Matematyka rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy Konwersatorium 1. Własności funkcji

Konwersatorium 1. Własności funkcji (1) Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem:

(a) y = x²− 2x + 5 (b) y = _x+4¹

(c) y = ^√x−2

x+1

(2) Podać zbiór wartości funkcji:

(a) y = 2x − 3, x ∈ [2, 5) (b) y = x²+ 1, x ∈ [−1, 4]

(c) y = _x−1¹ , x ∈ [3, 6]

(3) Stwierdzić, czy dana funkcja jest różnowartościowa:

(a) y = −x + 2 (b) y = x², x ∈ [0, 3]

(c) y = x², x ∈ [−1, 1]

(4) Wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej do danej:

(a) y = 2x − 1

(b) y = 3x²− 4, x ∈ [1, 4]

(c) y =√

x + 2, x ∈ [−2, +∞) (5) Naszkicować wykres funkcji:

(a) y = −2x + 7 (b) y = x²+ x − 1

(c) y =√ x − 1 (d) y = |2x − 4|

(e) y = |x²− 9|

Konwersatorium 2. Funkcje elementarne (1) Rozwiązać równanie:

(a) x²− 5x + 6 = 0 (b) x³− 1 = 0

(c) x⁴− 4 = 0

(d) (x²− 1)(x²− 4x + 4) = 0 (e) _(x^x₂²_+1)(x−2)^−3x+2 = 0

(2) Rozwiązać nierówność:

(a) −x²− 4x + 5 ¬ 0 (b) ^2x−1_3x+2 > 0

(c) x³− 2x²+ x − 2 < 0

(d) (x²− 7x + 6)(x²+ 2)(x²− 5x) ­ 0 (e) ^x_−x^2+5x+62+4x > 0

(3) Rozwiązać równanie lub nierówność wykładniczą:

(a) 4^x= 32 (b) 

√1 3

x

= 9 (c) 4^x− 6 · 2^x+ 8 = 0 (d) 3^x¬ 81

(e) ¹₂
2x−3

= 8

(4) Rozwiązać równanie lub nierówność logarytmiczną:

(a) log₂x = 2√ 2 (b) log₂(log₃x) = 0

(c) log(x²− 5x + 7) = 0 (d) log₃2x + 1 ¬ 2

(e) log1

2x²− 4x + 4 ­ −2

(5) Rozwiązać równanie lub nierówność trygonometryczną:

(a) sin x = ¹₂ (b) cos x = −

√2 2

(c) tg 2x =√ 3 (d) sin 3x ­ 0

(e) cos x <¹₂

Konwersatorium 3. Ciągi i szeregi liczbowe (1) Obliczyć granicę ciągu:

(a) an =_2n+3ⁿ⁻² (b) an =_4n3ⁿ−2n+1²⁺³

(c) a_n =_4n+5³ⁿ² (d) a_n =^{√ n}

4n²+1

(e) an =²₃ⁿn⁺³+1ⁿ

(f) an = 2n −√

4n²+ 2n (g) a_n = √ⁿ

2ⁿ+ 3ⁿ (h) a_n =^{sin n}_n

(i) a_n =⁽⁻¹⁾_n2+1ⁿ (j) a_n = log_10nⁿ₂²_+6n

(2) Stwierdzić, czy dany szereg jest zbieżny:

(a) Σ^∞_n=1n2¹₊₁ (b) Σ^∞_n=1¹⁰_n!

(c) Σ^∞_n=14ⁿn

(d) Σ^∞_n=14n3ⁿ+2n^{3 2}

(e) Σ^∞_n=12n+1¹

Konwersatorium 4. Granica funkcji (1) Obliczyć granicę funkcji:

(a)

x→2lim x³− 1

x − 1 (b)

lim

x→1

x³− 1 x − 1 (c)

x→+∞lim

x²− 3x + 1 2x²− 4x + 5 (d)

x→−∞lim



x³− 2x + 1 + 1 x



(e)

lim

x→1⁻

1

x − 1 , lim

x→1⁺

1 x − 1 (f)

lim

x→2⁻

x

x²− 4 , lim

x→−2⁻

x x²− 4 (g)

x→0lim sin 2x sin 3x (h)

x→0lim tg 2x

5x (i)

x→5lim

√x − 1 − 2

x − 5 (j)

lim

x→0⁻2^x1 , lim

x→0⁺2^x1

Konwersatorium 5. Ciągłość funkcji (1) Wykazać, że następujące funkcje są ciągłe:

