Matematyka stosowana ze statystyką II

Matematyka stosowana ze statystyką II

Rozkład normalny — standaryzacja

Krótkie przypomnienie

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie N (µ, σ). Niech U = ^X−µ_σ — tak zdefiniowana zmienna losowa ma rozkład normalny standaryzowany N (0, 1). Niech P (xd 6 X 6 x^g) = p — dla rozkładu normalnego standaryzowanego równoważna formuła ma postać P (u_d 6 U 6 ug) = p, gdzie u_d = ^xd_σ^−µ, u_g = ^xg_σ^−µ. Znając p, µ (lub σ) i kraniec przedziału, możemy wyznaczyć nieznany parametr σ (lub µ).

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Wiek komputerów w pewnej firmie kształtuje się zgodnie z rozkładem normalnym. Ustalić praw- dopodobieństwo wylosowania komputera, który ma od 3 do 6 lat, przy założeniu, że:

a) wśród 200 komputerów 110 ma powyżej 5 lat, a σ = 1,25^a,

b) prawdopodobieństwo wylosowania komputera, który ma poniżej 6 lat wynosi 0,6, a σ² = 4^b. 2. Przeciętny wskaźnik rentowności obrotu brutto podmiotów gospodarczych w sektorze publicznym

wynosi 5,2%. Zakładając, że wskaźnik ten można aproksymować za pomocą rozkładu normalnego, obliczyć wartość odchylenia standardowego^c, wiedząc, że 12,1% podmiotów gospodarczych osiąga wskaźnik rentowności poniżej 3%. Określić wartość kwantyla rzędu 0,8^d.

3. Wykładowca prowadzący wykład z matematyki stosowanej ze statystyką II przychodzi do sali na ogół 10 minut przed wyznaczoną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, określić, jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego wykładowcy na zajęcia, jeżeli wiadomo, że w około 95% przypadków wykładowca jest w sali co najmniej 5 min przed rozpoczęciem zajęć^e.

4. Aby zdać egzamin z matematyki stosowanej ze statystyką II, należy prawidłowo rozwiązać ponad 50% zadań z testu egzaminacyjnego. Wiadomo, że średnio studenci osiągają wynik 46% pod- czas egzaminu w pierwszym terminie i zdawalność wynosi 40%. Przyjmując, że wyniki testu dla studentów zdających w pierwszym terminie mają rozkład normalny wyznaczyć:

a) procent studentów, którzy w pierwszym terminie otrzymują z egzaminu ocenę co najmniej dobrą (70%)^f,

b) wyniki, jakie uzyskuje 10% najlepszych studentów^g.

aOdp: 0,7077478.

bOdp: 0,4937376.

cOdp: 0,01880338.

dOdp: 0,06782532.

eOdp: 0,0005014583.

fOdp: 6,424511%.

gOdp: > 66,23%.

1

5. Rozkład wzrostu (w cm) dwuletnich dzieci w żłobkach w pewnym mieście jest normalny o para- metrach µ = 86,5 cm i σ. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania dziecka o wzroście z przedziału od 82.5 cm do 90.5 cm wynosi 0,3472. Obliczyć ile dzieci spośród 400 losowo wybranych będzie miało wzrost powyżej 95 cm^h.

6. Przeciętne miesięczne wynagrodzenie brutto w gospodarce narodowej w roku 2016 wyniosło 4001,50 zł. Wiadomo, że decyl drugi w tej grupie zatrudnionych wynosił 1735,90 zł. Przyjmu- jąc, że rozkład płac jest normalny, obliczyć jakiej wysokości pensje otrzymuje 25% najwięcej zarabiających w tym sektorzeⁱ.

7. Czas trwania zakupów dla 20% klientów sklepu Ikea wynosi ponad 2 godziny, a dla 44% poniżej 1,5 godz. Zakładając, że czas trwania zakupów można określić za pomocą rozkładu normalnego, obliczyć prawdopodobieństwo spotkania klienta, którego czas pobytu w sklepie wynosi mniej niż 0,5 godz^j.

hOdp: ≈ 68.

iOdp: > 5817,19 zł.

jOdp: 0,01633359.

2