Zasada superpozycji

Wykład X. ZASADA SUPERPOZYCJI. „PRZENOSZENIE” ŹRÓDEŁ W OBWODZIE.

TWIERDZENIA: THEVENINA, NORTONA, O WZAJEMNOŚCI, O KOMPENSACJI

Zasada superpozycji

Zgodnie z równaniami (4.12a) i (4.17a), liniowy obwód elektryczny o g gałęziach i h pseudogałę- ziach jest opisany równaniem ogólnym

B X A

g× ×1 ×1

=

⋅ , (4.27a) gdzie: A – macierz parametrów, związana z elementami pasywnymi gałęzi i grafem obwodu, B – wektor wymuszeń (pobudzeń), związany z napięciami źródłowymi (gałęzi) oraz prądami

źródłowymi (gałęzi i pseudogałęzi),

X – wektor odpowiedzi, tj. prądów lub napięć gałęziowych.

Wyrazy wektora X, będące rozwiązaniem równania (4.27a), mają następującą postać:

∑

=

+

−

−

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

=

= ^g

k

k jk k j

gg g j g g

g j

j

j M B

A B A

A

A B A

A

X

A A A

A

1 )

1 ( 1

1 1 ) 1 ( 1 11

) 1 det (

1

det 1 det

det

L L

M

L L

, (4.27b)

gdzie M_jk jest jk-tym minorem (podwyznacznikiem) macierzy A, zaś (-1)^j+k M_jk jest jk-tym dopeł- nieniem algebraicznym tej macierzy.

Wartość j-tej zmiennej X_j, stanowiąca odpowiedź układu liniowego na wymuszenie B, jest sumą odpowiedzi na składniki Bk tego wymuszenia, zależne od źródłowych napięć i prądów, których działanie można rozpatrywać oddzielnie. Zachodzi więc tu superpozycja (nakładanie się) odpowie- dzi, będących reakcją na poszczególne pobudzenia.

Właściwość powyższa nosi nazwę zasady superpozycji i jest wykorzystywana do obliczania prądu lub napięcia w wybranej gałęzi obwodu liniowego, w którym występuje kilka źródeł niezależnych.

Wartość prądu lub napięcia dowolnej gałęzi takiego obwodu, będąca odpowiedzią na wszystkie – działające w danej chwili – pobudzenia, jest sumą wartości prądu lub napięcia, jakie wywołałyby w tejże gałęzi, z osobna, każde z działających w tym czasie pobudzeń. Przy prądzie stałym zapisuje się to następująco:

∑

=

=^{g h}

k jk

j I

I

1

,

∑

=

=^{g h}

k jk

j U

U

1

, (4.27c, d) gdzie: I_j – prąd w gałęzi j-tej; I_jk – składnik prądu w gałęzi j-tej, wymuszony przez źródła występu-

jące w gałęzi lub pseudogałęzi k-tej; U_j – napięcie na gałęzi j-tej, U_jk – składnik napięcia na gałęzi j-tej, wymuszony przez źródła występujące w gałęzi lub pseudogałęzi k-tej.

Szukając składników odpowiedzi, można posługiwać się dowolnymi metodami. Można też dowol- nie grupować składniki we wzorach (4.27c) lub (4.27d), tzn. wyznaczać rozwiązywania przy działa- jących jednocześnie, odpowiednich wymuszeniach.

Przykład. Obliczana jest – na dwa sposoby – wartość prądu I w obwodzie pokazanym na rys. a.

1Ω 6V

I

3A 1Ω

1Ω 3V

a)

1Ω I’

3A 1Ω

1Ω

b’) 1Ω I’’ 6V

1Ω 1Ω

1Ω 3V

I’’’

1Ω 1Ω b’’)

b’’’)

I sposób: rozwiązanie obwodów z pojedynczymi źródłami – rys. b’, b’’, b’’’

Na rys. b’ występuje dzielnik prądu źródłowego 3 A (na prądy w 3 gałęziach o rezystancjach 1 Ω przy czym zwrot szukanego prądu jest przeciwny do zwrotu założonego), więc 3 1

3 '=−1⋅ =−

I A.

