26
Rozdział 2
Reakcja fragmentacji
Idea podstawowa
pocisk
tarcza
fragment pocisku
v0 v≈v0
Zderzenia ciężkich jonów przy energiach relatywistycznych
Początki : badanie promieniowania kosmicznego
¼podział zderzeń na centralne i peryferyjne (Brand & Peters PR77(1950)54)
¼przekrój czynny na reakcję – przybliżenie „czarnych kul” :
3 2 3 1 2 1
0( δ)
π
σ= r Ap +At −
parametr przekrycia (overlap), związany z rozmyciem powierzchni
¼ten prosty model geometryczny dobrze opisywał średnią drogę swobodną cząstek PK o 2 ≤ Z ≤ 26 w emulsjach fotograficznych
28
Pierwsze badania laboratoryjne
Początek lat 70-tych – przyspieszanie ciężkich jonów do energii relatywistycznych.
Przodującą rolę odgrywał synchrotron Bevalac w LBL (USA)
¼jony 6Li, 12C, 14N, 16O, 20Ne, 40Ar, 56Fe o energiach 0.1 – 2.1 A GeV Główne wnioski :
¼potwierdzenie słabej zależności σ od energii
Webber i in. PRC41(1990)520, 533
σ
∆z>1tarcza H
¼faktoryzacja :σ ≅ptf γpfγt
14 t
t∝A
γ
czynnik zależny tylko od tarczy
Webber i in. PRC41(1990)547 total charge changing cross sections
30
Parametryzacje przekrojów czynnych
Wraz z napływem doświadczalnych wartości przekrojów czynnych na produkcję izotopów w reakcji fragmentacji, a także kruszenia (spalacji) przez protony o energii > 1 GeV, pojawiły się próby opisania wyników przy pomocy względnie prostych funkcji analitycznych
¼cel praktyczny : proste szacowanie nieznanych przekrojów czynnych
¼opis globalny, bez żadnego związku z fizyką oddziaływania między jonami !
• Silberberg & Tsao, Astrophys. J. Suppl. 25 (1973) 315, 335
• Webber i in. PRC 41 (1990) 566
Obecnie najbardziej popularna i powszechnie stosowana jest parametryzacja EPAX (Experimental PArametrization of fragmentation Xross sections)
• K. Sümmerer,...B. Szweryn,... i in., PRC 42 (1990) 2546
• K. Sümmerer & B. Blank, PRC 61 (2000) 034607
Parametryzacja EPAX
Przekrój czynny na wytworzenie fragmentu (A,Z) z pocisku (Ap,Zp) na tarczy (At,Zt) :
), ( )
,
(A Z YA σ Z
σ = ⋅
) 0155 . 0 98 . 1 /(
,
), exp(
) (
3 / 2
) (
A A
Z Z Z
Z Z R n
Z
prob
U prob
p n
⋅ +
=
∆ +
=
−
⋅
−
⋅
=
β β
σ
, ln
), (
)), (
exp(
1 2
1 3 / 1 3 / 1 2
P A P P
S A A S S
A A P P
S Y
p t p
p A
+
⋅
=
+ +
⋅
=
−
⋅
−
⋅
⋅
=
Najnowsza wersja (EPAX 2.1) zawiera
32
EPAX on-line
¼www-w2k.gsi.de/frs/index.asp
http://www-w2k.gsi.de/frs/technical.asp¼ EPAX
34
EPAX – przykłady
20
28 28
Ca Sc Ti
V Cr Mn Fe Co Ni
K Ar Cl S P Si Al Mg Na
20 25 30 35 40 45 50 55 60
10 100
58Ni + 9Be -> N/Z = 30/28
σ [mb]
A
Przewidywania formuły EPAX dla reakcji 58Ni + 9Be
20
28
Ca Sc Ti
V Cr Mn Fe Co Ni
K Ar Cl S P Si Al
Przewidywania formuły EPAX dla reakcji 58Ni + 9Be
18 20 22 24 26 28 30
1E-11 1E-10 1E-9 1E-8 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 10 100
58Ni + 9Be -> A=45
σ [mb]
N N/Z=30/28
36
Parametryzacja EPAX nie stosuje się do pocisków rozszczepialnych (Z>82) ! Wartości przekrojów na wytworzenie fragmentów bliskich pocisku
(szczególnie σ-1ni σ-2n) mogą być nierealne !