(a) y = sin x (b) y =√

x (c) y = |x|

(2) Sprawdzić, czy dana funkcja jest ciągła:

(a)

y =

 2x + 1 dla x < 1

−x + 5 dla x ­ 1 (b)

y =

 e^x dla x ¬ 0 x²+ x + 1 dla x > 0 (c)

y =

 _x²₋₁

x−1 dla x 6= 1 3 dla x = 1

(3) Znaleźć wszystkie takie wartości parametru a, aby dana funkcja była ciągła:

(a)

y =

 x² dla x < 0 a − x² dla x ­ 0 (b)

y =

 sin x dla x ∈ [0, π]

2 cos x + a dla x ∈ (π, 2π]

(c)

y =







ae^x dla x < 0 x²− a dla 0 ¬ x < 1 ln x dla x ­ 1

Konwersatorium 6. Pochodna funkcji (1) Obliczyć pochodne następujacych funkcji:

(a)

y = 3x²−√ x + 3

x³ (b)

y = x tg x (c)

y = 2x²ln x − 3e^xarc tg x (d)

y =x + 1 sin x (e)

y = x ln x x²+ 1 (f)

y =p x²− 1 (g)

y = sin 3x + cos 3x (h)

y = tg²x³ (i)

y = ⁴ r

sin1 x (j)

y = ln x +p

x²+ 1 (k)

y = arc sin(x²+ 1) (l)

y =

 x²sin¹_x dla x 6= 0

0 dla x = 0

Konwersatorium

7. Monotoniczność i ekstrema funkcji (1) Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji:

(a) y = x³− 12x + 5 (b) y = x − e^x

(c) y =√ 2x − x² (d) y = cos x − x

(e) y = _{ln x}^x

(2) Wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji:

(a) y = 2x³− 3x² (b) y = _x2^4x+4

(c) y = x − ln(1 + x) (d) y = x²e^−x

(e) y = 3x + tg x

(3) Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą dla następujących funkcji:

(a) y = x⁴− 2x²+ 5, x ∈ [−2, 2]

(b) y = ^x−1_x+1, x ∈ [0, 4]

(c) y = x − 2 ln x, x ∈ [1, e]

(d) y =√

100 − x², x ∈ [−6, 8]

(4) Wyznaczyć asymptoty wykresów następujących funkcji:

(a) y = ^3−x_2−x² (b) y = xe^−x

(c) y = ln(4 − x²)

(5) Korzystając z reguły de l’Hospitala obliczyć granice:

(a)

x→1lim

x²− 3x + 2 x − 1 (b)

x→0lim

1 − cos x x² (c)

x→+∞lim e^x x²− 5x + 2 (d)

lim

x→0⁺

x ln x

(e)

x→+∞lim

 x + 1

x

^x

Konwersatorium 8. Całka nieoznaczona (1) Obliczyć całki nieoznaczone:

(a)

Z 

5x²− 3 + 5 x²

 dx (b)

Z √

x − cos x + 4 1 + x²

 dx (c)

Z

x²e^x dx (d)

Z

e^xcos x dx (e)

Z x

x²+ 1 dx (f)

Z

(2x + 7)⁵ dx (g)

Z x

√

3 − 5x² dx (h)

Z e^x1 x² dx (i)

Z

sin⁵x cos x dx (j)

Z 3x − 4 x²− x − 6 dx (k)

Z x

x²+ 1 dx (l)

Z 7

4 + 5x² dx (m)

Z x + 6 x²+ 3 dx

Konwersatorium 9. Całka oznaczona (1) Obliczyć całki oznaczone:

(a)

Z 1

−1

4 − x²
dx (b)

Z 5 3

x x²− 4 dx (c)

Z 1 0

xe^−x dx (d)

Z −2

−3

dx x²+ 2x + 1

(2) Obliczyć pole obszaru ograniczonego osią Ox i wykresem funkcji:

(a) y = sin x, x ∈ [0, π]

(b) y = 1 − x² (c) y = x − x³

(3) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy parabolami y = x²oraz y²= x.

