S tanislaw M A JE W SK I, A ndrzej A JD U K IEW IC Z In s ty tu t K onstrukcji B udowlanych
P olitechnika Śląska
M O D ELO W A N IE ŻELB ETU I G RU N TÓ W W A NA LIZIE UKŁADU B U D Y N E K /PO D Ł O Ż E
Streszczenie. Ogólna klasyfikacja modeli żelbetu i gruntów została rozw ażona z p u n k tu w idzenia łącznej analizy współpracujcacego układu b u d y n ek /p o d ło że poddanego złożonym oddziaływaniom .
M O DELS O F R EIN FO R C E D C O N C R E T E AND SOILS IN TH E ANALYSIS O F IN T E R A C T IV E B U ILD IN G /SU B SO IL SYSTEM Sum m ary. T he general classification of models of reinforced concrete and soils has been considered from th e point of view of comm on stru c tu ra l analysis for b uilding/subsoil interactive system subjected to complex actions.
M O ^ E J I H P O B A H H E H -C E J IE 3 0 E E T 0 H A H F P Y H T O B JXJIR A H A J I H 3 A C H C T E M B I 3 /I A H H E / O C H O B A H H E
P e ą i o M e . O Sm afl KJiaccKd>ra<ai;nii MOflejieii >Kejie3o6eTOHa h rpyH - t o b SbiJia paccM aTpeH a c Tom<H 3peHmi coBMecTHOro aH ajirrea cncTeMM 3flaHHe-ocHOBaHHe n p n cjioh-chbixB03.neiicTBn.nx.
1. W S T Ę P
W m echanice konstrukcji budow lanych rzadko m am y do czynienia z łatw ym do zdefi
niow ania sposobem obcicażenia, z u stro jem o przejrzystym schem acie oraz z m aterialem o jednoznacznie i precyzyjnie określonych własnościach fizycznych. M ożna oczekiwać tego ty p u zagadnień jedynie przy analizie wydzielonych z konstrukcji elem entów względnie fragm entów u stro ju . Całościowa analiza jest na ogól w wysokim stopniu skom plikowana.
Do niedaw na jedyną, drogą było stosowanie rozwiązań uproszczonych. Nie negując ich wa
rtości d la p raktyki inżynierskiej trzeb a stwierdzić, że istnieje wiele zagadnień, których rozw iązanie tym i m etodam i jest obarczone dużym błędem , a częstokroć wręcz niemożliwe.
N ależą do nich n a pewno problem y związane ze w spółpracą budynku z podłożem . Po
w szechną p ra k ty k ą wciąż pozostaje niezależna analiza tzw. części nadziem nej, spoczy
wającej n a w yidealizow anych podporach, oraz fundam entu z podłożem , obciążonych u prze
dnio w yznaczonym i reakcjam i. W wielu praktycznych zagadnieniach inżynierskich p o stę
powanie tak ie je st usprawiedliw ione, często jednak zachodzi konieczność przeprow adzenia analizy dokładniejszej,uw zględniającej współpracę obydwu ośrodków. W arunkiem w iary
godnej analizy je st w tedy przyjęcie związków konstytutyw nych, realistycznie opisujących zachowanie m ateriałów u stro ju (żelbet, g runt) oraz właściwe zam odelow anie w zajem nego przekazyw ania sil w płaszczyźnie styku. Szczegółowe wyniki prac prow adzonych przez autorów nad m odelem układu budynek/podłoże, poddanego wpływowi górniczych de
formacji teren u , były przedm iotem kilku publikacji [1,2,3]. W niniejszej pracy zostaną przedstaw ione wnioski ogólne dotyczące modelowania tak złożonych m ateriałów jak żelbet i grunty.
2. M O D ELE O B LIC ZEN IO W E UKŁADU B U D Y N E K /PO D Ł O Ż E
Schem atyczny podział modeli obliczeniowych układu b u dynek/podłoże przedstaw iono na rysunku 1.