Formuła EPAX ma zastosowanie tylko gdy Z<Zpi N<Np
Dokładność przewidywań EPAX
¼czynnik 2
Dla nuklidów n-deficytowych :
¼przy zmianie ∆N = -1 przekrój czynny zmniejsza się o czynnik ≈20
Dla nuklidów n-nadmiarowych :
¼przy zmianie ∆N = +1 przekrój czynny zmniejsza się o czynnik ≈10
Fizyczne modele fragmentacji
Podstawowa idea (Serber 1947)
¼reakcja jądrowa przy energii relatywistycznej ma dwa wyraźne etapy:
1 – krótkie oddziaływanie (≈10-23s) zmienia skład pocisku i tarczy oraz prowadzi do ich wzbudzenia; pocisk Bprefragment,
2 – termalizacja i deekscytacja; parowanie nukleonów i lekkich jąder, rozszczepienie; skala czasu ≈ 10-16 – 10-21s; Bfragment pocisku.
Różne podejścia do opisu etapu 1
` mikroskopowe – np. model INtranuclear Cascade (INC) : prefragment tworzony w wyniku serii (kaskady) zderzeń między prawie swobodnymi nukleonami (σNN, rachunki Monte Carlo).
Model ISABEL : Yariv & Fraenkel, PRC 20 (1979) 2227.
` makroskopowe – model abrasion-ablation : obraz geometrycznego obcięcia pocisku i tarczy, podział na obserwatorów i uczestników reakcji (participant – spectator).
Opis etapu 2
`statystyczne obliczenia procesu parowania; programy Monte Carlo.
Program PACE Blaich i in. PRC 45 (1992) 689.
38
Model abrasion – ablation
abrasion – otarcie, przetarcie, wyskrobanie ablation – odjęcie, oderwanie, erozja lodowca Pierwsze podejście (i nazwa ?) –Bowman, Świątecki & Tsang LBL report, 1973.
Obraz makroskopowy i geometryczny:
¼w wyniku zderzenia dwóch kul w pocisku (i w tarczy) powstaje cylindryczne „wycięcie”, którego kształt i rozmiar zależy od parametru zderzenia;
¼energia wzbudzenia prefragmentu wynika z nadmiaru powierzchni w stosunku do kuli o tej samej objętości.
W bardziej rozwiniętych rachunkach uwzględniano realistyczne rozkłady materii jądrowej (rozmycie powierzchni). Niepowodzenia modelu upatrywano
jednak ciągle w niepoprawnym szacowaniu energii wzbudzenia.
Inne podejście : zaawansowany i często cytowany model ABRABLA – Gaimard & Schmidt NPA 531 (1991) 709.
Model ABRABLA
• Liczbę usuniętych nukleonów oblicza się z obrazu geometrycznego („przecinanie” się kul).
• Obraz Fermiego : usunięcie nukleonów tworzy wolne miejsca na orbitach („dziury”), stany pozostałych nukleonów nie zmieniają się.
Energia wzbudzenia prefragmentu jest sumą energii „dziur” względem powierzchni Fermiego. Stany z których usuwamy nukleony wybierane są losowo.
• Stosunek N/Z prefragmentu wyznaczony z założenia o braku korelacji między usuwanymi protonami i neutronami D szerokie rozkłady ładunkowe.
• Deekscytację prefragmentu poprzez parowanie cząstek opisuje się statystycznym programem MC typu PACE.
40
Dygresja: model Fermiego
Rozważamy nieoddziaływujące fermiony w studni potencjału.
Łatwy początek :przypadek 1-wymiarowy i nieskończenie głęboka studnia;
bez r-nia Schrödingera B f.falowa musi znikać na ściankach, czyli w studni musi zmieścić się całkowita liczba połówek fali de Broglie’a :
2 ,
⋅ λ
= n
L p
=
hλ .
8 , 2
2
22 2 2
mL h n m E p L
h
pn
=
n⋅
n=
n= ⋅
→
Uogólnienie na przypadek 3-wymiarowy :
na jeden stan przypada objętość h3 w przestrzeni fazowej.
Dodatkowa degeneracja związana ze spinem B dla s = ½ : dwa stany w komórce h3 L
∞
Energia –nie w skali
n=1 n=2 n=3 n=4
czyli na jeden stan przypada h przestrzeni fazowej
Liczymy stany w przestrzeni fazowej : x L
p pn -pn
Φ = 2pnL
,
2
L p n hh
n
⋅ = ⋅
n→ = Φ
Model jądra : nukleony w skończonej 3-wym. studni o objętości V.
