NEURONOWO-ROZMYTE SYSTEMY STEROWANIA MOBILNYM ROBOTEM KOŁOWYM

(1)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 2012 – ISSN 1896-771X

58

NEURONOWO-ROZMYTE SYSTEMY STEROWANIA

MOBILNYM ROBOTEM KOŁOWYM

Zenon Hendzel

^1a

, Magdalena Muszyńska

^1b

1Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska e-mail: ^azenhen@prz.edu.pl, ^bmagdaw@prz.edu.pl

Streszczenie

Celem niniejszej pracy było zbadanie możliwości zastosowania algorytmów neuronowo-rozmytych w sterowaniu w czasie rzeczywistym ruchem nadążnym mobilnego robota kołowego w obecności zmiennych warunków pracy oraz ich ocena dotycząca jakości sterowania.

NEURAL-FUZZY CONTROL SYSTEMS MOBILE ROBOT

Summary

The aim of this study was to investigate the possibility of using neuro-fuzzy algorithms for control traffic in real- time mobile robot in the presence of variable working conditions and their assessment of the quality control.

1. WSTĘP

W niniejszej pracy do rozwiązania problemu sterowania ruchem mobilnego robota kołowego został opracowany inteligentny sterownik ruchu nadążnego bazujący na sieciach neuronowych i układach z logiką rozmytą zadaniem którego jest kompensacja nieliniowości i niedokładności modelowania mobilnego robota kołowe- go. Powstały układ hybrydowy nazywany jest układem neuronowo-rozmytym. Łączy on zarówno zalety sieci neuronowych i układów z logiką rozmytą. Układ ten został zaprojektowany w taki sposób, aby na bieżąco modyfikować swoje właściwości przy zmieniających się warunkach pracy mobilnego robota. Obiektem sterowania jest 2-kołowy mobilny robot. Badania symulacyjne i weryfikacyjne zostały przeprowadzone dla przypadku, kiedy wybrany punkt mobilnego robota przemieszcza się po trajektorii w kształcie pętli. Przeprowadzone badania są próbą zastosowania w mechanice nowoczesnych technologii informatycznych rozumianych jako sterowanie w czasie rzeczywistym, uwzględniające parametrycz- ne i nieparametryczne niedokładności modelowania nieliniowego obiektu.

2. OPIS RUCHU MOBILNEGO ROBOTA

Obiektem sterowania jest mobilny robot, którego schemat pokazano na rysunku 1 [2,5]. Podstawowe elementy robota to rama, koła napędzające, samonastawne koło podpierające. Koła 1 i 2 napędzane są oddzielnymi silnikami elektrycznymi, które łącznie z przekładnią tworzą zespół napędzający dane koło, enkodery, które mierzą kąt obrotu kół.

Do rozważań przyjęto opis sterowanego obiektu w postaci równania 1 i 2. Dynamiczne równania ruchu 2-kołowego mobilnego robota można przedstawić w postaci równania (1) [7]:

( )

1 2 3 1 2 1 4 2 1 1

1 2 1 2 3 2 4 2 1 2

5 1 1

6 2 2

a a a a a 0 2a

a a a a a 2a 0

a sgn M

+ + − α  α − α  α

     

+  +

     

− + + α  − α − α α 

   

 α  

+ = 

α  

 

& &

&& &

& &

&& &

&

(1) gdzie ai to parametry wynikające z geometrii układu, rozkładu mas oraz oporów ruchu analizowanego układu.

(2)

Zenon Hendzel, Magdalena Muszyńska

Rys.1. Schemat mobilnego robota-Pioneer 2DX

Przyjęto współrzędną uogólnioną w postaci kąta obrotu własnego kół a M1 i M2 to momenty napędzające koła, które są sygnałami sterowań. W zapisie wektorowo macierzowym równanie (1) można przedstawić w postaci zależności (2):

( ) ( )

M α + && C α α + & & F α = & u

gdzie

[ ]

^T

[ ]

^T ^T

d 1

,

2

,

d 1

,

2

,

d 1

,

2

α = α α α = α α & & & α = α α && && &&

3. NEURONOWO-ROZMYTY KOMPENSATOR NIELINIOWOŚCI

W sterowaniu ruchem nadążnym obiektów nieliniowych a szczególnie w robotyce, przyjmuje się sygnał sterowań o strukturze w postaci równania (3) [1,3]:

