SIMR Analiza 2, zadania: Całka krzywoliniowa, wzór Greena 1. Oblicz masę krzywej K o gęstości ρ:
(a) K ⊂ R2 : x2 + y2 = 4 ; ρ(x, y) = x2
(b) K ⊂ R2 : łamana ABC , A(0, 0) , B(3, 4) , B(3, 0) ; ρ(x, y) = x + y (c) K ⊂ R2 : y = 2√
x od punktu A(0, 0) do B(1, 2) ; ρ(x, y) = √ x
(d) K ⊂ R2 : cykloida: x = t − sin t , y = 1 − cost , t ∈< 0, 2π > ; ρ(x, y) = y (e) K ⊂ R3 : x = 2 cos t , y = 2 sin t , z = 2√
3t , t ∈< 0, π > ; ρ(x, y, z) = z (f) K ⊂ R3 : x = t , y = √
3t , z = t2 , t ∈< 0,√
3 > ; ρ(x, y, z) = x 2. Oblicz moment bezwładności względem osi Ox jednorodnej krzywej K:
(a) K ⊂ R2 : x2 + y2 = 1
(b) K ⊂ R2 : x = y2 od punktu A(0, 0) do B(1, 1) (c) K ⊂ R2 : y = 2x od punktu A(0, 0) do B(2, 4) 3. Oblicz:
(a)
I
K
(x + y)dx + 4xdy , K ⊂ R2 : x2 + y2 = 1 skierowana w lewo (b) Z
K
xdx + (x − 2y)dy , K ⊂ R2 : x = y2 od punktu A(4, 2) do B(0, 0) (c)
Z
K
4xydx + (2x − 1)dy , K ⊂ R2 : xy = 4 od punktu A(1, 4) do B(4, 1) (d)
Z
K
ydx + (z + y)dy + xdz , K ⊂ R3 : x + y + z = 2 , y = x od punktu A(0, 0, 2) do B(1, 1, 0)
(e)
Z
K
zdx + y2dy + (x4+ y4)dz , K ⊂ R3 : x2+ y2+ z2 = 2 , z = 1 skierowana w lewo
(f)
Z
K
ydx + zdy + xydz , K ⊂ R3 : x = cos t , y = sin t , z = 4t , od t = 0 do t = π
4. Sprawdź wzór Greena dla pola wektorowego [P, Q] i obszaru D:
(a) P = xy , Q = x2 − y2 , D : y x2, y ¬ 4 (b) P = xy + x , Q = y3 , D : x y2, x ¬ 1
(c) P = y2 , Q = 4x + 3y , D : y 0 , y ¬ 1 − x , x 0 (d) P = x2y , Q = 4y , D : x2 + y2 ¬ 4
5. Korzystając ze wzoru Greena oblicz pole obszaru D:
(a) D : y x2, y ¬ x
(b) D : y 0 , y ¬ 4 − x , x 0 (c) D : x2 + 4y2 ¬ 4
(d) D : y 4x, y ¬ 5 − x , x > 0
