Szkoła Podstawowa klasa 8

Szkoła Podstawowa klasa 8

Matematyczny niezbędnik ósmoklasisty

Spis treści

1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne oraz procenty ... 1

2. Potęgowanie i pierwiastki... 8

3. Wyrażenia algebraiczne. Równania... 10

4. Oś liczbowa. Nierówności. Układ współrzędnych... 12

5. Figury płaskie...15

6. Geometria przestrzenna... 25

7. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka...28

8. Jednostki...29

9. Tablice...31

1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne oraz procenty

W zbiorzeliczb rzeczywistych IR rozpatrujemynastępujące podzbiory:

Zbiór liczb naturalnych N, to zbiór liczb {0, 1, 2, 3, 4, 5,

Zbiór liczb całkowitych Z, to zbiór liczb —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3,

Zbiór liczb wymiernych Q to zbiórliczb, które można zapisaćw postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych np.: —8; 0; 3,14.

Uwaga: Istnieją liczby rzeczywiste, które nie są liczbami wymiernymi np.: V2, V5, Tl.

Liczby rzymskie

Liczby arabskie 123456789 10

Liczbyrzymskie I II III IV V VI VII VIII IX X

Liczby arabskie 50 100 500 1000

Liczby rzymskie L C D M

ip.: XXXVIII-38 MMXIX-2019 CDL - 450

Liczby parzyste, to liczby całkowitepodzielne przez 2.

Liczby nieparzyste, to liczbycałkowite niepodzielne przez 2.

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie.

np.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Liczba złożona to liczba naturalnadodatnia, która mawięcej niż dwa dzielniki.

np.: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ...

Cechy podzielności

Liczba naturalna jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej cyfra jedności jest po- dzielna przez 2, np.: 3456; 3210.

Liczba naturalna jest podzielna przez 3 wtedyi tylko wtedy, gdysuma jej cyfr jestpodzielna przez 3, np.: 123; 4521.

Liczba naturalna jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dwucyfrowa utwo­

rzona z jej ostatnich dwóch cyfrjest podzielna przez 4, np.: 120; 7892; 1008.

Liczba naturalna jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej cyfrą jedności jest 0 albo 5, np.: 695; 7210.

Liczba naturalna jest podzielnaprzez 6wtedy i tylko wtedy, gdyjest podzielna przez 2, jak i przez 3, np.: 318; 15324.

Liczba naturalna jest podzielna przez9 wtedyi tylko wtedy, gdysuma jej cyfrjest podzielna przez 9, np.: 315; 567.

Liczba naturalna jest podzielna przez 25 wtedyi tylko wtedy, gdy liczba dwucyfrowa utwo­

rzona z jej ostatnich dwóch cyfr to: 00, 25, 50 albo 75.

np.: 225; 750

3

Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze Każda liczba naturalna jest liczbą pierwszą

lub iloczynem liczb pierwszych.

280 140 70 35 7 1

126 63 21 7 1

2 3 3 7

280 = 23 • 5 • 7 126 = 2 • 32 • 7 Największym wspólnym dzielnikiem liczb

naturalnych a i b nazywamy największą liczbę naturalną c, która jest dzielnikiem liczby a i dzielnikem liczby b.

Największy wspólny dzielnik 1WD(28O, 126) = 2 • 7 = 14

Najmniejszą wspólną wielokrotnościąliczb naturalnych a i b nazywamy najmniejszą liczbę naturalną dodatnią c, która jest po- dzielna przez a i przez b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność 1WW(28O,126) = 23 • 32 • 5 • 7 = 2520

NWD(a,fc) • NWW(a,ti) =a-b

Ułamki okresowe dziesiętne 0,aaa... = 0,(a) =

y 0,ababab... = Q,{ab} = gg O,abcabcabc... — O,(ćzZ?c) = abc 999 np.: 0,3333... = 0,(3) = | = |