I N iezależna analiza dw uetapow a:
1 - budynek 2 - podłoże
II M odele uproszczone
III Elem enty n a podłożu sprężystym
Liniowo
IV sprężyste
Nieliniowo Modele sprężyste MES
Sprężysto plastyczne
Rys. 1. K lasyfikacja modeli obliczeniowych układu b u d y nek/podłoże Fig. 1. Classification of design models for building/subsoil system
W m odelach grupy II uproszczenia sięgają bardzo głęboko i dotyczą nie tylko założenia o liniowej sprężystości w szystkich m ateriałów , ale również stru k tu ry ośrodka g ru n to wego, reprezentow anego przykładowo niezależnymi od siebie sprężynam i (podłoże W i
nklera), w zględnie usytuow anym pod fundam entem rozciąganym pasm em przy obliczaniu sil wywołanych poziom ymi deform acjam i pochodzenia górniczego. Tak daleko idące upro
szczenia ograniczają zastosow anie tych modeli do najprostszych przypadków .
Modele grupy III tra k tu ją podłoże jako pólprzestrzeń, zachow ując ważność dalekiego od praw dy założenia o jego liniowej sprężystości. N a tej pólprzestrzeni spoczyw a elem ent budynku (fundam ent) w postaci belki, płyty względnie rusztu. N a ogól pom ija się tarcie w płaszczyźnie sty k u , co np. zupełnie uniem ożliwia w ykorzystanie tych m odeli do obliczenia sii w ynikających z poziomych deformacji podłoża.
M etoda elem entów skończonych pozw ala teoretycznie dokładnie zam odelow ać współ
pracujący układ budynek /p o d ło że, aczkolwiek dostępna praktycznie pam ięć kom puterów , a zw łaszcza czas obliczeń stanow ią isto tn e ograniczenie. Istn ieją szerokie możliwości w zakresie m odelow ania m ateriałów , od najprostszego założenia liniowej sprężystości do b a r
dziej złożonych, ale znacznie lepiej opisujących rzeczyw iste zachowanie m ateriałów m odeli nieliniowo sprężystych, względnie sprężysto-plastycznych. D otyczy to zarów no sam ych m ateriałów m odelu, a więc betonu, stali zbrojeniowej i gruntu, jak też fikcyjnego m a te riału elem entów kontaktow ych w płaszczyźnie styku budynku z podłożem .
3. M O D ELO W A N IE ŻELB ETU , G RU N TU I M A TERIAŁU E LE M E N TÓ W K O N TA K TO W Y C H
3.1. Żelbet
Rozpow szechnione są dwa sposoby modelowania żelbetu:
1. Jako pewnego m ateriału zastępczego złożonego z betonu i rozłożonego w nim w sposób ciągły zbrojenia (sm eared reinforcem ent). Cechy fizyczne tego m ateriału są w ypadkow ą własności betonu i zbrojenia z-uwzględnieniem intensyw ności i kierunku jego rozłożenia.
2. N iezależne traktow anie beto n u i zbrojenia. W tym przypadku elem enty z oby
dwu m ateriałów są ze sobą połączone w węzłach albo w sposób sztywny, albo też za pośrednictw em elem entów kontaktow ych, co pozw ala uwzględnić poślizg w płaszczyźnie styku oraz ograniczoną wielkość sil przyczepności.
Sposób drugi pozw ala uwzględnić zbrojenie w jego n atu raln y m położeniu i wielkości, a p o n ad to pozw ala bezpośrednio skorzystać ze związków konstytutyw nych dla znanych m ateriałów (beton, stal), zam iast budować dom niem ane związki dla zastępczego m ateriału kompozytowego.
