Zadania z algebry

Zadania z algebry¹

1. Jakiej mocy jest podalgebra generowana przez zbi´or mocy ℵ₀? A podalgebra gene- rowana przez zbi´or mocy C?

2. Jakiej mocy jest zbi´or wszystkich podalgebr algebry hN, ·i, gdzie “·” oznacza operacje_, mno˙zenia?

3. Ile parami nieizomorficznych podalgebr generowanych przez jeden element mo˙zna wskaza´c w algebrze liczb naturalnych z mno˙zeniem?

4.^∗ Ile parami nieizomorficznych podalgebr mo˙zna wskaza´c w algebrze liczb naturalnych z mno˙zeniem?

5. Czy zbi´or wszystkich podalgebr algebry hN, ·i jest dobrze ufundowany przez inkluzje?_, 6. (a) Ile parami nieizomorficznych podalgebr generowanych przez jeden element mo˙zna

wskaza´c w algebrze liczb naturalnych z dodawaniem?

(b)^∗ A ile nieizomorficznych podalgebr generowanych przez n element´ow mo˙zna wskaza´c w tej algebrze?

7. Wskaza´c przyk lady algebr, kt´ore maja dok ladnie 1, 2, 3, . . . , ℵ_, 0, C podalgebr.

8. Opisa´c podalgebre generowan_, a przez_, √

2 w algebrze hR, +, ·, 0, 1i.

9. Podaj przyk lad takiej algebry:

(a) kt´orej ka˙zdy niepusty podzbi´or jest podalgebra;_,

(b) ˙ze rodzina wszystkich podalgebr nie tworzy kraty zupe lnej;

(c) kt´ora jest izomorficzna z pewna swoj_, a podalgebr_, a w la´sciw_, a i takiej, kt´_, ora nie ma tej w lasno´sci;

(d) ˙ze ka˙zde dwie podalgebry generowane przez jeden element sa izomorficzne;_, 10. Niech A = hN × N, f^Ai, gdzie f^A(hm, ni) = hm, n + 1i. Przez P oznaczymy zbi´or

wszystkich podalgebr algebry A, a przez ρ — taka relacj_, e r´_, ownowa˙zno´sci w P, ˙ze B1ρB2 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy B1 i B2 sa izomorficzne._,

(a) Znale´z´c moc zbioru P;

(b) Znale´z´c moc zbioru P/ρ.

1Zadania sa zebrane przypadkowo, nie sprawdzone i bez jakiejkolwiek gwarancji poprawno´_, sci. Korzysta´c mo˙zna na w lasne ryzyko i odpowiedzialno´s´c. Cze´_,s´c zada´n jest pomys lu D. Walukiewicz, J. Tyszkiewicza, D. Niwi´nskiego i innych. Za poprawki dziekuj_, e Pani Magdzie Michalskiej i Panom Micha lowi Jaszczykowi,_, Tomkowi Jurkiewiczowi, Krzysztofowi Kulewskiemu, Micha lowi Parkole i Tomaszowi Weksejowi.

11. Niech A = hA, f₁^A, . . . , f_n^A, r^A₁, . . . , r_m^Ai, gdzie symbole f₁, . . . , f_n sa odpowiednio_, k₁, . . . , k_n-argumentowe. Rozpatrzmy takie przekszta lcenie F : P(A) → P(A):

F (B) = B ∪Sn i=1

→

fi(B^ki).

Pokaza´c, ˙ze to przekszta lcenie jest ciag le ze wzgl_, edu na uporz_, adkowanie przez inkluzj_, e,_, i ˙ze podstruktura generowana przez zbi´or pusty jest najmniejszym punktem sta lym tego przekszta lcenia. Podstruktura generowana przez dowolny zbi´or B te˙z jest naj- mniejszym punktem sta lym pewnego przekszta lcenia. Jakiego? Jak otrzyma´c te_, podstrukture jako sum_, e pewnego wst_, epuj_, acego ci_, agu zbior´_, ow?

12. M´owimy, ˙ze algebra jest lokalnie sko´nczona, je˙zeli ka˙zda jej sko´nczenie generowana podalgebra jest sko´nczona. Algebra jest jednostajnie lokalnie sko´nczona, je˙zeli dla dowolnego k istnieje takie n, ˙ze ka˙zda podalgebra generowana przez k element´ow jest mocy co najwy˙zej n.

(a) Wskaza´c przyk lad algebry, kt´ora jest lokalnie sko´nczona, ale nie jest jednostajnie lokalnie sko´nczona, cho´c ka˙zda podalgebra generowana przez 1 element ma mniej ni˙z 13 element´ow.

(b) Pokaza´c, ˙ze ka˙zda algebra Boole’a jest jednostajnie lokalnie sko´nczona.

13. Niech f : A → A i przypu´s´cmy, ˙ze B jest minimalna (ze wzgl_, edu na zawieranie)_, podalgebra w algebrze hA, f i. Pokaza´_, c, ˙ze jest to podalgebra sko´nczona. (Uwaga:

takie B nie zawsze istnieje.)

14. Jakiej mocy jest rodzina wszystkich podalgebr algebry hT, α, βi, gdzie T = {a, b}^∗ jest niesko´nczonym pe lnym drzewem binarnym, a operacje α i β sa okre´slone tak:_, α(w) = w · a, β(w) = w · b?

15. Niech A bedzie dowoln_, a algebr_, a, i niech B b_, edzie tak_, a podalgebr_, a algebry A, ˙ze_, pewien element a nie nale˙zy do B. Udowodni´c, ˙ze istnieje podalgebra C, spe lniajaca_, warunki a 6∈ C i B ⊆ C oraz maksymalna o tych w lasno´sciach.

16. Zbi´or s l´ow L ⊆ {a, b}^∗ jest niezale˙zny, je´sli ˙zadne s lowo w ∈ L nie nale˙zy do podal- gebry generowanej przez L − {w} w algebrze h{a, b}^∗, ·i. Pokaza´c, ˙ze dowolny zbi´or niezale˙zny mo˙ze by´c rozszerzony do maksymalnego zbioru niezale˙znego.

