliczenia ciśnienia - równanie pędu. Po ustaleniu gęstości we wszystkich punktach siatki wykorzystuje się te wielkości z wcześniej określonymi wartościami prędkości do oznaczania cis;, : nia w każ­

dym punkcie. Pastępnie tak obliczone wartości ciśnienia oraz znane już

wartości gęstości i prędkości służą do rozwiązania równań pędu w każdym punkcie.

iletoda Dentona jest jedną z szybszych netod określania ustalonego przep­

ływu transonicznego. Dla około 400 punktów węzłowych otrzymuje sie rezul­

taty po 500 - 800 kroków czasowych.

4 ,2 . T/runki początkowe i brzegowe.

Ostatecznego zamknięcia różnicowego zadania początkowo-brzegowego dokonujemy określając -warunki brzegowe i początkowe. Dla konkretnego ob­

szaru przepływu zaznaczonego na rys.3 należy ustalić wartości brzegowe na odcinkach AE, DK, AB, EE, OD, GK oraz wzdłuż konturu profilu, 3Ć i KG.

Dla jednorodnych warunków przepływu wzdłuż AE i Dii analiza jednowymiaro­

wego nieustalonego przepływu prowadzi do następujących współczynników ką­

towych charakterystyk A = ^ [ 6,19,4Cj:

A, = u, a2 = u - a, \ = u + a * 4 = u I15) Bównahia ruchu wzdłuż poszczególnych charakterystyk dla rozważonego przy­

padku przyjmuj%, postać:

Metody rozwiązania zadania prostego... 55..

l o t + *1 O x l 1 V = °* t + A 2 Q*x J 2 J*_ 0

116)

[fTi + ^3 L i 3 Jł= ° ’ t

7SI

*

m +

gdzim: 2 2

J _ = u - a J+ = u + 2 -^ a - niezmienniki Rienanna,

[ ] ^ - operatory różniczkowania wzdłuż poszczególnych charakterys­

tyk

Z (1 6 ) wynika, że dla u > a w przekroju wlotowym AE wszystkie współ­

czynniki A są dodatnie, 00 oznacza, że zaburzenia powstałe w obszarze prze­

pływu nie mogą zmieniać wartości parametrów na linii x = x, U tym wiec przypadku określone (zadane) wartości u,v,p,ę są niezmienne dla wszystkich kroków czasowych. Dla u «= a (najczęściej występujący przypadek dla transo- nicznych przepływów ekspansyjnych) A 2 < 0 i przekroju wlotowego w cza­

sie tQ + At docierają wzdłuż charakterystyki określonej przez A2 zabu­

rzenia powstałe w obszarze obliczeniowym ( x > x „) w czasie t = t (rys. 7)

Aui O j

77 warunkach brzegowych należy teraz uwzględnić dru^ą z relacji (16), to znaczy

Ł - u - g j . ( u - g j ) (17)

56 T. Chalelnlak

Rys. 7

Zadając ponadto ciśnienie spoczynkowe pQ lub gęstość w punkcie spiętrzenia

^ q , entalpię całkowitą hQ .oraz kąt wlotowy obliczany w SE poszukiwane wartości p, ^ , u, v i uwzględniając (17) oraz

¿ T p/S + “ I” = ho = ideaŁ' r f s * = P0/§ 0k 7/ przekroju wylotowym EH rozróżnić należy takie dwa przypadki:

a) u > a. Wszystkie w s p ó ł c z y n n i k są dodatnie, co oznacza, że parametry termodynamiczne i kinematyczne w EH w czasie tQ + At związane są z odpo­

wiednimi parametrami z obszaru przepływu (x < -'gyj» ^ = "to) •

bj u < a. '.'/spółczynnik A 2 jest ujemny, pozostałe dodatnie (rys,7).

Przy formułowaniu warunku brzegowego należy więc wykorzystać pierwszy, trzeci i czwarty ze związków (16) oraz zadać wartość jedną z poszukiwanych wielkości, najczęściej zadajemy w przekroju EH ciśnienie statyczne p= p ^ ,

.zdłuż odcinków AB, E? oraz CE i GH ustalamy warunki wykorzystując fakt okresowości przepływu przez palisady łopatkowe. Czynimy to analogicznie ja;: v; przypadku eliptycznego zadania brzegowego. H a BC i EG składowa nor­

malna prędkości względnej do konturu profilu jest równa zero.

"arunek początkowy w rozpatrywanym zadaniu można przyjąć w różny sposób.