Na rys. b’’ występuje dzielnik prądu pobieranego ze źródła napięciowego 6 V (w obwodzie o rezy- stancji zastępczej 1,5 Ω; na prądy w 2 gałęziach o rezystancjach 1 Ω), więc 2

5 , 1 6 2 ''= 1⋅ =

I A.

Na rys. b’’’ występuje dzielnik prądu pobieranego ze źródła napięciowego 3 V (w obwodzie o rezy- stancji zastępczej 1,5 Ω; na prądy w 2 gałęziach o rezystancjach 1 Ω), więc 1

5 , 1 3 2 ' 1

'' = ⋅ =

I A.

Szukana wartość: I =−1+2+1=2 A.

II sposób: rozwiązanie obwodu z dołączonymi oboma źródłami napięciowymi (stosując metodę oczkową) oraz obwodu z dołączonych źródłem prądowym (metoda węzłowa) – rys. c’, c’’

Oczka obrano w taki sposób, że szukany prąd jest równy prądowi oczkowemu – rys. c’:



 



=







⋅



 





3 -

3 2

1

1 2

2 1 o o

I

I ; I'=I_o1 =3 A.

Jest tylko jeden węzeł niezależny, wartości konduktancji trzech gałęzi są jednakowe; zapisanie równania węzłowego jest formalnością – rys. c’’:

(1+1+1) V₁ = 3 ; V₁ = 1 V; I ''=1⋅(0−1)=−1 A.

Szukana wartość: I = 3 – 1 = 2 A.

„Przenoszenie” źródeł do innych gałęzi

Jeśli w obwodzie występują idealne źródła napięciowe bez dołączonej szeregowo rezystancji gałę- ziowej, to nie można stosować bezpośrednio metody węzłowej. Jeśli w obwodzie występują idealne źródła prądowe nie zbocznikowane rezystancją gałęziową, to nie można stosować bezpośrednio metody oczkowej.

Wymienione trudności można jednak ominąć „przenosząc” idealne źródła do innych gałęzi. Przeno- szenie to polega na dołączeniu takich samych, odpowiednio skierowanych źródeł idealnych. Miejsca dołączenia i zwroty źródeł muszą być takie, aby nie zmieniały się:

a) w przypadku idealnych źródeł napięciowych – wartości oczkowych napięć źródłowych, jak na rys. a,

b) w przypadku idealnych źródeł prądowych – wartości wydajności źródeł prądowych w węzłach, jak na rys. b i c.

Przy przenoszeniu idealnych źródeł napięciowych nie ulega zmianie rozpływ prądów, ale zmieniają się, związane ze sobą, rozkłady: potencjałów w węzłach oraz napięć gałęziowych (rys. a’).

Przy przenoszeniu idealnych źródeł prądowych nie ulega zmianie rozkład napięć gałęziowych (po- tencjałów węzłowych), a jeśli prądy źródłowe są traktowane jako zewnętrzne prądy gałęzi, to nie zmienia się także rozpływ prądów gałęziowych (rys. b’).

c’) 1Ω 6V

I’ 1Ω

1Ω 3V

I_o2 I_o1

c’’)

1S I’’

3A 1S

1S

V0 =0 V1

Przykład 1. Przy zastosowaniu metody węzłowej obliczana jest – na dwa sposoby – wartość prądu Ix

w obwodzie z rys. 1a. „Usunąwszy” źródła napięciowe w gałęziach bezrezystancyjnych danego obwodu otrzymano 2 obwody wariantowe (rys. 1b i 1c).

a)

a’)

b)

b’)

≡

E – E

0 V1

V2

V3 =V2

1

2

3 E

E E E

E – E

0 V1

V2

V3 =V2

1

2

3 V2

E – E V1 0

V2

V3 =V2

1

2

3 E

V1 E

≡

I1 R1 R3 I3

E

V1

I4

R2

I2

V2

V5

V3

V4

≡

I1 R1 E E R3 I3

E V1 V5

I4

R2

I2

V2

V5

V5 V3

V4

Iw1 =.Iźr

Iźr

Iw2 =–Iźr

1

2

≡

Iźr

Iw1 =.Iźr

Iźr Iźr

Iw2 =–Iźr

Iźr

1

2

Iźr

Iw1 =.Iźr

Iw2 =–Iźr

Iźr

1

2

≡

c)

