Informacja Kwantowa

Informacja Kwantowa

Seria 5

do oddania na 15.11.2019 Zadanie 1

Rozważmy stan czysty dwóch qubitów postaci

|Ψi_AB = 1 4



(1 +√

3) |00i + i(1 −√

3) |01i + (1 −√

3) |10i + i(1 +√ 3) |11i



(1) Dokonaj rozkładu Schmidta |Ψi_AB:

|Ψi_AB =

r

X

i=1

λ_i|e_ii_A|f_ii_B, (2)

podając współczynniki Schmidta, λ_i, i wektory bazowe {|e_ii_A}, {|f_ii_B} dla, odpowiednio, pierwszego qu- bitu (A) i drugiego qubitu (B). Czy |Ψi_AB to stan maksymalnie splątany?

Zadanie 2 (dokończenie na następnej stronie)

Rozważmy ogólny stan (mieszany) trzech qubitów (oznaczonych A, B i C):

ρ =

1

X

i,i⁰,j,j⁰,k,k⁰=0

ρ^ijk_i0j⁰k⁰ |ijki_ABChi⁰j⁰k⁰| =

1

X

i,i⁰,j,j⁰,k,k⁰=0

ρ^ijk_i0j⁰k⁰ |ii_Ahi⁰| ⊗ |ji_Bhj⁰| ⊗ |ki_Chk⁰| (3)

a) Posługując się powyższą parametryzacją udowodnij, że ρ^TB =

ρ^TA
TCT

, (4)

gdzie (. . . )^TX oznacza transpozycję częściową podsystemu (qubitu) X = {A, B, C}, a (. . . )^T jest transpozycją całej macierzy gęstości.

b) Napisz explicite macierz gęstości trzy-qubitowego stanu:

ρ_ν = ν

2(|Ψ−i_ABhΨ−| ⊗ |0i_Ch0| + |0i_Ah0| ⊗ |Ψ−i_BChΨ−|) + 1 − ν

8 ¹1_ABC (5)

w bazie naturalnej ({|000i , |001i , |010i , . . . , |111i}), gdzie |Ψ−i = ^√1₂(|01i − |10i), a parametr 0 ≤ ν ≤ 1 odpowiada za wkład stanu maksymalnie zmieszanego tak, że ρ_ν=0 = ¹₈11 (podobnie jak w przypadku dwóch qubitów w stanie Wernera omawianego na ćwiczeniach).

c) Dokonaj odpowiednio częściowej transpozycji otrzymanej macierzy gęstości by znaleźć macierze ρ^T_ν^A, ρ^T_ν^B i ρ^T_ν^C.

d) Znajdź najmniejsze wartości własne, λmin, powyższych macierzy:

λ_min(ρ^T_ν^A) = 1

8(1 − 3ν), (6)

λ_min(ρ^T_ν^B) = 1 8

 1 −

2√ 2 + 1

ν

, (7)

λ_min(ρ^T_ν^C) = 1

8(1 − 3ν). (8)

e) Rozważając dla jakich zakresów ν powyższe wartości własne stają się ujemne, podaj kiedy możemy być pewni, że:

(a) wszystkie qubity (A, B i C) są splątane.

(b) qubit B na pewno jest splątany z qubitami A i C traktowanymi łącznie (jako jeden czterowy- miarowy system).