Ela skrócenia czasu obliczeń należałoby dla t = 0 przyjąć w całym obszarze przepływu parametry zbliżone do rozwiązania końcowego. Jeżeli jest to moż-

Metody rozwiązania zadania prostego. 57 liwe,można np. skorzystać z rozwiązania jednowymiarowego lub wykorzystać rezultaty pomiarów uzyskane przez zastosowanie metody analogii hydrogazo- dynamicznej.

5. Ogólna charakterystyka operatorów różnicowych dla równania potencjału.

Równanie (7)

A ? _ ! = o

n > 7 o 7

O fi k+1 i O

(7a)

j, „ W JO W l lljg 1 „ ^ fi po wprowadzeniu o znacz en: f = E yj-- - l "Tj"! > S = t j— przekształca się do postaci gradientowej:

+ = 0

O X o y (7b)

Do jego rozwiązania zaproponowano w [7,13] następującą aproksymacje dla f i g ( rys.8)

Rys. 8

gi,j+1/2

A y

Równanie (7 a) jest typu eliptycznego dla A > 0 i hiperbolicznego dla A < 0 . TTależy więc określić sposób zmiany równania różnicowego, dla (7b) w za­

leżności od wartości A. kośna tego dokonać wprowadzając funkcje^

3eżeliAi j | < o ]

A id = 2 A x

58 T. Chalelniak

Wykorzystując to określenie uzyskujemy następujący analogsn różnicowy równania (Sb)

f.

[1 _ u ) J * 2 / h A Z i z l i h l

+Mi , .

1,3 A X ” -1«j A x

fi.J+1/2 " Ei,j-1/2 A y

(1 8)

Drogą-wyboru jednej z czterech kombinacji ^ ^ dostaje sig z (18) równanie różnicowe odpowiadające obszarowi dodiwiekowemu( (u ± , = 0, fki_ 1 f j = 0, rys.9a) , linii dźwięku ( ^ ^ = 1, = 0, rys.9b), obszarowi naddźwiękowenu( p. . = 1, p . . = 1, rys.9c) oraz fali ude-

J * 13

rzeniowej l = 0» j = ^ ^ oparciu o ten schemat postępowania przedstawiono w[41] rozwiązanie zadania palisadowego dla cien­

kich profili.

a b.

1'j .

i.j

d.

Rys. 9

i.i

Charakterystyka

Dodge [11] proponuje do rozwiązania równania (8) zastosować ilorazy różnicowe podane przez Stegera i Lomaxa [8]s

- obszar dodźwiękowy

~ 1 4

= ^ n , s

" ^n,s-l)/AB’

*n+1,e - ^n-1,s)/An;

Q 2jg 1

^ S S n ~ 4^n+1,s+1 + ^n-1,s-1 _ ^n+1,s-1 “ Ą i - 1 ,s+l)/fis A n '

- 7 iA ^

fi

O ¡ r = ( ^ s+r 2 ^n,s+ *n,s-1 ł / * S * ~ f - ł ^ 1tr 2 ¿ n ,s+ ¿n_ 1>£W

Metody rozwiązania zadania prostego.. 59

- obszar naddźwiękowy

S e " = l ( 5 0n,s-1 ' 8 ^n,s-2 + 3 ^n,s-3 ) / As

q 2 £ 1

(Tśo"n ?[3 i^n+1,s “ ^n-1,s)“ 4(^n+1,s-1 ” *n-1,s-l)+ (^n+1 ,s-2

- ^ n - 1 , s - l ) / A s * n

— ; r ■ 2 ( V - 5 ł « ^ . , - 2 - « „ . . J / “ 2

Jameson [1,13] dla rozwiązania równania (9) przyjął schemat różnicowy (obrotowy) uzgadniany każdorazowo z lokalnym kierunkiem przepływu (rys. 10), V? obszarze dodźwiękowym dla 0 sg i fi ^ w y k o r z y s t u j e się centralne ilorazy różnicowe, natomiast dla obszaru naddźwiękowego fi^ oblicza się analogicz-^

nie a dla aproksymacji drugich pochodnych wchodzących w fi używa się ilo- ss

razów wstecznych:

fi = fi _

h x 2 ^ a x a y

f i t Ą - 2 f i + /J4

T ? fi = - i i _____

p y y --Z

Przykłady rozwiązania pełnego równania potencjału dla. kanału międzyłopat- kowego, zostały przedstawione między innymi w opracowaniach [11, 12 14).