Iw3 =.0 3

Iw3 =.0

3

Iźr

Iźr

≡

E2

I1 R1 I2 R2 V1 VI 2 V3

Iźr

≡

E2

1a) 1b) 1c)

1Ω 6V

Ix

3A 1Ω

1Ω 3V

V1

V2

V3

V4

Ix

3A 1Ω

1Ω 3V

V1

1Ω 6V V3

V3

V4

6V

3V V2

V2

V4

1Ω

6V Ix

3A 1Ω

1Ω 3V

V1 V2

V3

V4 V2

I wariant rozwiązania (rys. 1b): w przekształconym obwodzie są 2 węzły (na krańcach 3 równole- głych gałęzi); przyjęto V₄ = 0 i zamieniając w myśli źródła napięciowe na prądowe zapisano równanie węzłowe

3 6 3 )

1 1 1

( + + ⋅V₂ =− − + , stąd V₂ =−2V oraz I_x =G_x⋅(V₄ −V₂)=1⋅(0+2)=2A.

II wariant rozwiązania (rys. 1c): w przekształconym obwodzie są również 2 węzły (na krańcach 3 równoległych gałęzi); przyjęto V1 = 0 i zamieniając w myśli źródła napięciowe na prądowe zapi- sano równanie węzłowe

3 3 9 6 )

1 1 1

( + + ⋅V₃ = + + + , stąd V₃ =7V oraz V₄ =0+3=3V, V₂ =7−6=1V, 2

) 1 3 ( 1 )

( ₄ − ₂ = ⋅ − =

⋅

=G V V

I_{x x} A.

Przykład 2. Przy zastosowaniu metody oczkowej obliczana jest – na dwa sposoby – wartość prądu I_x w obwodzie z rys. 2a. „Usunąwszy” pseudogałąź w danym obwodzie otrzymano 2 obwody warian- towe (rys. 2b i 2c), w których zamieniono źródła prądowe na napięciowe (warto przypomnieć, że równoległe dołączenie jakiegokolwiek elementu do idealnego źródła napięciowego nie ma wpływu na jego napięcie; jest to tzw. połączenie nieistotne), po czym obrano oczka w taki sposób, że szuka- ny prąd Ix lub Ix’ jest równy prądowi oczkowemu (rys. 2b’ i 2c’).

I wariant rozwiązania (rys. 2b i 2b’): równanie oczkowe







=



 



⋅









0 3 2

1

1 2

2 1 o o

I

I , stąd I_x =I_o1 =2 A.

II wariant rozwiązania (rys. 2c i 2c’): równanie oczkowe



 



=







⋅



 





3 -

3 - 2

1

1 2

2 1 o o

I

I , stąd I_x' =I_o1 =−1 A oraz I_x =I_x' +3=2 A.

2a) 2b) 2c)

1Ω 6V

Ix

3A 1Ω

1Ω 3V

1Ω 6V

Ix

3A 3A 1Ω

1Ω 3V

1Ω 6V

Ix

3A 1Ω

1Ω 3V

3A

3A

2b’) 2c’) 1Ω 6V Ix

3V 1Ω

1Ω 3V

I_o2

I_o1

1Ω 6V

Ix’

3V 1Ω

1Ω 3V

I_o2 I_o1 3V

3V

Konduktancje międzygałęziowe i wejściowe. Twierdzenie Thevenina

Prąd w wyróżnionej j-tej gałęzi o postaci napięciowej (rys. a), należącej do obwodu z wszystkimi gałęziami sprowadzonymi do postaci napięciowej (rys. a’), można – nawiązując do ogólnych zależności (4.27b) i (4.27c) – wyrazić następująco:

j jj g

j k k

k jk g

k jk

j I G E G E

I =

∑

∑

≠=

=

'

1 1

, (4.28)

gdzie: Gjk – j-te konduktancje międzygałęziowe (między j-tą ga- łęzią zewnętrzną i k-tymi gałęziami wewnętrznymi), G_jj – kon- duktancja wejściowa, E_k’ – zastępcze źródłowe napięcia k-tych gałęzi, Ej – źródłowe napięcie j-tej gałęzi.

Zgodnie z konwencją strzałkowania I_j i E_j gałęzi normalnej, otrzymuje się dodatnią wartość G_jj . Wartości Gjk są natomiast dodatnie lub ujemne, zależnie od zwrotów j-tej i k-tych gałęzi.