Liczbę cząstek jednego rodzaju, np. neutronów, można przedstawić jako :
ν π
EF U0
B
3 . 3 ) 2 ( 4 8
2
sin 2
2
3 2
3 3
3 2
3
2 3 0
3 3
h
h π
π π π
θ θ ϕ
F F
p
Vp p
dp V h p
V
d dpd
h p p V h d
N V
F
=
=
=
=
=
∫
∫∫∫
∫
Czyli pęd Fermiego (dla neutronów) :
.
3
3 / 1 2
,
=
V p
F Nh π N
4 , 9 4
9
1/30 3 / 1
3 0
,
=
=
A N r
A r
p
F Nh π N h π
a dla protonów :.
4
9
1/30
,
=
A Z p
FZr h π
Zakładając N=Z i pomijając siły kulombowskie mamy:. MeV/c c 250
52 1 . fm 1 2 . 1
MeVfm 197
1 8
9 8
9
1/30 3 / 1
0 ,
,
= =
=
=
= r c
c p r
p
FZ F Nh π h π
Podstawiając :V R
3r
03A
3 4 3
4 π = π
=
dostajemy :42
Zatem energia Fermiego wynosi :
MeV/c MeV.
MeV/c)
2 2
939 33 2
250 ( 2
2
=
≈ ⋅
= m E
Fp
FWiedząc (z doświadczenia) że energia wiązania nukleonu jest ≈ 8 MeV możemy oszacować przy okazji głębokość studni potencjału B U0≈ 41 MeV.
¼Ważny wniosek :
jeśli energia pocisku jest dużo większa niż 33 A MeV, obraz geometryczny jest uzasadniony ! Nukleony poza obszarem przekrywania się pocisku i tarczy mają mały wpływ na przebieg reakcji.
Jak gęstość stanów zależy od energii ? Ilość stanów w powłoce (p, p+dp) : czyli :
, 4 p
2dp dn ∝ π
dE p dp dE dn ∝
2= ρ
mE m p
E p 2
2
2
→ =
=
mE m dE
dp
= 2
. E E
E ) ∝ E = ρ (
Model ABRABLA c.d.
Energia wzbudzenia w obrazie Fermiego
Zderzenie w sposób nagły i losowy usuwa nukleony z orbit.
¼Prawdopodobieństwo usunięcia nukleonu ze stanu o energii E (względem dna studni) jest proporcjonalne do gęstości stanów ρ(E).
¼Całkowita energia wzbudzenia jest sumą energii εi usuniętych nukleonów, liczonych względem poziomu Fermiego.
ν π
EF
E ε
Gęstość stanów ρ(E) dla potencjału fnieskończonej studni :
foscylatora harmonicznego : fWoodsa-Saxona:
, E E ∝ ) ρ (
2
, ) ( E ∝ E ρ
. E E)∝ ρ(
44
ε ε ρ
ε ) ∝ ( ) ∝ −
1
( P
¼Średnia energia wzbudzenia <ε> = εmax/3 = 13.3 MeV.
E
r
••• ε
40 MeV
¼W modelu zakłada się głębokość potencjału WS : 47.4MeV i poziom Fermiego : – 7.4MeV, czyli usunięcie jednego nukleonu prowadzi do energii wzbudzenia od 0 do 40 MeV.
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
P(ε)
ε [MeV]
−
=
max max
1
2 1
)
( ε
ε ε ε
P
• Rozkład energii wzbudzenia przy jednym oderwanym nukleonie :
K.-H. Schmidt
• Gdy odrywamy dwa nukleony, energie powstałych dziur mogą się na różne sposoby złożyć do wypadkowej energii wzbudzenia ε :
∫ ⋅ −
=
max0
1 1
2
( ) ( ) ( )
ε
ε
ε P x P x dx
P
• Przy n oderwanych nukleonach :
∫ ⋅ −
=
max −0
1
1
( ) ( )
) (
ε
ε
ε P x P x dx
P
n n46
Rozkład N/Zwśród prefragmentów przy ustalonej liczbie usuniętych nukleonów
¼brak korelacji między neutronami i protonami.
Jeśli z pocisku o liczbach Np, Zp (Ap= Np+Zp) usuwamy n neutronów i z protonów, czyli a=n+z nukleonów, to :
), (
) ,
(
Np−
n Zp−
z=
Kσ
Ap−
aσ
gdzie K jest czynnikiem kombinatorycznym :
=
a Az Z n N K
p p p
18 20 22 24 26 28
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
K
N N/Z=30/28
58Ni + 9Be ¼ A=45
Przykład dla 58Ni, z którego usuwamy a=13 nukleonów
n=11 z=2
n=2 z=11
Parowanie cząstek ze wzbudzonego prefragmentu.