3.2. B e t o n
Założenie liniowej sprężystości tylko w bardzo niewielkim zakresie naprężeń może w zględnie dokładnie opisywać zachowanie betonu. 0 ile wykres a — e w strefie ściskanej pozostaje praktycznie liniowy do poziom u 0.4 — 0.6f c , o tyle w strefie rozciąganej p ra wie zawsze m ożna się spodziewać zarysowania, co radykalnie zm ienia zachowanie m a te riału pod obciążeniem . R ozw iązaniem dokładniejszym m oże być uwzględnienie anizotropii odkształceniow ej. Początkow o izotropow y m ateriał nabiera cech anizotropow ych w m iarę rozw oju sta n u odkształcenia. B eton m ożna więc traktow ać jako nieliniowo sprężysty m a teriał anizotropow y zakładając, że główne osie anizotropii pokryw ają się z kierunkam i odkształceń głównych przed w ystąpieniem zarysowania. Macierz sprężystości zapiszem y w postaci:
[D] =
d\\ di 2 0
¿ 2 1 ¿ 2 2 0
0 0 ¿ 3 3
(1)
gdzie:
E i E 2 i i 1 1 ' V E i ■ E ^
dii = d2 2 = r 3 ^ , ~ d n - ■
^ 3 3 = 7 --- — ■ ( £ 1 + £ 2 - 2 ' ^ ' \ /E 1 E 2 ) , v = 1 / ^ 1 2 ^ 2 1 - ( 2 )
4 • (1 —
M oduły sprężystości £1 i £ 2 w yznacza się zwykle na podstaw ie badań w jednoosiow ym stan ie nap rężen ia (rys.2a), z uw zględnieniem korekty w ytrzym ałości przy ściskaniu dla stanu dwu- lub trójosiowego. W spółczynniki Poissona u przyjm uje się zwykle jako stale niezależne od poziom u naprężenia, co jest zresztą, przyczyną niezbyt dobrej zgodności tak opisanego m odelu z dośw iadczeniem przy wysokich poziom ach naprężeń ściskających.
Różne związki b yw ają przyjm ow ane na opisanie zależności między naprężeniem i odkształceniem . D obrą zgodność d a ją zależności proponow ane przez E U R O C O D E 2 [4], które dla strefy ściskanej m a ją postać:
r V c I 1 1 r? ^ i 'i 1
a c — f c 7 7 7 7 1 4- [kc — 2)?7c T i ’ c — ' ’ rJe ’ ~ r '£c
We wzorach tych E i oznacza początkow ą w artość m odułu sprężystości, f c w ytrzym ałość betonu na ściskanie, a ec odpow iadające tej w ytrzym ałości odkształcenie (rys.2a).
Rys. 2. W ykres zależności a — z dla: a) betonu, b ) gru n tu Fig. 2. S tress-strain diagram for: a) concrete, b ) soil
D okładny k ształt w ykresu a — s przy rozciąganiu jest tru d n y do określenia. C ho
ciaż zniszczenie betonu przy rozciąganiu zdaje się mieć ch arak ter kruchy, celowe je st uw zględnienie opadającej gałęzi w ykresu również w tym zakresie. Możliwe je st przyjęcie zależności analogicznych do tych, które przyjęto przy ściskaniu.
M odele obliczeniowe zbudow ane z w ykorzystaniem przedstaw ionych związków kons
tytu ty w n y ch d a ją d o b rą zgodność z doświadczeniem przy naprężeniach ściskających nie przekraczających 0 .6 /c oraz przy rozciąganiu. Przy wyższych w artościach naprężeń ścis
kających p o jaw iają się odkształcenia trwale, których opisany m odel nie uw zględnia. W tak im p rzy p ad k u znacznie lepszych wyników m ożna oczekiwać po m odelach sprężysto- plastycznych. Istnieje bo g ata lite ra tu ra na tem at kryteriów zniszczenia betonu [5,6].
W y d aje się, że w ystarczająco dokładnym przybliżeniem będzie m odel z pow ierzchnią graniczną D ruckera-Pragera, uzupełniony jednakże k ulistą lub elipsoidalną n asad k ą w strefie rozciągania. O padające gałęzie wykresu a — e, zarówno przy ściskaniu jak i przy rozciąganiu (ry s.2a), w skazują n a konieczność uw zględnienia nie tylko w zm ocnienia, ale i osłabienia w zależnościach określających rozwój powierzchni plastyczności. Możliwe je st założenie stowarzyszonego praw a płynięcia, aczkolwiek m ateriały kruche, do których beton m oże być zaliczony, p odlegają raczej prawu niestow arzyszonem u, co jed n ak b a r
dzo kom plikuje algorytm obliczeniowy. G eneralnie trzeba stw ierdzić, że istn ieją obecnie możliwości dokładnego opisu zachow ania betonu pod obciążeniem , jednakże nie zawsze rozw iązaniem p rzy d atn y m dla analizy będzie model najdokładniejszy.