Wartości konduktancji G_jk i G_jj wyznacza się doświadczalnie lub oblicza na podstawie schematu obwodu, badając efekty działania pojedynczych źródeł:

k'

jk

jk E

G = I ,

j jj

jj E

G = I . (4.29a, b)

Wzór (4.28) odnosi się do obwodu, w którym nie występują pseudogałęzie (jak w metodzie oczko- wej), zatem wyznaczanie konduktancji G_jk dotyczy tylko takiej sytuacji.

Jeśli wewnątrz obwodu występują pseudogałęzie, to – jak wiadomo – można „przenieść” źródła pseudogałęzi do niektórych gałęzi, co nie wpływa na prąd w gałęzi zewnętrznej. Napięcia Ek’ są wtedy zastępczymi sem przekształconych k-tych gałęzi, zaś Gjk – konduktancjami między j-tą gałę- zią zewnętrzną i przekształconymi k-tymi gałęziami wewnętrznymi

Jeśli I_j = 0 oraz E_j = – U_j.0 (rys. b), to

0 . 1

' _{jj j}

g

j k k

k

jk E G U

G ⋅ = ⋅

∑

≠=

, (4.30)

wobec czego zależność (4.28) przyjmuje postać

( )

jj j j j j jj

j R

E E U

U G

I +

= +

⋅

= _.0 ^.0 , (4.31a)

przy czym rezystancja wejściowa (rys. c):

jj

jj G

R = 1 . (4.31b) Wprowadza się wielkości (rys. d):

- rezystancję wewnętrzną źródła zastępczego

j jj

w R R

R = − , (4.32a) - źródłowe napięcie (sem) źródła zastępczego

0 .

Uj

E = , (4.32b) co pozwala napisać

j w

j

j R R

E I E

+

= + oraz U_j =R_j ⋅I_j −E_j . (4.33a, b)

Gdy j-ta gałąź jest pasywna, to

j w

j R R

I E

= + oraz U_j =U_R.j =R_j ⋅I_j . (4.34a, b) Ij Ej Rj

Uj

Ik’ Ek’ Rk

Uk

a)

a’)

≡

układ gałęzi

wewn. Uj.0

Ij =0 Ij =0 Ej Rj

układ gałęzi wewn.

Uj.0

b)

c)

d)

Ij Rjj

Uj.0 Ej

Uj

Rw Ij Rj

E Ej

UR.j

Formuły (4.33a) i (4.34a) wyrażają twierdzenie Thevenina (o zastępczym źródle napięciowym):

obwód liniowy aktywny, badany od wybranej pary zacisków (od strony wyróżnionej gałęzi ze- wnętrznej – aktywnej lub pasywnej), jest równoważny gałęzi aktywnej, złożonej z idealnego źródła napięciowego E i szeregowej rezystancji Rw, przy czym napięcie źródłowe E (nazywane sem zastęp- czego źródła) jest równe napięciu jałowemu na tych zaciskach (napięciu, jakie wystąpi między nimi po odłączeniu wyróżnionej gałęzi), a szeregowa rezystancja R_w (nazywana rezystancją wewnętrzną zastępczego źródła) – ilorazowi napięcia jałowego przez prąd zwarcia tychże zacisków (prąd, jaki wystąpi w idealnym przewodzie zwierającym te zaciski).

Zgodnie ze wzorami (4.29b), (4.31b) i (4.32a), rezystancja wewnętrzna R_w jest rezystancją między wybraną jw. parą zacisków badanego obwodu, przy odłączonej gałęzi zewnętrznej i zerowych wy- muszeniach (Ek = 0 oznacza zwarcie; Iźr.k = 0 oznacza rozwarcie).

Przykład. W danym obwodzie (rys. a) obliczane są wartości: prądu I_x , napięcia U_x oraz konduktan- cji G_x1 i G_x2 między gałęzią zewnętrzną x i gałęziami, w których znajdują się źródła napięciowe E₁ i E2 (przy założeniu zwrotów gałęzi zgodnych ze zwrotami ich napięć źródłowych).

