Analiza utraty stateczności ogólnej pryzmatycznych belek stalowych z ciągłymi stężeniami sprężystymi

ZESZYTY N A U K O W E P O LITEC H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: BUDO W NICTW O z. 104

2005 N r kol. 1695

Urszula KARASIŃSKA*

Politechnika W rocław ska

ANALIZA UTRATY STATECZNOŚCI OGÓLNEJ PRYZMATYCZNYCH BELEK STALOWYCH

Z

CIĄGŁYMI STĘŻENIAMI SPRĘŻYSTYMI

Streszczenie. A nalizow ano utratę stateczności ogólnej dla jednoprzęsłow ych belek pryzmatycznych bi- oraz m onosym etrycznych z ciągłym i stężeniam i sprężystym i.

Przytoczono je d n e z pierw szych prób rozw iązania zagadnienia za pom ocą równań różniczkowych oraz przedstaw iono w zory, m ożliw e do praktycznego zastosow ania, uzyskane metodą Rayleigha - Ritza. W ykonano obliczenia w artości m om entów krytycznych inicjujących zw ichrzenie belek o przekrojach dw uteow ych podpartych w idełkow o i stężonych podłużnie ciągłym tężnikiem sprężystym przy różnych schem atach obciążenia.

THE ANALYSIS OF LATERAL BUCKLING OF STEAL PRISMATIC BEAM WITH THE CONTINOUS ELASTICAL BRACING

S um m ary. The problem o f lateral buckling o f sim ple- span prism atic beam with monosymmetric and bisym m etric cross- section has been analysed. The first attem pt o f solving this problem using the differential equations w as quoted. The form ulas obtained by aid of Rayleigh- R itz m ethod w hich can be used in practical, w ere presented too. T here were calculated the critical m om ent initiating the lateral buckling o f the beam w ith the sim ple support and w ith the continous elastical bracing.

1. Wprowadzenie

Belki stalow e są zw ykle połączone z innymi elem entam i nośnym i nie tylko na końcach, ale także na swej długości. Elem entam i konstrukcyjnym i m o g ą być pom osty, skratowania, stężenia, elem enty sufitów podw ieszonych itd. S ą one zazw yczaj um ieszczane w płaszczyźnie mniejszej sztyw ności giętnej belki oraz najczęściej nie połączone w je j osi głów nej. Elem enty te spełniają sw oje określone zadania konstrukcyjne, a jednocześnie ograniczają przemieszczenia liniow e przekrojów poprzecznych belki z płaszczyzny m niejszej sztywności.

* Opiekun naukow y: Prof. dr inż. R om an Jankow iak

148 U. Karasińska

M o g ą rów nież ograniczać przem ieszczenia kątowe w w iększym bądź m niejszym stopniu, zależnie od sposobu połączenia.

Problem rozw iązania stateczności ogólnej belki w raz z tężnikiem był podejmowany w ielokrotnie, n p .[l, 3, 4, 5, 8], N ajpełniej zagadnienie to zostało przedstaw ione w [4], gdzie analizow ana je s t nie tylko stateczność belek, ale przede w szystkim uogólniony przypadek, ja k im je s t pręt o stałym , m onosym etrycznym przekroju otw artym , poddany ściskaniu i zginaniu w płaszczyźnie sym etrii przekroju poprzecznego. Problem y stateczności sform ułow ano za pom ocą dystrybucyjnych rów nań różniczkow ych. Zastosowanie otrzym anych rozw iązań w praktyce inżynierskiej je s t m ożliw e dzięki programom kom puterow ym , w ykorzystującym np. M ES.

Zagadnienie w spółpracy stężenia z belką przeciw utracie stateczności ogólnej m a z punktu w idzenia projektow ania duże znaczenie. Dąży się bow iem do m inim alizacji ciężaru zasadniczych elem entów nośnych konstrukcji, tak aby jed n ak spełnione były w arunki stanu granicznego nośności oraz użytkowalności. O graniczenie zjaw iska zw ichrzenia, np. przez w ykorzystanie elem entów pom ostu, daje m ożliw ość zm niejszenia w ym iarów poprzecznych belki, a w konsekwencji je j ciężaru w łasnego.

