2 a ∙ 25 50 p =− =− = = = = b + ∆ 80 + 1600 ∙ 250 80 + 40 250 8 + 5 55 − 80 + 32002 10 ( 8 + 4 5 ) ∆ =¿ − 80 ¿ − 4 ∙ 25 ∙ 32 = 6400 − 3200 = 3200 ∆ > 0 x + x = 400 { ∆ > 0 a≠ 0

Temat: Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem.

Uwaga! Bardzo ważne będą przekształcenia (które otrzymujemy ze wzorów skróconego mnożenia lub poprzez dodanie dwóch ułamków ):

a) (x1+x2)²= x12+2x1∙x2+x22

Przekształcając powyższe wyrażenie otrzymujemy:

x12+x22= (x1+x2)² - 2x1∙ x2 - suma kwadratów rozwiązań

b) 1

x₁+ 1 x₂= x₂

x_{1 ∙}x₂+ x₁

x_{1 ∙}x₂=x₁+x₂

x_{1 ∙}x₂ - suma odwrotności rozwiązań

c)

x

₁

+ x

₂¿²

− 2 x

₁

∙ x

₂

¿¿

1

x

₁²

+ 1

x

₂²

= x

₂²

x

₁²

∙ x

₂²

+ x

₁²

x

₁²

∙ x

₂²

= x

₁²

+ x

₁²

x

₁²

∙ x

₂²

=

¿

- suma odwrotności kwadratów rozwiązań

Na podstawie tych przekształceń możemy obliczyć wartość wyrażenia, np.: x12+x22 za pomocą wzorów Viѐte’a .

Zad. 2.238/91 (Zbiór zadań)

W zadaniu mamy równanie x²+5px+20p-8=0. Ma ono mieć dwa różne rozwiązania x1, x2 (czyli współczynnik „a”

musi być różny od zera żebyśmy mieli równanie kwadratowe które może mieć dwa rozwiązania – u nas a=1, więc jest ok. ; delta musi być dodatnia żeby równanie kwadratowe miało dwa różne rozwiązania). Dodatkowo w zadaniu mamy mieć x12+x22=400. Uporządkujmy więc konieczne założenia:

Zał.:

{ ^x

¹²

^{+ a ≠ 0 ∆>0 x}

²²

⁼⁴⁰⁰

Rozwiązanie:

1^o) a ≠ 0 - ten warunek jest spełniony, bo nasze „a” wynosi 1, czyli jest różne od zera 2^o)

∆>0

b²-4ac>0 nasze współczynniki głównego równania: a=1, b=5p, c=20p – 8 (5p)²-4∙1∙(20p-8) > 0

25p²-4∙(20p-8) > 0

25p² -80p +32 >0 musimy rozwiązać taką nierówność

−80

¿²

−4 ∙ 25∙ 32=6400−3200=3200

∆

_p

=¿

p

₁

= −b− √ ^∆

2 a = −(−80)− √ ³²⁰⁰

2∙ 25 = 80− √ ^{1600∙ 2}

50 = 80−40 √ ²

50 = 10(8−4 √ ⁵⁾

50 = 8−5 √ ⁵

5 p

₂

= −b+ √ ^∆

2 a = − (−80)+ √ ³²⁰⁰

2 ∙ 25 = 80+ √ ^{1600 ∙ 2}

50 = 80+40 √ ²

50 = 10(8+4 √ ⁵⁾

50 = 8+5 √ ⁵

5

Rysujemy do nierówności wykres:

Odczytujemy zakreskowaną część paraboli:

p ϵ ( - ,

8−5 √ ⁵

5

^{) U (}

8+5 √ ⁵

5

^{, + )}

Ponieważ w powyższym rozwiązaniu są trudne ułamki, gdzieś z boku na marginesie podamy to rozwiązanie w przybliżeniu, żebyśmy wiedzieli mniej więcej jak to rozwiązanie wygląda. Zapiszcie na marginesie : p ϵ ( - ; 0,64 ) U ( 3,84 ; + )

3^o)

x₁²+x₂²=400 korzystamy z pierwszego przekształcenia w pomarańczowej tabeli (x1+x2)² - 2x1∙ x2=400

Ze wzorów Viѐte’a mamy:

x1+x2=

− b

a = −5 p

1 =−5 p

x1∙ x2=

c

a = 20 p−8

1 =20 p−8

(-5p)² – 2(20p-8)=400

25p²-40p+16=400 25p²-40p+16-400=0

25p² -40p-384=0 Rozwiązujemy powstałe równanie

−40¿²−4 ∙ 25 ∙

(

−384

)

