GRUPA 1
Zadania (X) z mechaniki kwantowej na ±rod¦, 30-go kwietnia 2014.
0. Wszystkie zadania z poprzednich ¢wicze«, w szczególno±ci:, 0a. Rozwa»y¢ kawaªkami gªadki potencjaª, który ma N sko«czo- nych skoków. Szukamy warto±ci wªasnych energii, które s¡ poni»ej V (±∞) . Licz¡c warunki zszycia pokaza¢, »e w tej sytuacji ener- gia jest skwantowana, oraz »e odpowiadaj¡ce jej rozwi¡zanie jest jednoznacznie wyznaczone.
0b.Jak poprzednio, tylko dla rozproszenia nad kwaªkami gªadk¡ ba- rier¡ potencjaªu, zªo»on¡ z N segmentów. Dlaczego w (a) widmo jest dyskretne, a w (b) ci¡gªe?
0c. Strumie« cz¡stek pada z lewej strony na próg potencjaªu E <
U . pokaza¢, »e funkcj¦ falow¡ w obszarze dopuszczalnym klasycznie mo»na zapisa¢ jako
ψ(x) = e
ikx+ e
−ikx+2iδ(E), (1)
dlaczego? Obliczy¢ i wykre±li¢ zale»no±¢ przesuni¦cia fazowego δ(E) od energii.
1. Przedyskutowa¢ rozproszenie na progu potencjaªu zale»nego od czasu pakietu falowego (Messiah, rozdziaªy II.3 i III.3). Obliczy¢
opó¹nienie kwantowe wyst¦puj¡ce przy odbiciu i powi¡za¢ je z prze- suni¦ciem fazowym δ(E).
2. Wykorzystuj¡c reguªy komutacji a, a
†i operatora liczby cz¡stek N = a
†a , udowodni¢, »e
a|ni = √
n|n − 1i, a
†|ni = √
n + 1|ni, (2)
gdzie |ni s¡ stanami wªasnymi N do warto±ci wªasnych n. Dlaczego n musi by¢ caªkowite i nieujemne (wykªad)?
3. Stosuj¡c metod¦ operatorów kreacji i anihilacji obliczy¢ warto±ci
±rednie ∆x i ∆p w n-tym stanie wªasnym oscylatora harmonicznego.
Kiedy (dla którego stanu) ta relacja jest wysycona? Def. Nieokre±lo- no±ci¡ kwantow¡ wielko±ci zycznej reprezenowanej przez operator A nazywamy
∆A =
q< ψ|(A− < ψ|A|ψ >)
2|ψ > (3) 4. Stan podstawowy oscylatora harmonicznego "jest anihilowany"
przez operator anihilacji a
a|0i = 0. (4)
1
albo w reprezentacji poªo»e«
aψ
0(x) = 0. (5)
Korzystaj¡c ze zwi¡zków z operatorami poªo»enia i p¦du znale¹¢
jawn¡ posta¢ operatora anihilacji w reprezentacji poªo»e« i rozwi¡- za¢ wynikaj¡ce z (5) równanie ró»niczkowe na funkcj¦ falow¡ ψ
0(x) . Obliczy¢ jawn¡ posta¢ funkcji falowych trzech nast¦pnych stanów wzbudzonych u»ywaj¡c operatora kreacji w tej samej reprezentacji.
J. Wosiek.
2
