16.6.2020, kl 2b Procenty
Zadanie 1. Pan A złożył do banku 8000 zł, a po upływie pierwszego i każ- dego następnego roku wpłacał po 1000 zł. Ile lat oszczędzał pan A, jeśli na koniec tego okresu (nie dokonując kolejnej wpłaty) wszystko wypłacił i otrzymał wraz z odstetkami 26290 zł? Przez cały czas oprocentowanie w banku wynosiło 4.5% (procent prosty1)
Zadanie 2. Pan B złożył 7000 zł do banku na procent prosty. Po upływie każdego kolejnego roku oprocentowanie w banku malało o jeden punkt procentowy.2 Pan B wypłacił swoje oszczędności, gdy oprocentowanie spadło do zera. Ile lat trzymał w banku swoje oszczędności pan B, je- śli otrzymał8960zł?
Zadanie 3. Pan C złożył do banku 8000 zł, a po upływie pierwszego i każ- dego następnego roku wpłacał po 1000 zł. Ile złotych otrzymał pan C po 13 latach, jeśli oprocentowanie w banku pana C wynosiło 2% w skali roku(procent składany) z kapitalizacją odsetek co kwartał.3
Zadanie 4. Pan D złożył do banku 8000 zł, gdzie oprocentowanie wynosi 20% w skali roku. Jaką kwotę otrzyma po 3 latach, jeśli kapitalizacja od- setek następuje (a) co rok; (b) co miesiąc; (c) na koniec każdego dnia;
(d) co sekundę; (e) odbywa się w sposób ciągły.4
Zadanie 5. Pan E chce ufundować rentę wybranemu uczniowi klasy drugiej.
Jaką kwotę powinien wpłacić na początku roku do banku, aby uczeń mógł mieć wypłacane przez bank raz do roku 10 000 zł przez kolejnych 10 lat?
Pierwsza wypłata ma nastąpić pod koniec roku, w którym bank otrzymał pieniądze od pana E. Oprocentowanie w banku wynosi 7% w skali roku, kapitalizacja odsetek — raz na rok, procent składany.
Zadanie 6. Pan F zaczął palić papierosy w wieku 18 lat i od tej pory wydaje na papierosy średnio 70 zł miesięcznie. Jeśli roczny wydatek na papierosy
wpłacałby do banku w końcu każdego roku, to jaką sumę zaoszczędziłby z końcem 60. roku życia?r = 6%, kapitaliza odsetek co rok.
Zadanie 7. Pan G rozpoczął pracę po ukończeniu 25 lat. Pracodawca od- prowadza co miesiąc 400 zł składki na fundusz emerytalny do ZUS. Jeśli roczną składkę na fundusz emerytalny zatrudniony sam by wpłacał do banku każdego roku, to jaką sumę miałby na koncie w wieku 65 lat?
Następnie, gdyby chciał, aby bank mu raz na rok wypłacał emeryturę zaczynając od początku 66. roku życia przez kolejnych 25 lat, to jakiej kwoty mógłby się spodziewać? Przyjmujemy, że bank oprocentowuje lo- katy w wysokości 6% w skali roku i kapitalizuje odsetki raz na rok.
Zadanie 8. Bank zmienił oprocentowanie z 8.5% na 8.6% w stosunku rocz- nym, ale wydłużył okres kapitalizacji z kwartału na pół roku. Czy praw- dziwa jest informacja o tym, że zmiana ta jest korzystna dla klientów lokat bankowych.
Zadanie 9. Dnia 19.7.2002 dealerzy A w Nowym Jorku i B w Londynie proponowali następujące kursy walut:
dealer A kupno sprzedaż 1 EUR 1.0202 USD 1.0284 USD 1 GBP 1.5718 USD 1.5844 USD dealer B kupno sprzedaż
1 EUR 0.6324GBP 0.6401GBP 1USD 0.6299GBP 0.6375GBP
Czy można „zarobić” kupując i/lub sprzedając od dealerów A, B określone kwoty pieniędzy?5
24.6.2020, Trochę nowych zadań.
Zadanie 10. Bukmacher X oferuje kurs 3 do 1 za zwycięstwo drużyny A w meczu z drużyną B (nie ma remisów)6, natomiast bukmacher Y płaci 30:1 za przegraną A. Znajdź możliwość arbitrażu.
1Procent prosty polega na tym, że odsetek nie dolicza się do sumy podlegającej oprocentowaniu.
2tzn. jeśli w jednym roku wynosiło a procent, to w następnym a − 1 procent
3Procent składany polega na tym, że odsetki są doliczane do sumy podlegającej oprocentowaniu. Okres, po którym odsetki są dolicza się do lokaty nazywa się okresem kapitalizacji.
4Kapitalizacja odsetek w sposób ciągły polega na tym, że przy wpłacie K zł w chwili 0, kapitał w chwili t (czas liczony w latach) wynosi K · ert, gdzie r oznacza stopę oprocentowania w skali roku.
5Mówimy, że istnieje możliwość uzyskaine arbitrażu, jeśli istnieje strategia inwestycyjna przynosząca zysk bez ponoszenia ryzyka.
6Innymi słowy, wpłacając 1 zł otrzymamy 3zł, jeśli wygra A
Zadanie 11. Jak długo czasu zajmie uzyskanie 1 zł odsetek, jeśli zrobimy lokatę 1 000 000 zł na 10% z kapitalizacją ciągłą?
Zadanie 12. Znajdź oprocentowanie w kapitalizacji ciągłej równoważne opro-
centowaniu 12% w kapitalizacji półrocznej.
Zadanie 13. Jaki był kapitał początkowy, jeżeli po 10 latach przy rocznej stopie procentowej 5% i kapitalizacji rocznej mamy 100 000 zł.
Powodzenia !
2
