II Kolokwium z Algebry, 17 I 2020
Punktacja: zadania I–II po 10pt, zadanie III za 12pt, ka˙zdy podpunkt z cze,´sci drugiej po 4pt.
Rozwia,zania zada´n I–III prosze,oddawa´c na oddzielnych kartkach.
Zadanie I.
Niech K be,dzie cia lem skonczonym, a f ∈ K[X] wielomianem o niezerowym wyrazie wolnym. Wykaza´c,
˙ze f dzieli Xn− 1 dla pewnego n.
Zadanie II.
Udowodni´c, ˙ze je˙zeli w pier´scieniu R dla ka˙zdego elementu x istnieje n ∈ N (zale˙zne od x ), n > 1 takie, ˙ze xn= x, to ka˙zdy idea l pierwszy w R jest maksymalny.
Zadanie III.
Niech K ⊃ Q be,dzie cia lem. M´owimy, ˙ze a ∈ K jest ca lkowity, gdy jest pierwiastkiem wielomianu postaci ao+ a1X + ... + an−1Xn−1+ Xn, ai∈Z. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli d ∈Z, d 6= 0, 1 i d bezkwadratowa, to zbi´or element´ow ca lkowitych cia la Q[√
d] jest r´owny:
Z[√
d] dla d ≡ 2, 3 (mod 4), Z[−1+
√ d
2 ] dla d ≡ 1 (mod4).
Cze
,´s´ c Druga
Prosze,poda´c kr´otkie uzasadnienie.
1 Zbada´c, czy poni˙zszy pier´scie´n ilorazowy jest cia lem
Z3[X]/(x3+ x2+ x + 1, x4− x2+ 1) .
1
2 Ile element´ow ma pier´scie´nZ[i]/(4 + 3i)? Czy ma dzielniki zera?
3 Uzasadni´c, ˙ze poni˙zszy uk lad kongruencji ma rozwia,zanie w pier´scieniuZ[i]:
a ≡ i mod 1 + 2i , a ≡ 1 mod 7 , a ≡ 1 + 2i mod 3.
4 Obliczy´c N W D(6 + 4√
−2, 8 − 2√
−2) ∈Z[√
−2].
2
5 Zbada´c, czy wielomian 2X8+ 22X3− 66X + 44 jest nierozk ladalny w pier´scieniuZ[X] i wQ[X]:
6 Czy 2 ∈Z[√
−3] jest elementem nierozk ladalnym, czy jest elementem pierwszym?
7 Znale´z´c idea ly maksymalne pier´scienia Z5[X]/(X3+ 3X2+ 2X + 1).
3
8 Znale´z´c wszystkie homomorfizmy pier´scienia Z[√
−5][X]/(X2+ 4) w pier´scie´n Z10.
9 Niech R =Z3[x]/(x3+ x2+ x + 1). Opisa´c grupe,automorfizm´ow R.
10 Niech I = (x7y3, x2− zy2) ⊂ C[x, y, z]. Przedstawi´c √
I jako cze,´s´c wsp´olna, sko´nczonej liczby ida l´ow pierwszych.
4