ˆ

D

u = + f K s − ς

gdzie KDs to struktura regulatora PD,

dodatkowe sterowanie zadaniem, którego będzie ko pensacja niedokładności,

ˆf

to ocena nieliniowej funkcji sterowanego obiektu, która wynika z opisu matematyc nego i jest przedstawiona za pomocą

Nieliniowa funkcja f(x) dana jest zależnością:

( ) ( ) ( )

f x = Mv C & + α & v F + α &

gdzie

v = α + Λ &

_d

e v , & = α + Λ &&

_d

e. &

Oznaczymy błąd sterowania w postaci równania (5):

Pioneer 2DX

Przyjęto współrzędną uogólnioną w postaci kąta obrotu to momenty napędzające koła, re są sygnałami sterowań. W zapisie wektorowo- macierzowym równanie (1) można przedstawić w postaci

(2)

[ ]

T T T

d 1

,

2

,

d 1

,

2

,

d 1

,

2

α = α α α = α α & & & α = α α && && &&

_.

ROZMYTY

KOMPENSATOR NIELINIOWOŚCI

obiektów nieliniowych, a szczególnie w robotyce, przyjmuje się sygnał sterowań o strukturze w postaci równania (3) [1,3]:

(3) s to struktura regulatora PD, natomiast ς to którego będzie kom- to ocena nieliniowej funkcji sterowanego obiektu, która wynika z opisu matematycz- nego i jest przedstawiona za pomocą równania (4).

Nieliniowa funkcja f(x) dana jest zależnością:

(4)

v & e v && e. &

Oznaczymy błąd sterowania w postaci równania (5):

e = α − α

d

oraz uogólniony błąd nadążania w postaci zależności (6):

s = + Λ e & e

W tym rozwiązaniu wykorzystuje się własności ruchu ślizgowego układów o zmiennej strukturze poprzez przyjęcie uogólnionego błędu sterowania w postaci 6.

Takie ujęcie problematyki sterowania ruchem nadążnym pozwala na zastąpienie układu niestacjonarnego ukł dem stacjonarnym i obniża rząd analizowanego układu, a to oznacza, że pierwotny problem możemy zapisać w postaci równania (7) w funkcji uogólnionego błędu s:

( )

Ms & = − C α & s f (x) u + −

Nieliniowość w postaci równania

mowana układem neuronowo-rozmytym. Ze względu na eksplozję rozwiązań wynikającą

nych wejściowych funkcję tę zdekomponowano na 6 składowych funkcji podanych w postaci zależności (8) [6]:

1 1 2 3

2 4 5 6

f (x) g g g

= + +

Każda z tych funkcji posiada dwa sygnały wejściowe umożliwiło zastosowanie tej struktury w czasie wistym. W niniejszej pracy do aproksymacji nielini wych funkcji zastosowano układ neuronowo

Uczeniu w tym układzie podlegają parametry i przesłanki bazy reguł modelu Sugeno.

j 1 j1 2 j1 j

R : IF x =A AND x =B THEN g=w , j 1, 2,..., N=

Stopień spełnienia przesłanki danej reguły przyjęto w postaci:

j Aj

(x )

1 Bj

(x )

2

φ = µ ⋅µ

Stosując rozmywanie typu singleton, przyjmując funkcję przynależności w postaci funkcji Gaussa oraz stopień spełnienia przesłanek w postaci (10) model rozmyty zapiszemy w postaci zależności (11).

N

k kj j

j 1

g w , k 1...6

=

= ∑ φ =

W procesie adaptacji uczeniu podlegać będą szerokości i środki funkcji Gaussa interpretowanej jako zbiór rozmyty opisany zależnością (12):

2 2

11 1 11

11

r ( x c ) A

(x )

1

e

⁻ ⁻

µ =

(Uwzględniając (12) stopień spełnienia przesłanki danej reguły (11) zapiszemy jako:

2 2 2 2

11 1 11 12 2 12

r ( x c ) r ( x c )

1

e

⁻ ⁻ ⁻ ⁻

φ =

(5) oraz uogólniony błąd nadążania w postaci zależności (6):

(6) wykorzystuje się własności ruchu układów o zmiennej strukturze poprzez przyjęcie uogólnionego błędu sterowania w postaci 6.