N ajw ięcej analiz i rozw ażań przeprow adzono na przykładzie tężnika ciągłego, jakim jest stężenie w ym uszające oś obrotu [1,5]. W projektow aniu belek z prostym i schematami obciążeń w pływ stężeń m ożna uw zględnić w ykorzystując w zory norm ow e [2, 6],

Rys. 1. Belka dwuteowa z ciągłym stężeniem sprężystym Fig. 1. I-beam with a continuous elastical bracing

Analiza utraty stateczności ogólnej 149

2. Momenty krytyczne belek ze stężeniam i sprężystym i

Stężenia sprężyste (podatne) ciągłe ograniczają w pew nym stopniu przem ieszczenia poziome przekrojów poprzecznych belki, a także ich obroty w zależności od w artości współczynników sprężystości liniowej (0 < ru < c o ) oraz skręcania (0 < r e < co).

Gdy wartość w spółczynnika sztyw ności liniowej tężnika re dąży do nieskończoności, to występuje przypadek szczególny, jakim je s t belka ze stężeniem w ym uszającym oś obrotu.

Przyjmuje się w tedy, że oś pow stała z punktów połączenia stężenia z przekrojem poprzecznym belki nie doznaje przem ieszczeń poziom ych (w, = 0 ) .

Rysunek 2 przedstaw ia m odel w spółpracy belki m onosym etrycznej z ciągłym tężnikiem podatnym, połączonym z przekrojem poprzecznym belki na w ysokości równej y b od środka ścinania i obciążonej siłą poprzeczną q zaczepioną w odległości g od środka ścinania.

Rys. 2. Przekrój poprzeczny belki z zastępczymi więzami Fig. 2. The cross-section o f beam with substitutional constraints

W latach czterdziestych X X w. W łasow [7] rozw ażył przypadek osiow o ściskanego pręta cienkościennego o przekroju otw artym , stężonego na długości. Sform ułow ał równania różniczkowe problem u, które następnie uogólnił na pręty ściskane i zginane.

Dla pręta o przekroju pokazanym na rys. 2. rów nania różniczkow e przyjm ą postać [7]:

x

y

E I yu {Ą) + p[u{2> + y , ę {2)]+ ( M xę ) {2) * ru[ u - y b<p\ =

0

E i y * ] + (iPi1 - G1t V 2) - (rx - 2 y s \ M xc p ^ f + (Py, + M x ) r (2) - ruy b

( 2 )

(

)

gdzie:

E , G - m oduły sprężystości podłużnej oraz poprzecznej,

150 U . Karasińska

I r , I a , I T - m om enty bezwładności w zględem osi y, wycinkowy i sw obodnego skręcania, P , M x, q y - siła podłużna, m om ent zginający oraz poprzeczne obciążenie równomiernie

y s, y h, g - w spółrzędne odpow iednio środka ścinania, położenia stężenia oraz

ru,re - w spółczynniki sprężystości liniowej i skrętnej stężenia,

u,(p - przem ieszczenie środka przekroju w zględem osi x oraz kąt obrotu środka ścinania przekroju poprzecznego,

is - prom ień bezw ładności w zględem środka ścinania, rx - ram ię asym etrii przekroju poprzecznego.

R ozw iązanie układu rów nań w postaci ogólnej zam kniętej nie je s t m ożliwe. Rozwiązania szczegółow e tego układu rów nań uzyskano [4] dla pręta w idełkow o podpartego na obu końcach i obciążonego m im ośrodow o qy = 0, M x = —Py, ■

W pracy [8] do oceny w pływ u tężników na w artości m om entów krytycznych belek z w idełkow ym i w arunkam i podparcia w ykorzystano m etodę Rayleigha-Ritza. Energia potencjalna belki o przekroju poprzecznym m onosym etrycznym obciążonej momentami skupionym i na końcach i siłam i poprzecznym i nie zaczepionym i w środkach ścinania przekroju poprzecznego m a postać:

gdzie poszczególne oznaczenia podano wcześniej.

