Równanie Monge’a-Amp`ere’a

Równanie Monge’a-Amp` ere’a

Zbigniew Błocki

(Uniwersytet Jagielloński) http://gamma.im.uj.edu.pl/ eblocki

Minikonferencja 3 SSDNM

Kraków, 14 X 2011

Rzeczywiste równanie Monge’a-Amp` ere’a:

det D ² u = f (x, u, Du)

gdzie u : Ω → R, Ω ⊂ R ⁿ

Rzeczywiste równanie Monge’a-Amp` ere’a:

det D ² u = f (x, u, Du) gdzie u : Ω → R, Ω ⊂ R ⁿ

Przykłady:

1. Krzywizna Gaussa hiperpowierzchni graph u ⊂ R ⁿ⁺¹

K = det D ² u

(1 + |Du| ² ) ^(n+2)/2

Rzeczywiste równanie Monge’a-Amp` ere’a:

det D ² u = f (x, u, Du) gdzie u : Ω → R, Ω ⊂ R ⁿ

Przykłady:

1. Krzywizna Gaussa hiperpowierzchni graph u ⊂ R ⁿ⁺¹

K = det D ² u

(1 + |Du| ² ) ^(n+2)/2

2. Problem lokalnego zanurzenia M ² w R ³

Rzeczywiste równanie Monge’a-Amp` ere’a:

det D ² u = f (x, u, Du) gdzie u : Ω → R, Ω ⊂ R ⁿ

Przykłady:

1. Krzywizna Gaussa hiperpowierzchni graph u ⊂ R ⁿ⁺¹

K = det D ² u (1 + |Du| ² ) ^(n+2)/2 2. Problem lokalnego zanurzenia M ² w R ³

det D ² u = K(1 − |Du| ² ) (równanie Darboux)

Rzeczywiste równanie Monge’a-Amp` ere’a:

det D ² u = f (x, u, Du) gdzie u : Ω → R, Ω ⊂ R ⁿ

Przykłady:

1. Krzywizna Gaussa hiperpowierzchni graph u ⊂ R ⁿ⁺¹

K = det D ² u (1 + |Du| ² ) ^(n+2)/2 2. Problem lokalnego zanurzenia M ² w R ³

det D ² u = K(1 − |Du| ² ) (równanie Darboux)

det(u ij − Γ ^k _ij u k ) = det(g ij ) K (1 − g ^pq u p u q )

3. Problem Weyla (Pogorełow/Nirenberg): dla

dowolnej metryki g na S ² , t. że K > 0, (S ² , g) można

zanurzyć w R ³ .

3. Problem Weyla (Pogorełow/Nirenberg): dla

dowolnej metryki g na S ² , t. że K > 0, (S ² , g) można zanurzyć w R ³ .

Słabe rozwiązania (A.D. Aleksandrow)

3. Problem Weyla (Pogorełow/Nirenberg): dla

dowolnej metryki g na S ² , t. że K > 0, (S ² , g) można zanurzyć w R ³ .

Słabe rozwiązania (A.D. Aleksandrow)

Jeżeli u ∈ C ² (Ω) jest funkcją ściśle wypukłą, to Z

E

det D ² u dλ = vol(Du(E)), E ⊂ Ω.

3. Problem Weyla (Pogorełow/Nirenberg): dla

dowolnej metryki g na S ² , t. że K > 0, (S ² , g) można zanurzyć w R ³ .

Słabe rozwiązania (A.D. Aleksandrow)

Jeżeli u ∈ C ² (Ω) jest funkcją ściśle wypukłą, to Z

E

det D ² u dλ = vol(Du(E)), E ⊂ Ω.

Dla dowolnej funkcji wypukłej u : Ω → R definiujemy Du(x) := {y ∈ R ⁿ : u(x) + h· − x, yi ≤ u}, x ∈ Ω,

Du(E) = [

x∈E

Du(x), E ⊂ Ω,

M A(u)(E) := vol(Du(E)).

Twierdzenie (A.D. Aleksandrow)

Ω - ograniczony, ściśle wypukły obszar w R ⁿ ,

ϕ ∈ C(∂Ω), µ - miara regularna na Ω, t.że µ(Ω) < ∞.

Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

u ∈ CV X(Ω) ∩ C( ¯ Ω) M A(u) = µ

u = ϕ na ∂Ω.

Twierdzenie (A.D. Aleksandrow)

Ω - ograniczony, ściśle wypukły obszar w R ⁿ ,

ϕ ∈ C(∂Ω), µ - miara regularna na Ω, t.że µ(Ω) < ∞.

Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

u ∈ CV X(Ω) ∩ C( ¯ Ω) M A(u) = µ

u = ϕ na ∂Ω.

Globalna regularność

(Kryłow/Caffarelli-Nirenberg-Spruck)

∂Ω ∈ C ^∞ , silnie wypukły, ϕ ∈ C ^∞ (∂Ω), µ = f dλ, f ∈ C ^∞ ( ¯ Ω), f > 0

⇒ u ∈ C ^∞ ( ¯ Ω).

Lokalna regularność

Przykład (Pogorełow): u(x) = (x ² ₁ + 1)|x ⁰ | ^2β , β ≥ 0,

gdzie x ⁰ = (x 2 , . . . , x n ).

Lokalna regularność

Przykład (Pogorełow): u(x) = (x ² ₁ + 1)|x ⁰ | ^2β , β ≥ 0, gdzie x ⁰ = (x 2 , . . . , x n ). Wtedy

det(u x

x

) = c(1+x ² ₁ ) ⁿ⁻² (2β−1)−(2β+1)x ² ₁ |x ⁰ | ^2(βn+1−n) .

• u wypukła w otoczeniu 0 ⇔ β > 1/2

• det(u _x

_x

) - gładkie i > 0, gdy β = 1 − 1/n.

Lokalna regularność

Przykład (Pogorełow): u(x) = (x ² ₁ + 1)|x ⁰ | ^2β , β ≥ 0, gdzie x ⁰ = (x 2 , . . . , x n ). Wtedy

det(u x

x

) = c(1+x ² ₁ ) ⁿ⁻² (2β−1)−(2β+1)x ² ₁ |x ⁰ | ^2(βn+1−n) .

• u wypukła w otoczeniu 0 ⇔ β > 1/2

• det(u _x

_x

) - gładkie i > 0, gdy β = 1 − 1/n.

Zatem u(x) = (x ² ₁ + 1)|x ⁰ | ^2(1−1/n) (gdzie n ≥ 3!) spełnia

M A(u) ∈ C ^∞ , M A(u) > 0, u / ∈ W _loc ^2,n(n−1)/2 .

Lokalna regularność

Przykład (Pogorełow): u(x) = (x ² ₁ + 1)|x ⁰ | ^2β , β ≥ 0, gdzie x ⁰ = (x 2 , . . . , x n ). Wtedy

det(u x

x

) = c(1+x ² ₁ ) ⁿ⁻² (2β−1)−(2β+1)x ² ₁ |x ⁰ | ^2(βn+1−n) .

• u wypukła w otoczeniu 0 ⇔ β > 1/2

• det(u _x

_x

) - gładkie i > 0, gdy β = 1 − 1/n.

Zatem u(x) = (x ² ₁ + 1)|x ⁰ | ^2(1−1/n) (gdzie n ≥ 3!) spełnia M A(u) ∈ C ^∞ , M A(u) > 0, u / ∈ W _loc ^2,n(n−1)/2 . Twierdzenie (Urbas) n ≥ 3, u ∈ CV X ∩ W _loc ^2,p dla pewnego p > n(n − 1)/2. Wtedy

(∗) M A(u) ∈ C ^∞ , M A(u) > 0 ⇒ u ∈ C ^∞ .

Lokalna regularność

Przykład (Pogorełow): u(x) = (x ² ₁ + 1)|x ⁰ | ^2β , β ≥ 0, gdzie x ⁰ = (x 2 , . . . , x n ). Wtedy

det(u x

x

) = c(1+x ² ₁ ) ⁿ⁻² (2β−1)−(2β+1)x ² ₁ |x ⁰ | ^2(βn+1−n) .

• u wypukła w otoczeniu 0 ⇔ β > 1/2

• det(u _x

_x

) - gładkie i > 0, gdy β = 1 − 1/n.