Parametry zastępczego źródła napięciowego (dla gałęzi x, odłączonej przy wyznaczaniu tych parametrów):

- wg rys. b, b’ i b’’, z zasady superpozycji 5

, 4 5 , 1 1 3

0' = + ⋅ =

U V; U₀ '' =−1⋅1,5=−1,5 V;

3 5 , 1 5 ,

0 =4 − =

=U

E V,

- wg rys. c (rezystancja układu pasywnego, widziana od stro- ny odłączonej gałęzi x) R_w =0,5 Ω.

Szukane wartości prądu i napięcia (wg rys. d):

1 2 5 , 0

3 =

= +

= +

x w

x R R

I E A;

2 2 1⋅ =

=

⋅

= _{x x}

x R I

U V.

Wartości prądu w gałęzi x, pochodzące od E1 i E2 (wg rys. e):

5 2 , 1 6 2 1

1 = ⋅ =

Ix A, 1

5 , 1

3 2 1

2 = ⋅ =

Ix A.

Szukane wartości konduktancji międzygałęziowych:

3 1

1 1

1 = =

E

G_x I^x S,

3 1

2 2

2 = =

E

G_x I^x S.

Uwaga. Przez analogię można zdefiniować stosunek prądów I_x3 i I_źr.3 jako prądową transmitancję międzygałęziową T_I.x3 . Wtedy I_x =G_x1⋅E₁+G_x2⋅E₂ +T_I.x3⋅I_źr.3 (superpozycja).

Z rys. f wynika:

3 1 3

1

3 . 3 3

. = = − =−

źr x x

I I

T I .

a) b) 1Ω 6V

Ix

3A 1Ω

1Ω 3V

Ux

E1

E2

1Ω

6V

3A 1Ω 3V

E=U0

b’)

b’’)

c)

d)

e)

f)

1Ω

1Ω Rw

1Ω

6V 1Ω 3V

U0’ 1,5A

3A 1Ω

1Ω U0’’

1,5A

0,5Ω

3V Ux 1Ω

Ix

1Ω 6V

1Ω 1Ω

Ix1

3V 1Ω

1Ω 1Ω

Ix2

3A 1Ω

1Ω Ix3 = –1A 1Ω

Rezystancje międzygałęziowe i wejściowe. Twierdzenie Nortona

Napięcie na wyróżnionej j-tej gałęzi o postaci prądowej (rys. a), należącej do obwodu z wszystkimi gałęziami sprowadzonymi do postaci prądowej (rys. a’), można – nawiązując do ogólnych za- leżności (4.27b) i (4.27d) – wyrazić następująco:

j źr jj h

g

j k k

k źr jk h

g

k jk

j U R I R I

U _.

1

. 1

'− ⋅

⋅

=

=

∑ ∑

≠= +

=

, (4.35)

gdzie: Rjk – j-te rezystancje międzygałęziowe (między j-tą gałę- zią zewnętrzną i k-tymi gałęziami lub pseudogałęziami we- wnętrznymi), R_jj – rezystancja wejściowa, I_źr.k’ – zastępcze źró- dłowe prądy k-tych gałęzi (rys. a’) lub pseudogałęzi, Iźr.j – źró- dłowy prąd j-tej gałęzi.

Zgodnie z przyjętą konwencją strzałkowania Uj i Iźr.j gałęzi normalnej, otrzymuje się dodatnią war- tość Rjj . Wartości Rjk są natomiast dodatnie lub ujemne, zależnie od zwrotów j-tej gałęzi oraz k-tych gałęzi lub pseudogałęzi.

Wartości rezystancji R_jk i R_jj wyznacza się doświadczalnie lub oblicza na podstawie schematu ob- wodu, badając efekty działania pojedynczych źródeł:

.k'

źr jk

jk I

R = U ,

j źr

jj

jj I

R U

.

−

= . (4.36a, b) Wzór (4.35) odnosi się do obwodu, w którym nie występują gałęzie będące idealnymi źródłami napię- ciowymi (jak w metodzie węzłowej), zatem wyznaczanie rezystancji Rjk dotyczy tylko takiej sytuacji.

Jeśli wewnątrz obwodu występują gałęzie będące idealnymi źródłami napięciowymi, to – jak wia- domo – można „przenieść” te źródła do innych gałęzi, co nie wpływa na napięcie gałęzi zewnętrz- nej. Do przekształconego tak obwodu można już stosować wzór (4.35); prądy Iźr.k’ są w nim zastęp- czymi źródłowymi prądami przekształconych gałęzi.