17. Je´sli D jest dobrze uporzadkowany, to okre´slamy w D operacj_, e s_, ^D jak nastepuje:_, je´sli d jest najwiekszym elementem, to s_, ^D(d) = d, w przeciwnym razie s^D(d) jest bezpo´srednim nastepnikiem d. Niech D = hD, s_, ^Di. Pokaza´c, ˙ze:

(a) Je´sli D jest nieprzeliczalny to D ma nieprzeliczalnie wiele parami roz lacznych_, podalgebr.

(b) Je´sli D = C, to w D jest 2^C podalgebr.

(c)^∗ Istnieje taki przeliczalny zbi´or D, ˙ze algebra D ma nieprzeliczalnie wiele podal- gebr.

18. Pokaza´c, ˙ze algebra permutacji zbioru {i : i < k} ze sk ladaniem jest generowana przez zbi´or transpozycji.

19. Czy obraz (przeciwobraz) podalgebry przy homomorfizmie musi by´c podalgebra?_, 20. Udowodni´c, ˙ze dla dowolnych homomorfizm´ow h₁, h₂ : A → B, zbi´or {a ∈ |A| | h₁(a) =

h₂(a)} jest podalgebra algebry A, je´sli tylko jest niepusty._,

21. Udowodni´c, ˙ze homomorfizm jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest silnym homomorfizmem i bijekcja._,

22. Poda´c przyk lad algebry A generowanej przez podzbi´or X oraz przyk lad przeksz- ta lcenia f : X → B, kt´ore nie rozszerza sie do homomorfizmu. Nast_, epnie poda´_, c taki przyk lad, w kt´orym zbi´or X jest minimalnym zbiorem generator´ow.

23. Udowodni´c, ˙ze struktury hP(R), ∪, ∩i i h{0, 1}^R, max, mini, gdzie:

max(f, g)(x) = max(f (x), g(x));

min(f, g)(x) = min(f (x), g(x)),

dla dowolnych funkcji f, g i dowolnego x, sa izomorficzne._,

24. Udowodni´c, ˙ze je´sli struktury A = hA, r^A, f^Ai i B = hB, r^B, f^Bi sa izomorficzne, to_, (a) f^A jest r´o˙znowarto´sciowa wtedy i tylko wtedy, gdy f^B jest r´o˙znowarto´sciowa;

(b) r^A jest porzadkiem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy r_, ^B jest porzadkiem linio-_, wym.

Poda´c inne przyk lady podobnych r´ownowa˙zno´sci.

25. Kt´ore z nastepuj_, acych struktur s_, a izomorficzne:_, (a) hN, +, 0i i hN, ·, 1i?

(b) hR, +, ·, 0, 1i i hP (N), ∪, ∩, ∅, Ni?

(c) hP₂, ⊥i i hP₃, ⊥i, gdzie P₂ i P₃ to odpowiednio zbiory wszystkich prostych w R² i w R³, a symbol ⊥ oznacza relacje prostopad lo´sci?_,

(d) hP2, ki i hP3, ki, gdzie P2 i P3 to odpowiednio zbiory wszystkich prostych w R² i w R³, a symbol k oznacza relacje r´_, ownoleg lo´sci?

(e) hP₂, ⊥i i hP₂, ki?

(f) hN − {0}, ·i i hN^N, +i, gdzie (f + g)(n) = f (n) + g(n)?

26. Dlaczego nastepuj_, ace struktury nie s_, a izomorficzne?_, (a) hQ, +i i hR, +i;

(b) hN, ≤i i h{m − ¹_n} | m, n ∈ N − {0}}, ≤i;

(c) hN, +i i hZ, +i;

(d) h{a, b}^∗, ·i i h{a, b, c}^∗, ·i;

27. Dlaczego nastepuj_, ace struktury nie s_, a izomorficzne?_, (a) hN, ≤i i hZ, ≤i;

(b) hQ, ≤i i hR, ≤i.

28. Algebry hR, +, −, 0i i hR+, ·,⁻¹, 1i sa izomorficzne._, 29. Ile jest homomorfizm´ow z hN, ≤i do hN, ≥i?

30. Udowodni´c, ˙ze r´o˙zniczkowanie jest homomorfizmem z C₁ do C z operacja dodawania_, i sta la zero._,

31. Ile jest homomorfizm´ow

”na” z algebry h{a, b}^∗, ·, εi do algebry hN, +, 0i?

32. Ile jest homomorfizm´ow z algebry h{a, b}^∗, ·, εi w siebie? Ile z nich zachowuje d lugo´s´c?

33. Opisa´c wszystkie ilorazy algebry h{a, b}^∗, ·, εi.

34. Niech A = hN, f i, gdzie N jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, a operacja f jest okre´slona tak: f (x) = x + 2, gdy x dzieli sie przez 3, oraz f (x) = x − 1, w przeciwnym_, przypadku.

(a) Ile jest wszystkich kongruencji w A?

(b) Ile mo˙zna znale´z´c r´o˙znych obraz´ow homomorficznych algebry A, je´sli uto˙zsamia´c ze soba te, kt´_, ore sa izomorficzne?_,

35. Niech A = hN, f i, gdzie N jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, a operacja f jest okre´slona tak: f (x) = (x + 1) mod 3.

(a) Opisa´c podalgebry tej algebry.

(b) Ile jest wszystkich kongruencji w A?

(c) Ile mo˙zna znale´z´c r´o˙znych obraz´ow homomorficznych algebry A, je´sli uto˙zsamia´c ze soba te, kt´_, ore sa izomorficzne?_,

36. Czy relacja ∼ w algebrze term´ow T_Σ okre´slona warunkiem:

t ∼ s wtedy i tylko wtedy, gdy S(t) = S(s), dla pewnego podstawienia S, jest kongruencja?_,

37. Czy to prawda, ˙ze dla ka˙zdej kongruencji ρ w A × B istnieje taka kongruencja ρ₁ w A i taka kongruencja ρ₂ w B, ˙ze ha, biρhc, di zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy aρ₁c i bρ₂d?, A na odwr´ot?