A
B
*
E
A *E
BS
bE
b b¼Rozważmy proces, w którym wzbudzone jądro A emituje cząstkę b, w wyniku czego powstaje wzbudzone jądro B. Stałą rozpadu, czyli prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu, można obliczyć na podstawie Złotej Reguły Fermiego :
f
,
if
if
π H ρ
λ 2
2= h
gdzieρ
f jest gęstością stanów końcowych.Korzystamy z tej reguły dla procesu w obydwu kierunkach :
.
, ,
2 2
2 2
) 2 (
2 ) (
bBA ABb
A bBA b
c BA
b B ABb b
b b AB
H H
H E
W dE H
E dW
=
=
=
=
=
π ρ λ
ρ π ρ
λ
h h
Czyli, po podzieleniu stronami :
,
b B B b c A A b b
dE E dn E
W dE E
E
dW ( ) ρ (
*) = ( ) ρ (
*)
48
,
b b B B b c A A b
b b
dE E dn E
W dE E
E
dW ( ) ρ (
*) = ( ) ρ (
*)
;
;
; V
nv v j E j E W E S E
E
B*=
A*−
b−
b c(
b) =
bσ
c(
b)
b=
b=
bdE g h
dp p V dE dn
b b b b
b
3
4 π
2=
m dE pdp m
E = p , = 2
2 b b b b
b
b
Vg m p
p Vg m dE
dn
3 2 3
3
2
8 4
h
h π
π
π =
=
b
.
b b A B b c A A
b
b b b
b A B b b c A A b
b b
E E S E E E
gm
p Vg m E
S V E
E v E
dE E dW
) (
) ) (
(
) 2 (
) ) (
( 1 )
(
*
* 3 2
3 2
*
*
−
−
=
−
−
=
ρ ρ σ
π
ρ π ρ σ
h
h
„Szerokość” ze względu na emisję cząstki b :
∫ .
∫
−=
−− −
=
=
Γ
A b A bS E
b b b b A B b c A A
b S
E
b b
b
b b
E E S E E dE
E dE gm
dE E
dW
**
0
*
* 2 2 0
) (
) ) (
( )
( σ ρ
ρ λ π
h h h
∫
−− − .
=
Γ
A nS E
n n n n A B n c A A
n n
E E S E E dE
E
m
*0
*
* 2
2
( ) ( )
) (
2 σ ρ
π h ρ
Na przykład dla emisji neutronu :
Grube przybliżenie :
σ
c( E
n) = π R
2,
∫
−− − .
≈
Γ
A nS E
n n n n A n B
A A
n m R E S E E dE
E
*
0
* 2
2
*
4 ( )
) ( 2
1 ρ
ρ
π h
W przypadku cząstek naładowanych (p, α) trzeba
uwzględnić barierę kulombowską :
,
−
=
p p
c
E
R B
E ) 1
( π
2σ
∫
− − − ,
−
≈ Γ
p A S E
B
p p p p A B p p
A A
p
E S E E dE
E R B
m E
*
) (
4 1 ) ( 2
1
*2 2
*
ρ
ρ
π h
∫
−.
−
−
−
−
≈ Γ
B S E
p A B p
A A p
p A
d B S R E
m E
*
0
* 2
2
*
4 ( )
) ( 2
1 ρ ε ε ε
ρ
π h
: B E
p−
=
ε
a przy zamianie zmiennej :50
Wstawiając taką postać otrzymujemy :
∫
−.
∝
Γ
max max0
) ( 2
ε e aε ε
ε d ε
¼A zatem szerokość Γ można przedstawić w uniwersalnej postaci :
∫ − ,
≈
Γ
max0 2 max
2
*
4 ( )
) ( 2
1
ερ ε ε ε ε
ρ
π m R d
E
Bn A
A
h
przy czym dla neutronów : a dla cząstek naładowanych :
,
i
A n
n
E S
E = −
= ε
max *ε
.
i
E S B
B
E
p− =
A−
p−
= ε
max *ε
¼Zauważmy przy okazji, że funkcja podcałkowa opisuje widmo energetyczne wyparowanych cząstek.