3 .3 . S ta l z b r o je n io w a
W szystkie stale stosowane do zbrojenia konstrukcji żelbetow ych m a ją w yraźnie za
znaczoną granicę plastyczności. Prostym a jednocześnie dobrze odd ający m rzeczyw iste zachow anie tych stali jest model sprężysto-idealnie plastyczny z pow ierzchnią graniczną H ubera-von Missesa.
3 .4 . G r u n t
G ru n t je st wielofazowym ośrodkiem rozdrobnionym o wysoce niestabilnych i podle
gających znacznym rozrzutom właściwościach. Już sam o opisyw anie zachow ania gru n tu za pom ocą praw m echaniki ośrodków ciągłych jest pew nym przybliżeniem , chociaż w skali m akro opis tak i je st uważany za popraw ne odzwierciedlenie rzeczywistości.
Nie oznacza to jed n ak , że zgodnych z rzeczywistością wyników m ożna się spodziewać przy założeniu liniowo sprężystego m odelu gruntu. Jedynie silnie przekonsolidow ane g ru nty niespoiste m ożna w pew nym zakresie opisywać takim m odelem . D la większości gruntów celowe je st uwzględnienie przynajm niej nieliniowej sprężystości. W opacowa- nych przez autorów m odelach obliczeniowych przyjm ow ano dość popularny w S tanach Z jednoczonych hyposprężysty m odel D uncana-C hanga [7,8]. W .m odelu tym zakłada się hyperboliczną zależność między intensyw nością naprężenia ct, i o dkształcenia e,- (rys.'2b) w postaci:
&ult . . .
<5 = — ■ Ei£i, (4)
ffull +
w której a uit je s t naprężeniem m aksym alnym (ściskającym ), zaś m oduł JG; dany je s t wzo
rem:
Ei = I<EPa{
Pa
(5) l \ £ oraz w ykładnik n są stałym i bezwymiarowym i, j>u oznacza ciśnienie atm osferyczne, zaś <r3 je s t ciśnieniem w komorze a p aratu trójosiowego ściskania.
Podobny wzór określa drugą stalą m ateriałow ą, k tó rą jest m oduł ściśliwości I<:
I< = I<,<Pa
P a
(6 ) M acierz sprężystości oblicza się ze wzoru:
[Di.
3 /t (3 /t + E t) 9A' — E t
1 a a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 0 0 0 6 0 0 b 0
31 \ — E t
3/\+Et
(7) b =
P rzyjm uje się, że m oduł ściśliwości K jest stały, zaś m oduł sprężystości E t je s t m odułem stycznym zależnym od aktualnego poziomu naprężenia. W wielu praktycznych zada
niach m odel tak i d a je dobre wyniki. Zasadniczą jednak jego w adą je s t nieujaw nianie odkształceń trw ałych, które w gruncie zawsze w ystępują. D latego lepszym opisem gru
n tu są m odele sprężysto-plastyczne. W o statn im okresie opracow ano wiele takich m odeli - Cam -Clay, M odified Cam -Clay, m odele typu ” cap” . Zwłaszcza te o statn ie, z pow ierzchnią plastyczności złożoną na ogól z powierzchni granicznej D ruckera-P ragera oraz elipsoida
lnej lub kulistej nasadki ("cap ” ), m ogą posłużyć do zbudow ania stosunkow o prostych a równocześnie realistycznie opisujących zachowanie gru n tu modeli.
3.5. E l e m e n t y k o n t a k t o w e
P rzekazyw anie w szystkich sil norm alnych oraz stycznych w płaszczyźnie sty k u budy
nku z podłożem odbyw a się za pośrednictw em elem entów kontaktow ych. P rzy przenosze
niu sil norm alnych elem enty te powinny spełniać rolę więzów jednostronnych (tylko siły ściskające). W ielkość sil stycznych jest ograniczona w ytrzym ałością g ru n tu na ścinanie oraz silą ta rc ia w płaszczyźnie styku. W ykonane testy num eryczne wykazały, że n a jle p szym m ódelem d la tych elem entów je st m odel ciała sprężysto-idealnie plastycznego ze stożkową pow ierzchnią graniczną D ruckera-Pragera.