38. Niech v bedzie dowolnym warto´sciowaniem._, Opisa´c iloraz algebry term´ow przez jadro v (rozszerzonego na dowolne termy)._,

39. Niech A bedzie sko´_, nczonym zbiorem i niech f : { 0, 1 }^∗ × A → A bedzie dowoln_, a_, funkcja. Przyjmijmy, ˙ze w ∼_{, f} u wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego a ∈ A zachodzi f (w, a) = f (u, a). Czy ∼_f musi (mo˙ze) by´c kongruencja w algebrze s l´_, ow?

40. Poda´c przyk lad takiej algebry A, ˙ze:

(a) A jest izomorficzna ze swoim w lasnym ilorazem przez kongruencje r´_, o˙zna od_, identyczno´sci;

(b) A jest algebra Boole’a i spe lnia ten sam warunek ._,

41. Poda´c przyk lad takiej algebry A i r´o˙znych kongruencji r i s, ˙ze ilorazy A/r i A/s sa_, izomorficzne;

42. Zbada´c jakie kongruencje ma algebra liczb naturalnych z nastepnikiem i sta l_, a zero._, 43. Niech f i g bed_, a jednoargumentowymi symbolami funkcyjnymi i niech A = hA, f_, ^A, g^Ai

bedzie tak_, a algebr_, a, ˙ze f_, ^A◦ g^A = idA. Udowodni´c, ˙ze je´sli algebra B = hA, f^B, g^Bi jest obrazem homomorficznym algebry A to tak˙ze f^B ◦ g^B = id_B.

44. Pokaza´c, ˙ze (A/ρ)/ρ⁰ jest izomorficzne z pewnym A/ρ⁰⁰. Znale´z´c odp. homomorfizm.

45. Opisa´c wszystkie kongruencje w pier´scieniu liczb ca lkowitych i w ciele liczb rzeczy- wistych.

46. Jakiej mocy jest zbi´or wszystkich kongruencji algebry hN × N, f i, gdzie f (m, n) = (m + 1, n) dla dowolnych m, n?

47. Pokaza´c, ˙ze kongruencje tworza krat_, e zupe ln_, a._,

48. Udowodni´c, ˙ze istnienie homomorfizmu pomiedzy algebrami Herbranda (generowany-_, mi przez sta le) okre´sla quasiporzadek, kt´_, ory po podzieleniu przez odp. r´ownowa˙zno´s´c jest izomorficzny z krata kongruencji algebry term´_, ow sta lych.

49. Je´sli dla ka˙zdej algebry A istnieje co najwy˙zej jeden homomorfizm z A0 do A, to A0

jest algebra Herbranda (i na odwr´_, ot). Je´sli taki homomorfizm zawsze istnieje, to A₀ jest (izomorficzne z) algebra term´_, ow sta lych.

50. Niech f : A → B i g : A −→ C b^na ed_, a homomorfizmami. Udowodni´_, c, ˙ze ker(g) ⊆ ker(f ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homomorfizm h : C → B, ˙ze f = h ◦ g.

51. Niech B = hN⁺, ◦, 0i, gdzie operacja ◦ jest okre´slona tak:

(n₁, . . . , n_k) ◦ (p₁, . . . , p_m) = (n₁, . . . , n_k−1, n_k+ p₁, p₂, . . . , p_m).

Czy B jest p´o lgrupa woln_, a?_,

52. Rozpatrzmy algebre A = h(N × N)_, ⁺, ◦, h0, 0ii, w kt´orej operacja ◦ jest okre´slona tak:

(hn₁, m₁i · · · hn_k, m_ki) ◦ (hp₁, q₁i · · · hp_{`</sub>, q<sub>`}i) =

(hn₁, m₁i · · · hn_k−1, m_k−1ihn_k+ p₁, m_k+ q₁ihp₂, q₂i · · · hp_{`</sub>, q<sub>`}i).

(a) Udowodni´c, ˙ze A jest obrazem homomorficznym algebry h{a, b, c}^∗, ·, εi.

(b) Czy A jest p´o lgrupa woln_, a?_,

53. Czy je´sli h : A → A/_ρ jest homomorfizmem to ρ ⊆ ker(h)? A je´sli A jest algebra_, wolna w jakiej´s klasie algebr?_,

54. M´owimy, ˙ze algebra A = hA, f i jest algebra p_, etelkow_, a, gdy f jest jednoargumentow_, a_, operacja o nast_, epuj_, acej w lasno´sci: dla dowolnego a ∈ A istnieje taka (r´_, o˙zna od zera) liczba n ∈ N, ˙ze fⁿ(a) = a. Kt´ore z nastepuj_, acych stwierdze´_, n sa prawdziwe_, i dlaczego?

(a) Obraz homomorficzny algebry petelkowej jest zawsze algebr_, a p_, etelkow_, a._,

(b) Ka˙zda kongruencja w algebrze petelkowej jest albo relacj_, a totaln_, a albo relacj_, a_, identyczno´sciowa._,

(c) Produkt dw´och algebr petelkowych jest zawsze algebr_, a p_, etelkow_, a._,

(d) Produkt dw´och algebr petelkowych, z kt´_, orych ka˙zda jest generowana przez jeden element, jest zawsze generowany przez co najwy˙zej 2 elementy.

(e) Produkt dowolnej rodziny algebr petelkowych jest zawsze algebr_, a p_, etelkow_, a._, (f) W klasie wszystkich algebr petelkowych nie ma algebr wolnych._,

(g) Klasa wszystkich algebr petelkowych jest definiowalna r´_, owno´sciowo.

55. Jakiej mocy jest

(a) rodzina wszystkich podalgebr;

(b) zbi´or wszystkich kongruencji, algebry hN × N, f i, gdzie

f (m, n) =







h0, 0i, je´sli m = n = 0;

h0, n − 1i, je´sli m = 0 i n > 0;

hm − 1, ni, w przeciwnym przypadku.