=1600+38400=40000

∆_p=¿

p

₁

= −b− √ ^∆

2 a = −(−40 )− √ 40000

2 ∙ 25 = 40−200

50 = −160

50 =−3,2 p

₂

= −b+ √ ^∆

2 a = −(− 40)− √ ⁴⁰⁰⁰⁰

2∙ 25 = 4 0+200 50 = 240

50 = 4,8

A teraz od początku :

- warunek 1 założenia jest zawsze spełniony - z warunku 2 mamy, że p ϵ ( - ,

8−5 √ ⁵

5

^{) U (}

8+5 √ ⁵

5

^{, + )} - z warunku 3 mamy, że p1 =-3,2 , p2= 4,8

W poleceniu mieliśmy znaleźć takie p, dla którego będzie zachodzić x₁²+x₂²=400 . U nas wystarczy sprawdzić, czy p1 =-3,2 ,p2= 4,8 mieszczą się w przedziale p ϵ ( - ,

8−5 √ 5

5

^{) U (}

8+5 √ ⁵

5

, + ). Tak, oba wyniki mieszczą się w danym przedziale (na marginesie zapisywaliście w punkcie 2 że p ϵ ( - ; 0,64 ) U ( 3,84 ; + ) )

Odp.: p= -3,2 , p=4,8 Zad. 2.237

Żeby równanie kwadratowe miało dwa różne rozwiązania to x² nie może zniknąć ( zatem a≠0), dwa rozwiązania będą jeśli delta będzie dodatnia.

Wypiszmy współczynniki równania: a= k ,b= -(k+1) c= -2k+3 Zał.:

{ ^{x 1}

¹

^{+ ∆ >0 a ≠0 x 1}

²

^{=k +1}

1^o)

a ≠ 0

podstawiamy do warunku nasz współczynnik „a”

k≠0 2^o)

∆>0

b²-4ac>0 podstawiamy wartości naszych współczynników [-(k+1)]²-4∙k∙(-2k+3) > 0

[-k-1]²+8k-12 >0 (-k-1)( -k-1)+8k-12>0 k²+k+k+1 +8k-12>0

k ² +10k-11>0 rozwiązujemy powstałą nierówność

∆

k

=10

²

−4 ∙ 1∙ (−11)=100+44=144 k

₁

= −b− √ ^∆

2 a = −10− √ ¹⁴⁴

2 ∙ 1 = −10−12 2 = −22

2 =−11 k

₂

= −b+ √ ^∆

2 a = −10+ √ ¹⁴⁴

2∙ 1 = −10+12 2 = 2

2 =1

rysujemy do każdej nierówności wykres

Odczytujemy tą część paraboli która weszła w zakreskowany obszar:

k ϵ (-, -11) U (1, +)

3^o)

1 x

₁

+ 1

x

₂

=k +1

pomarańczowa tabela, drugie przekształcenie x₁+x₂

x_{1 ∙}x₂ =k +1

Ze wzorów Viѐte’a mamy:

x1+x2=

− b

a = −[−(k +1 )]

k = k +1

k

x1∙ x2=

c

a = −2 k+3

k

k +1

k

−2 k +3 k

=k+1

k +1

k : −2 k +3

k

^=k+1

k +1

k ∙ k

−2 k +3 = k +1

skracamy w ułamkach „k”

k +1 1 ∙ 1

−2 k +3 =k +1 k +1

− 2k +3 =k +1

/∙(-2k+3) k+1=(k+1)∙ (-2k+3)

k+1= - 2k²+3k-2k+3 k+1=-2k²+k+3 k+1+2k²-k-3=0 2k²-2=0 2k²=2 /:2 k²=1

k=1 lub k=-1

A teraz od początku :

{ 2° kϵ (−∞ ,−11) ^{1 ° k ≠ 0} ∪(1 ,+∞) 3 °k =1lub k =−1

W poleceniu mieliśmy znaleźć takie k, dla którego będzie zachodzić

1 x

₁

+ 1

x

₂

=k +1

. Wystarczy sprawdzić, które z rozwiązań warunku 3^o spełnia dwa pierwsze warunki.

Odp.: k= -1

Zad 2.241, 2.243 z nierównościami rozwiązujemy analogicznie; do odp zawsze bierzemy część wspólną wszystkich warunków w zadaniu

Praca domowa:

Zad 2.236/91