¼Gęstość stanów w modelu Fermiego (B wykłady Z.Janasa :
http://zsj.fuw.edu.pl/janas) :
*
,
2
*
)
( E ∝ e
aEρ
gdzie
a
jest parametrem gęstości stanów, w przybliżeniu :a ≈ A / 10
Przykład :
2 4 6 8 10 12 14
5×1018 1×1019 1.5×1019 2×1019
. MeV
, MeV-1 50 10
max =
= ε
a
[MeV]
ε )
exp(2 ε ε ε a( max−
Funkcja ta bardzo przypomina widmo Maxwella energii cząstek emitowanych z pieca o określonej temperaturze.
ε , ε ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε
max max
max max
max max
max
2
1 2 2
1 2
) (
2 a
a a
a
a = −
−
≈
−
=
−
Jest tak dlatego, że :
czyli
,
a T a
a
e e e
e
ε ε ε ε ε
ε − −
−
≈
max max∝
max ) 2
(
2 B temperatura
!
T = ε
maxa
(Taka sama zależność jak u Z. Janasa B u nas k=1, czyli [T]=[MeV])
MeV MeV
242. 10
50 =
= T
Łatwe ćwiczenie : pokazać, że wartość temperatury pokrywa się z maksimum rozkładu „Maxwella”.
52
¼W tym obrazie łatwo obliczyć średnią energię parowanych cząstek.
Jeśli widmo określone jest funkcją :
. ε ε
ε
ε ε
εε
d e
d e
T T
∫
∫
∞ −
∞ −
=
0 0
2
, e
Tf
ε
ε ε ) ∝
−(
to :
Całkę w liczniku łatwo obliczyć przez części :
∫ .
∫
∞ −=
− ∞
∞ −
+
−
=
00 0 2 0
2
ε ε 2 ε ε
ε e
Tεd Te
TεT e
Tεd 43
42 1
T 2
maxa
2 ε
ε = =
.
I de a
=
∝
Γ
max∫
max−0
) ( 2 ε
ε
ε
ε ε
Wracamy do wzoru na szerokość
Całkę tę można obliczyć analitycznie i z bardzo dobrym przybliżeniem otrzymuje się :
).
4 ( 3
1 6
max2 max 2 2 maxmax 2 max
ε ε
maxρ ε
ε
ε εT a e
a e a
I a
a ≈
a=
−
−
=
Można też dokładnie obliczyć średnią energię cząstki w tym modelu i z dobrym przybliżeniem otrzymuje się wartość 2T.
Uwaga : omawiany rozkład energii nie odpowiada dokładnie rozkładowi Maxwella, który opisany jest wzorem :
, e T
f
ε
ε ε)∝ −
( i dla którego T
2
=3 ε
Ostatecznie szerokości związane z emisją cząstek dane są wzorami :
,
) 4 (
) ( 2
1
* *2 2
* n A n B A n
A A
n E S
a S E R m
E
− −
≈
Γ ρ
ρ
π h
A
B
*
E
AS
bn
A S
E*
−
.) 4 (
) ( 2
1 *
* 2
2
* E S B
a B S E R m
E B A p
p A p A A
p − − − −
≈
Γ ρ
ρ
π h
a dla cząstek naładowanych :
B
B S EA* − p−
¼Prawdopodobieństwo wyparowania protonu jest mniejsze z powodu bariery kulombowskiej.
Na każdym etapie deekscytacji prawdopodobieństwa emisji cząstek oblicza się wzorem :
∑ Γ Γ
=
k k i
P
iUwaga : zaniedbaliśmy wpływ momentu pędu, poprawek powłokowych, sił pairing itd.
54 K.-H. Schmidt
¼Parowanie jest procesem statystycznym podobnym do dyfuzji – jądra końcowe (fragmenty) najczęściej znajdują się w pobliżu tzw. korytarza ewaporacyjnego
(evaporation corridor), czyli tam gdzieΓp≈ Γn.
¼Parowanie protonów jest utrudnione przez barierę kulombowską B korytarz leży po stronie n-deficytowej
¼Model statystyczny :
o wyborze między konkurencyjnymi kanałami rozpadu (emisja n, p, α) decydują gęstości stanów w jądrach końcowych.
Porównanie modeli z doświadczeniem
Pomiary przekrojów czynnych na oderwanie pojedynczych protonów.
Przykład : 136Xe+9Be @ 800 A MeV Schmidt i in. NPA 542 (1992) 699
136Xe – 1p
136Xe – 2p W modelu ABRABLA zakłada się, że
wkład dają tylko prefragmenty o energii wzbudzenia poniżej progu na emisję cząstki (zimna fragmentacja).