56. Rozpatrzmy algebre A = hA, f i, w kt´_, orej

• A = (N − {0}) × N;

• f (n, k · n + i) = hn, k · n + i + 1i, dla k ∈ N, i < n − 1;

• f (n, k · n + n − 1) = hn, k · ni, dla k ∈ N.

Kt´ore z nastepuj_, acych stwierdze´_, n sa prawdziwe i dlaczego?_,

(a) Algebra A jest izomorficzna z w lasnym kwadratem kartezja´nskim A × A.

(b) Ka˙zdy obraz homomorficzny algebry A jest te˙z jej podalgebra (z dok ladno´sci_, a_, do izomorfizmu).

(c) Ka˙zda podalgebra algebry A jest te˙z jej obrazem homomorficznym.

57. Pokaza´c, ˙ze rzuty sa homomorfizmami._,

58. Pokaza´c, ˙ze dla dowolnej algebry C i dowolnych homomorfizm´ow f : C → A, g : C → B, istnieje dok ladnie jeden homomorfizm h : C → A × B, spe lniajacy warunki_, π₁◦ h = f i π₂◦ h = g.

59. Pokaza´c, ˙ze produktQ

n∈Nh{0, 1}, max, min, 0, 1i jest izomorficzny z hP (N), ∪, ∩, ∅, Ni.

60. Je´sli r, s — takie kongruencje w A, ˙ze r ∩ s = id, oraz (r ; s) = A², to A jest izomor- ficzna z produktem A/r × A/s. Nadto zachodzi twierdzenie odwrotne: czynniki sa_, zawsze izomorficzne z pewnymi ilorazami produktu.

61. Uog´olni´c poprzednie zadanie na dowolne produkty przy za lo˙zeniu, ˙ze T

i∈Iρ_i = id, oraz dla dowolnego ϕ : I → A istnieje takie a, ˙ze ϕ_iρ_ia dla wszystkich i.

62. Poda´c przyk lad algebry, kt´orej kwadrat kartezja´nski sk lada sie z jej izomorficznych_, kopii.

63. Poda´c przyk lad algebry A takiej, ˙ze dla dowolnych dw´och podalgebr B1, B2 ⊆ A ich produkt B₁× B₂ nie jest izomorficzny z ˙zadna podalgebr_, a A._,

64. Opisa´c wszystkie kongruencje, wszystkie podalgebry i kwadrat kartezja´nski dla alge- bry (zrobi´c rysunek):

(a) h{0, 1, 2, 3}, f i, gdzie f (i) = i + 1 mod 4, dla i = 1, . . . , 4;

(b) h{1, 2, 3, 4}, f i, gdzie f (i) = 1, dla i 6= 1, oraz f (1) = 2;

(c) h{1, 2, 3}, ∗i, gdzie i ∗ i = i oraz i ∗ j = k, dla i 6= j 6= k 6= i. Ta algebra jest wolna w pewnej klasie definiowalnej r´owno´sciowo. Jakiej?

65. Obliczy´c warto´s´c termu f (x, g(f (y, x))) w strukturach:

(a) A = h{a, b}^∗, f^A, g^Ai, gdzie f^A(w, v) = wv i g^A(w) = w^R, dla dowolnych w i v;

(b) B = h{a, b}^∗, f^B, g^Bi, gdzie f^B(w, v) to najd lu˙zszy wsp´olny prefiks w i v, oraz g^B(w) = tail (w), dla dowolnych w i v;

(c) C = h{a, b}^∗, f^C, g^Ci, gdzie f^C(w, v) = w i g^C(w) = aw, dla dowolnych w i v, przy takim warto´sciowaniu v, ˙ze v(x) = ba, v(y) = bba.

66. Obliczy´c warto´s´c termu (x + y) · (y − x) w strukturach:

hZ, •, +, −i, hP(N), ∩, ∪, −i, hN, ·, ], ∼i, gdzie n•m = 2n+m, n]m = |n−m|, n ∼ m = b n

m + 1c, przy takim warto´sciowaniu v,

˙ze v(x) = 3, v(y) = 7.

67. Obliczy´c warto´s´c termu (x · y) · c w strukturach:

hN, ·, 1i, hN, +, 0i, hN, ], 2i,

gdzie n]m = |n − m|, przy takim warto´sciowaniu v, ˙ze v(x) = 2 i v(y) = 3.

68. Zbada´c czy krata zbior´ow wypuk lych na p laszczy´znie jest dystrybutywna.

69. Czy homomorfizm porzadkowy krat (algebr Boole’a) jest homomorfizmem krat (al-_, gebr Boole’a)?

70. Czy obraz homomorficzny kraty dystrybutywnej musi by´c krata dystrybutywn_, a?_, 71. Rozpatrzmy relacje r w zbiorze P (R), okre´slon_, a nast_, epuj_, aco: A rB wtedy i tylko_,

wtedy gdy A i B sa r´_, ownoliczne. Czy relacja r jest kongruencja w algebrze Boole’a_, hP (R), ∪, ∩, −, R, ∅i? Je´sli tak, to opisa´c algebre ilorazow_, a._,

72. Pokaza´c, ˙ze je´sli wszystkie filtry w algebrze Boole’a sa g l´_, owne, to jest ona sko´nczona.

73. Scharakteryzowa´c kongruencje w algebrach Boole’a jako relacje zadane przez filtry na dwa r´ownowa˙zne sposoby:

(a) aρb wtedy i tylko wtedy gdy (a ∪ −b) ∩ (b ∪ −a) ∈ F ;

(b) aρb wtedy i tylko wtedy gdy istnieje f ∈ F , takie ˙ze a ∩ f = b ∩ f .

74. Pokaza´c, ˙ze je´sli ∼ jest kongruencja w algebrze Boole’a B, to F = [1]_{, ∼} jest filtrem, oraz a ∼ b zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (a ∪ −b) ∩ (b ∪ −a) ∈ F .