0,0aaa... = 0,0(a) =

0,0abcabcabc... = 0,0(a&c) = 0,00ababab... — O,OO(aZ?) = ofnn

yyuu

np.: 0,01111... = 0,0(1) =

0,131313... = 0,(13) = ||

0,0ababab... = 0,Q{ab} =

0,00aaa... = 0,00(a) = g™

0,00abcabcabc... = 0,00(abc) = ggggg 0,00292929... = 0,00(29) = g||g

Podstawowe działania arytmetyczne

Dodawanie

a + b =

składnik składnik

c

suma

ć? + 0 = 0 + a = a

Odejmowanie

a — b = c

odjemna odjemnik różnica

a— 0 = a a —a = 0

a • b = c

czynnik czynnik iloczyn

a ■ 0 = 0 ■ a = 0 a • 1 = 1 • a = a

Dzielenie

a : b = c

dzielna dzielnik iloraz

a : 1 = a 0 : a = 0 Przez zero nie wolno dzielić

Własności dodawania i mnożenia

a + Z? = Z? + a (a + Z?) + c = a + (Z? + c)

a • b = b• a (a-b)-c = a-(b•c) a- (b + c)= a - b + a- c

Własności odejmowania i dzielenia

(a + b) — c = (a — c) + b = a + (b— c)

np.: (199 + 134) - 99 = (199 - 99) + 134 = 100 + 134 = 234 a — (b +c) = a—b —c

np.: 234 - (134 + 99) = 234 - 134 - 99 = 100 - 99 = 1 a -(b — ć) = a- b — a-c

np.: 2 ■ (200 - 5) = 2 • 200- 2 • 5 = 390 (a ■ b) :c = (a : c) - b = a - (b : ć)

np.: (24 • 8) : 4 = (24 : 4) • 8 = 24 • (8 : 4) = 48 a : (b - c) = (a : b) : c

np.: 120 : (6 • 5) = (120 : 6) : 5 = 4 (a + b) :c = a : c + b : c

np.: (140 + 14): 7 = 140 : 7 + 14 : 7 = 22 (a — b) : c — a : c — b : c

np.: (140 - 14) : 7 = 140 : 7 - 14 : 7 = 18

5

Działania na ułamkach zwykłych

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku a , c _ a+ c ł) b~ b

Odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku a _ c_ _ a — c

b b b

Dodawanie ułamkówo różnych mianownikach a , c _ ad+ bc b + d~ bd 5 , 3 5-8 + 7-3

7 + g = 7-8

Metoda „motylkowa”

Odejmowanieułamków o różnych mianownikach a_ _c_ _ ad — bc

b d bd

5 3 5-8—7-3

nP- yg 7-8

Mnożenie ułamków

a c_ _ a ■ c b d b- d 5 3 _ 5-3

np" 7'8 7-8

Dzielenie ułamków

a ' c_ _ a d_ _ a ■ d b ' d b c b■ c 5 3 5 8 = 5-8

np" 7'8 7’3 7-3

Liczbą przeciwną do liczby a nazywamy liczbę (— a),

np.: liczbą przeciwną do (—7) jest liczba 7, a liczbą przeciwną do (— 1 ) jestliczba 1^.

Liczbąodwrotną do liczby a, różnej od 0, nazywamy liczbę — ,

37 1

np.: liczbą odwrotną do liczby 2~ jest liczba , a liczbą odwrotną do (—3) jest liczba (—3)•

Własności działań na liczbach przeciwnych

—(—a) = a

—(a + b}= —a — b

—(a — b) = —a + b

(—a) •b = a • (~b) = —(a• b) (—a')-ę—b) — a-b

Cl Cl Cl

b —b b

—a _ a -b~ b

Kolejność wykonywania działań

• działania w nawiasach, zaczynając od tych, w których nie ma innych nawiasów

• potęgowanie i pierwiastkowanie

• mnożenie i dzielenie

• dodawanie i odejmowanie

• działania odlewej do prawej strony

► Zaokrąglanie

Liczby możemy zaokrąglać do dziesiątek, setek, tysięcy itd., albo dojedności części dziesięt­ nych, części setnych itd.

Jeśli pierwszą odrzuconą cyfrąjest 0,1,2, 3, albo 4, toostatniapozostawiona cyfra nie zmie­

nia się i mówimy wtedy, że zaokrąglamy z niedomiarem np.: 3742 ~ 3740 (zaokrąglenie do dziesiątek).

