1. Strumie« cz¡stek swobodnych pada z lewej strony na próg po- tencjaªu

GRUPA 1

Zadania (VII) z mechaniki kwantowej na ±rod¦, 9-go kwietnia 2014.

0. Wszystkie zadania z poprzednich ¢wicze«, w szczególno±ci: nota- cja Diraca, reprezentacje operatorów a funkcje falowe, ruch pakietu gaussowskiego, itd.

1. Strumie« cz¡stek swobodnych pada z lewej strony na próg po- tencjaªu

V (x) =

(

0, x < 0

U, (U > 0) x > 0 (1) Rozwi¡za¢ opisuj¡ce t¡ sytuacj¦ niezale»ne od czasu równanie Schrödin- gera dla dwóch przypadków E > U i E < U . Warunki brzegowe s¡ wyznaczone przez sytuacj¦ zyczn¡: dla E > U cz¡stki mog¡

odbi¢ si¦ od progu , lub dalej propagowa¢ si¦ w tym samym kie- runku ( co si¦ stanie gdy E < U ? ). W obu przypadkach jeden ze wspóªczynników pozostaje niewyznaczony, który (jest to jedno- znacznie zdeterminowane przez warunki eksperymentu)? Obliczy¢

wspóªczynniki odbicia, R = j

/j

, i przej±cia, T = j

/j

, jako funkcj¦ energii cz¡stki padaj¡cej. j

oznaczaj¡ gesto±ci pr¡dów: padaj¡cego, przepuszczonego i odbitego . Ile wynosi R+T ? Zinterpretowa¢ ten wynik. Jakie b¦d¡ warunki brzegowe, gdy ¹ródªo cz¡stek jest ustawione z prawej strony tego samego progu. Uwaga:

cz¡stki/fale odbijaj¡ si¦ tak»e od uskoku.

2. Cz¡stka w studni Diraca. Znale¹¢ energie i funkcje falowe cz¡stki w studni potencjaªu: V (x) = −Sδ(x) UWAGA. Warunki zszycia funkcji falowej w x = 0 s¡ inne ni» dot¡d rozwa»ane. Wyprowadzi¢

je caªkuj¡c niezale»ne od czasu równanie Schrödingera po maªym obszarze − < x < . Odtworzy¢ tak»e otrzyman¡ energi¦ i funkcj¦

wªasn¡ jako odpowiedni¡ granice rozwi¡zania dla studni prostok¡t- nej. Wsk.

δ(x − x

)dx = 1 .

3. Skonstruowa¢, w reprezentacji p¦du, funkcj¦ falow¡ stanu ˆx|ψi i wyrazi¢ j¡ przez funkcj¦ falow¡ stanu |ψi w tej samej reprezentacji.

4. Ka»d¡ funkcj¦ mo»na rozªo»y¢ na jej cze±¢ parzyst¡ i nieparzyst¡

f (x) = f

(x) + f

(x), f

(x) = 1

2 (f (x) ± f (−x)) (2)

1

obliczy¢ cz¦±¢ nieparzyst¡ funkcji δ(x) Diraca. Wsk.

Z ∞

−∞

δ(x − x

)φ(x)dx = φ(x

) (3)

J. Wosiek.

2