6. Uwagi końcowe

a. Obok przedstawionych dwóch podstawowych grup metod istotne znaczenie w badaniach przepływu potencjalnego opisanego równaniami różniczkowymi typu hiperbolicznego ma metoda c: arakterystyk. 2 punktu widzenia przepły­

wów transohicznych szczególne znaczenie posiadają te numeryczne wersje metody, które wykorzystują procedury ustalenia w czasie [np.42] . Podsta­

wową. zaletą metody jest drugo rząd ' dokładności, wadą natomiast brał: możli­

wości rozpatrywania silnych zjawisk falowych.

Interesująco przedstawia się także zastosowanie metody elementów skończo­

nych do badania przepływów transonicznych [np. 43, 44). '.Yarte odnotowania są także procedury przedstawione w (45, 46).

b. Obecny stan rozwoju metod kolejnych kroków czasowych pozwala anali­

zować zarówno płaskie, jak i przestrzenne przepływy (zarówno zewnętrzne jak i wewnętrzne). Należy oczekiwać, że dla uzyskania dokładności drugie­

go rzędu po czasie rozwijać się będą metody oparte na schematach dwustop- nio' ych [ np. 47] .

c. Odnotowuje się ciągły postęp metodologiczny w analizie pomocniczego zadania początkowo-brzegowego fila przepływów płynów lepkich.Dotyczy to zwłaszcza przepływów zewnętrznych [np. 1, 3 3 , 48 ] 4

fi. Porównanie metod ustalania z metofiaai relaksacyjnymi przemawia za tymi pierwszymi. Taką opinię wyraża wiele badaczy [np. 20] . T.ietody relak­

sacji spełniają dziś istotną rolę w badaniach transonicznych przepływów zewnętrznych. Stanowić będa zapewne także ważny instrument badawczy w ana­

lizie potenjcnalnych przepływów.zwłaszcza po zastosowaniu szybkich metod iteracyjnych. TTało prawdopodobne jest zastosowanie w najbliższym okresie czasu metod relaksacyjnych do rozwiązania przestrzennych zada: palisado­

wych.

IIT2RATU3A

[i] Cislennyje metody w dinamike źidkostiej. Red.G.Y/irc, Z.Smolderen.

Izd. :iir, Koskwa 1 9 8 1 .

[o] Sedov D.I.: Mechanika spłosznoj sredy. Izfi.Nauka, Moskwa 1 9 7 3 . [3] Vinokur :'.: Conservation Equations of Gasdynamics in Curvilinear

Coordinate Systems. J.of Comp. Physics 172,14,1974, pp.105-125.

[4] Cislennyje resenije mnogomernyeh zadae gasowoj dinamiki. Rea.S.K.

Godunov. Izd. Nauka,’ Iloskwa 1976.

[5] Cnesin L.I., Grodzir.3ki 7,L ., Sokolowskij G.A.: Urawnienia gazowoj dinamiki w nieineroialnoj deforairujemoj oistemie koordinat.Priklad- naja Hat. i Mechanika, YTyp.5, 42, 1978 s.841-847.

[6] Sokolowskij G.A., Gnesin 7.1..: Raseet sae^annych tecenij w resetkach turboaiasin. Naukowa Dumka, Kijew 1981.

[7] Furman S.I.I., Cole J.O.: Calculation of Plane Steafiy Transonic Flows.

AIAA Journal Vol.9, No 1, pp 114-121.

[c] Steger J., Lomax. K . : Kunerical Calculation of Transonic Flow about Two-Dimensional Airfoils by Relaxaktion Procedure. AIAA Journal 10, PF,49-54, 1972.

[9] Krupp J.,Kurraan P.M.: Computation of Transonic Flows Past Lifting Airfoils and Slender Bodies. AIAA Journal, 10, 1972, pp 880-886.

[1 0 ] J.Van Vooren, S.K.Huizing, A.van Bssen: A Finite Difference Method for the Calculation of Transonic Flow about a King, Based on Snail Pertubation Theory. MLR T3 E1031U, 1981.

[11] Dodge P.?..: A Transonic Relaxation Method for Cascade Flow Systems.

VKI Lecture Series 59 Part I, 1973.

[i?] Lun T.S., Coulmy G.: Relaxation Solution for the Transonic Flow tro­

ugh a Cascade. Proceedings of Transsonicun Symposium II, Scringer Verlag, 1975.

[13] R.Iil.IJurman: Computation of Transonic Potential Flows in Turbomachine*

17/.Transonic Flow Problems in Turbomachinery.Ed.T.C.Adamson.K.F.Flat-

± 2 ______________________ T. Chwlelnlak

Metody rozwiązania zadania prostego.. 61

[ H

[15

[16

[17

[18

[19

[20 [21

[22

[23

[24

[25

[26

[27

[28

[29

[30

zer, pp. 115-137.