Jeśli U_j = 0 oraz I_źr.j = I_jz (rys. b), to

jz jj h

g

j k k

k źr

jk I R I

R ⋅ = ⋅

∑

≠=1

. ' , (4.37) wobec czego zależność (4.35) przyjmuje postać

( )

jj j źr jz j źr jz jj

j G

I I I

I R

U _. − ^.

=

−

⋅

= , (4.38a)

przy czym konduktancja wejściowa (rys. c):

jj

jj R

G = 1 (4.38b) Wprowadza się wielkości (rys. d):

- konduktancję wewnętrzną źródła zastępczego G_w = G_jj – G_j , (4.39a) - źródłowy prąd źródła zastępczego

Iźr = Ijz , (4.39b) co pozwala napisać

j w

j źr źr

j G G

I U I

+

= − ^. oraz I_j =G_j⋅U_j +I_źr.j . (4.40a, b)

Gdy j-ta gałąź jest pasywna, to

j w

źr

j G G

U I

= + oraz I_j =I_G.j =G_j⋅U_j . (4.41a, b) a)

a’)

Iźr.j

Gj

Uj

Iźr.k’ Gk

Uk

b)

c)

d)

≡

układ gałęzi wewn.

Uj. =0 Ij =Ijz

układ gałęzi wewn.

Uj. =0 Ij =Ijz

Gj Ijz

Uj

Ij

Gj

IG.j

Gw

Iw

Ijz Iźr.j

Uj Gjj

Ijz Iźr.j

Formuły (4.40a) i (4.41a) wyrażają twierdzenie Nortona (o zastępczym źródle prądowym): obwód liniowy aktywny, badany od wybranej pary zacisków (od strony wyróżnionej gałęzi zewnętrznej – aktywnej lub pasywnej), jest równoważny gałęzi aktywnej, złożonej z idealnego źródła prądowego Iźr i równoległej konduktancji Gw, przy czym prąd źródłowy Iźr (nazywany prądem źródłowym za- stępczego źródła) jest równe prądowi zwarcia tych zacisków (prądowi, jaki wystąpi w idealnym przewodzie zwierającym te zaciski), a równoległa konduktancja G_w (nazywana konduktancją we- wnętrzną zastępczego źródła) – ilorazowi prądu zwarcia przez napięcie jałowe między tymi zaci- skami (napięciu, jakie wystąpi między nimi po odłączeniu wyróżnionej gałęzi). Zgodnie ze wzorami (4.36b), (4.38b) i (4.39a), konduktancja wewnętrzna Gw jest konduktancją między wybraną jw. parą zacisków badanego obwodu, przy odłączonej gałęzi zewnętrznej i zerowych wymuszeniach.

Zastępcze źródło prądowe wyznaczone na podstawie twierdzenia Nortona jest równoważne zastęp- czemu źródłu napięciowemu wyznaczonemu na podstawie twierdzenia Thevenina.

Przykład. W danym obwodzie, tym samym, co w poprzednim przykładzie (rys. a), obliczane są war- tości: napięcia U_x , prądu I_x oraz rezystancji R_x3 między gałęzią zewnętrzną x i pseudogałęzią.

Parametry zastępczego źródła prądowego (dla gałęzi x):

- wg rys. b, b’, b’’ i b’’’, z zasady superpozycji 6

' =

Iz A; I_z '' =3 A; I_z' '' =−3 A;

6 3 3

6+ − =

=

= _z

źr I

I A,

- wg rys. c (konduktancja układu pasywnego, widziana od strony odłączonej gałęzi x) G_w =2 S.

Szukane wartości napięcia i prądu (wg rys. d):

1 2 2

6 =

= +

= +

x w

źr

x G G

U I V;

2 2 1⋅ =

=

⋅

= _{x x}

x G U

I A.

Wartość napięcia gałęzi x, pochodząca od Iźr.3 (wg rys. e):

1 3 3

1

3 =− ⋅ =−

Ux V.

Szukana wartość rezystancji międzygałęziowej:

3 1

3 .

3

3 = =−

źr x

x I

R U Ω.