Stężenie sprężyste pozw ala na przem ieszczenie boczne punktów połączenia belki z tężnikiem . W artość takiego przem ieszczenia m ożna opisać rów naniem (4a)

D la belki podpartej na końcach w idełkow o funkcje, w ykorzystane w w yrażeniu (3), które opisują w arunki brzegowe, s ą postaci:

W pracy [8] przyjęto, że dla stężenia sprężystego najm niejszą w artość obciążenia krytycznego inicjującego zw ichrzenie m ożna określić dla osi ugiętej w kierunku osi x w kształcie kilku półfal i . W yprow adzone w yrażenie w [8] na m om ent krytyczny dla belki ze stężeniem ciągłym sprężystym m a postać:

rozłożone,

obciążenia,

\ s 2

=1J

(3)

= u - y h0 (4a)

i siu.

u - u n sin — L

(4b)

Analiza utraty stateczności ogólnej . 151

(ix ) 2E I y

M cr~ Ż t \(ZląS + ^2QSv

+^

^

)

(5 )

n G ItL 2 | reL2 ( ruy ¡ L 2 r i

{ 2r4 \1 ( i * ) 2 E l . ( i n ) Ą E l a ( i n ) A E I a { ( i * Y E l y )

t(r>)4£/JJ

gdzie:

Żt, Ż 2q, Ż i g , Ż 3 - w artości w spółczynników zależne od schem atu obciążenia wyznaczone w [8].

Gdy stężenie um ieszczone zostanie na w ysokości środka ścinania przekroju poprzecznego belki, czyli gdy y h = 0 , to w yrażenie (5) uprości się do postaci:

. { i n f E l

M c r ~ Ż \ ^ j { Ż 2qg + ¿2qSv + 1+ -

( J n y E I

y J

Í

( Ż 2qg + Ż 2Qg v + Ż 3k x ) 1+ - r . . V

( i n ) E I y J + Ll

L

1 + G I r L r„L ( i x ) E l a ( i n ) E l w

(

6

3. Przykłady obliczeniowe

Obliczenia w ykonano dla belki ze stali St3S podpartej w idełkow o na końcach [\iy =Ha = 1,0). K olejne obciążenia przykładano do pasa górnego, środka ścinania i pasa

dolnego. Zastosowano trzy rodzaje stężenia sprężystego ( ru = 1 0 k N / m \ r g = 1 0 k N m / m\

ru =10 k N / m \ r e = 100 k N m /nr, ru = 100 k N / m \ r g = 100 k N m / m ) połączonego z belką na

poziomie pasa dolnego.

Rysunek 3 obrazuje w pływ liczby półfal i na w artość m om entu krytycznego przedstawionego w postaci bezw ym iarow ej M cr. Z analizy krzyw ych w ynika, że w artość obciążenia krytycznego gw ałtow nie rośnie przy w iększej, niż jednej, półfali. D la belki dwuteowej bisym etrycznej w zrasta ona ośm iokrotnie przy obciążeniu rów nom iernie rozłożonym, a przy sile skupionej działającej w środku rozpiętości dziesięciokrotnie dla i = 3.

W przypadku belki o przekroju m onosym etrycznym , gdy pole poprzeczne pasa ściskanego

1 5 2 U. Karasińska

(górnego) je s t w iększe niż rozciąganego, krotności w ynoszą odpow iednio 8,6 i 9,1. Natomiast gdy pole poprzeczne pasa rozciąganego je st większe, w tedy otrzym uje się krotności 11,5 przy obciążeniu rów nom iernie rozłożonym i 11,6 przy sile skupionej.

Z rysunku 3b w ynika, że w artości m om entów krytycznych belek ze stężeniami sprężystym i zależą od schem atów obciążenia.

Rys. 3. Zależność bezwymiarowego momentu krytycznego od ilości półfal dla różnych przekroi poprzecznych belki z ciągłym stężeniem sprężystym ( ru = 1 0 0 k N / m,re = 1 0 0 kNm/m ) oraz różnych obciążeń

Fig. 3. M cr - /curve for the beams with the different cross-section with the continous elastical bracing ( ru = 1 0 0 k N / m ,r0 = 1 0 0 kNm / m ), for the different loads