Modele EPAX (old) ABRABLA
56
Pomiary przekrojów czynnych na produkcję izotopów irydu i platyny w reakcji
197Au+9Be @ 1 A GeV Schmidt i in. NPA 542 (1992) 699
∆Z = – 1
∆Z = – 2 Modele
ABRABLA E* = 13 MeV/n ABRABLA E* = 27 MEV/n ABRABLA E* = 53 MeV/n ABRABLA N/Z wg Morrissey i in.
INC
„Termometr” dla reakcji fragmentacji :
¼model ABRABLA działa, jeśli za średnią energię wzbudzenia na jeden oderwany nukleon przyjmie się 27 MeV.
Rozszczepienie pocisku
¼Ciężkie prefragmenty, o dużym współczynniku Z2/A mogą ulegać rozszczepieniu. W opisie drugiego etapu reakcji należy włączyć tę możliwość jako konkurencyjną do parowania cząstek.
Mechanizm rozszczepienia – Bohr & Wheeler, PR56 (1939) 426.
¼Metoda stanów przejściowych : prawdopodobieństwo rozszczepienia zależy od gęstości stanów ponad barierą, a nie od gęstości stanów w jądrach końcowych (fragmentach rozszczepienia).
Rozważmy rozszczepienie jądra o energii wzbudzenia E*, z wydzieleniem energii kinetycznej K. Bariera na rozszczepienie wynosi Ef.
58
Prawdopodobieństwo rozszczepienia (na jednostkowy przedział energii kinetycznej) :
) , (
) (
) (
) ) (
) ( (
*
*
*
*
E
h dK
dx K dp E E
E dK
K dn E E N
K N dK
K
dP
s f K s fi f s
ρ ρ
ρ
ρ − −
− =
= −
=
ale
v dp , dx v dt , m
dp
dK = p = =
2 2
więc prawdopodobieństwo na jednostkę czasu (i na dK) :
) .
(
) (
2 ) 1 ( )
(
*
*
E K E E dt
dK K dP dK
K
dW
f f s fρ ρ π
−
= −
= h
Szerokość ze względu na rozszczepienie jest wtedy :
∫ .
∫
−−
−
−
=
=
= Γ
f
f E E
f s
E E
f f
f
E E K dK
dK E dK
K
dW
**
0
*
* 0
) ) (
( 2 ) 1
( ρ
λ h πρ h
W analogii do wyrażeń na parowanie cząstek mamy więc :
. ,
,
fs
f d K E E
E
− = = −
=
Γ ∫
max *0
* max
max
) ) (
( 2
1 ρ ε ε ε ε ε
πρ
ε
Możemy obliczyć Γf wstawiając, jak poprzednio, gęstość stanów wg modelu Fermiego :
2 *
*
) ( 0 ) ( E ρ e
aEρ =
.
) ( ) ( )
0 (
2 ) 1
0 ( )
0 ( )
(
max max
2 max max
2 max 0
2
0 max
max
max max
max max
ε ρ ε
ε ρ ρ ε
ρ ε ε ρ
ε ε ε ρ
ε ε ε
ε ε ε
a T a e
a e a
d e
d
a
a
=
=
≈
=
−
≅
=
− ∫
∫
−Ostatecznie szerokość ze względu na rozszczepienie :
. ) ) (
( 2
1
* ** s f
f
f E E
a E E
E
− −
≈
Γ ρ
πρ
W pełnych rachunkach bierze się też pod uwagę poprawki powłokowe, efekty sił pairing a także procesy dyssypacji (lepkość materii jądrowej).
60
0 10 20 30 40 50
0.5 1 2 5
E* [MeV]
Γn/Γf
Przykład liczbowy : porównanie Γni Γf dla 238U
*
,
2
*
) ( 0 ) ( E ρ e
aEρ =
Zakładamy : Sn= 6.15 MeV, Ef= 5.7 MeV, a = 22 MeV-1
.
) ) (
( 2
1
* ** s f
f
f E E
a E E
E
− −
≈
Γ ρ
πρ
, ) 4 (
) ( 2
1
* *2 2
* n A n B A n
A A
n E S
a S E R m
E
− −
≈
Γ ρ
ρ
π h
Badanie fragmentacji wiązek
208Pb i 238U @ 1 A GeV na tarczy Cu.
¼Szybki spadek mierzonych przekrojów czynnych na wytwo- rzenie fragmentów uranu !
AA
AA + rozszczepienie
¼Wzbudzone prefragmenty z wiązki uranu ulegają rozszcze- pieniu ! Włączenie tej możliwości do modelu ABRABLA prowadzi do niezłej zgodności z
doświadczeniem.
