• martyngałem, gdy t ≥ s ⇒ E(X t |F s ) = X s ;

(1)

procesy stochastyczne lista 5

martyngały

Definicja: Proces stochastyczny {X t : t ≥ 0} całkowalny oraz adaptowany do filtracji {F t : t ≥ 0} nazywamy:

• martyngałem, gdy t ≥ s ⇒ E(X t |F s ) = X s ;

• podmartyngałem, gdy t ≥ s ⇒ E(X t |F s ) ≥ X s ;

• nadmartyngałem, gdy t ≥ s ⇒ E(X t |F s ) ≤ X s .

1. Niech proces stochastyczny {X n : n ∈ N} opisuje liczbę orłów wyrzuconych w n pierwszych rzutach monetą z N rzutów. Filtracja {F n : n ∈ N} jest filtracją naturalną. Zbadaj, czy X ⁿ jest martyngałem.

2. Niech X 1 , X ₂ , . . . bedą niezależnymi, całkowalnymi zmiennymi losowymi o wartościach oczekiwanych równych zero.

Niech Y _n = P n

i=1 X _i oraz F _k = σ(Y ₁ , . . . , Y _k ). Udowodnij, ze (Y _n ) jest martyngałem.

3. Niech X ₁ , X ₂ , . . . będą niezależnymi oraz ograniczonymi zmiennymi losowymi o parametrach E(X _n ) = 0, D ² (X _n ) = σ ² . Pokazać, że (Y _n ) jest martyngałem względem filtracji F _n , jeśli Y _n = ( P n

i=1 X _i ) ² −nσ ² oraz F _n = σ(Y ₁ , . . . , Y _n ).

4. Niech X 1 , X 2 , . . . będą niezależnymi, całkowalnymi oraz ograniczonymi zmiennymi losowymi o parametrach E(X n ) = 1. Zbadaj, czy (Y n ) jest martyngałem względem filtracji F n , jeśli Y n = X 1 · X 2 · . . . · X n , F n = σ(X 1 , . . . , X n ).

5. Niech X 0 , X 1 , X 2 , . . . będą niezależnymi, ograniczonymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie oraz E(X 0 ) = 0. Zbadaj, czy (Y n ) jest martyngałem względem filtracji F n , jeśli Y 0 = X 0 , Y n = P n

k=1 X k−1 · X k , F n = σ(X 0 , . . . , X n ).

6. Gramy w nastepującą grę: rzucamy moneta i jeśli wypadnie orzeł, wygrywamy 1 zł, a jeśli reszka, to przegrywamy 1 zł. Wygrana w n–tej grze to zmienna losowa X n , a łączna wygrana po n grach to Y n = P n

i=1 X i . Zbadaj, czy (Y n ) jest martyngałem względem naturalnej filtracji.

7. Rozważyć poprzednie zadanie dla wygranej a zł i przegranej b zł.

8. Zadajemy proces Poissona nastepujaco: X ₀ = 0, X ₁ ∼ P oisson(λ ₁ ), X ₂ − X ₁ ∼ P oisson(λ ₂ ) oraz X ₂ − X ₁ jest niezależne od X ₁ . X _k − X _k−1 ∼ P oisson(λ _k ) oraz X _k − X _k−1 jest niezależne od wcześniejszych przyrostów.

Zbadaj, czy proces (X _n ) jest martyngałem.

9. Niech X i , i = 1, 2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi, P (X i = 1) = p, P (X i = −1) = q = 1 − p. Niech F n = σ(X 1 , . . . , X n ) i Y n = ( ^q _p ) ^X

¹

^+...+X

ⁿ

. Wykazać, że ciąg (Y n ) jest F n -martyngałem.

10. Martyngał (X n , F n ) _n∈N

₀

jest całkowalny z kwadratem. Niech

D n = X n − X n−1 , n = 1, 2 . . .

Wykazać, że zmienne losowe D n (czyli przyrosty martyngałowe) są parami nieskorelowane.

