ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1976
S e r i a : Górnictwo z. 72 Nr k o l . 471
S ta n isła w Frączek Bronisław Seweryn
USTALENIE PARAMETRÓW DLA MATEMATYCZNEJ OCENY PRZELOTOWOŚCI KOPALNIANEGO TRANSPORTU SZYNOWEGO
S t r e s z c z e n i e . W arty k u le podano podstawowe parametry pozw alające, przy użyciu metod matematycznych z zakresu rachunku prawdopodobień
stw a, u s t a l i ć przelotowość kopalnianego t r a n s p o r t u ; t a k i e parametry J a k :
ro z k ła d odstępu czasowego między zgłoszen iam i pociągów, intensyw
ność stru m ie n ia z g ło sz eń pociągów, intensywność ruchu i t d .
Wzrost w ie lk o ś c i wydobycia w kopalniach węgla kamiennego poważnie zwię
k sz a zadania transportowe i wymaga dokonania wnikliwych a n a l i z układów transportowych i te c h n o l o g i i ich p rac y . W o s t a t n i c h l a t a c h d l a rozwiązy
wania problemów głównego t r a n s p o r t u szybowego, w tym również d l a oceny p r z e lo to w o śc i, za cz ęto stosować metody matematyczne o p arte o rachunek prawdopodobieństwa.
1 . A naliza o b cią ż e n ia układu torowego
Obciążenie układu torowego głównego t r a n s p o r tu szynowego zależne J e s t od dwóch czynników: odstępu czasowego między pociągam i przybywającymi na dany układ torowy oraz c z a su z a j ę c i a układu torowego p rzez Jeden p o o iąg .
Dotychczas analizowano zmienność o b cią ż e n ia układu torowego podszybia lub węzła trak cy jn ego wynikającą ze zmienności l i c z b y pociągów przybywają
cych w p rz e d z ia ła c h c z a su o o k re ś lo n e j d łu g o ś c i lub ze zmiennością o d stę
pów czasowych między przybywającymi p ociągam i. Zmienny J e s t Jednak rów
nież d r u g i z czynników decydujących o o b ciąże n iu układu torowego a miano
wicie c z a s z a j ę c i a układu torowego przez poszczególne p o c i ą g i .
Z łącznego d z i a ł a n i a zmienności obydwu czynników wynika zmienność ob
c i ą ż e n i a ruchowego układu torowego głównego t r a n s p o r t u szynowego. Zmienny w c z a s i e s t a n o b ciąże n ia ruchowego J e s t charakterystycznym przykładem pro
cesu s to c h a sty c z n e g o , stanowiącego fu n k c ję zmiennych w ie lk o ś c i zależnych od parametru, którym w danym przypadku J e s t c z a s .
S ta n o b cią ż e n ia ruchowego podszybia lub węzła trak cy jn eg o w zrasta o Jed n ostkę za każdym razem, gdy na dany układ torowy przybywa p o c ią g prak
tycznie w zmiennych odstępach c z a su .
M . Sta n isła w F rącza k , Bronisław Seweryn S t a n o b c ią ż e n ia ruchowego podszybia lub węzła trak cyjn ego n a l e j e o je d nostkę za każdym razem, gdy kończy s i ę czas z a j ę c i a układu torowego przez p oszczególny p o c ią g .
Gdy układ torowy podszybia lub węzła trak cyjnego j e s t za mały, tworzy s i ę przed tym układem k o l e jk a pociągów oczekujących na zwolnienie układu przez poprzednie p o c i ą g i . Przez s t a n o b ciąże n ia ruchowego należy wówczas o k r e ś la ć zmianę l i c z b y pociągów zajmujących układ torowy i pociągów ocze
kujących w k o l e jc e przed analizowanym układem torowym.
2 . T eoria masowe.i o b s łu g i żako podstawa przeprowadzonych badań
Przedstawiony model pracy układu torowego j e s t typowym urządzeniem ma
sowej o b s ł u g i . T eorią matematyczną tego r o d z a ju urządzeń j e s t t e o r i a ko
l e j e k , o k reślan a o s t a t n i o jako t e o r i a masowej o b s ł u g i . W modelu urządze
n i a masowej o b s łu g i układ torowy podszybia lub węzła trak cyjn ego j e s t zbiorem kanałów o b s ł u g i , a o zgłaszającym s i ę pociągu można mówić jako o z g ł o s z e n iu .
Czas trwania z a j ę c i a układu torowego przez jeden p ociąg można o k r e ś l i ć jako c zas trwania o b s ł u g i , a s t a n o b ciąże n ia ruchowego jako s ta n systemu masowej o b s ł u g i .
