Matematyka stosowana ze statystyką II
Standaryzacja i centralne twierdzenie graniczne
Krótkie przypomnienie
— Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie N (µ, σ). Niech U = X−µσ — tak zdefiniowana zmienna losowa ma rozkład normalny standaryzowany N (0, 1). Niech P (xd 6 X 6 xg) = p — dla rozkładu normalnego standaryzowanego równoważna formuła ma postać P (ud6 U 6 ug) = p, gdzie ud= xdσ−µ, ug = xgσ−µ. Znając p, µ (lub σ) i kraniec przedziału, możemy wyznaczyć nieznany parametr σ (lub µ).
— Niech X1, X2, . . . , Xn(n → ∞) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, o wartości oczekiwanej µ i wariancji 0 < σ2 < ∞. Wtedy
P Sn− nµ σ√
n 6 x
→ Φ(x), (1)
gdzie Sn= X1+ . . . + Xn. W przypadku rozkładu dwumianowego centralne twierdzenie graniczne (twierdzenie Moivre’a-Laplace’a) ma postać
P ζn− np
√npq 6 x
→ Φ(x). (2)
Pamiętać należy, że Φ(x) ≡ P (X 6 x), X = N (µ = 0, σ = 1). Do aproksymacji rozkładu dwumianowego ostrość nierówności ma znaczenie i trzeba przedział korygować wg schematu:
przed koretką x < 3 x 6 3 x = 5 x > 7 x > 7 po korekcie x < 2,5 x < 3,5 4,5 < x < 5,5 x > 6,5 x > 7,5
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. Rozkład wzrostu (w cm) dwuletnich dzieci w żłobkach w pewnym mieście jest normalny o para- metrach µ = 86,5 cm i σ. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania dziecka o wzroście z przedziału od 82.5 cm do 90.5 cm wynosi 0,3472. Obliczyć ile dzieci spośród 400 losowo wybranych będzie miało wzrost powyżej 95 cma.
2. Przeciętne miesięczne wynagrodzenie brutto w gospodarce narodowej w roku 2016 wyniosło 4001,50 zł. Wiadomo, że decyl drugi w tej grupie zatrudnionych wynosił 1735,90 zł. Przyjmu- jąc, że rozkład płac jest normalny, obliczyć jakiej wysokości pensje otrzymuje 25% najwięcej zarabiających w tym sektorzeb.
aOdp: ≈ 68.
bOdp: > 5817,19 zł.
1
3. Czas trwania zakupów dla 20% klientów sklepu Ikea wynosi ponad 2 godziny, a dla 44% poniżej 1,5 godz. Zakładając, że czas trwania zakupów można określić za pomocą rozkładu normalnego, obliczyć prawdopodobieństwo spotkania klienta, którego czas pobytu w sklepie wynosi mniej niż 0,5 godzc.
4. Hurtownia sprowadza kawę w opakowaniach, których deklarowana waga wynosi 2 kg, a w rze- czywistości waga ta podlega rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej 1,99 kg i odchyleniu standardowym 0,05 kg. Właściciel kawiarni ocenił swoje zapotrzebowanie na następne półrocze na 500 kg kawy i tyle zakupił w hurtowni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie on musiał dokupić co najmniej 2 kg kawy z powodu nieuwzględnionych ubytków wagowych w zakupionym towarzed?
5. Prawdopodobieństwo, że produkowana przez pewien zakład kostka do gry nie jest właściwie wy- ważona wynosi 0,2%.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wyprodukowanych 5000 kostek liczba sztuk wadli- wych będzie większa niż 0,1%, ale nie przekroczy 0,4%e?
b) Ile kostek należy zakupić, aby z prawdopodobieństwem tego, że odsetek wadliwych nie prze- kracza 0,5% wynosiło co najmniej 0,95f? Sprawdzić rozwiązanie.
cOdp: µ = 1,5760481, σ = 0,5037324, p = 0,01633359.
dOdp: 0,7364554.
eOdp: ≈ 0,9223978 (0,9315336 dla rozkładu dwumianowego).
fOdp: 600,0294 ≈ 600.
2