11. Pokazać, że jeśli funkcja kowariancji procesu jest niemalejąca, ma postać K(t, s) = D ² (X min(t,s) ) oraz K(0, s) = 0, E(X _t ) = 0 to:

1) P (X ₀ = 0) = 1;

2) proces (X _t ) jest procesem o przyrostach niezależnych.

12. Niech X 1 , X 2 , . . . - ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie P (X i = 1) = P (X i = −1) = 0, 5. Niech Y n = P n

i=1 X i oraz Z n = (−1) ⁿ cos(πY n ). Zbadaj, czy (Z n ) jest martyngałem względem filtracji F n = σ(X 1 , . . . , X n ).

13. Niech (X n , F n ) będzie martyngałem względem filtracji F n . Udowodnij, ze wtedy (X _n ² , F n ) jest podmartyngałem

względem filtracji F n .

• martyngałem, gdy t ≥ s ⇒ E(X t |F s ) = X s ;

procesy stochastyczne lista 5

martyngały

Definicja: Proces stochastyczny {X t : t ≥ 0} całkowalny oraz adaptowany do filtracji {F t : t ≥ 0} nazywamy:

• martyngałem, gdy t ≥ s ⇒ E(X t |F s ) = X s ;

• podmartyngałem, gdy t ≥ s ⇒ E(X t |F s ) ≥ X s ;

• nadmartyngałem, gdy t ≥ s ⇒ E(X t |F s ) ≤ X s .

1. Niech proces stochastyczny {X n : n ∈ N} opisuje liczbę orłów wyrzuconych w n pierwszych rzutach monetą z N rzutów. Filtracja {F n : n ∈ N} jest filtracją naturalną. Zbadaj, czy X n jest martyngałem.

2. Niech X 1 , X 2 , . . . bedą niezależnymi, całkowalnymi zmiennymi losowymi o wartościach oczekiwanych równych zero.

Niech Y n = P n

i=1 X i oraz F k = σ(Y 1 , . . . , Y k ). Udowodnij, ze (Y n ) jest martyngałem.

3. Niech X 1 , X 2 , . . . będą niezależnymi oraz ograniczonymi zmiennymi losowymi o parametrach E(X n ) = 0, D 2 (X n ) = σ 2 . Pokazać, że (Y n ) jest martyngałem względem filtracji F n , jeśli Y n = ( P n

i=1 X i ) 2 −nσ 2 oraz F n = σ(Y 1 , . . . , Y n ).

4. Niech X 1 , X 2 , . . . będą niezależnymi, całkowalnymi oraz ograniczonymi zmiennymi losowymi o parametrach E(X n ) = 1. Zbadaj, czy (Y n ) jest martyngałem względem filtracji F n , jeśli Y n = X 1 · X 2 · . . . · X n , F n = σ(X 1 , . . . , X n ).

5. Niech X 0 , X 1 , X 2 , . . . będą niezależnymi, ograniczonymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie oraz E(X 0 ) = 0. Zbadaj, czy (Y n ) jest martyngałem względem filtracji F n , jeśli Y 0 = X 0 , Y n = P n

k=1 X k−1 · X k , F n = σ(X 0 , . . . , X n ).

6. Gramy w nastepującą grę: rzucamy moneta i jeśli wypadnie orzeł, wygrywamy 1 zł, a jeśli reszka, to przegrywamy 1 zł. Wygrana w n–tej grze to zmienna losowa X n , a łączna wygrana po n grach to Y n = P n

i=1 X i . Zbadaj, czy (Y n ) jest martyngałem względem naturalnej filtracji.

7. Rozważyć poprzednie zadanie dla wygranej a zł i przegranej b zł.

8. Zadajemy proces Poissona nastepujaco: X 0 = 0, X 1 ∼ P oisson(λ 1 ), X 2 − X 1 ∼ P oisson(λ 2 ) oraz X 2 − X 1 jest niezależne od X 1 . X k − X k−1 ∼ P oisson(λ k ) oraz X k − X k−1 jest niezależne od wcześniejszych przyrostów.