N a rysunku 4 przedstaw iono w yniki analizy belki z tężnikam i podatnym i obciążonej rów nom iernie na całej długości poprzez pas górny, środek ścinania oraz pas dolny. Przyjęto trzy przekroje poprzeczne belki dwuteowej połączone ze stężeniem każdorazow o poprzez pas dolny ze zm iennym param etrem K , który w yznaczono w edług poniższego wzoru:

Zauw ażyć można, że następuje w zrost m om entu krytycznego, gdy obciążenie jest przyłożone do pasa dolnego w stosunku do przypadku, gdy obciążenie to je s t przekazywane na pas górny. Zależność ta dotyczy w szystkich analizow anych przekroi belek, niezależnie od zastosow anego stężenia i obciążenia.

a )

(7)

Analiza utraty stateczności o g ó ln e j.. 153

a ) M e r

40

3 0

20

b ) c>

10

A M c r ¿L M e r A

p a s g ó r n y 4 0 - ś r o d e k ś c i n a n i a

4 0 -

^ = 1 0 k N n /m r= 1 0 k N m /m

0

3 0 -

/ T

3 0 -1

T

/ i

'" ^ l 1 1 I 1 I I

te

1 2 3 4 5 K

----

2 3 4

I w

5 K 1

Rys. 4. Krzywe - bezwymiarowy moment krytyczny-parametr K dla belek bi- i monosymetrycznych Fig. 4. Critical moment- parameter K curve o f the beams with bi- and monosymetrical cross-section

Rys. 5. Krzywe - moment krytyczny-parametr K dla belki bisymetrycznej Fig. 5. Critical moment - parameter K curve of the I-beam

Na rysunku 5 pokazano krzyw e, obrazujące zm iany w artości m om entów krytycznych dla belki bisym etrycznej dw uteow ej ze stężeniem o w artościach ru = \ 0 k N l m i re =100 k N m / m Przyjęte do obliczeń obciążenie, w postaci rów nom iernie rozłożonego, siły

skupionej w środku rozpiętości belki oraz dwóch sił- każda w odległości 1/3 od końca belki, działa w środku ścinania przekroju poprzecznego. N ajw iększe w artości m om entów krytycznych w ystępują, gdy belka je s t obciążona rów nom iernie na długości, a najm niejsze przy obciążeniu siłą skupioną położoną w środku rozpiętości.

154 U. Karasińska

4. Podsum ow anie

A nalizow ano w pływ ciągłych stężeń sprężystych na obciążenie krytyczne inicjujące utratę stateczności ogólnej belek dw uteow ych bi- oraz m onosym etrycznych. Wykorzystane w yrażenie (4) do obliczeń m oże być zastosow ane rów nież dla w ielu innych schematów obciążeń, niż tylko dla tych, które zostały tutaj przytoczone. M ożliw e je s t to dzięki w yznaczonym w artościom Ż l , Ż 2q, Ż 2g, Ż 3 dla odpow iedniego obciążenia zew nętrznego.

LITER A TU R A

1. B ródka J., G am carek R., M iłaczew ski K.: B lachy fałdow e w budow nictw ie stalowym, W ydanie 1, W ydaw nictw o „A rkady” , W arszaw a 1999.

2. D IN 18800-2.

3. G osow ski B.: Skręcanie i zginanie otw artych, stężonych elem entów konstrukcyjnych m etalow ych, W ydanie 1, W ydaw nictw o Politechniki W rocław skiej, W rocław 2004.

4. G osow ski B.: Stateczność przestrzenna stężonych podłużnie i poprzecznie pełnościennych elem entów konstrukcji m etalowych, W ydanie 1, W ydaw nictw o Politechniki Wrocław­

skiej, W rocław 1992.

5. Pałkow ski Sz.: K onstrukcje stalowe. W ybrane zagadnienia obliczania i projektowania, W ydanie 1, W ydaw nictw o „A rkady” , W arszaw a 2001.

6. P N -90/B -03200 K onstrukcje stalowe. O bliczenia i projektowanie. W ydanie 2 poprawione.

7. W łasow V. Z.: Tonkostennye uprugie sterzni. W ydanie 1, M oskw a 1959.

8. Ż m uda J.: Problem y niestateczności w projektowaniu dźw igarów stalow ych, W ydanie 1, O ficyna W ydaw nicza Politechniki O polskiej, O pole 2004.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. Szym on Pałkowski