Takie ujęcie problematyki sterowania ruchem nadążnym pozwala na zastąpienie układu niestacjonarnego ukła- dem stacjonarnym i obniża rząd analizowanego układu,

acza, że pierwotny problem możemy zapisać w postaci równania (7) w funkcji uogólnionego błędu s:

Ms C s f (x) u

(7)

Nieliniowość w postaci równania (4) zostanie aproksy- rozmytym. Ze względu na eksplozję rozwiązań wynikającą z dużej liczby zmiennych wejściowych funkcję tę zdekomponowano na 6 składowych funkcji podanych w postaci zależności (8)

(8)

Każda z tych funkcji posiada dwa sygnały wejściowe, co umożliwiło zastosowanie tej struktury w czasie rzeczywistym. W niniejszej pracy do aproksymacji nieliniowych funkcji zastosowano układ neuronowo-rozmyty [4].

Uczeniu w tym układzie podlegają parametry konkluzji i przesłanki bazy reguł modelu Sugeno.

j 1 j1 2 j1 j

R : IF x =A AND x =B THEN g=w , j 1, 2,..., N= (9) Stopień spełnienia przesłanki danej reguły przyjęto

(10) Stosując rozmywanie typu singleton, przyjmując funkcję przynależności w postaci funkcji Gaussa oraz stopień spełnienia przesłanek w postaci (10) model rozmyty

zemy w postaci zależności (11).

g = w φ , k = 1...6

(11)

W procesie adaptacji uczeniu podlegać będą szerokości i środki funkcji Gaussa interpretowanej jako zbiór rozmyty opisany zależnością (12):

(12) Uwzględniając (12) stopień spełnienia przesłanki danej

(13)

(3)

NEURONOWO-ROZMYTE SYSTEMY STER

Tego typu założenia umożliwiają zapis nieliniowości mobilnego robota w postaci zależności (14) interpret wanej jako model neuronowo-rozmyty. Każdą z tych funkcji gi można zapisać w postaci wagi z indeksem razy stopień spełnienia przesłanki. Te wielkości będą podl gać uczeniu w czasie rzeczywistym i można wówczas powiedzieć, że powstanie układ neuronowo

(1)T (1) (2)T (2) (3)T (3)

1

(4)T (4) (5)T (5) (6)T (6)

2

ˆf W W W

ˆf f ˆ W W W

   ⋅ φ + ⋅ φ + ⋅ φ 

=   =  

⋅ φ + ⋅ φ + ⋅ φ

   

 

gdzie

Rys.2. Schemat układu neuronowo-rozmytego

Gdzie adaptowane parametry układu neuronowo rozmytego wyznacza się na podstawie zależności (17 wraz z sygnałem sterowania odpornego. Wszystkie te sygnały wynikają z analizy stabilności zamkniętego układu sterowania.

T T T T

w

ˆ

w ji ji w

ˆ ˆ ˆ ˆ

W & = F s φ − F (A r + B c )s − F s W

k

ji r

ˆ

r ji

ˆ ˆ

r = F AWs F s r −

&

k

ji c

ˆ

c ji

ˆ ˆ

c & = F BWs F s c −

gdzie jest sygnałem sterowania odpornego i wynosi:

T D

s K Y

ς = − s

Natomiast to macierz (dostępnych) sygnałów.

ς

f

ˆ ˆ ˆ

ji ji

Y(d , W, r , c )

ROZMYTE SYSTEMY STEROWANIA MOBILNYM ROBO

Tego typu założenia umożliwiają zapis nieliniowości mobilnego robota w postaci zależności (14) interpreto-

rozmyty. Każdą z tych można zapisać w postaci wagi z indeksem razy stopień spełnienia przesłanki. Te wielkości będą podle- gać uczeniu w czasie rzeczywistym i można wówczas powiedzieć, że powstanie układ neuronowo-rozmyty.