4. W N IO SE K
P rzyjęty m odel obliczeniowy powinien być zawsze dostosowany do rodzaju zagadnie
nia i celu analizy. W wielu praktycznych zagadnieniach m odele uproszczone d a ją zado
w alające wyniki. Często jed n ak stosow anie uproszczeń powoduje nie tylko błędną
ocenę ilościową, ale rów nież jakościow ą, a naw et czasam i wręcz uniem ożliw ia ujaw nienie istotnych d la analizow anego zagadnienia efektów. W takich przypadkach konieczne je st sięgnięcie do m odeli dokładniejszych. W niniejszej pracy przedstaw iono stosow ane w p ra ktyce nieliniowo sprężyste m odele g ru n tu i betonu, sygnalizując jed y n ie możliwość opisu za pom ocą modeli sprężysto-plastycznych. D la omawianych tu m ateriałów te o sta tn ie s ta nowią niew ątpliw ie najlepsze przybliżenie rzeczywistości, ale w noszą isto tn e kom plikacje obliczeniowe.
LIT ER A TU R A
[1] M ajewski S.: N um eryczna analiza interaktyw nego układu budynek-podłoże p o d d a
nego działaniu poziomych deform acji terenu górniczego. Inżynieria i Budownictw o, 1992, n r 8 , ss.288-293.
[2] M ajew ski S.: N onlinear m odel of building/subsoil interactive system . Proceedings of th e In tern atio n al Conference on C om putational M ethods in Engineering, Singapore 1992. V ol.l, p p.257-262.
[3] Ajdukiew icz A., M ajewski S.: Analysis of Reinforced-C oncrete W all S tru ctu res w ith R egard to N onlinearity of S tru ctu re/S u b so il System . Proceedings of th e In te rn a tio nal C onference on A nalitical Models and New C oncepts in M echanics of S tru c tu ra l C oncrete. B iałystok, m aj 1993, ss.9-26.
[4] E U R O C O D E 2: Design of C oncrete S tructures. P a rt 1: G eneral Rule and R ules for B uildings. W ydanie polskie In s ty tu t Techniki Budow lanej, W arszaw a 1992.
[5] S tate-o f-th e A rt-R ep o rt on F in ite Elem ent A nalysis ól' R einforced C oncrete. A SCE, New York 1982
[6] G odycki-C w irko T .:M echanika betonu. Arkady, W arszaw a 1982
[7] D uncan, J.M . and C hang, Y .Y.: N onlinear A nalysis of Stress and S train in Soils.
Jo u rn al of the Soil M echanics and Foundations Division, A SCE, Vol. 96, No. SM5, S eptem ber 1970.
[8] D uncan, J.M .: H yperbolic S tress-S train R elationships. P roceedings of th e W or
kshop on Lim it Equilibrium , P lasticity and G eneral S tress-S train in G eotechnical E ngineering, Me Gill University, May 1980, ASCE, New York, pp. 443-460
Recenzent: Prof. dr bab. inż. K rzysztof D yduch W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.
A b s t r a c t
T he p ap er presents som e general conclusions resulted from earlier investigations [1,2,3]
concerning th e p roper m odels of m aterials in the analysis of building/subsoil interactive system s.
On th e basis of m any num erical tests and com parisons w ith real stru c tu re s th e asses
sm ent of existing models for reinforced concrete, soils and interface elem ents have been discussed. T h e difficulties of m ore exact approaches have been taken into account too.
Recently, m any models have been introduced - separately for reinforced concrete and soils - for analysis of these m aterials in advanced stages of stress. U nfortunately, no useful connections betw een these models were developed and no direct possibility' in design applications was considered.
Obviously, very often th e simplified models are quite satisfactory in stru c tu ra l analysis, b u t som etim es too sim ple models are the reason of significant errors and disagreem ents w ith em pirical observations.
T he resu lts of num erical tests dealing w ith building/subsoil system s in various load conditions proved th a t som ew hat modified D rucker-Prager elasto-plastic m odel can be a convenient basis of co n stitu tiv e relations both for soils and concrete. In elastic stage of work th e hypo-elastic D uncan-C hang model is a good description of th e behaviour of soils.