75. Przy oznaczeniach z poprzedniego zadania pokaza´c, ˙ze filtr F jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy B/_∼ jest dwuelementowa.

76. Niech B bedzie algebr_, a Boole’a. Dla dowolnego a ∈ B przez R_, ^a oznaczymy rodzine_, wszystkich filtr´ow maksymalnych, do kt´orych nale˙zy a. Udowodni´c, ˙ze dla dowol- nych a, b:

(a) R^a∪b= R^a∪ R^b; (b) R^a∩b= R^a∩ R^b; (c) R⁰ = ∅ i R¹ = F ; (d) R^−a= F − R^a,

gdzie F oznacza rodzine wszystkich filtr´_, ow maksymalnych w B. Wywnioskowa´c stad,_,

˙ze algebra B jest izomorficzna z pewna podalgebr_, a algebry P(F )._,

77. Udowodni´c, ˙ze Z × Z z dodawaniem po wsp´o lrzednych jest woln_, a grup_, a abelow_, a_, o dw´och generatorach.

78. Opisa´c kraty wolne o jednym i dw´och generatorach. Czy krata wolna o trzech gene- ratorach jest dystrybutywna?

79. Udowodni´c, ˙ze dwie algebry wolne w tej samej klasie i o tej samej liczbie wolnych generator´ow musza by´_, c izomorficzne.

80. Pokaza´c, ˙ze P H(K) ⊆ HP (K), P S(K) ⊆ SP (K), oraz SH(K) ⊆ HS(K), gdzie P (K), S(K) i P (K) oznacza odpowiednio klase wszystkich produkt´_, ow, podalgebr i obraz´ow homomorficznych algebr z klasy K. Stad HSP (HSP (K)) = HSP (K)._,

81. Pokaza´c, ˙ze je´sli A jest algebra woln_, a w klasie K to jest te˙z woln_, a w klasie HSP (K)._, 82. Pokaza´c, ˙ze nie zawsze zachodza inkluzje_,

(a) HP (K) ⊆ P H(K);

(b) SP (K) ⊆ P S(K);

(c) HS(K) ⊆ SH(K).

83. Jaki jest zwiazek pomi_, edzy K i Mod(Eq(K)), a jaki pomi_, edzy E i Eq(Mod(E))?_, Kiedy zachodza r´_, owno´sci?

84. Czy algebra hP (N), ∪, ∩i jest krata woln_, a?_,

85. Pokaza´c, ˙ze aksjomaty grup sa wzajemnie niezale˙zne._,

86. Podaj przyk lad r´owno´sci prawdziwej i nieprawdziwej w algebrze (a) hP (N), ∪, ∩i;

(b) hN, ·, 1i;

(c) hN, +, 0i.

87. Czy algebra hN, ·, 1i jest p´o lgrupa woln_, a? A woln_, a p´_, o lgrupa abelow_, a?_,

88. Algebry hN − {0}, ·, 1i i hN, +, 0i sa wolne w pewnej r´_, owno´sciowo definiowalnej klasie algebr. Jakiej? Wska˙z ich wolne generatory. Opisz algebre woln_, a w tej samej klasie_, o dw´och wolnych generatorach.

89. Czy klasa wszystkich lokalnie sko´nczonych (zob. zadanie 12) algebr sygnatury Σ jest definiowalna r´owno´sciowo?

90. W algebrze term´ow T (1) dla jezyka z jedn_, a operacj_, a unarn_, a definiujemy:_,

t ≤ t⁰ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje automorfizm h algebry T (1), taki ˙ze h(t) = t⁰ Czy to jest cze´sciowy (liniowy, dobry) porz_, adek? Co si_, e zmieni dla algebry T (2)?_,

91. Scharakteryzowa´c te sko´nczone algebry Boole’a, kt´ore sa algebrami wolnymi._,

92. Niech E bedzie takim zbiorem r´_, owna´n, ˙ze (t₁ = t₂) 6∈ Con(E). Istnieje maksymalny zbi´or E⁰ taki, ˙ze E ⊆ E⁰ oraz (t₁ = t₂) 6∈ Con(E⁰)

93. Je´sli rozmaito´s´c ma algebre co najmniej 2-elementow_, a, to ma niesko´_, nczona, a je´sli_, ma niesko´nczona to ma przeliczaln_, a._,

94. Czy algebra A z zadania 35 jest wolna w klasie zdefiniowanej przez r´ownanie

”f (f (f (f (x)))) = f (x)”?

95. Dana sygnatura z dwiema operacjami unarnymi a i b. Rozwa˙zamy trzy algebry.

(a) zbi´or {1}^∗ z operacjami a(x) = 1x, b(x) = 1x;

(b) zbi´or {1, 2}^∗ z operacjami a(x) = 1x, b(x) = 2x;

(c) zbi´or {1, 2, 3}^∗ z operacjami a(x) = 1x, b(x) = 2x.

W kt´orych z nich prawdziwe sa te same r´_, ownania?

96.^∗ Czy mo˙zliwe, aby ta sama algebra by la wolna w pewnej klasie K z dwoma r´o˙znymi zbiorami wolnych generator´ow

(a) tej samej mocy?

(b) r´o˙znej mocy?

97. Opisa´c algebre woln_, a o 2 generatorach w klasie definiowanej r´_, owno´sciami (x · y) · z = x · (y · z), x · x = x.

98. Poda´c przyk lad klasy K, algebry A wolnej w K i takiego r´ownania t₁ = t₂, kt´ore jest prawdziwe w A, ale nie w K.

99. Algebra A jest algebra woln_, a w klasie K o czterech wolnych generatorach. Udowodni´_, c,

˙ze je´sli F V (t₁) ∪ F V (t₂) ⊆ {x₁, x₂, x₃}, oraz A |= t₁ = t₂ to K |= t₁ = t₂.