(1)T (1) (2)T (2) (3)T (3)

(4)T (4) (5)T (5) (6)T (6)

W W W

 ⋅ φ + ⋅ φ + ⋅ φ 

 

⋅ φ + ⋅ φ + ⋅ φ

 

(14)

(1)T (1) (1) 1 1

11 12 19

W ⋅ φ =   w w w  

W wyniku przyjętej struktury aproksymacji nieliniow ści robota oraz jej aproksymacji z uwzględnieniem aspektu linearyzacji w funkcji opisującej zbiory rozmyte opis układu zamkniętego otrzyman

[ D ] nr^T ˆnr ^Tˆji ^Tˆji nr^T ^Tji ^T ji f

Ms&= −K +C( ) sα& +W% φ −A r −B c +W A r% +B c% +d + ς

rozmytego

Gdzie adaptowane parametry układu neuronowo- rozmytego wyznacza się na podstawie zależności (17-19)

sygnałem sterowania odpornego. Wszystkie te sygnały wynikają z analizy stabilności zamkniętego

T T T T

w w ji ji w

ˆ ˆ

W = F s φ − F (A r + B c )s − F s W

(17) (18) (19) gdzie jest sygnałem sterowania odpornego i wynosi:

(20)

Natomiast to macierz mierzalnych

Zastosowanie przedstawionego adaptacyjnego podejścia do wyznaczenia parametrów konkluzji i przesłanki umożliwiło zastąpienie układu

neuronowym, co symbolicznie pokazano na rys. 2, na którym zademonstrowano tylko realizację nieliniowości oznaczonej we wcześniejszych rozważaniach przez f Struktura ta wynika z układu rozmytego.

4. WYNIKI WERYFIKACJI NEURONOWO-ROZMYTEGO UKŁADU STEROWANIA

W niniejszej pracy zastosowano pakiet Matlab/Simulink oraz platformę sprzętową firmy dSPACE do weryfikacji zaproponowanych rozwiązań sterowania neuronowo rozmytego na obiekcie rzeczywistym, którym był mobi ny robot kołowy Pioneer 2DX.

neuronowo-rozmytego sterowania ruchem nadążnym OWANIA MOBILNYM ROBOTEM KOŁOWYM

(1) 1 (1)

(1)T (1) (1) 1 1 2

11 12 19

(1) 9

W w w w

 φ 

 

 φ 

 

   

 

 φ 

 

K

M

⁽¹⁵⁾

W wyniku przyjętej struktury aproksymacji nieliniowo- ści robota oraz jej aproksymacji z uwzględnieniem aspektu linearyzacji w funkcji opisującej zbiory rozmyte opis układu zamkniętego otrzymano w postaci:

( )

T T T T T T

D nr nr ˆji ˆji ˆnr ji ji f

Ms&= − K +C( ) sα& +W φ −A r −B c +W A r% +B c% +d + ς (16)

Zastosowanie przedstawionego adaptacyjnego podejścia do wyznaczenia parametrów konkluzji i przesłanki umożliwiło zastąpienie układu rozmytego układem neuronowym, co symbolicznie pokazano na rys. 2, na którym zademonstrowano tylko realizację nieliniowości oznaczonej we wcześniejszych rozważaniach przez f1. Struktura ta wynika z układu rozmytego.

4. WYNIKI WERYFIKACJI ROZMYTEGO UKŁADU STEROWANIA

W niniejszej pracy zastosowano pakiet Matlab/Simulink oraz platformę sprzętową firmy dSPACE do weryfikacji zaproponowanych rozwiązań sterowania neuronowo- rozmytego na obiekcie rzeczywistym, którym był mobilny robot kołowy Pioneer 2DX. Zadaną trajektorię do

rozmytego sterowania ruchem nadążnym

(4)

mobilnego robota przyjęto w kształcie pętli pokazanej na rys. 3a. Została ona wyznaczona z zadania odwrot- nego kinematyki. W badaniach weryfikacyjnych rozwa- żano 5 etapów ruchu: był to rozruch, jazda ze stałą prędkością, jazda po torze kołowym o promieniu R, jazda po prostej oraz hamowanie.

a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 x[m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y[m]

b)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0 t[s]

15 30 45 60 75 90 105 120 135

α1,α2[rad]

c)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0 t[s]

1 2 3 4 5 6 7 8

α. 1,α. 2[rad/s]

d)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 -12 t[s]

-9 -6 -3 0 3 6 9 12

α.. 1,α.. 2[rad/s2]

Rys. 3. a) zadana trajektoria ruchu punktu b) przemieszczenia kątowe kół napędzających c) prędkości kątowe kół napędzają- cych d) przyspieszenia kątowe kół napędzających

Wybrano trajektorię w kształcie pętli ponieważ jest to typowa realizacja praktycznych rozwiązań. Weryfikacja

ta dotyczyła uczenia konkluzji i przesłanki bazy reguł.