S ta n systemu stanowiący proces stochastyczny określany j e s t przez s t r u mień zg ło sz e ń pociągów a więc przez w e jś c ia oraz przez czas trwania ob
s ł u g i .
Zwolnienie kanctu
Tor do jazdornj Podszybie
N ezet trakcyjny
Rys. 1. Model układu torowego głównego t r a n s p o r tu szynowego, jako urządze
n ia masowej o b s łu g i
Model układu torowego głównego tra n sp o r tu szynowego odpowiadający sche
matowi urządzenia masowej o b słu g i przedstawiono na r y s . 1. A nalizując strum ien ie zgłosz eń pociągów a więc k sz ta łto w a n ia s i ę zmiennej l ic z b y po
ciągów wjeżdżających na dany układ torowy w ustalonych jednakowych prze
d z i a ła c h c zasu , należy roz róż n ić dwa typy układów torowych: układy w ielo- wejściowe, na które j e s t możliwy jednoczesny wjazd pociągów z dwu i wię
c e j kierunków i układy jednowejściowe, na które nie j e s t możliwy jedno
czesny wjazd nawet dwu pociągów.
P o d z ia ł układjw torowych głównego t r a n s p o r tu szynowego na układy je d no- i wielowejściowe nie j e s t w p e łn i jednoznaczny.
U sta le n ie parametrów d la matematyczne,j o c e n y ...
3 . Odstęp czasowa miedz.? zgłoszeniam i pociągów
Kolejne momenty z g ł o s z e n ia pociągów na dany układ torowy, to j e s t mo
menty, od których zaczyna s i ę l i c z y ć ^zas z a j ę c i a układu torowego, s ą mo
mentami, w których n a jp ó ź n ie j należy rozpocząć przygotowanie d r o g i p rze
biegu d l a przybywającego po c ią gu , aby mógł on bez zatrzymania wjeohać na układ torowy.
Najmniejsze odstępy czasowe między kolejnym i zgłoszeniam i pooiągów p r z y b i e r a ją zatem w a r t o ś c i, które z a l e ż ą :
- d la pociągów przybywających z jednego kierunku: od systemu prowadzenia ruchu, wyposażenia w urządzenia za b ezp ie cz en ia ruchu pociągów oraz wa
runków trakcyjnych i d łu g o ś c i pociągów,
- d la pociągów przybywających z różnych kierunków po sprzecznych ze sobą drogach p rzebiegu : od czasu potrzebnego na przystosowanie d r o g i prze
b ie g u d la drugiego pociągu i czasu jazdy pierwszego z pociągów.
W przypadku, gdy wjazdy pociągów na układ torowy p r z e b i e g a ją po n i a - sprzecznych ze sobą drogach p rze b ie g u , mogą s i ę odbywać je d n o c z e śn ie .
Nawet gdy znane s ą l i c z b y pociągów, któ re w o k re sie T mają przybywać na układ torowy z poszczególnych kierunków oraz gdy znane s ą warunki sy tuacyjn e na p rzy legły ch węzłach trak oyjn ych , pozw alające o k r e ś l i ć minimal
ną wartość odstępu czasowego między zgłoszen iam i pociągów I , t o jednak nie można uwzględnić i przewidzieć w szystkich możliwych k o l e j n o ś c i następstw a
pociągów.
Każdy odstęp czasowy między zg łoszen iam i kolejnych pociągów może więc p rz y b ie ra ć różne w a r t o śc i I o różnym prawdopodobieństwie ich występowania.
Okres wykresu ruchu pociągów d la modelu wielowejścdowego przedstawiono na r y s . 2.
Można p r z y j ą ć , że zmienna losowa, ja k ą j e s t l i c z b a pociągów mogących s i ę z g ł o s i ć na podszybiu lub węźle trakcyjnym w określonym p r z e d z ia le c z a s u , może przyjmować dowolno w a rto śc i całkowite w granicach od zera do nie
skoń czono ści.
86 Scan isław F rącze k , Bronisław Seweryn
B a r d z ie j re a l n e b ęd zie z a ło ż e n i e , że w a rto śc i t e j zmiennej losowej nie mogą przekraczać l i c z b y pociągów N, Jaką można przez węzeł trak cyjn y prze
p u śc ić w Jednostce c z a su , to J e s t w o k re s ie T. L iczba pociągów J e s t za
tem zmienną losową skokową, c z y l i dyskretną mogącą przyjmować w artości całkow ite od zera do nieskończoności lub ś c i ś l e j do w a rto śc i N.
Każdej w a rto śc i zmiennej losowej skokowej J e s t przyporządkowane pewne prawdopodobieństwo, z Jakim t a wartość może w ystą pić. Gdy znana J e s t do
k ład n ie l i c z b a pooiągów, k tó ra może przejechać przez układ torowy w Jed
n o stce c z a s u , to strum ień zgłoszeń można uważać za ograniczony.