Zatem u(x) = (x ² ₁ + 1)|x ⁰ | ^2(1−1/n) (gdzie n ≥ 3!) spełnia M A(u) ∈ C ^∞ , M A(u) > 0, u / ∈ W _loc ^2,n(n−1)/2 . Twierdzenie (Urbas) n ≥ 3, u ∈ CV X ∩ W _loc ^2,p dla pewnego p > n(n − 1)/2. Wtedy

(∗) M A(u) ∈ C ^∞ , M A(u) > 0 ⇒ u ∈ C ^∞ .

Twierdzenie (Pogorełow) n = 2, u ∈ CV X ⇒ (∗)

Zespolone równanie Monge’a-Amp` ere’a (CMA)

det(u _{j¯ k} ) = f (z, u, Du),

gdzie u : Ω → R, Ω ⊂ C ⁿ , jest funkcją plurisubhar-

moniczną (psh), tj. (u _{j¯ k} ) ≥ 0

Zespolone równanie Monge’a-Amp` ere’a (CMA)

det(u _{j¯ k} ) = f (z, u, Du),

gdzie u : Ω → R, Ω ⊂ C ⁿ , jest funkcją plurisubhar- moniczną (psh), tj. (u _{j¯ k} ) ≥ 0

Przykłady zastosowań geometrycznych:

1. Krzywiznę Ricciego na rozmaitościach k¨ ahlerowskich

można wyrazić przy pomocy operatora MA, hipoteza

Calabiego oraz problem istnienia metryk K¨ ahlera-Einsteina

sprowadzają się do rozwiązania niezdegenerowanego CMA

(Yau).

Zespolone równanie Monge’a-Amp` ere’a (CMA)

det(u _{j¯ k} ) = f (z, u, Du),

gdzie u : Ω → R, Ω ⊂ C ⁿ , jest funkcją plurisubhar- moniczną (psh), tj. (u _{j¯ k} ) ≥ 0

Przykłady zastosowań geometrycznych:

1. Krzywiznę Ricciego na rozmaitościach k¨ ahlerowskich można wyrazić przy pomocy operatora MA, hipoteza Calabiego oraz problem istnienia metryk K¨ ahlera-Einsteina sprowadzają się do rozwiązania niezdegenerowanego CMA (Yau).

2. Równanie dla geodezyjnych w przestrzeni metryk

k¨ ahlerowskich jest równoważne jednorodnemu CMA

(Mabuchi, Semmes, Donaldson).

Słabe rozwiązania

Słabe rozwiązania

Przykład (Shiffman-Taylor/Kiselman)

u(z) = (− log |z ₁ |) ^1/n (|z ₂ | ² + · · · + |z _n | ² − 1)

• u jest psh w otoczeniu 0

• u jest gładka na {z 1 6= 0}

• det(u _{j¯ k} ) nie jest całkowalne w pobliżu {z ₁ = 0}

Słabe rozwiązania

Przykład (Shiffman-Taylor/Kiselman)

u(z) = (− log |z ₁ |) ^1/n (|z ₂ | ² + · · · + |z _n | ² − 1)

• u jest psh w otoczeniu 0

• u jest gładka na {z 1 6= 0}

• det(u _{j¯ k} ) nie jest całkowalne w pobliżu {z ₁ = 0}

d = ∂ + ¯ ∂, d ^c = i( ¯ ∂ − ∂), dd ^c = 2i∂ ¯ ∂

(dd ^c u) ⁿ = dd ^c u ∧ · · · ∧ dd ^c u = 4 ⁿ n! det(u _{j¯ k} ) dλ

Słabe rozwiązania

Przykład (Shiffman-Taylor/Kiselman)

u(z) = (− log |z ₁ |) ^1/n (|z ₂ | ² + · · · + |z _n | ² − 1)

• u jest psh w otoczeniu 0

• u jest gładka na {z 1 6= 0}

• det(u _{j¯ k} ) nie jest całkowalne w pobliżu {z ₁ = 0}

d = ∂ + ¯ ∂, d ^c = i( ¯ ∂ − ∂), dd ^c = 2i∂ ¯ ∂

(dd ^c u) ⁿ = dd ^c u ∧ · · · ∧ dd ^c u = 4 ⁿ n! det(u _{j¯ k} ) dλ

Twierdzenie (Bedford-Taylor) Dla u ∈ P SH ∩ L ^∞ _loc

można dobrze zdefiniować miarę regularną (dd ^c u) ⁿ ,

t.że jest ona ciągła dla ciągów monotonicznych.