Adaptowano rozkład zbiorów rozmytych w przestrzeni rozważań oraz parametry konkluzji. Stosując algorytm sterowania (3) i algorytm uczenia wag sieci (17) oraz parametrów przesłanki (18 i 19), otrzymano wartości sygnału sterowania całkowitego i kompensacje uzyskaną podczas uczenia konkluzji i przesłanki bazy reguł modelu neuronowo-rozmytego (rys. 4).

0 5 10 15 20 25 30

-4 0 4 8

0 5 10 15 20 25 30

-4 0 4 8

Rys.4. Sygnały sterowania całkowitego i kompensacyjnego uzyskane podczas uczenia konkluzji i przesłanki bazy reguł układu neuronowo-rozmytego

0 5 10 15 20 25 30

-4 0 4 8

0 5 10 15 20 25 30

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

Rys.5. Przebieg sygnałów sterowania za pomocą regulatora PD oraz sygnał sterowania odpornego

M1

M2

M

1

, M

2

[ N m ]

t[s]

S te ro w an ie k o m . [N m ]

t[s]

nr 2

ˆf

nr 1

ˆf

S te ro w an ie P D [N m ]

t[s]

PD2

PD1

t[s]

ς1

ς2

(5)

NEURONOWO-ROZMYTE SYSTEMY STEROWANIA MOBILNYM ROBOTEM KOŁOWYM

0 5 10 15 20 25 30

-4 -2 0 2 4

0 5 10 15 20 25 30

-4 -2 0 2 4

Rys.6. Przebieg błędów nadążania oraz błędów prędkości nadążania dla koła 1 i koła 2

Rys.7. Przebieg prędkości kątowych kół napędzających podczas uczenia konkluzji i przesłanki bazy reguł oraz wartości wag konkluzji bazy reguł układu neuronowo-rozmytego

Rys.8. Przebieg uczenia szerokości i środków funkcji Gaussa znajdujących się w przesłankach bazy reguł układu neuronowo- rozmytego.

Analizując przedstawione przebiegi, można zauważyć, iż zarówno wagi konkluzji bazy reguł jak i szerokości czy środki znajdujące się w przesłankach bazy reguł adaptu- ją się do zmiennych warunków pracy robota. W celu lepszego porównania przeprowadzonych badań na obiekcie rzeczywistym wyniki badań, tzn. błędy w postaci pierwiastka błędu średniokwadratowego, porównano w postaci wykresów słupkowych. I tak na rys. 11 przedstawiono błędy obrotu własnego kół w postaci pierwiastek błędu średniokwadratowego dla koła 1 i 2.

Z przebiegów tych wynika, że zastosowanie konwencjo- nalnego sterowania za pomocą regulatora PD w zadaniu nadążania powoduje większe błędy w stosunku do proponowanych rozwiązań rozmytych i neuronowo- rozmytych.

t[s]

e1

e&1

t[s]

e&2

e2

(6)

Rys.9. Zestawienie błędu obrotu własnego kół w postaci pierwiastka błędu średniokwadratowego

Literatura

1. Chen S., Billings A.: Neural networks for nonlinear dynamic system modeling and identification.

1992, Vol. 56, No. 2, p. 319-346.

2. Giergiel M.J., Hendzel Z., Żylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa:

PWN 2002.

3. Hendzel Z.: Robust tracking control of wheeled mobile robot.

s.43.

4. Hendzel Z., Wereszczak M.(Muszyńska):

Warszawa: Ofic. Wyd. Pol. Warsz.2008. „Elektronika” z.166, 463

5. Hendzel Z., Żylski W.: Dynamics and robust control of wheeled mobile robot. In: Proceedings of 3 Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles,

6. Hornik K., Stinchcombe M., White H.: Multilayer feedforward networks are universal approximations.

Networks” 1989, Vol. 2, p. 359-366.