100. Sygnatura Σ sk lada sie z dw´_, och symboli sta lych a i b oraz jednego dwuargumentowego symbolu funkcyjnego f . Klasa K algebr sygnatury Σ jest okre´slona r´ownaniami f (f (x, y), z) = f (x, f (y, z)) i f (a, b) = f (b, a). Czy K |= f (x, y) = f (y, x)? A czy to r´ownanie jest prawdziwe w algebrze poczatkowej w K?_,

101. Rozwa˙zamy trzy algebry O = hO, ⊕i, T = hT, ⊕i i K = hK, ⊕i, gdzie zbiory O, T i K to odpowiednio odcinek, tr´ojkat i kwadrat. Operacja ⊕ jest zawsze okre´slona tak_, samo: A ⊕ B to ´srodek odcinka AB.

(a) Udowodni´c, ˙ze ka˙zdy wypuk ly podzbi´or zbioru T jest podalgebra w T . Czy_, wszystkie podalgebry sa wypuk le?_,

(b) Czy algebra O jest izomorficzna z jakim´s ilorazem algebry T ?

(c) Udowodni´c, ˙ze HSP ({O}) = HSP ({T }) = HSP ({K}).

(d) Niech W bedzie algebr_, a woln_, a w klasie HSP ({O}) o dw´_, och wolnych genera- torach. Udowodni´c, ˙ze W jest niesko´nczona.

(e) Udowodni´c, ˙ze w algebrach O, T i K prawdziwe sa te same r´_, ownania.

(f) Z cze´sci (101e) wywnioskowa´_, c, ˙ze odcinki lacz_, ace po lowy przeciwleg lych bok´_, ow dowolnego czworokata dziel_, a si_, e nawzajem na po lowy._,

(g) Udowodni´c, ˙ze ˙zadne dwie spo´sr´od algebr O, T i K nie sa izomorficzne._,

102. Symbol funkcyjny f jest dwuargumentowy. Termy t_n, dla n > 0, sa zdefiniowane_, tak: t₁ = f (x₁, x₀), t_n+1 = f (x_n+1, t_n). Oczywi´scie F V (t_n) = {x₀, . . . , x_n}. Przez Γ_m oznaczymy zbi´or wszystkich r´owna´n postaci

”t_n = x₀” dla n ≥ m. M´owimy, ˙ze algebra A sygnatury Σ jest fajna, je´sli A |= t_n = x₀ dla pewnego n > 0. Natomiast algebra A jest lepsza, gdy A |= Γ_m dla pewnego m > 0.

(a) Kt´ore z r´owno´sci f (x, y) = f (z, y), f (x, y) = f (z, u), f (x, y) = y sa prawdziwe_, w ka˙zdej fajnej algebrze? A kt´ore w ka˙zdej lepszej?

(b) Czy klasa algebr fajnych jest definiowalna r´owno´sciowo? A klasa algebr lep- szych?

(c) Czy istnieje takie zdanie pierwszego rzedu ϕ, ˙ze A |= ϕ zachodzi wtedy i tylko_, wtedy gdy A jest algebra fajn_, a? A jak jest w przypadku algebr lepszych?_, (d) Ile element´ow ma algebra wolna o trzech wolnych generatorach w klasie algebr

lepszych?

(e) Czy ka˙zda relacja r´ownowa˙zno´sci w algebrze fajnej jest w tej algebrze kongru- encja? A jak jest w przypadku algebr lepszych?_,

Rozwiazania i wskaz´_, owki do niekt´orych zada´n

Zadanie 4. Wskaz´owka: Zrobi´c zadanie 25f.

Zadanie 52a. Wskaz´owka: znale´z´c trzy generatory.

Zadanie 54. Ka˙zda algebra petelkowa sk lada si_, e z_,

”petli”, czyli roz l_, acznych podalgebr_, postaci {a₀, . . . , a_n−1}, gdzie f (a_i) = a_i+1 dla i < n − 1, oraz f (a_n−1) = a₀.

1. Tak. Niech hA, f i bedzie algebr_, a p_, etelkow_, a. Je´sli h : hA, f i_, −→ hB, gi jest homo-^na morfizmem, oraz fⁿ(a) = a, to oczywi´scie gⁿ(h(a)) = h(fⁿ(a)) = h(a). Ponadto ka˙zdy element B jest postaci f (a), dla pewnego a ∈ A.

2. Nie. Niech np. A = {0, . . . , 5}, oraz f (i) = i + 1 mod 6, dla dowolnego i. Relacja przystawania modulo 3 jest kongruencja w algebrze hA, f i._,

3. Tak. Niech hA, f i i hB, gi bed_, a algebrami p_, etelkowymi. Ich iloczyn kartezja´_, nski to algebra hA×B, ϕi, w kt´orej ϕ(a, b) = hf (a), g(b)i. Je´sli ha, bi ∈ A×B, to dla pewnych n, m zachodzi fⁿ(a) = a i g^m(b) = b. Jesli k = NWW (m, n) to ϕ^k(a, b) = ha, bi.

4. Nie. Produkt petli rozmiaru 6 i 15 sk lada si_, e z 3 roz l_, acznych p_, etli._,

5. Nie. Niech A_n= {0, . . . , n − 1} i niech f_n(i) = i + 1 mod n, dla i ∈ A_n. Produktem algebr hA_n, f_ni jest algebra hQ

n∈N−{0}A_n, ϕi, w kt´orej ϕ(α)(n) = α(n) + 1 mod n dla dowolnego α ∈ Q

n∈N−{0}A_n. Dla ustalenia uwagi niech α bedzie stale r´_, owna zeru.

Wtedy dla m > n zachodzi ϕⁿ(α)(m) = n 6= 0, a wiec ϕⁿ(α) 6= α. A wiec nasz_, produkt nie jest algebra p_, etelkow_, a._,

6. Tak. Przypu´s´cmy, ˙ze algebra hA, f i jest wolna w klasie algebr petelkowych, i niech_, a ∈ A bedzie takie, ˙ze f_, ⁿ(a) = a. Je´sli hB, gi jest pojedyncza p_, etl_, a rozmiaru_, wiekszego od n, to nie istnieje ˙zaden homomorfizm z hA, f i do hB, gi._,

7. Nie. Wynika to z poprzedniej cze´sci, bo klasy definiowalne r´_, owno´sciowo maja algebry_, wolne. Inne rozwiazanie wynika z cze´sci (e): ta klasa nie jest zamkni_, eta ze wzgl_, edu_, na produkty.