Dziedzina zespolonego operatora Monge’a-Amp` ere’a

u ∈ D jeżeli ∃ miara µ, t.że ∀ u _j ∈ P SH ∩ C ^∞ ,

u j ↓ u, mamy (dd ^c u j ) ⁿ µ

Dziedzina zespolonego operatora Monge’a-Amp` ere’a u ∈ D jeżeli ∃ miara µ, t.że ∀ u _j ∈ P SH ∩ C ^∞ , u j ↓ u, mamy (dd ^c u j ) ⁿ µ

Można łatwo pokazać, że D jest maksymalną podklasą

klasy funkcji psh, w której można dobrze zdefiniować

operator Monge’a-Amp` ere’a tak, że jest on ciągły

względem ciągów malejących.

Dziedzina zespolonego operatora Monge’a-Amp` ere’a u ∈ D jeżeli ∃ miara µ, t.że ∀ u _j ∈ P SH ∩ C ^∞ , u j ↓ u, mamy (dd ^c u j ) ⁿ µ

Można łatwo pokazać, że D jest maksymalną podklasą klasy funkcji psh, w której można dobrze zdefiniować operator Monge’a-Amp` ere’a tak, że jest on ciągły względem ciągów malejących.

n = 2 Z

ϕ(dd ^c u) ² = − Z

du ∧ d ^c u ∧ dd ^c ϕ, ϕ ∈ C ₀ ^∞ .

Dziedzina zespolonego operatora Monge’a-Amp` ere’a u ∈ D jeżeli ∃ miara µ, t.że ∀ u _j ∈ P SH ∩ C ^∞ , u j ↓ u, mamy (dd ^c u j ) ⁿ µ

Można łatwo pokazać, że D jest maksymalną podklasą klasy funkcji psh, w której można dobrze zdefiniować operator Monge’a-Amp` ere’a tak, że jest on ciągły względem ciągów malejących.

n = 2 Z

ϕ(dd ^c u) ² = − Z

du ∧ d ^c u ∧ dd ^c ϕ, ϕ ∈ C ₀ ^∞ .

Twierdzenie (B.) n = 2 ⇒ D = P SH ∩ W _loc ^1,2

Dziedzina zespolonego operatora Monge’a-Amp` ere’a u ∈ D jeżeli ∃ miara µ, t.że ∀ u _j ∈ P SH ∩ C ^∞ , u j ↓ u, mamy (dd ^c u j ) ⁿ µ

Można łatwo pokazać, że D jest maksymalną podklasą klasy funkcji psh, w której można dobrze zdefiniować operator Monge’a-Amp` ere’a tak, że jest on ciągły względem ciągów malejących.

n = 2 Z

ϕ(dd ^c u) ² = − Z

du ∧ d ^c u ∧ dd ^c ϕ, ϕ ∈ C ₀ ^∞ .

Twierdzenie (B.) n = 2 ⇒ D = P SH ∩ W _loc ^1,2

Można również scharakteryzować D dla n ≥ 3.

Problem Dirichleta

Twierdzenie (Bedford-Taylor)

Ω - ograniczony, silnie pseudowypukły obszar w C ⁿ f ∈ C( ¯ Ω), f ≥ 0, ϕ ∈ C(∂Ω)

Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

u ∈ P SH(Ω) ∩ C( ¯ Ω)

(dd ^c u) ⁿ = f dλ

u = ϕ na ∂Ω.

Problem Dirichleta

Twierdzenie (Bedford-Taylor)

Ω - ograniczony, silnie pseudowypukły obszar w C ⁿ f ∈ C( ¯ Ω), f ≥ 0, ϕ ∈ C(∂Ω)

Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

u ∈ P SH(Ω) ∩ C( ¯ Ω) (dd ^c u) ⁿ = f dλ u = ϕ na ∂Ω.

Kołodziej: wystarczy założyć, że f ∈ L ^p (Ω) dla

pewnego p > 1

Problem Dirichleta

Twierdzenie (Bedford-Taylor)

Ω - ograniczony, silnie pseudowypukły obszar w C ⁿ f ∈ C( ¯ Ω), f ≥ 0, ϕ ∈ C(∂Ω)

Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

u ∈ P SH(Ω) ∩ C( ¯ Ω) (dd ^c u) ⁿ = f dλ u = ϕ na ∂Ω.