(4) Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y = 2x − x²oraz prostą x + y = 0.

Konwersatorium 10. Całka niewłaściwa (1) Obliczyć całki niewłaściwe:

(a)

Z 1 0

x dx 1 − x (b)

Z 3 2

√x dx x²− 4 (c)

Z ^π₂

0

tg x dx (d)

Z +∞

3

dx x² (e)

Z +∞

0

xe^−x2 dx (f)

Z +∞

−∞

dx 4 + x²

Konwersatorium 11. Macierze

(1) Wykonać mnożenie macierzowe:

(a)

 3 −2 5 −4



·

 3 4 2 5



(b)





5 8 −4 6 9 −5 4 7 −3



·





3 2 5

4 −1 3

9 6 5





(c)

 1 −2 3 −4

³

(d)

 1 0 2 3 5 1



·



 1 3 7 5 0 2





(e)

 4 3 7 5



·

 −28 93

38 −126



·

 7 3 2 1

 (f)

 1 5 0 3 2 1



·

 5 7 2 3



(g)





2 −1 3

4 5 −7

2 0 1



·



 x y z



 (h)





1 0 0 0 0 1 0 1 0



·





a b c d e f g h i





(2) Znaleźć macierze odwrotne do danych macierzy (o ile istnieją):

(a)

 cos α − sin α sin α cos α

 (b)

 3 4

1 −2

 (c)

 1 1 1 1

 (d)





1 2 2

2 1 −2

2 −2 1





(3) Rozwiązać równania macierzowe:

(a) X ·

 3 −2 5 −4



=

 −1 2

−5 6

 (b)

 4 6 6 9



· X =

 1 1



(4) Sprowadzić macierze do postaci trójkątnej zredukowanej:

(a)





2 7 3 1 3 5 2 2 9 4 1 7



 (b)













3 2 2 2

2 3 2 5

9 1 4 −5

2 2 3 4

7 1 6 −1













Konwersatorium 12. Wyznaczniki

(1) Obliczyć

(a)    

cos α − sin α sin α cos α    

(b)      

3 2 5

4 −1 3

9 6 5

(c)      

x 1 1 1 x 1 1 1 x

(d)      

0 a b 1 x 0 1 0 y

(e)        

1 3 4 5 3 0 0 2 5 1 2 7 2 0 0 3

(f)        

0 5 0 2 8 3 4 5 7 2 1 4 0 4 0 1

(g)            

2 1 4 3 5 3

5 6 8 7 4 2

8 9 7 6 0 0

2 3 5 4 0 0

4 3 0 0 0 0

6 5 0 0 0 0

(h)          

2 1 2 3 2

3 −2 7 5 −1

3 −1 −5 −3 −2

5 −6 4 2 −4

2 −3 3 1 −2

Konwersatorium 13. Układy równań liniowych

(1) Rozwiązać układy równań:

(a)

 2x − 3y = 3 x + 2y = 5

(b)

 kx + 4y = 2k

x + 2y = 5 k ∈ R – parametr

(c)







x + 2y + 3z = 14

3x + y + 2z = 11

2x + 3y + z = 11

(d)







ax + y + z = 1

x + ay + z = 1

x + y + az = 1

a ∈ R – parametr

(e)







4x − 6y + 2z + 3t = 2

2x − 3y + 5z + 75t = 1

2x − 3y − 11z − 15t = 1

(f)







3x − 5y + 2z + 4t = 2

7x − 4y + z + 3t = 5

5x + 7y − 4z − 6t = 3

(g)















x1− x3+ x5= 0 x2− x4+ x6= 0 x₁− x2+ x5− x6= 0 x₂− x3+ x₆= 0 x₁− x4+ x₅= 0

(h)











2x₁ + 7x₂ + 3x₃ + x₄ = 5 x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4 = 3 x1 + 5x2 − 9x3 + 8x4 = 1 5x1 + 18x2 + 4x3 + 5x4 = 12 (2) Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań

(a)

 (1 + a)x − ay = 1 + a ax + (1 − a)y = a − 1