Jeśli ostatniąodrzuconą cyfrą jest5, 6, 7, 8, 9, to ostatnią pozostawioną cyfrę zwiększamy o 1 i mówimy wtedy, że zaokrąglamyz nadmiarem

np.: 2,617 ~ 2,62 (zaokrąglenie do części setnych).

7

Procenty

Procent całości Część całości Część całości

1% ₁₀₀¹ 0,01

2% ₅₀¹ 0,02

4% ₂₅¹ 0,04

5% ₂₀¹ 0,05

10% ₁₀¹ 0,1

20% ¹₅ 0,2

25% ₄¹ 0,25

33j% ₃¹ 0,(3)

50% ₂¹ 0,5

100% 1 1

Promil

1 promil = l%o = 0,1%

1% = 10%o Punkty procentowe

Punkt procentowy jest to różnica między dwiema wartościami jednej wielkości podanymi w procentach.

np.: Bank podwyższył oprocentowanie kredytu z 12% na 15%. Podaj o ile punktów procen­

towych bankpodwyższył oprocentowanie kredytu.

15 — 12 = 3 punkty procentowe Podwyżki i obniżki.

C — cena towaru przed zmianami; Ck~ cena końcowa towaru.

Podwyżka o

P

= C 1 + 100

np.: Początkowo rower kosztował 1200 zł. Cenaroweru wzrosła o 8%. Podaj aktualną cenę.

12Oo(l + = 1200 • 1,08 = 1296 zł

Obniżka o

np.: Początkowo rowerkosztował 1200 zł. Cena roweru została obniżona o 8%. Podaj aktu­

alną cenę.

1200 1- = 1200 • 0,92 = 1104 zł 100

Dwie podwyżki kolejno o p% i

ck = c

np.: Początkowo rower kosztował 1200 zł. Następniejego cena wzrosła o8%,a później wzrosła jeszcze o 5%. Podaj aktualną cenę.

120011 + yOl +yjM = 1200 • 1,08 • 1,05 = 1360,80 zł

Dwie obniżkikolejno o i / \ 1 p

/

1 ą

1 100J

np.: Początkowo rower kosztował 1200 zł. Następnie jego cena zmalała o 8%, a później zma­ lała jeszcze o 5%. Podaj aktualną cenę.

120011 - j 1- i = 1200 • 0,92 • 0,95 = 1048,80 zł Podwyżka o następnie obniżka o

np.: Początkowo rower kosztował 1200 zł. Następnie jego cena wzrosłao 8%, apóźniej zma­ lała jeszcze o 5%. Podaj aktualną cenę.

1200 i-t-)(i — TUo) = 1200 ’1,08‘0,95 = 1231’20zł

2. Potęgi i pierwiastki

Potęgi

Potęgą liczby a owykładniku naturalnym dodatnim n nazywamy iloczyn n czynników, z któ­

rych każdy jest równy liczbie a.

an — a-a-a- a Własności potęgowania

am • a" = am + rl am • bm = (tz • b)m

a" = am~n, a^0 (am)" = am'"

= ( k

a° = 1 , a 0 a~r ¹

_ a’ a 0 np.: 23 • 24= 27 ²6

2 = 25 (23)4 = 212 23-53= 103 104 _ 24

Notacja wykładnicza

Postać wykładnicza liczby dodatniej N to zapis liczby w formie iloczynu postaci:

N = a • 10", gdzie 1 < a < 10, gdzie n jest liczbą całkowitą.

np.: 625 300 = 6,253 • 105; 0,006 253 = 6,253 • 10"3 Wielkie liczby

103 - tysiąc 1012 - bilion

106 - milion 1018 - trylion

109 - miliard 1024 - kwintylion Małe liczby

10’1 = 0,1 10~4 = 0,0001

10”2 = 0,01 10-5 = 0,00001

10~3 = 0,001 10“6 = 0,000001 Bezwzględną wartością liczbynazywamy jej odległość na osi liczbowej od 0.

a ^{a, gdy} a > 0

—a, gdy a < 0

Uwaga: 101 = 0.