Obserwacje doświadczalne :
62
Dysocjacja elektromagnetyczna
Jądro pocisku może utracić nukleony nawet wtedy, gdy przelatuje obok jądra tarczy i nie dochodzi do oddziaływania jądrowego.
¼Wpływ oddziaływania elektromagnetycznegojest szczególnie duży dla tarcz o dużej liczbie Z.
Prosty obraz:
¼Pocisk doświadcza szybko zmiennego pola elektrycznego, którego źródłem jest jądro tarczy. Pole to odpowiada strumieniowi wirtualnych fotonów (Weizsäcker, Williams, 1934).
¼Pocisk ulega wzbudzeniu wskutek fotoabsorpcji, po czym następuje wyparowanie cząstek, głównie neutronów (lub rozszczepienie).
Rozważmy ładunek q poruszający się z prędkością v wzdłuż osi x.
Jakie jest pole E(t) w punkcie P(0,b,0) ?
x z
y
x’
z’
y’
q P
b v
Punkt P ma w układzie ładunku q współrzędne : (-vt’,b,0)
r’
α
E
α
Pola E-M w punkcie P w układzie q :
2 / 3 2 ' 2
' 0
' ' 2 ' 0 '
'
] ) ( [ 4
1 4
cos 1
vt b
qvt r
vt r E q
Ex
+
= −
= −
= α πε πε
2 / 3 2 ' 2 '
2 ' '
'
] ) ( [ 4
1 4
sin 1
vt b
qb r
b r E q
Ey
= +
=
= α πε πε
' =0 Bx
' =0 By
64
Transformacja Lorentza
¼dla miejsca i czasu :
) ( x β ct γ −
= ct
'x
') ( ct β x γ −
=
¼dla pól E i B :
x
= E
y
= E
z
= E
'
Ex
) (Ey' βBz'
γ +
) (Ez' βBy'
γ −
y
= B
z
= B
x
= B
Bx') (B'y βEz'
γ −
) (Bz' βE'y
γ +
)
2/ ( , 1
/ c v c
v = −
= γ 1
β
t
'= γ t
czyli dla punktu P(0,b,0) mamy:
2 / 3 2 ' 2
' 0
'
] ) ( [ 4
1
vt b Ex qvt
+
= − πε
2 / 3 2 ' 2 0 '
] ) ( [ 4
1
vt b Ey qb
= + πε
2 / 3 2 2
0
[ ( ) ]
4 1
vt b
vt E
xq
γ γ
πε +
= −
2 / 3 2 2
0
[ ( ) ]
4 1
vt b
b E
yq
γ γ
πε +
=
y
z
E
B = β
2 / 3 2
2 ( ) ]
) [
( b vt
t vt Ex
γ +
∝ −
-2 -1 1 2
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
vt Ey
Ex
b = 1 γ = 2 Szerokość czasowa impulsu Ey:
τ γb v ≈ Charakterystyczny czas oddziaływania, odpowiada maksymalnej energii wirtualnych fotonów :
b c b
E γv γβ
γmax =τh =h =h
Przykład : zderzenie Au + Au, b = 15 fm (R=1.2·1971/3= 7 fm) 1) E = 5 A MeV, γ ≈ 1, β ≈ 0.1 ´ Emax ≈ 1 MeV
2) E = 1 A GeV, γ ≈ 2, β ≈ 0.9, ´ Emax≈ 25 MeV B zakres rezonansów gigantycznych ! Analiza jakościowa
2 / 3 2
2 ( ) ]
) [
( b vt
t b Ey
γ
∝ +
fm MeV
= 197 h c
) 1
2
(
2
2
− = −
= γ mc mc Auc γ
E
kin/
21 1 /
21 β γ
γ = + , = − c
u A E
kin¼
MeV
5
2
931 .
uc =
66
Dokładne rachunki :
¼transformata Fouriera E(t,b) B
E
x( ω , b ) , E
y( ω , b )
¼energia fali e-m (strumień fotonów) :
N ( ω , b ) ∝ E
x( ω , b )
2+ E
y( ω , b )
2¼całkowanie po parametrach zderzenia b :
N N b bdb
b
∫
∞=
min
) , ( 2 )
( ω π ω
( ) β γ .