Kołodziej: wystarczy założyć, że f ∈ L ^p (Ω) dla pewnego p > 1

B.: wystarczy założyć, że Ω jest hiperwypukły i że ϕ

można przedłużyć do pewnego v ∈ P SH(Ω) ∩ C( ¯ Ω).

Globalna regularność

(Kryłow/Caffarelli-Kohn-Nirenberg-Spruck)

∂Ω ∈ C ^∞ , silnie pseudowypukły, ϕ ∈ C ^∞ (∂Ω),

f ∈ C ^∞ ( ¯ Ω), f > 0 ⇒ u ∈ C ^∞ ( ¯ Ω).

Globalna regularność

(Kryłow/Caffarelli-Kohn-Nirenberg-Spruck)

∂Ω ∈ C ^∞ , silnie pseudowypukły, ϕ ∈ C ^∞ (∂Ω), f ∈ C ^∞ ( ¯ Ω), f > 0 ⇒ u ∈ C ^∞ ( ¯ Ω).

Twierdzenie (Cheng-Yau, Mok-Yau)

Ω - ograniczony obszar pseudowypukły w C ⁿ Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

u ∈ P SH ∩ C ^∞ (Ω) (det(u _{j¯ k} ) = e ^(n+1)u u = ∞ na ∂Ω.

u _{j¯ k} dz ^j d¯ z ^k jest jedyną zupełną metryką

K¨ ahlera-Einsteina na Ω.

Lokalna regularność

Przykład: u(z) = (1 + |z ₁ | ² )|z ⁰ | ^2(1−1/n)

• u ∈ P SH(C ⁿ ) \ W _loc ^2,n(n−1)

• det(u _{j¯ k} ) = c(1 + |z ₁ | ² ) ⁿ⁻²

W szczególności, dla u(z 1 , z 2 ) = 2(1 + |z 1 | ² )|z 2 |

mamy det(u _{j¯ k} ) = 1.

Lokalna regularność

Przykład: u(z) = (1 + |z ₁ | ² )|z ⁰ | ^2(1−1/n)

• u ∈ P SH(C ⁿ ) \ W _loc ^2,n(n−1)

• det(u _{j¯ k} ) = c(1 + |z ₁ | ² ) ⁿ⁻²

W szczególności, dla u(z 1 , z 2 ) = 2(1 + |z 1 | ² )|z 2 | mamy det(u _{j¯ k} ) = 1.

Przypadek n = 2 dla zespolonego równania MA nie

jest wyjątkowy!

Lokalna regularność

Przykład: u(z) = (1 + |z ₁ | ² )|z ⁰ | ^2(1−1/n)

• u ∈ P SH(C ⁿ ) \ W _loc ^2,n(n−1)

• det(u _{j¯ k} ) = c(1 + |z ₁ | ² ) ⁿ⁻²

W szczególności, dla u(z 1 , z 2 ) = 2(1 + |z 1 | ² )|z 2 | mamy det(u _{j¯ k} ) = 1.

Przypadek n = 2 dla zespolonego równania MA nie jest wyjątkowy!

Twierdzenie (B.-S. Dinew) u ∈ P SH ∩ W _loc ^2,p dla pewnego p > n(n − 1). Wtedy

det(u _{j¯ k} ) ∈ C ^∞ , det(u _{j¯ k} ) > 0 ⇒ u ∈ C ^∞ .

CMA w geometrii k¨ ahlerowskiej

CMA w geometrii k¨ ahlerowskiej

(M, ω) - zwarta rozmaitość k¨ ahlerwska wymiaru n,

tzn. lok. ω = g _{j¯ k} idz ^j ∧ d¯ z ^k , ω = ¯ ω, ω > 0, dω = 0

CMA w geometrii k¨ ahlerowskiej

(M, ω) - zwarta rozmaitość k¨ ahlerwska wymiaru n, tzn. lok. ω = g _{j¯ k} idz ^j ∧ d¯ z ^k , ω = ¯ ω, ω > 0, dω = 0

Ric _ω = −dd ^c (log det(g _{j¯ k} ))