Pierwiastki

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a, to takaliczba nieujemna b, którapodniesiona do kwadratu daje liczbę podpierwiastkową a.

= b, gdzieZ?2 = a, a,b>0 np.: a/9 = 3, V0,0016 = 0,04,

Własnościpierwiastka kwadratowego Dla nieujemnych liczb a i b:

np.: (>/5) = ^/ó2 = 5

Pierwiasteksześcienny

Pierwiastek sześcienny z liczby a, to takaliczba b, która podniesionado sześcianu daje liczbę podpierwiastkowąa.

</a = b, gdzie b3 = a

np.: -V—64 = —4, V0J25 =0,5, Własności pierwiastka sześciennego Dla dowolnychliczb a i b:

Dla dowolnej liczby

3. Wyrażenia algebraiczne. Równania

Jednomian towyrażenie będące iloczynem liczb, liter i ich potęg o wykładniku naturalnym (liczba, litera, także jest jednomianem).

np.: —2a3b2, 7, x, y4

Jednomiany są podobne, jeśli wpostaci uporządkowanej zawierają te same czynniki litero­

we, w tej samej potędze.

np.: jednomiany 3x2y i — 5yx2 są podobne

Suma algebraiczna(wielomian) to wyrażenie algebraiczne, które powstaje przezdodawanie jednomianów.

np.: 3x2 — 2, 5ab2 + 2abc

Wwypadku dodawania i odejmowanie sum algebraicznych postępujemy zgodnie z zasadami pozbywania się nawiasów.

np.: (2xy — 5z) + (6x2y + 4z)— 2xy—5z+ 6x2y + 4z = 6x2y +2xy — z (2xy — 5z) — (6x2y + 4z) = 2xy—5z— 6x2y — 4z = — 6x2y +2xy — 9z

I 11

W wypadku mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną, każdy ze składników sumy algebraicznej mnożymy przezjednomian i iloczyny dodajemy.

W wypadku mnożenia dwóch sum algebraicznych każdy składnik jednego z nich mnożymy przez każdy składnik drugiego, otrzymane iloczynynastępnie dodajemy.

np.: 2x(3x — 5y)= 6x2 — 10xy

(2x—y)(3x — 5y) = 6x2 — 10xy — 3xy + 5y2 = 6x2 — 13xy +5y2 Mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną

a-(b + c) = a-b + a-c a-(b — c} = a-b — a-c Mnożenie sum algebraicznych

(a + Z?)-(c + d) = ac + ad + fec+&d Wyłączaniewspólnego czynnika przed nawias

a-Z? + a- c = a-(Z? + c) a-Z? — a-c= a-(& —c) Przydatne wzory („wzory skróconego mnożenia”)

(a + h)(a—b)= a2 — b2

(a + fe)2 =(a + b)(a + b)— a2 +2ab + b2 (a — b)2 — (a —b)(a — b)= a2 — 2ab + b2

Równania

Równanie to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości.

Liczba spełnia dane równanie, jeśli po wstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej otrzy­

mujemyrównośćprawdziwą.

Zbiorem rozwiązań równania nazywamy zbiór składający się ze wszystkich liczb spełnia­ jących to równanie.

Uwaga: Równanie może spełniać jednaliczba lub wiele liczb albo równania może nie spełniać żadna liczba.

Metoda równań równoważnych polega na takim przekształcaniu danego równania, aby nakażdym etapie otrzymywać równanie prostsze, lecz równoważne danemu.

Dopuszczalne przekształcenia równania to:

• dodawanie do obu stron równania tego samego wyrażenia,

• odejmowanie do obu stronrównania tego samego wyrażenia,

• mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę, różną od zera,

• dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę, różną od zera.

Własności metody równoważnychprzekształceń równań:

np.: _3X“^1.14=5X

5x —60 = 3x 5x = 3x + 60 5x— 3x = 60 2x = 60

(mnożymy obie strony równania przez liczbę 15) (dodajemy do obu stron równania liczbę 60)

(odejmujemyod obu stron równania wyrażenie 3x) (redukujemy wyrazy podobne)

(dzielimy obie strony równania przez 2) x = 30

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, jeśli spełniają warunek, że gdy jedna z nich ro­

śnie, to druga rośnietyle samo razy.