Zadanie 55. Niech A = {h0, ni | n ∈ N} oraz Bn = {hm, ni | m ∈ N}.

(a) Oczywi´scie ka˙zda podalgebra jest podzbiorem zbioru N × N, a wiec jest ich co naj-_, wy˙zej C. Ponadto, dla dowolnego P ⊆ N, zbi´or ZP = A ∪S{Bn | n ∈ P } jest podalgebra algebry hN × N, f i. Mamy wi_, ec dok ladnie C podalgebr._,

(b) Niech P ⊆ N i niech hP : N × N −→ Z^na _P (gdzie Z_P jest jak w cze´sci (a)) b_, edzie_, okre´slone tak:

h(m, n) = hm, ni, je´sli n ∈ P ;

h0, n + mi, w przeciwnym przypadku.

Przekszta lcenie hP jest homomorfizmem. Co wiecej, dla r´_, o˙znych P , jadra homo-_, morfizm´ow h_P sa r´_, o˙zne.² Istotnie: je´sli np. n ∈ P − Q to h_Q(1, n) = h_Q(0, n + 1), ale h_P(1, n) 6= h_P(0, n + 1). Mamy wiec continuum r´_, o˙znych kongruencji. Podobnie jak w punkcie (a), ograniczenie z g´ory jest oczywiste, a wiec moc zbioru wszystkich_, kongruencji jest r´owna C.

Zadanie 56. Nasza algebra jest algebra p_, etelkow_, a (zob. zadanie 54), przy czym liczba p_, etli_, ka˙zdego mo˙zliwego rozmiaru n jest niesko´nczona. Zatem ka˙zda przeliczalna algebra petel-_, kowa jest podalgebra algebry A. Ka˙zdy obraz homomorficzny algebry A jest przeliczaln_, a_, algebra p_, etelkow_, a, wi_, ec stwierdzenie (b) jest prawdziwe._,

Podobnie iloczyn kartezja´nski A × A jest algebra p_, etelkow_, a i te˙z ma niesko´_, nczenie wiele petli ka˙zdego rozmiaru, wi_, ec stwierdzenie (a) jest prawdziwe._,

Natomiast stwierdzenie (c) nie jest prawdziwe, bo na przyk lad podalgebra z lo˙zona z ele- ment´ow h3, 0i, h3, 1i, h3, 2i nie jest obrazem homomorficznym A. Gdyby bowiem h by lo odpowiednim homomorfizmem, to mieliby´smy f (f (h(2, 0))) = h(f (f (2, 0))) = (2, 0) a to nie mo˙ze zaj´s´c w trzyelementowej petli._,

Zadanie 64c. Jest to algebra wolna (o dw´och wolnych generatorach) w klasie zadanej przez r´ownania x ∗ x = x, x ∗ y = y ∗ x, x ∗ (y ∗ x) = y.

Zadanie 82. Cze´s´_, c 1: Dowolny zbi´or potegowy jest izomorficzny z produktem dwuelemen-_, towych algebr Boole’a i ma iloraz, kt´ory nie jest zbiorem potegowym (nie jest atomowy)._, Natomiast ilorazy algebr dwuelementowych sa trywialne wi_, ec ich produkty s_, a atomowe._, Cze´s´_, c 2: Podalgebra produktu hN, si × hN, si z lo˙zona z dw´och ga lezi sama nie jest produk-_, tem podalgebr.

Cze´s´_, c 3: Cia lo Z3 jest obrazem podalgebry Z cia la R, ale nie jest podalgebra ˙zadnego_, ilorazu, bo idea ly sa tylko trywialne._,

Zadanie 89. Niech A_n bedzie_,

”petl_, a” rozmiaru n + 1. Wtedy produkt_, Q

n∈NA_n nie jest lokalnie sko´nczony, a nawet ka˙zdy jego element generuje niesko´nczona podalgebr_, e. Zatem_, klasa algebr lokalnie sko´nczonych nie jest zamknieta ze wzgl_, edu na produkty i nie mo˙ze_, by´c definiowalna r´owno´sciowo.

Zadanie 91. Wskaz´owka: Dla 3 generator´ow narysowa´c 3 k´o lka.

Zadanie 93. Niesko´nczona, bo jest zamkni_, eta ze wzgl_, edu na produkty, przeliczaln_, a, bo jest_, zamknieta ze wzgl_, edu na podalgebry._,

Zadanie 95. W drugiej i trzeciej.

2Mo˙zna powiedzie´c wiecej: obrazy homomorfizm´ow hP i hQ nie sa nawet izomorficzne._,

Zadanie 97. Ta algebra ma wszystkiego 6 element´ow: a, b, ab, ba, aba i bab.

Zadanie 98. P´o lgrupa wolna o jednym generatorze (algebra s l´ow jednoliterowych) jest abe- lowa (tj. prawdziwe jest w niej r´ownanie x · y = y · x. Podobnie, je´sli K jest definiowana r´owno´sciami f (x, x, y) = x, f (y, x, x) = x i f (x, y, x) = x to algebra wolna o dw´och generatorach jest dwuelementowa i zachodzi w niej warunek f (x, y, z) = f (y, x, z).