Zbadaj, czy proces (X n ) jest martyngałem.

9. Niech X i , i = 1, 2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi, P (X i = 1) = p, P (X i = −1) = q = 1 − p. Niech F n = σ(X 1 , . . . , X n ) i Y n = ( q p ) X

+...+X

. Wykazać, że ciąg (Y n ) jest F n -martyngałem.

10. Martyngał (X n , F n ) n∈N

jest całkowalny z kwadratem. Niech

D n = X n − X n−1 , n = 1, 2 . . .

Wykazać, że zmienne losowe D n (czyli przyrosty martyngałowe) są parami nieskorelowane.

11. Pokazać, że jeśli funkcja kowariancji procesu jest niemalejąca, ma postać K(t, s) = D 2 (X min(t,s) ) oraz K(0, s) = 0, E(X t ) = 0 to:

1) P (X 0 = 0) = 1;

2) proces (X t ) jest procesem o przyrostach niezależnych.

12. Niech X 1 , X 2 , . . . - ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie P (X i = 1) = P (X i = −1) = 0, 5. Niech Y n = P n

i=1 X i oraz Z n = (−1) n cos(πY n ). Zbadaj, czy (Z n ) jest martyngałem względem filtracji F n = σ(X 1 , . . . , X n ).

13. Niech (X n , F n ) będzie martyngałem względem filtracji F n . Udowodnij, ze wtedy (X n 2 , F n ) jest podmartyngałem

względem filtracji F n .

1. Niech proces stochastyczny {X n : n ∈ N} opisuje liczbę orłów wyrzuconych w n pierwszych rzutach monetą z N rzutów. Filtracja {F n : n ∈ N} jest filtracją naturalną. Zbadaj, czy X ⁿ jest martyngałem.

2. Niech X 1 , X ₂ , . . . bedą niezależnymi, całkowalnymi zmiennymi losowymi o wartościach oczekiwanych równych zero.

Niech Y _n = P n

i=1 X _i oraz F _k = σ(Y ₁ , . . . , Y _k ). Udowodnij, ze (Y _n ) jest martyngałem.

3. Niech X ₁ , X ₂ , . . . będą niezależnymi oraz ograniczonymi zmiennymi losowymi o parametrach E(X _n ) = 0, D ² (X _n ) = σ ² . Pokazać, że (Y _n ) jest martyngałem względem filtracji F _n , jeśli Y _n = ( P n

i=1 X _i ) ² −nσ ² oraz F _n = σ(Y ₁ , . . . , Y _n ).

8. Zadajemy proces Poissona nastepujaco: X ₀ = 0, X ₁ ∼ P oisson(λ ₁ ), X ₂ − X ₁ ∼ P oisson(λ ₂ ) oraz X ₂ − X ₁ jest niezależne od X ₁ . X _k − X _k−1 ∼ P oisson(λ _k ) oraz X _k − X _k−1 jest niezależne od wcześniejszych przyrostów.

Zbadaj, czy proces (X _n ) jest martyngałem.

9. Niech X i , i = 1, 2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi, P (X i = 1) = p, P (X i = −1) = q = 1 − p. Niech F n = σ(X 1 , . . . , X n ) i Y n = ( ^q _p ) ^X

^+...+X

10. Martyngał (X n , F n ) _n∈N

11. Pokazać, że jeśli funkcja kowariancji procesu jest niemalejąca, ma postać K(t, s) = D ² (X min(t,s) ) oraz K(0, s) = 0, E(X _t ) = 0 to:

1) P (X ₀ = 0) = 1;

2) proces (X _t ) jest procesem o przyrostach niezależnych.

i=1 X i oraz Z n = (−1) ⁿ cos(πY n ). Zbadaj, czy (Z n ) jest martyngałem względem filtracji F n = σ(X 1 , . . . , X n ).

13. Niech (X n , F n ) będzie martyngałem względem filtracji F n . Udowodnij, ze wtedy (X _n ² , F n ) jest podmartyngałem