Zestaw IV           

(1)

Zestaw IV

Równanie Schrödingera, cz. 1

1. Wykaż, że równanie Schrödingera ⁱ ^d  ^t ^H  ^t

dt   

 może być zapisane jako:

1.1  ,  exp iE 0

r t r t t

  ^  ^

 

 w przypadku, gdy hamiltonian nie zależy jawnie od czasu t a funkcja ^ ^r^ spełnia równanie ^H^ ^^r ^^E^ ^r^ ;

1.2 dla cząstki swobodnej:

 ^{x t}^, ^Ae^{i kx}^ ^^t^ ^B ^{i kx}^ ^^t^

  ^  ^ ^ ,

gdzie E i k ^2mE₂ R_

 .

1.3 w trzywymiarowej przestrzeni możemy zapisać  r x x y   y z z , gdzie:

   

2

2 , , ,

q

q q

d q

k q q x y z

dq

    

zaś k² k_x²k²_yk_z².

3. Studnia potencjału o nieskończonych ścianach

Rozważ bezspinową cząstkę o masie m w studni potencjału o nieskończonych ścianach

gdzie ^{V x}  ^{ }^ _0,^, ^x_x^^a_a.

2.1 Wykaż, że stacjonarne równanie Schrödingera może być zapisane jako:

   

2

2 0

d x

dx x

    ,

gdzie  ^2mE₂ R_

 .

2.2 Wykaż, że rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera może być zapisane jako:

2 2

2

8 2

En n

ma

 

  ¹ ^cos ^, nieparzyste 2

P n

x n x n

a a

  ^  ^

 

  ¹ ^sin ^, ^parzyste

2

N n

x n x n

a a

  ^  ^



 