Dodge P.R.: Enginiering Report of a Hon-ortogonal Numerical Method for Solving Transonic Cascade Plow. VKI lecture Sieries 59, 1973.

Stedźer D z . , Lomeks G.: Metody obobsSenija relaksacji w priloSenii k zadacom o transzwukowom teSenii. fiislenije metody w nechanike zid- kosti. Izd. Mir, Moskwa 1973.

Gopalakrishman D., Bozzola R.: Fundamentals of Time-Marching Methods.

Application to Turbomachinery Cascades. VKI lect. 3er.59, Part 1,1973

• Bogod A.B., Zamfort B.S., Iwanov ü.J., Krajko A.IT.: Ob ispolzowanij procesa ustanowienija pri reienij zadaii stacjonarnowo obtekanija gazom reSetok profilej.Izw. AI? SS3R, KZG 4, 1974.

Denton J.D.: A.Extension of the Finite Area Time-Marching Method of Three Dimension.V.K.I. lecture Series 84, 1976.

lehthaus F.: Berechnung der transonischen Strömung durch obenen Tur­

binengitter nach dem Zeitschrift-Verfahren. VDI - Forschungsheft 566 ss: 5-24.

Couston H.: Time Marching Finite A r e a Methods. VKI lect.Ser.64,1976.

Venillot J.P.: Calculation of the Quasi Three Dimensional Flow in a Turbomachine Blade Row. Trans of ASHE, J. of Eng for Fower,January 1977 PP. 53-82

Singh K . : Computation of Transonic Flows on Blade Cascade with Shock and Boundary-layer Interaction. GEC Journal of Science Technology V o l . 3, No 3, 1981.

Godunow S.K., Zabrodin A.W., Prokopow G.F.: Raznostnaja scheaa dla dwumiernych niestacjonarnych zadać gazowoj dinamiki i rasiet obteka­

nija s otoiedsej udarnoj wołnoj. Ź.W.Mat. i Kat.Fiziki. T 1 , 116,1961 s. 1020-1050.

Potter D.: Metody obliczeniowe fizyki. Fizyka komputerowa P7?NrW-wa 1 9 8 2

.

Chmielniak T., Misiewicz A.: Przygotowanie algorytmu obliczeń dla zagadnienia osiowo-symetrycznego w zakresie przepływów transonicznjch i dodźwiękowych. Opracowanie programu obliczeniowego dla płaskiego kanału raiędzyłopatkowego. Praca nieopublikowana. Instytut Maszyn i Urządzeń Energetycznych Politechnika Śląska, Gliwice 1983.

Misiewicz A.: Porównanie rńżnych metod badań przepływów transonicz- nych. ZN Pol.SI. S.Energetyka z.83 s.307-319, 1983.

Chmielniak T., Misiewicz A.: Analiza procesu iteracyjnego w metodzie kolejnych stanów nieustalonych z wykorzystaniem schematu Godunowa.

ZN Pol.SI. s.Energetyka z.86, 1984.

McDonald F.U.: The Computation of Transonic Flow Through Two-Dimensio­

nal Gas Turbine Cascades. ASMS Paper No 71-GT-89,1971.

Couston M., McDonald P.U., Smolderen I.: The Damping Surface Technique for Time-depended Solutions to Fluid Dynamic Problems. VKI TU 109, March 1975.

lehthaus F . : Transonic Inviscid Flow Calculations for Flow Past swept- back Plane Turbine Cascades. Proceedings of 7 th Conference on Fluid Machinery. Budapest, September 1083.

62 T. Chwlalnlak

[31] I'ecOormack R.T7., Paullay A.J.: Computational Efficiency Achieved by Time Splitting of Finite Difference Operators. AIAA Paper ¡To 72-154 [32] Kurzrok J/.7., ¡Towick A.S.: Transonic Flow Around Botor 31ade Ele­

ments.Trans. of A SITE J.of Fluids Eng.December 1975» pc 596-607.

[33] HacCormack R.7.: A Bapid Solwer for Hyperbolic Systems of Equations Proceedings of the Fofth Int.Conf.on Numerical Methods in Fluid Dynamics. Ed.A.I. von de Vooren, P.J.Zandbergen Springer Verlag, 3erlin - Heidelberg-New York 1976.