Przykład wyznaczenia ogólnej zależności na podstawie twierdzenia Thevenina

Zostanie wyznaczony warunek równowagi mostka Wheatstone’a (rys. obok). Zachodzi ona wówczas, gdy w gałęzi z mikroamperomie- rzem nie płynie prąd, czyli UCD = 0. Odpowiada temu warunek UCD.0 = 0, tzn. zerowa wartość napięcia stanu jałowego źródła zastępczego (układu wewnętrznego) dla gałęzi CD (zewnętrznej). Otrzymuje się zależność:

a) b) 1Ω 6V

Ix

3A 1Ω

1Ω 3V

Ux

E1

E2

1Ω

6V

3A 1Ω 3V

Iźr =Iz

b’)

b’’)

b’’’)

c)

d)

e)

1S

1S Gw

1Ω 6V

1Ω Iz’

3V 1Ω

1Ω Iz’’

3A

1Ω Iz’’’ 1Ω

Ux 1S Ix

2S Iźr

1S

1S Iźr.3 =3A

1S Ux3

µA R₁ R₂

E

R₃ R₄

A B

C

D

) 0 (

)

( _{1 2 3 4}

4 1 3 2 4

3 4 2

1 2 0

. 0

. 0

. ⋅ =

+

⋅ +

⋅

−

= ⋅

⋅









− +

= +

−

= E

R R R R

R R R E R

R R

R R

R U R

U

U_{CD CB DB} ,

stąd R₂⋅R₃ −R₁⋅R₄ =0 , albo

4 3 2 1

R R R

R = . (4.42a, b)

Znane są wartości trzech rezystancji, a wyznacza się wartość czwartej.

Mostka zrównoważonego używa się w dokładnych pomiarach rezystancji. Rezystancja wewnętrzna źródła zastępczego (widziana z zacisków CD przy odłączonym mikroamperomierzu) nie ma zna- czenia dla stanu równowagi, więc nie została wyznaczona. Wpływa ona jednak na czułość układu.

Przy dużej liczbie pomiarów ważną rolę odgrywa czas doprowadzenia mostka do równowagi. Rezy- stancje mieszczące się w wąskim przedziale wartości mierzy się szybko, ale mniej dokładnie, uży- wając mostka niezrównoważonego. Miarą odchylenia od ustalonej wartości rezystancji jest wtedy wartość prądu mikroamperomierza (wyznaczana analitycznie z twierdzenia Thevenina).

Przykład wyznaczenia ogólnej zależności na podstawie twierdzenia Nortona

Układ równolegle połączonych źródeł napięciowych zostanie zastąpiony pojedynczym źródłem prą- dowym lub napięciowym:

Zgodnie z zależnością (4.39b), zastępczy prąd źródłowy jest równy prądowi zwarcia gałęzi ze- wnętrznej: Iźr = Iz. Prąd zwarcia Iz można wyznaczyć korzystając z zasady superpozycji:

∑

∑

=

=

⋅

=

=

=

n

k

k wk n

k zk z

E G

I I

1 1

Konduktancja wewnętrzna źródła zastępczego jest równa sumie konduktancji poszczególnych źró- deł: :

∑

=

= ⁿ

k wk

w G

G

1

Otrzymuje się zatem następujące parametry źródeł zastępczych:

∑

∑

=

⋅

= ⁿ

k wk

k n

k

k wk

źr R

E E G I

1 1

,

∑ ∑

=

=

=

= ⁿ

k wk

n

k wk

w G R

G

1 1

1 ; (4.43a’, a”)

∑

∑

=

=

⋅

=

= _n

k wk n

k

k wk

w źr

G E G G

E I

1

1 ,

∑

=

= _n

k wk w

w

G G R

1

1

1 . (4.43b’, b”)

Wzory (4.43b’, b”) odpowiadają wzorom (3.20a, b), otrzymanym w rozdz. 3. jako wynik prze- kształcania układu.

≡ ≡

E1 En

Rw1 Rwn

(G_w1) (G_wn)

U0

Rw

(G_w) E

U0

Rw

(Gw) U0

Iźr

E1 En

Rw1 Rwn

(G_w1) (G_wn) Iz

= +

Rw1

(Gw1) E1

Iz1

Rwn

(Gwn) En

Izn

Rw1 Rwn

(G_w1) (G_wn)

Rw

(G_w)

≡

...