CMA w geometrii k¨ ahlerowskiej

(M, ω) - zwarta rozmaitość k¨ ahlerwska wymiaru n, tzn. lok. ω = g _{j¯ k} idz ^j ∧ d¯ z ^k , ω = ¯ ω, ω > 0, dω = 0

Ric _ω = −dd ^c (log det(g _{j¯ k} )) Ric _ω − Ric _{e ω} = dd ^c log ω e ⁿ

ω ⁿ

CMA w geometrii k¨ ahlerowskiej

(M, ω) - zwarta rozmaitość k¨ ahlerwska wymiaru n, tzn. lok. ω = g _{j¯ k} idz ^j ∧ d¯ z ^k , ω = ¯ ω, ω > 0, dω = 0

Ric _ω = −dd ^c (log det(g _{j¯ k} )) Ric _ω − Ric _{e ω} = dd ^c log ω e ⁿ

ω ⁿ

c ₁ (M ) = {Ric _ω }

CMA w geometrii k¨ ahlerowskiej

(M, ω) - zwarta rozmaitość k¨ ahlerwska wymiaru n, tzn. lok. ω = g _{j¯ k} idz ^j ∧ d¯ z ^k , ω = ¯ ω, ω > 0, dω = 0

Ric _ω = −dd ^c (log det(g _{j¯ k} )) Ric _ω − Ric _{e ω} = dd ^c log ω e ⁿ

ω ⁿ c ₁ (M ) = {Ric _ω } Hipoteza Calabiego: Odwzorowanie

{ω} 3 e ω 7−→ Ric ω _e ∈ c ₁ (M )

jest surjekcją.

Twierdzenie (Yau) (M, ω) - zwarta rozm. k¨ ahlerowska f ∈ C ^∞ (M ), f > 0, t.że R

M f ω ⁿ = R

M ω ⁿ Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

ϕ ∈ C ^∞ (M ), ω + dd ^c ϕ > 0 (ω + dd ^c ϕ) ⁿ = f ω ⁿ

R

M ϕω ⁿ = 0.

Twierdzenie (Yau) (M, ω) - zwarta rozm. k¨ ahlerowska f ∈ C ^∞ (M ), f > 0, t.że R

M f ω ⁿ = R

M ω ⁿ Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

ϕ ∈ C ^∞ (M ), ω + dd ^c ϕ > 0 (ω + dd ^c ϕ) ⁿ = f ω ⁿ

R

M ϕω ⁿ = 0.

Słabe rozwiązania

Twierdzenie (Yau) (M, ω) - zwarta rozm. k¨ ahlerowska f ∈ C ^∞ (M ), f > 0, t.że R

M f ω ⁿ = R

M ω ⁿ Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

ϕ ∈ C ^∞ (M ), ω + dd ^c ϕ > 0 (ω + dd ^c ϕ) ⁿ = f ω ⁿ

R

M ϕω ⁿ = 0.

Słabe rozwiązania

Jednoznaczność (B.): ϕ, ψ ∈ L ^∞ (M ), ω + dd ^c ϕ ≥ 0, ω + dd ^c ψ ≥ 0, (ω + dd ^c ϕ) ⁿ = (ω + dd ^c ψ) ⁿ

⇒ ϕ − ψ = const

Twierdzenie (Yau) (M, ω) - zwarta rozm. k¨ ahlerowska f ∈ C ^∞ (M ), f > 0, t.że R

M f ω ⁿ = R

M ω ⁿ Wtedy ∃! rozwiązanie problemu



 

 

ϕ ∈ C ^∞ (M ), ω + dd ^c ϕ > 0 (ω + dd ^c ϕ) ⁿ = f ω ⁿ

R

M ϕω ⁿ = 0.

Słabe rozwiązania

Jednoznaczność (B.): ϕ, ψ ∈ L ^∞ (M ), ω + dd ^c ϕ ≥ 0, ω + dd ^c ψ ≥ 0, (ω + dd ^c ϕ) ⁿ = (ω + dd ^c ψ) ⁿ

⇒ ϕ − ψ = const

Istnienie (Kołodziej): f ∈ L ^p (M ) dla pewnego p > 1

(f ≥ 0) ⇒ ∃ ciągłe rozwiązanie