(1)Ćwiczenia 6, AM 2, semestr letni Całka wzdłuż krzywej

Ćwiczenia 6, AM 2, semestr letni, 4.05.2017

Całka wzdłuż krzywej. Pola wektorowe. Formy różniczkowe.

Zadanie 1. Narysować i napisać wzór na pola wektorowe S i R na R² opisujące prędkość cząstek (a) poruszających się po okręgach x²+ y²= r²ze stałą prędkością kątową λ,

(b) poruszających się po półprostych R+· v z prędkością proporcjonalną do odległości od punktu (0, 0).

Zadanie 2. Obliczyć wartości form ω1= dx, ω2= xdy, ω3= dr², gdzie r²= x²+ y² na wektorach ξ1 =−−−−−−−→(0, 0), (0, 1), ξ2=−−−−−−−→(2, 2), (1, 1), ξ3=−−−−−−−→(2, 2), (3, 1).

Zadanie 3. Znajdź 1-formę na R²\ {(0, 0)} (o ile istnieje) ω taką, że hω, Si = 1 = hω, Ri.

Zadanie 4. Znajdź funkcję f : R² → R (o ile istnieje), której gradient pokrywa się z polem S, R, odpowiednio, zdefiniowanymi w Zadaniu 1 (a), (b).

Zadanie 5. Oblicz całkę (orientacja )

Z

C

xdy − ydx, gdzie C jest konturem (brzegiem)

(a) prostokąta [−a, a] × [−b, b], (b) koła x²+ y²= r²,

(c) trójkąta o wierzchołkach (a1, a2), (b1, b2), (c1, c2) Co zaobserwowałeś(aś)?

Zadanie 6. Wyznaczyć funkcję pierwotną z 1-formy (o ile taka istnieje) (a) ω = (1 + sin y)dx − (2y − x cos y)dy,

(b) ω = (1 + yze^xy)dx + (1 + xze^xy)dy + e^xydz.

Zadanie 7. Wyznaczyć funkcję pierwotną z 1-formy

ω= xdx + ydy

x²+ y² . (1)

Zapisać ω we współrzędnych biegunowych (r, α).

Zadanie 8. Obliczyć całkę z 1-formy (1) wzdłuż konturu t 7→ γ(t) = (2 cos t, 3 sin t), t ∈ [0, 2π].

Zadanie 9. Wykazać, że jeśli funkcje P (x, y), Q(x, y) : R²→ R są ciągłe w otoczeniu punktu a ∈ R² oraz różniczko- walne w tym punkcie, to

lim

r→0⁺

1 r²

Z

S(a,r)

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = π ∂Q

∂x(a) − ∂P

∂y(a)

 ,

gdzie w domyśle okrąg R_S(a,r)jest zorientowany w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara.

Zadanie 10. Obliczyć całkę R_C(2x + y)dx + (x − 2y)dy wzdłuż krzywej C = {(x, y) : x⁴ + y³ = 1, x ¬ 0 ¬ y}

zorientowanej tak, że jej początkiem jest punkt (0, 1) a końcem (−1, 0).

Zadanie 11. Niech C = {(x, y) : 4x²+ y = 5, y ­ 1} będzie krzywą zorientowaną w kierunku wzrastania zmiennej x.

Oblicz całkę R_C^xdy−ydx_x2+y² .

Zadanie 12. Zbadać, czy forma |x + y|dx + |x + y|dy ma w obszarze G = R²własność niezależności całki od drogi (tzn.

czy dla każdej ustalonej pary punktów a, b ∈ G i dowolnej krzywej γ : [a, b] → G o początku w γ(a) = a i końcu γ(b) = b, wartość R_γω nie zależy od wyboru krzywej γ).

Zadanie 13. Zbadać, czy forma ω = _x^ydx−xdy2+xy+y² ma w obszarze G = R²\ {(0, 0)} własność niezależności całki od drogi.

Zadanie 14. Niech γ(t) = (t, t(1 − cos t), t sin t), t ∈ [0, 2π]. Obliczyć Z

γ

(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz.

Zadanie 15. Obliczyć całkę z formy ω = ^2xydx−(x_y2^2+y2)dywzdłuż łuku krzywej określonej równaniem arctg^y_x= ^π₆px²+ y² mającego początek w (¹₂√

3,¹₂) i koniec w (1,√

3) położonego w ćwiartce {x > 0, y > 0}.

Zadanie 16. Czy forma ω = ^xdy−ydx_x2+y² jest dokładna (t.j. czy ma funkcję pierwotną) na obszarze R²\ C, gdzie C js krzywą C = {(t cos t, t sin t) : t ­ 0}.