...

...

....

....

....

Twierdzenie o wzajemności

Z równości elementów macierzy rezystancji oczkowych (4.22): R_jl = R_lj , gdzie: j, l – numery oczek, oraz elementów macierzy konduktancji węzłowych (4.26): Gjk = Gkj , gdzie: j, k – numery węzłów, wynikają równości konduktancji oraz rezystancji międzygałęziowych o zamienionych miejscami numerach gałęzi: Gjk = Gkj , Rjk = Rkj , gdzie: j, k – numery gałęzi (tzw. zewnętrznej i wewnętrznej).

Oznacza to, że: przy zmianie miej- sca dołączenia do obwodu jedyne- go źródła z gałęzi k-tej do j-tej – efekt prądowy od źródła napięcio- wego (rys. a), bądź napięciowy od źródła prądowego (rys. b), jest taki sam w gałęzi k-tej, jaki był wcze- śniej w j-tej.

Twierdzenie o kompensacji

Twierdzenie o kompensacji dotyczy zmian prądów i napięć w obwodzie, wywołanych zmianą rezy- stancji (konduktancji) jednej gałęzi. Mówi się tu o kompensacji zmian napięcia lub prądu tej gałęzi.

Napięciu na przyroście rezystancji ∆^Rk gałęzi z prądem I_k odpowiada źródłowe napięcie kompensu- jące ∆^Rk I_k (rys. a). Prądowi na przyroście konduktancji ∆^Gk gałęzi o napięciu U_k odpowiada źró- dłowy prąd kompensujący ∆^Gk Uk (rys. b). Na podstawie zasady superpozycji wykazuje się, że w obwodzie pasywnym, odpowiadającym liniowemu obwodowi aktywnemu: popłyną prądy przyro- stowe, gdy do k-tej gałęzi, w której wystąpił przyrost rezystancji ∆^Rk , zostanie włączone (szerego- wo) napięcie źródłowe ∆^Rk Ik o zwrocie przeciwnym do zwrotu prądu Ik (rys. a’), albo pojawią się napięcia przyrostowe, gdy do k-tej gałęzi, w której wystąpił przyrost konduktancji ∆^Gk , zostanie dołączony (równolegle) prąd źródłowy ∆^Gk U_k o zwrocie przeciwnym do zwrotu napięcia U_k (rys. b’).

Przykład. Wyznaczono zmiany wartości prądów dwóch gałęzi danego obwodu po zwiększeniu re- zystancji jednej z nich (o 0,5 ΩΩΩΩ), oraz zmiany wartości napięć – po zwiększeniu konduktancji (o 1 S).

Obwód z prądami Obwód z przyrostami Obwód z napięciami Obwód z przyrostami gałęzi: prądów gałęzi: gałęzi: napięć gałęzi:

układ ⇒

pasywny Ij

Ek Ik’=Ij układ

pasywny Ej’=Ek

układ ⇒

pasywny Uj

Iźr.k

układ pasywny

Uk’=Uj Iźr.j’=Iźr.k

a)

b)

1Ω (1,5Ω) 6V 2A (1,875A)

3A 1Ω 1Ω 3V

1A (0,75A)

1Ω

0,5V

–0,125A 1Ω

1Ω –0,25A

0,5ΩΩ ΩΩ

1S (2S) 6V

2V (2,25V)

3A

1S 1S

3V 1V

(0,75V) 1S

0,25V 1A

1S 1S –0,25 V

1S a)

b)

∆^Rk

∆Rk Ik 0

∆^Rk Ik

Ik

∆^Gk Uk

∆^Gk Uk

0

∆Gk Uk

a’)

b’)

= +

uk- ład ak- tyw-

∆Gk ny Uj +∆Uj

Uk +∆Uk

∆^{Gk Uj} Uk ∆^{Gk Uk uk-} ład

ak- tyw-

ny

∆Uk

∆^Gk ∆Uj

∆^{Gk Uk uk-} ład pa- syw-

ny

∆Rk układ aktywny

Ij +∆Ij

Ik +∆Ik

= +

∆Ij

∆^Rk Ik

∆Ik

∆Rk

układ aktywny

Ij

∆Rk Ik

Ik

∆Rk