Caªkowanie przez cz¦±ci i przez podstawienie Kilka ¢wicze«

Lista 17. Caªkowanie przez cz¦±ci i przez podstawienie

Kilka ¢wicze«. Na pocz¡tek rozgrzewka z liczenia caªek:

1. R (e^x+ 1)²dx, 2. R ^√3x2√+_x^√4xdx, 3. R _cos2¹(5x)dx, 4. R √⁴

3x − 5 dx, 5. R ^{ln x}_x dx, 6. R _sin2cos^{1 2}xdx.

Wst¦p

Przypomnijmy, »e caªk¡ nieoznaczon¡ funkcji f(x) nazywamy funkcj¦ F (x) + C = R f(x) dx (z do- kªadno±ci¡ do staªej) dokªadnie wtedy, gdy F⁰(x) = f (x). Od razu wida¢, »e:

Z

(f (x) + g(x)) dx = Z

f (x) dx + Z

g(x) dx, Z

cf (x) dx = c Z

f (x) dx,

wi¦c liczenie caªek z sum i ró»nic (ze wspóªczynnikami) nie sprawia »adnych trudno±ci. Co jednak zrobi¢, gdy mamy iloczyn, iloraz lub zªo»enie funkcji pod caªk¡? Okazuje si¦, »e sytuacja jest bardzo trudna i w wielu wypadkach caªki po prostu nie da si¦ policzy¢ (tzn. nie da si¦ jej wyrazi¢ przez wszystkie znane funkcje elementarne). Wi¡»e si¦ to z tym, »e wzory na pochodn¡ iloczynu, ilorazu i zªo»enia s¡ do±¢ skomplikowane i nie da si¦ ich wprost "odwróci¢".

W specycznych sytuacjach widzieli±my jednak jak mo»na zgadn¡¢ caªk¦ z pewnego iloczynu lub zªo»enia. Spójrzmy na dwa przykªady:

Z

(cosx − x sin x) dx = x cos x + C, Z

2x cos x²dx = sin x²+ C.

Jak wida¢, jedn¡ z tych caªek odgadli±my dzi¦ki wzorowi na pochodn¡ iloczynu, a drug¡ dzi¦ki wzorowi na pochodn¡ zªo»enia. W tej cz¦±ci nauczymy si¦ korzysta¢ z tych wzorów w pewien usystematyzowany sposób.

Caªkowanie przez cz¦±ci.

Ze wzoru na pochodn¡ iloczynu (f(x)g(x))⁰ = f⁰(x)g(x) + f (x)g⁰(x)wynika wprost, »e Z

f (x)g⁰(x) dx = f (x)g(x) − Z

f⁰(x)g(x) dx.

Zauwa»my, »e najpierw musimy "przygotowa¢" nasz¡ funkcj¦ do scaªkowania przez cz¦±ci (zapisa¢

cz¦±¢ jako g⁰(x), czyli w istocie policzy¢ caªk¦ z jednej z dwóch funkcji), a potem dostajemy pewn¡

funkcj¦ i inn¡ caªk¦ (!). To oznacza, »e wszystko na co mo»emy liczy¢, to zamiana jednaj caªki na inn¡ (oy tylko byªa prostsza ni» poprzednia...). A teraz przykªady. Oblicz caªki:

7. R x ln x dx, 8. R 3^xcos x dx, 9. R xe^2xdx,

1

10. R x arc tg x dx, 11. R x²cos x dx, 12. R sin(5x) cos(2x) dx, 13. R x³e^xdx.

Caªkowanie przez podstawienie.

Wprost ze wzoru (f(g(x)))⁰= f⁰(g(x))g⁰(x)mo»na napisa¢ wzór na caªkowanie przez podstawienie:

Z

f (g(x))g⁰(x) dx = f (g(x)) + C.

Caªy szkopuª w tym, »e tutaj "przedstawienie" funkcji podcaªkowej w odpowiedniej postaci jest jeszcze trudniejsze. Jest jednak praktyczny sposób zrobienia. Na przykªad mamy caªk¦, któr¡ ju»

widzieli±my R 2x cos x²dx = sin x²+ C.To obliczenie mo»emy napisa¢ tak:

Z

2x cos x²dx =







y = x²

dy dx = 2x dy = 2xdx







= Z

cos y dy = sin y + C = sin x²+ C,

gdzie y = x² jest pomocniczym podstawieniem. Oblicz caªki:

14. R (5x + 3)⁹dx, 15. R tg x dx, 16. R cos x sin²x dx, 17. R ^{ln x}_x dx, 18. R x√⁵

2 − 3x²dx, 19. R ₂₊^1√_xdx, 20. R e^{2 sin x}cos x dx, 21. R x²√

1 + x²dx, 22. R sin x√

cos x dx, 23. R ^{cos ln x}_x dx, 24. R ^ln₂^√√_x^xdx.

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl

2