β α πβ
γ 2 min
0 2
1 2 2 1
2 0
2
1
, ) ( ) 2 (
) ( ) 1 (
) 2
( E b
x c x K x x K x
K x E xK
Z E
N
ff
f
= h
− −
=
Podstawiając
E
f= h ω
otrzymujemy widmo fotonów wirtualnych :Przykład :
wiązka Au, E=1 A GeV, β ≈ 0.9, γ ≈ 2 na tarczach :
Au (Z=79), b = 15 fm Be (Z=4), b = 10 fm
10 20 30 40 E @MeVD
0.01 0.1 1 10 100
Nγ
Przekrój czynny na wzbudzenie kulombowskie :
∫ ,
= N E E dE
C γ
( ) σ
γ( )
σ
gdzie
σ
γ(E )
jest przekrojem czynnym na fotoabsorpcję.Dla dipolowego rezonansu gigantycznego (GDR) :
2 2 max 2 2 2
2 2
1
( ) ( )
)
( E E E
E E
E
E− + Γ
∝ Γ
= σ σ
γDla rezonansu kwadrupolowego (GQR) :
2 2 max 2 2 2
2 4
2
( ) ( )
)
( E E E
E E
E
E− + Γ
∝ Γ
= σ σ
γW pełnej analizie bierze się pod uwagę rezonans dipolowy (w przypadku jąder zdeformowanych dwa !), rezonanse kwadrupolowe (GQR) izoskalarny i
izowektorowy, a także możliwość dwu-fotonowego rezonansu dipolowego (DGDR).
Parametry rezonansów : położenie (Emax), szerokość (Γ) i amplitudę oblicza się przy pomocy wzorów empirycznych dopasowanych do danych doświadczalnych.
68
Przykład pełnej i szczegółowej analizy :
238U (1 A GeV) na tarczy 208Pb
T.Aumann, Ph.D., Mainz 1994 GDR
DGDR
GQR (IS)
GQR (IV)
1n
2n
3n rozszczepienie
¼Prawdopodobieństwo wzbudzenia kulombowskiego :
N
γ( E ) σ
γ( E )
¼Prawdopodobieństwo emisji neutronów i rozszczepienia z jądra wzbudzonego
∫
= N E E p
xn fdE
f xn
ED, ( ) γ
( ) σ
γ( )
( )σ
Ostatecznie, przekrój czynny na
powstanie określonego stanu końcowego:
Zależność σtot,xnod tarczy dla wiązki 238U
GDR GDR
nuc
DGDR nuc
Całkowity przekrój na procesy ED wiązka 238U na tarczy 208Pb
różne parametry- zacje rezonansów
70
Wymiana ładunku (∆Z=+1)
Reakcji wymiany ładunku nie da się opisać w modelu, w którym tylko usuwa się nukleony z pocisku. Proces taki jest możliwy w modelu INC.
¼Tworzenie rezonansów ∆ wnosi istotny wkład INC
INC – bez udziału ∆ Wśród produktów reakcji obserwuje się nuklidy
o liczbie Z > Zp(charge pick-up).
Dominują reakcje z ∆Z=+1. Przy niższych energiach (≈50 A MeV) identyfikowano ∆Z=+2.
Przykład :
129Xe @790 A MeV + 27Al ¼ACs Sümmerer i in. PRC 52 (1995) 1106
129Xe + 27Al ´ACs (∆Z=+1)
Przekroje na proces ∆Z=+1 są dużo mniejsze niż dla ∆Z =–1 B przewidywania modelu EPAX dla izotopów jodu będących izotonami Cs
∆Z = –1
Całkowity przekrój na wymianę ∆Z=+1(suma po wszystkich izotopach) rośnie z masą pocisku.
Wzór empiryczny :
. 1 10 7 . 1
3 / 1 3 / 1
2 4 1
− +
=
⋅
=
−+
=
∆
t p pt
p pt Z
A A
A γ
γ
σ mb,
Guoxiao i in. PRC 39 (1989) 1351.
eksp. izotopy Cs eksp. dane literaturowe model INC
Guoxiao 56Fe
58Ni Znaczny wpływ N/Z pocisku na prawdopodobieństwo
parowania protonów B odstępstwa od prostego
58Ni jest bardziej n- deficytowy niż 56Fe, więc łatwiej może wyparować proton
72
Podsumowanie : zmierzone przekroje czynne na produkcję nuklidów w reakcjach z relatywistycznymi ciężkimi jonami
¼Fragmentacja
(korytarz ewaporacyjny)
¼Rozszczepienie po wzbudzeniu jądrowym
¼Rozszczepienie po wzbudzeniu e-m
Enqvist et al.,
NPA 686 (2001) 481 NPA 658 (1999) 47