7. Żylski W.: Kinematyka i dynamika mobilnych robotów kołowych. Rzeszów:

Pracę wykonano w ramach realizacji projektu badawczego nr N N501 068838 finansowanego ze środków na naukę w latach 2010-2012.

Rys.9. Zestawienie błędu obrotu własnego kół w postaci

5. WNIOSKI

Skuteczność zaprojektowanego neuronowo

algorytmu sterowania została potwierdzona przez wyn ki badań weryfikacyjnych na

Potwierdzają one słuszność przyjętej metody sterow nia. Uzyskane rezultaty wykazują, że zastosowanie neuronowo-rozmytej kompensacji nieliniowości mobiln go robota w zadaniu nadążania jest bardziej korzystne niż stosowanie do tego regulatorów konwencjonalnych czy też klasycznego sterowania rozmytego. Z analizy otrzymanych wyników weryfikacji wynika, że zbieżność błędów nadążania jest szybsza, gdy w sygnale sterow nia uwzględni się neuronowo

nieliniowości badanego obiektu. Ponadto zapewniona jest stabilność globalna zamkniętego układu sterowania w tym sensie, że sygnały są ograniczone. Wyniki weryf kacji wskazują, że wprowadzając w obiekcie sterowanym informacje neuronowe i rozmyte do układu sterowania, zwiększa się dokładność realizacji założonego ruchu.

Zaproponowany sposób sterowania nieliniowym obie tem, jakim jest mobilny robot kołowy, stanowi narz dzie wykorzystujące informacje neuronowo w sposób bardzo efektywny.

Chen S., Billings A.: Neural networks for nonlinear dynamic system modeling and identification.

W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa:

Hendzel Z.: Robust tracking control of wheeled mobile robot. „Archiwum Budowy Maszyn” 1997, t. XLIV, z.1,

Hendzel Z., Wereszczak M.(Muszyńska): Rozmyto-neuronowy algorytm sterowania mo-bilnym robotem kołowym.

Ofic. Wyd. Pol. Warsz.2008. „Elektronika” z.166, 463-472.

Hendzel Z., Żylski W.: Dynamics and robust control of wheeled mobile robot. In: Proceedings of 3 Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles, Madrid, Spain, 1998, Vol.II, p. 465-470.

Hornik K., Stinchcombe M., White H.: Multilayer feedforward networks are universal approximations.

366.

Żylski W.: Kinematyka i dynamika mobilnych robotów kołowych. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 1996.

Pracę wykonano w ramach realizacji projektu badawczego nr N N501 068838 finansowanego ze środków na naukę Skuteczność zaprojektowanego neuronowo-rozmytego algorytmu sterowania została potwierdzona przez wyniki badań weryfikacyjnych na obiekcie rzeczywistym.

Potwierdzają one słuszność przyjętej metody sterowania. Uzyskane rezultaty wykazują, że zastosowanie

rozmytej kompensacji nieliniowości mobilnego robota w zadaniu nadążania jest bardziej korzystne

ulatorów konwencjonalnych czy też klasycznego sterowania rozmytego. Z analizy otrzymanych wyników weryfikacji wynika, że zbieżność błędów nadążania jest szybsza, gdy w sygnale sterowania uwzględni się neuronowo-rozmytą aproksymację

biektu. Ponadto zapewniona jest stabilność globalna zamkniętego układu sterowania w tym sensie, że sygnały są ograniczone. Wyniki weryfikacji wskazują, że wprowadzając w obiekcie sterowanym informacje neuronowe i rozmyte do układu sterowania, dokładność realizacji założonego ruchu.

Zaproponowany sposób sterowania nieliniowym obiektem, jakim jest mobilny robot kołowy, stanowi narzę- dzie wykorzystujące informacje neuronowo-rozmytą

Chen S., Billings A.: Neural networks for nonlinear dynamic system modeling and identification. “Int. J. Control”

W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa:

„Archiwum Budowy Maszyn” 1997, t. XLIV, z.1,

bilnym robotem kołowym.

Hendzel Z., Żylski W.: Dynamics and robust control of wheeled mobile robot. In: Proceedings of 3-rd IFAC 470.

Hornik K., Stinchcombe M., White H.: Multilayer feedforward networks are universal approximations. “Neural

Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 1996.

Pracę wykonano w ramach realizacji projektu badawczego nr N N501 068838 finansowanego ze środków na naukę