Zadanie 99. Niech a₁, a₂, a₃, a₄ bed_, a wolnymi generatorami algebry A. Za l´_, o˙zmy, ˙ze B ∈ K i ˙ze w jest warto´sciowaniem w B. Przyporzadkowanie zadane warunkami h(a_{, i}) = w(x_i) dla i = 1, 2, 3 oraz h(a₄) = x₁ rozszerza sie do homomorfizmu h : A → B. Niech v b_, edzie_, takim warto´sciowaniem w A przy kt´orym v(x_i) = a_i dla i = 1, 2, 3. Je´sli teraz F V (t) ⊆ {x₁, x₂, x₃}, to w(t) = h(v(t)), co pokazujemy przez indukcje ze wzgl_, edu na d lugo´s´_, c termu t:

Dla zmiennych r´owno´s´c wynika wprost z za lo˙zenia. Je´sli t = f (u₁, . . . , u_n) to w(t) = f^B(w(u₁), . . . , w(u_n)) = f^B(h(v(u₁)), . . . , h(v(u_n))) = h(f^A(v(u₁)), . . . , f^A(v(u_n))) =

= h(v(f (u₁, . . . , u_n))) = h(v(t)).

A zatem w(t₁) = h(v(t₁)) = h(v(t₂)) = w(t₂). Stad B, w |= t_{, 1} = t₂.

Zadanie 101. 101a. Je´sli podzbi´or P jest wypuk ly to odcinek lacz_, acy dwa punkty z P_, jest zawarty w P . Tym bardziej wiec ´srodek tego odcinka nale˙zy do P . Ale podalgebra_, generowana przez dwa r´o˙zne punkty nie jest wypuk la, bo jest przeliczalna.

101b. Tak. Rzutowanie tr´ojkata na odcinek zachowuje operacj_, e ⊕, jest wi_, ec homomor-_, fizmem. A zatem O jest izomorficzne z ilorazem T przez jadro tego homomorfizmu._, 101c. Z cze´sci (101b) wynika, ˙ze O ∈ H({T }) a st_, ad HSP ({O}) ⊆ HSP ({T }). Dalej_, mamy T ∈ S({K}), bo tr´ojkat T jest podobny do pewnego tr´_, ojkata zawartego w K._, (Podobie´nstwo zachowuje ´srodki odcink´ow, wiec jest izomorfizmem). St_, ad HSP ({T }) ⊆_, HSP ({K}). Wreszcie kwadrat jest produktem dw´och odcink´ow, wiec K ∈ P ({O}) i mamy_, te˙z HSP ({K}) ⊆ HSP ({O}).

101d. Do naszej klasy nale˙zy odcinek (0, 1) z operacja x ⊕ x_, ⁰ = ¹₂(x + x⁰) (jest izomorficzny z O). Je´sli generatorom algebry wolnej przyporzadkujemy liczby 0 i 1 to obrazem homo-_, morfizmu rozszerzajacego to przyporz_, adkowanie jest ta w la´snie niesko´_, nczona podalgebra.

A wiec algebra wolna te˙z musi by´_, c niesko´nczona.

101e. Nale˙zy skorzysta´c z cze´sci (101c)._,

101f. Odcinek O jest izomorficzny z przedzia lem (0, 1), gdzie operacja ⊕ to ´srednia aryt- metyczna. Zatem O |= (x ⊕ y) ⊕ (z ⊕ v) = (x ⊕ v) ⊕ (y ⊕ z). Wybierzmy teraz kwadrat K tak, aby ca ly nasz czworokat by l w nim zawarty. Teza wynika st_, ad, ˙ze w K powy˙zsze_, r´ownanie te˙z jest prawdziwe.

101g. W algebrze O sa dwa takie punkty C, kt´_, ore nie sa postaci A ⊕ B dla A, B ∈ O,_, A, B 6= C. W algebrze T sa takie trzy, a w K cztery._,

Zadanie 102.

Cze´_,s´c 102a: Warto´s´c termu t_nprzy warto´sciowaniu {a_n/x_n, . . . , a₀/x₀} bedziemy dla uprosz-_, czenia zapisywa´c po prostu jako t_n(a_n, . . . , a₀).

Poka˙zemy najpierw, ˙ze w algebrach fajnych prawdziwe jest r´ownanie f (x, y) = f (z, y), tj., ˙ze operacja f zale˙zy tylko od drugiego argumentu. Za l´o˙zmy, ˙ze w algebrze A prawdziwe jest r´ownanie t_n = x₀. Wtedy, dla dowolnych a₀, . . . , a_n:

a0 = tn(an, . . . , a0) = tn−1(an, . . . , f (a1, a0)) = f (an, tn−1(an−1, . . . , a0)).

Zatem f (a⁰₁, a₀) = f (a⁰₁, t_n(a_n, . . . , a₁, a₀)) = t_n(a⁰₁, a_n, . . . , a₂, f (a₁, a₀)) = f (a₁, a₀), dla dowolnych a₁, a⁰₁.

Pozosta le dwa r´ownania nie sa prawdziwe na przyk lad w algebrze o elementach 0, 1 i 2,_, w kt´orej f (a, b) = (b + 1) mod 3.

Natomiast w algebrach lepszych prawdziwe jest r´ownanie f (x, y) = y, bo dla dostatecznie du˙zego n mamy a₀ = t_n+1(a_n, . . . , a₀) = t_n(a_n, . . . , f (a₁, a₀)) = f (a₁, a₀). Oznacza to, ˙ze algebry lepsze to dok ladnie te algebry, w kt´orych f jest rzutowaniem na druga wsp´_, o lrzedn_, a._, (Rzutowanie spe lnia definicje dla m = 1.) Ale rzutowanie na og´_, o l nie jest funkcja sta l_, a,_, wiec r´_, ownanie f (x, y) = f (z, u) nie jest prawdziwe w algebrach lepszych.

Cze´_,s´c 102b: Z powy˙zszego wynika, ˙ze klasa algebr lepszych jest definiowalna r´ownaniem f (x, y) = y. Natomiast klasa algebr fajnych nie jest definiowalna r´owno´sciowo, bo nie jest zamknieta ze wzgl_, edu na produkty. Rozpatrzmy np. algebry A_{, n} = hA_n, f_ni, gdzie A_n = {0, . . . , n} oraz f_n(a, b) = (b + 1) mod n. Wtedy produkt Π_n∈NA_n nie jest fajny.

Ostatnia zmiana 25 sierpnia 2005 o godzinie 13: 06.