Matematyka stosowana ze statystyką II

Matematyka stosowana ze statystyką II

Zmienne losowe typu ciągłego R

Krótkie przypomnienie

Wszystkie funkcje dotyczące rozkładów składają się z przedrostka oraz nazwy rozkładu. Przed- rostkiem może być jedna z 4 liter: d (density, funkcja gęstości prawdopodobieństwa), p (dystrybuanta rozkładu), q (kwantyl), r (generator liczb z zadanym rozkładem). Wszystkie funkcje jako pierwszy parametr przyjmują wartość, o którą pytamy, a następnie parametry rozkładu. Dystrybuanta liczy prawdopodobieństwo postaci P (X 6 x). Poniżej znajdują się nazwy wybranych rozkładów ciągłych:

— norm: rozkład normalny,

— t: rozkład t Studenta,

— chisq: rozkład χ²,

— f: rozkład F Fischera-Snedecora.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Proszę obliczyć kwantyle dla poniższych rozkładów:

a) u(0,98)^a b) t(0,95; 18)^b c) χ²(0,975; 23)^c d) F (0,99; 5; 24)^d

2. Niech zmienna losowa X ma rozkład N (1,5; 2). Proszę obliczyć następujące prawdopodobieństwa:

a) P (X < 2,5)^e b) P (X > −0,5)^f c) P (0,5 < X < 2)^g d) P (|X − 2| < 3)^h e) P (|2X − 1| < 1)ⁱ f) P (|X| > 0,5)^j g) P (|3X − 1| > 2)^k

aOdp: 2,053749.

bOdp: 1,734064.

cOdp: 38,075627.

dOdp: 3,895070.

eOdp: 0,6914625.

fOdp: 0,8413447.

gOdp: 0,2901688.

hOdp: 0,8542911.

iOdp: 0,1746663.

jOdp: 0,8501177.

kOdp: 0,778365.

1

3. Czas świecenia żarówek pochodzących z masowej produkcji jest zmienną losową X o rozkładzie normalnym N (1000 h, 50 h). Oblicz, ile przeciętnie żarówek spośród 1000 świeci krócej niż 900 godzin^l.

4. Przy założeniu, że wyniki w skoku w dal mają rozkład normalny o parametrach µ = 6,8 m oraz σ = 0,3 m proszę obliczyć:

a) ilu zawodników na 30 osiągnie w skoku w dal odległość co najmniej 7,1 m^m, b) poniżej jakiej odległości znajduje się 15% najsłabszych wynikówⁿ.

5. Przejazd autobusem linii 75 z przystanku Wyszyńskiego na przystanek Wernyhory zajmuje 23 minuty. Przyjmując, że w godzinach szczytu opóźnienie autobusu ma rozkład normalny o para- metrach µ = 4 min. oraz σ = 4 min. proszę obliczyć prawdopodobieństwo, że przejazd:

a) wydłuży się o nie więcej niż 2 minuty^o, b) wydłuży się o ponad 6 minut^p.

6. Zmienna losowa ma rozkład N (20, 5). Jeżeli wiadomo, że zmienna ta przyjmuje wartość a) mniejszą niż k1 z prawdopodobieństwem 0,8849,

b) większą od k2 z prawdopodobieństwem 0,6554,

c) odchylającą się od średniej o nie więcej niż k₃ z prawdopodobieństwem 0,6826;

d) odchylającą się od średniej o nie mniej niż k₄ z prawdopodobieństwem 0,01634, proszę obliczyć wartości k₁^q, k₂^r, k₃^s, k₄^t.

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,8849

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,6554

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,6826

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,01634

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,8849

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,6554

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,6826

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,01634

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,8849

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,6554

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,6826

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,01634

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,8849

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,6554

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,6826

0 10 20 30 40

0.00 0.06

0,01634

lOdp. ≈ 23.

mOdp. ≈ 5.

nOdp. ≈ 6,49.

oOdp: 0,1498823.

pOdp: 0,3085375.

qOdp: 26.

rOdp: 18.

sOdp: 5.

tOdp: 12.

2