Referat z Algebry I Zadanie 1.9

Krzysztof Lech, Stanisław Łaniewski

Referat z Algebry I Zadanie 1.9

Lemat: Każdą permutację da się zapisać w postaci iloczynu transpozycji.

Dowód: Wystarczy udowodnić, że dowolny cykl jest iloczynem transpozycji, bo dowolna permutacja jest złożeniem rozłącznych cykli. Rzeczywiście mamy: (a₁a₂...a_k) = (a₁a₂)(a₂a₃)...(a_k−1a_k).

Udowodnię teraz, że transpozycja (12) i cykl długości n (12...n) pozwoli mi wygenerować wszystkie transpozycje elementów stojących obok siebie. Niech σ = (1 2 . . . n − 1 n), φ = (1 2). Składając je ze sobą otrzymuję

σ⁻¹φσ = (1 n), ponieważ 1 → 2 → 1 → n,

z kolei n → 1 → 2 → 1,

a dowolny inny element a_k→ ak+1→ ak+1→ ak.

Analogicznie dla kolejnych otrzymuję σ⁻¹(1 n)σ = (n − 1 n), . . ., σ⁻¹(2 3)σ = (1 2).

W takim razie składając transpozycje φ i σ faktycznie mogę uzyskać wszystkie transpozycje elementów stojących obok siebie, czyli hσ, φi transpozycje {(1 2), (2 3), (3 4), . . . , (n − 1 n)}.

Pokażę teraz, że te transpozycje pozwolą nam wygenerować całe Σn. W tym celu udowodnię, że każdą transpozycję da się uzyskać z iloczynu transopozycji elementów stojących obok siebie. Weźmy transpozycję elementu (aiaj). Wtedy mogę

ją rozpisać jako (aia_j) = (a_j−1a_j)...(a_i+1a_i+2)(a_ia_i+1)(a_i+1a_i+2)...(a_j−1a_j) gdyż wtedy a_j → a_j−1→ a_j−2→ ... → a_i→ a_i→ ... → a_i,

a_i→ a_i→ ... → a_i→ a_i+1→ a_i+2→ ... → a_j,

a dowolny inny element ak→ ak → ... → ak→ ak+1→ ak+1→ ... → ak+1→ ak→ ak → ... → ak, bowiem patrząc od prawej strony transpozycje nie zmieniają elementu ak, aż dojdziemy do transpozycji (akak+1), która spowoduje, że ak→ ak+1. Kolejną transpozycją jest (ak−1ak), a więc nasz element ak+1 nie zmieni się miejscem. Następne transpozycje

aż do (aiai+1) nic nie zmieniają, gdyż indeksy maleją. Od tej permutacji transpozycje będą zmieniały miejscami kolejne elementy z wyższymi indeksami, które nie będą dotyczyć ak+1, aż do transpozycji (akak+1). To działanie spowoduje, że

1

a_k+1→ ak. Kolejna transpozycja to (a_k+1a_k+2), a więc nie zmieni się już pozycja elementu a_k. Indeksy w transpozycjach rosną, a więc już do końca przy każdej permutacji a_k → a_k.

Udowodniłem więc, że dowolną transpozycję mogę uzyskać z transpozycji elementów stojących obok siebie. Wcześniej pokazałem, że działania φ i σ pozwolają mi uzyskać transpozycję elementów stojących obok siebie. Zgodnie z lematem

każda permutacja rozkłada się na iloczyn transpozycji, więc Σn = hσ, φi.

Udowodnię teraz, że mając dowolną transpozycję i dowolny cykl długości p mogę wygenerować Σ_p, gdzie p jest liczbą pierwszą. Niech σ będzie dowolnym cyklem długości p, a φ dowolną transpozycją. Nazwijmy elementy w transpozycji 1, 2. Skoro cykl σ jest długości p, gdzie p jest liczbą pierwszą, to składając cykl σ ze sobą otrzymam cykle długości p. Przy

każdym złożeniu element pierwszy będzie przechodził na inny element - innymi słowy, działając σ i jej złożeniami na elemencie 1 otrzymam cały zbiór. W szczególności, istnieje takie k, że σ^k będzie cyklem, który przeniesie element 1 na

element 2 (pozostałe elementy nazwiemy po kolei 3, 4, ..., p). W takim razie {(12...p), (12)} = {φ, σ^k} ⊂ hσ, φi.

A na mocy powyższego dowodu, wystarczy to do wygenerowania całej grupy Σp.

Zauważmy, iż założenie, że p jest liczbą pierwszą jest istotne, bo inaczej składając cykl σ mogło by się tak zdarzyć, że zamiast otrzymać cykl długości p otrzymamy cykle rozłączne, których suma długości będzie p. W tym celu rozważmy

σ = (1234) i φ = (13), elementy Σ4 i niech G = hσ, φi.

Mamy σ²φ = (13)(24)(13) = (24) = (13)(13)(24) = φσ² i oczywiście σ²σ = σσ², zatem σ² należy do centum G, ale Σ4

ma trywialne centrum, skąd G 6= Σ4.

2