Proporcją nazywamy równość dwóch dodatnich ilorazów

£ — A c d

n ■ a c . , ■ ■ ab

Proporcja jest równoważna proporcjom: — = b = d

a c' ę_ _ d_.

a b ’

4. Oś liczbowa. Nierówności. Układ współrzędnych

Rozwiązania nierówności na osi liczbowej x<3

---•

-4---3--- -2--- -1--- 0--- 1---2---3--- 4--- 5---6---7

x <3

---O

-4----3---2--- -1---0--- 1---2---3---4--- 5---6---7

x> 3

•---7

-4----3---2--- -1---0--- 1---2--- 3---4--- 5---6---7

x> 3

O---

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

13

Własności nierówności

• Jeśli a <b i b < c, to a < c.

a

Jeśli < b, to a + c < b + c.

Jeśli oraz Jeśli <b oraz Jeśli <b oraz Jeśli <b oraz Jeśli <b oraz

Jeśli 0,

cjest liczbą dodatnią, to ac < bc.

cjest liczbą ujemną, to ac > bc.

ci b cjest liczbą dodatnią, to — < — . cjest liczbą ujemną, to — > —.

to —a < vb

0 oraz c > d > 0, to ac > bd.

Jeśli >b Jeśli Jeśli Jeśli

0 i njest liczbą naturalną dodatnią, to an > bn. 0, to

> b, to źfa > Ifb.

>b>

>b>

a a a a a a a a a a

< b

> b

>

>

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna dwóchliczb x i y wyraża się wzorem s = —

Układ współrzędnych

i

r-J

_ A

O 1Ićwiartłca

5

n i ćwiartka

X<0, _y->0 ^z

-i

>0; _y>0 1

X— -5 -4 -3 - 2 -1 0 2 3 4 5

I I ćuiartka

—1

n IVćwi artk a

X<0, y o ^—z

□ >0; y< 0

—ó Ą.*4:

np.: Oblicz pole i obwód trójkąta ABC.

Trójkąt ABC możemy obudować prostokątem DBFE, tak aby jego wierzchołki znalazły się nabokach równoległych do osi układuwspółrzędnych.

Obwód trójkątaABC możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

a2 = l2 + 52 = 26 b2 = l2 + 32 = 10 c2 = 42 + 42 = 32

Ob = V26 + 710 + 4 J2

Pole trójkąta ABC możemy poznać obliczając różnicę międzypolem prostokąta DBFE i sumą pól białych trójkątów(A.CAE, /\BFA, ADBC).

= 20-(1,5 + 8 + 2,5) = 8

15

5. Figury płaskie

Rodzaje kątów

Kąt ostry a < 90°

Kąt prosty a = 90°

Kąt rozwarty 90° < a < 180°

Kąty przyległe a + 13=180°

Kąty wierzchołkowe a = /?

Kąty naprzemianległe a = 8

Y=P

a -- y

Kąty odpowiadające

Odległość punktu od prostej p.

Odległość między prostymi równoległymi p i

Suma miarkątów w każdym trójkącie wynosi 180°.

Nierówność trójkąta

Każdybok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóchpozostałychboków.

a <b + c b < a + c c < a + b

a

17

Pola i obwody wielokątów

Pole Obwód

Wielokąt

trójkąt

ah

2 Ob = a + b + c

trójkąt równoboczny

Ob - 3a

b

kwadrat

prostokąt

p = a2,P = ^-

Ob = 4a

P = ab Ob = 2a+ 2b

równoległobok a

P = ah Ob = 2a+ 2b

P = ah, P — Ob — 4a

a

(a+b)h

2 ^{Ob =} a + b +c + d

fr Twierdzenie Pitagorasa

Wtrójkącie prostokątnym suma kwadratów długościprzyprostokątnychjest równa kwadra­

towi długości przeciwprostokątnej.

Zależności między odcinkamiw figurach

d — a-j2

19

Przystawanie trójkątów

Cecha bok, bok, bok (bbb)

Gdy dwa trójkąty mają odpowiednie boki równej długości, to te trójkąty są przystające.

