Ćwiczenia 4, AM 2, semestr letni, 30.03.2017 Reguły Guldina, całkowanie po podrozmaitościach Rn. Zadanie 1. Oblicz długość
(a) krzywej γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, T ], a, b > 0,
(b) krzywej opisanej we współrzędnych biegunowych równaniem r = 1 + cos φ, φ ∈ (−π, π), (c) krzywej {(x, y, z) : x2+ y2+ z2= 1, x2+ y2= x, z > 0},
(d) wykresu funkcji f(x) =14x2+12ln x −14ln(1 + x2), x ∈ [1, 4].
Zadanie 2. Oblicz pole powierzchni
(a) M = {(x, y, z) : x2+ y2+ z2= 1, x2+ y2< x}, (b) M = {(x, y, z) : x2+ y2= x, x2+ y2+ z2< 1}, (c) M = {(r cos t, r sin t, t) : 0 < r < 1, 0 < t < 4π}.
Zadanie 3. Obliczyć miarę zbioru (−1 ¬ a < b ¬ 1)
{(x1, x2, . . . , xn) :
n
X
i=1
x2i = 1, xn∈ (a, b)},
Zadanie 4. Koło o promieniu 1 pokryto skończoną liczbą pasów Ij× R, (Ij = (aj, bj) ⊂ R), j = 1, . . . , n. Wykazać, że łączna szerokość pasów, Pnj=1|Ij|, jest nie mniejsza niż 1.
Zadanie 5. Obliczyć całkę
Z
F
xyzdℓF(x, y, z), gdzie F jest kostką sześcienną {(x, y, z) : 0 ¬ x, y, z ¬ 1}.
Zadanie 6. Obliczyć całkę
Z
M|xyz|ℓM(x, y, z), gdzie M = {(x, y, z) : x2+ y2= z < 1}.
Zadanie 7. Znajdź środek masy półsfery (zakładamy, że masa rozłożona jest jednostajnie).
Zadanie 8. Niech M = {(x, y, z) : 2z = x2+ y2¬√
x}. Obliczyć całkę Z
M
r z
1 + 2zdℓM.
Zadanie 9. Niech f(x) = (1 − x2/3)3/2, x ∈ [0, 1]. Obliczyć pole powierzchni powstałej w wyniku pełnego obrotu wykresu funkcji f wokół osi OX.
Zadanie 10. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu obszaru (a) {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 5x2, 0 ¬ x ¬ 2} wokół osi OX, (b) {(x, y) : x2¬ y ¬ 20, 0 ¬ x ¬ 2} wokół osi OY . Zadanie 11. Obliczyć pole powierzchni M,
M = {((3 + s cost
2) cos t, (3 + s cos t
2) sin t, s sint
2) : −1/2 < s < 1/2, −π < t ¬ π}.