[3'!] Hoyc P.: ’,7ycislitelnaja gidrodinamika, Izd. Mir, Moskwa 19S0.

[35] Bubin E.D., Bustein S.Z.: Difference Methods for the Inviscid and Viscous Equations of a Compressible Gas.J.of Computational Physios, Vol.2, 1967, pp. 178-196

[36] Singleton U.S.: lax-'.Vendroff Difference Scheme Applied to the Tran­

sonic Airfoil Problem. AGABD Conference Proceedings Ho 35, Septenbei 1968.

[37] Petrovskij I.: Numerical Solution of Transonic Flow in a Straight Cascade, roceedings of V Conference on Fluid Machinery, Budapest 1975, pp. 809-819.

[36] Lapidus A.: A Detached Shock Calculation by Second - Order Finite Difference. J.Cpmp.Physics, Vol.2, 1967, pp 154-177.

[39] P.usonov 77.7.: Rascet^wzajmodejstwija niestacjonarnych u d a m y c h woln s credpjatstwijami. Zum.7ySisl.Mat. i Hat.Fizyki. T.1, N 2,1961, s.267-279.

[40] Gopalakrishnan S., Bozzola R . : numerical Representation of Inlet and Exit Boundary Conditions in Transient Cascade Flow.Trans of AG"E J.of Eng.Power, October 7973. PP 340-344.

[41] K.ICozel, Polasek J . t Vavrincova K . : Numerical Solution of Transonic Flow Through a Cascade with Slender Profiles, Lecture Not. in Physi­

cs 90. Sixth Int.Conf. on Numerical Methods in Fluid Dynamics. Ed.H, Cabannes IT.Holt, V.Rusanov. Springer,Verlag Berlin - Heifelberg - New York 1979.

[42] Delaney R.A. Kavanagh ?.: Transonic Flow Analysis in Axial Flow Turbomachinery Cascades by a Time-Dependent Method of Charakteris- tics. Trans.of A SITE J.of Eng. for Power July 1976.

[43] Hirsh Ch.: Transonic Flow Calculation in Blade Rows with on Optimal Control-Finite Element Formulation. Bat-Sheva Seminar on Finite Ele­

ment e for ¡Ton-Elliptic Problems, Tel-Aviv 1977.

[44] Hirsh Ch. ,V7arzee G.: An Ortogonal Finite Element Method for Transo­

nic Flow Calculations, lecture Notes in Physios 90.Proceedins of 6 Int.Conf. on Numerical Methods in Fluid Dynamics. Springer Verlag, 1979.

[45] Bindon J.F., Carmichael A.D.: Stramline Curwature Analysis of Compre­

ssible and High Kach Number Cascade Flows. J.Kech.Eng. Science Vol.

13, N5, 1971 PP 344-357.

[46] Katsanis T.: Fortran Program for Calculating Transonic Velocities on Blade - to - Blade Srean Surface of a Turbomachine, NASA TIT 1-5427, 1965.

[/7] Rizzi A., Bailey H . : Finite-Volume Solution of the Euler Equations for Steady Three-Dimensional Transonic Flow, lecture Notes in Phy­

sics 59. Proceedings of the Fifth Conf.on Nua.Hethods in Fluid F--

Metody rozwiązania zadania prostego..

nanics. 3d k '. I von Vcoren, P.u . Zaudbergen. Scringer Yerlag 1976, pp. 347 - 352.

[48]0Deiv;ert G.S.: Recent Computation of Viscous Effect in Transonic Flov:.

Lecture Ilotes in Physics 59. Procedings of the Pifth Conf. on "urn.

Ilethods in Fluid Dynamics. Ed. A. I. von Yooren. P.«T. Zanabergen, Springer Yerlag 1976. pp. 159 - 164.

METOJIH PMEHHfl IIPHMOii S A M M H TBOPHH PEEETOK B OEJLACTB TPAHCSBYKOrO TEHEHhfl

P e a » M e

AasTCJt ofiaop ochobkhx MeTOA pemeKM npiaux 3anav oSiesaHaa aonaxovHscc pemeioK ipaHC3ByicoBHK iiotokom. n p e m e Bcero yueaeHo BjMMaHae mbtoaom y c t ar HOBJieanK a mbtoaom peoeHH« ypoBHSHH0 noxsHUzajia cuopocie#.

METHODS FOR CALCULATING TRANSONIC FLOW IN TURBOMACHINERY CASCADES

S u » ■ e r y

Review of Methods for calculating Transonic Flow through Blade Roes has been presented. Tins Marching and Relaxation Methods have been die- cuesed above all.