Cecha bok, kąt, bok (bkb)

Gdy dwa trójkąty mają odpowiednie dwa boki równej długości i kąty między tymi bokami tej samej miary, to te trójkąty są przystające.

Cecha kąt, bok, kąt (kbk)

Gdy dwa trójkąty mają dwa kąty tej samej miary oraz bokileżące przy tych kątach tej samej długości, to te trójkąty są przystające.

c

Trójkąty przystające w figurach W kwadracie

Wrombie

Wtrapezie równoramiennym

W trójkącie równoramiennym

W trójkącie równobocznym

21

Rodzaje trapezów Dowolny

Koło i okrąg

Równoramienny

Pole koła 2 P = Ttr2 P = Długość okręgu l = 2ur 1 = ud

h = —wysokość trójkąta

4 ^— pole trójkąta

— promień okręgu wpisanego w trójkąt

— promień okręgu opisanego natrójkącie

Symetralna odcinka, dwusieczna kąta.

Symetralną odcinka o końcach A i B nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka, która przechodzi przez środek tego odcinka.

Symetralna odcinkajest jedną z jegoosi symetrii i jestzbiorempunktów płaszczyzny równo oddalonych od obu końców tego odcinka.

Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku kąta, która dzieli dany kąt na dwa kąty o równych miarach.

Dwusieczna kątazawiera się w jego osi symetrii. Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem punktów kątarówno oddalonych od ramion kąta.

23

Wielokąty foremne Trójkątrównoboczny

a

trzy osie symetrii

Zeo°

Kwadrat

60°

cztery osie symetrii S - środek symetrii

Pięciokąt foremny

pięć osi symetrii

Sześciokąt foremny

sześć osi symetrii S -środek symetrii

Gdy wielokąt foremny man boków, to ma też n osi symetrii.

Gdywielokąt foremny maparzystą liczbęboków, to ma środeksymetrii.

Gdywielokąt foremny manieparzystą liczbęboków, to nie ma środkasymetrii.

, . (n —2)180°

Miarakąta wewnętrznego n-kąta foremnego wynosi --- ---.

Wielokątywypukte Czworokąt

suma miar kątów = 360°

liczba przekątnych — 2

Pięciokąt

suma miar kątów = 540°

liczba przekątnych = 5

Sześciokąt

suma miar kątów = 720°

liczba przekątnych = 9

Sumamiarkątów n-kąta wypukłego jest równa (n — 2) • 180°.

Liczba przekątnych n-kąta wypukłego jest równa .

25

6. Geometria przestrzenna

Bryła Polepowierzchni całkowitej Objętość sześcian

Pc = 6a2 V = a3

prostopadłościan a

Pc = 2ab + 2bc + 2ac V = abc

graniastosłup

Pc = 2Pp + Pb V=Pp-H

ostrosłup

Pc-Pp +Pb V = ^Pp-H

Przekątna sześcianu

> Przykładowe siatki graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawidłowych.

Sześcian Prostopadłościan

I I I

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

27

Ostrosłup prawidłowy trójkątny Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłup prawidłowy pięciokątny Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Liczba wierzchołków, krawędzii ścian graniastosłupów i ostrosłupów

Bryła Liczba Liczba Liczba

wierzchołków krawędzi ścian

Graniastosłup

o podstawie n-kąta 2n 3n n + 2

Ostrosłup

o podstawie n-kąta ⁿ + 1 2n n + 1

7. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb x , x2, ... , x możemy obliczyć ze wzoru x1+x2... + x„

n Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwem zdarzenia (p) nazywamy stosunekliczby wyników sprzyjającychte­ mu zdarzeniu (n) do liczby wszystkich możliwych wyników(N) w doświadczeniulosowym.

np.: Dana jest sześcienna kostka do gry.

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przy rzucie tą kostką wypadnie na niej liczba parzysta?

np.: W urnieznajdują się 4 czerwone kulei 3czarne. Podajprawdopodobieństwo wylosowania z urnykuli czarnej.

Sposoby reprezentowania danych statystycznych

Tabela

Ocena ndst dop dst db bdb cel

Liczba ocen 4 2 7 3 1 3

Średnia ocen x = ^4-1+ 2-2 + 3-7 + 3-4+ 1-5 + 3-6 4 + 2 + 7 + 3 +1 + 3

4 + 4 + 21 +12 + 5 + 18 64 n

20 “20-0,

29

Diagram słupkowy Wykres kolumnowy

Liczba ocen

Wykresliniowy

Liczba ocen

Wykres kołowy

8. Jednostki Z

Z

Czas

1 dzień = 24godziny 1 rok = 365/366 dni

1 godzina = 60 minut 1 rok = 12 miesięcy

1 minuta = 60 sekund 1 tydzień = 7 dni Liczba dniw danym miesiącuroku

Wzory dotycząceprędkości

— prędkość 1 m/s = 3600 m/h

s = v• t — droga 1000 m/min = 60 km/h

- czas 10 m/s = 36 km/h

Jednostki długości

1 km = 1000 m= 10 000 dm = 100000 cm = 1 000000 mm 1 m= 10 dm = 100 cm = 1000 mm

1 dm = 10 cm = 100mm 1 cm= 10 mm

1mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m 1 cm = 0,1 dm= 0,01 m

1 dm = 0,1 m= 0,0001 km 1 m = 0,001 km Jednostkimasy

11 = 1000 kg = 100 000 dag = 1000 000g 1 kg = 100 dag = 1000 g

1 dag— 10 g 1 g = 0,1 dag = 0,001 kg

1 dag = 0,01 kg 1 kg = 0,0011 1 kwintal = 100 kg Jednostki pola

1 km2 = 100hektarów = 10 000 arów = 106 m2 1 hektar =100arów= 104 m2

1 ar = 100 m2

1m2 =100 dm2 = 10000 cm2 1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2

1 cm2 = 100 mm2

1 mm2 = 0,01 cm2 = 0,0001 dm2 1 cm2 = 0,01 dm2 = 0,0001 m2

1 dm2 = 0,01 m2

1 m2 = 0,01 ara = 0,0001 hektara = 10-6 km2 1 ar = 0,01 hektara = 10-4 km2

1 hektar = 0,01 km2 Jednostkiobjętości

1 km3 = 109 m3

1 m3 = 1000 dm3 = 1000 litrów 1 dm3 = 1 litr = 1000 cm3 = 106 mm3

1 cm3 = 1000 mm3 1 mm3 = 0,001 cm3

1 cm3 = 0,001 dm3 = 0,001 litra 1 dm3 = 0,001 m3

1 m3 = 10"9 km3

31

9. Tablice

Tabliczka mnożenia

Tablica liczb pierwszych od 2 do409

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

Tablica kwadratów liczb od 16 do 32

n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

n2 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024

Tablica sześcianów liczb od 1 do 15

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375

Tablica potęg liczby2, 3, 4 i 5 Tablica potęg liczb 6, 7, 8, 9

n 2" 3" 4" 5"

0 1 1 1 1

1 2 3 4 5

2 4 9 16 25

3 8 27 64 125

4 16 81 256 625

5 32 243 1024 3125

6 64 729 4096 15 625

7 128 2187 16 384 78 125

8 256

9 512

10 1024

n 6" 7" 8" 9"

2 36 49 64 81

3 216 343 512 729

4 1296 2401 4096 6561

5 7776 16 807 32 768 59 049

Tablica przybliżonych wartości odwrotności,

pierwiastkówkwadratowych i sześciennychliczb od 1 do 10

n 1

n

1 1 1 1

2 0,5 1,414 1,260

3 0,333 1,732 1,442

4 0,25 2 1,587

5 0,2 2,236 1,710

6 0,167 2,449 1,817

7 0,143 2,646 1,913

8 0,125 2,828 2

9 0,111 3 2,080

10 0,1 3,162 2,154

Tablica wybranych trójek pitagorejskich a,b — długości przyprostokątnych,

c — długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym

a 3 5 6 7 8 9 9 10 11 12

b 4 12 8 24 15 12 40 24 60 16

c 5 13 10 25 17 15 41 26 61 20