Kuch pociągów w głównym tr a n s p o r c ie dołowym odbywa s i ę z zasady w cy
klach zamkniętych, a Jego intensywność % J e s t określon a przez zdetermi
nowaną l i c z b ę N pociągów mających p r z e j ś ć przez układ torowy w c ią g u okre
su T.
4 . Warunki niezbędne d la wyrażenia układu torowego głównego tra n sp o r tu szynowego Jako modelu urządzenia masowej o b słu g i
Określenie układu torowego głównego tr a n s p o r tu szynowego Jako modelu urządzenia masowej o b s łu g i wymaga według E. Reuthera i A. Miraniego [
1
]1) W określonym p r z e d z ia le czasu przybywa na punkt o b s łu g i układu torowego ty lk o Jedna Jednostka - Jeden p o c ią g .
2) W określonym p r z e d z ia le czasu opuszcza punkt o b s łu g i zawsze ty lk o Jedna ¡jednostka.
3 ) Odstępy czasowe między dwoma przyjazdami i dwoma odjazdami z punktu o b s łu g i p o d le g a ją r o z k ła dowi c z ę s t o ś c i przedstawionym na r y s . 3« Rozkład ten o k r e ś la s i ę Jako ro zkład wykładniczy.Rozkład J e s t ważny d la przypadku, gdy k r ó tk ie odstępy czasowe między dwoma przyjazdami lub dwoma odjazdami pociągów z punktu o b s łu g i wystę
p u ją c z ę ś c i e j a n i ż e l i d łu g ie odstępy czasowe.
4 ) Obsługa dokonywana J e s t na pojedynczym punkcie o b s ł u g i ,
5
.
Podstawowe paramatr7 o k r e ś l a ją c e przelotowość kopalnianego tra n sp o rtu szynowegoGdy warunki podane w punkcie 4 s ą w danym modelu s p e łn io n e , to Jako a- n a llty c z n e rozwiązanie otrzymuje s i ę równanie różniczkowe o n a s tę p u ją c e j
s p e ł n ie n i a n astępujących warunków:
R y s. 3 . Rozkład w a r t o śc i odstępów czasowych między dwoma p rzy jaz d a
mi t i między dwoma odjazdami t^
przy Jednokanałowym modelu urzą
d zenia masowej o b słu g i
U sta le n ia parametrów d la m atem atycznej oceny. 87
p o s t a c i
d ia x > 0 —ffc— = Px_ v t / + ^ Px + 1 / t / " + Px / t / (1)
dp / t /
dxa x = 0 —g ę = “ ? 0/ t / ( 2 )
gd zie :
Px - c z ę s t o ś ć występowania k o l e j k i o x .jednostkach d ł u g o ś c i , x - długość k o l e j k i wyłażona w l i c z b i e oczekujących jed n ostek
% - intensywność stru m ien ia zg ło sz e ń , ix - intensywność o b s ł u g i .
W przypadku gdy ro z k ła d c z ę s t o ś c i nie j e s t zmienny w c z a s i e , równanie (1) p o sia d a jedno ro z w ią zan ie.
Eozwiązując to równanie, otrzymuje s i ę na o k r e ś le n ie c z ę s t o ś c i , g ę s t o ś c i prawdopodobieństwa n a s t ę p u ją c e j z a le ż n o ś c i
Z z a le ż n o ś c i (3) widać, że długość k o l e j k i x przy przedstawionym modelu za le ż y wyłącznie od intensywności ruchu.
Bliższego w y jaśn ien ia wymagają występująca w z a le ż n o ściach (1) i (2) para
metry: intensywność stru m ie n ia z g ło sz eń % , intensywność o b s łu g i fj- i in
tensywność ruchu .
Intensywność stru m ie n ia z g ło sz eń % o k r e ś la ś r e d n ią l i c z b ę jed nostek przy
bywających w ustalonym c z a s i e .
W analizowanym prostym modelu urządzenia masowej o b s ł u g i , w którym za
chowany j e s t warunek, że w określonym p r z e d z ia le czasu przybywa zawsze ty l k o jedna je d n o s tk a , intensywność stru m ien ia zgłosz eń o b licz a n a j e s t z n a s t ę p u ją c e j z a le ż n o ś c i
g d z ie : t g - ś r e d n i a arytmetyczna roz k ładu w a rto śc i odstępu czasowego mię
dzy dwoma przybyciam i.
W podobny sposób o k r e ś la s i ę intensywność o b s łu g i p . jako
(3)
przy czym intensywność ruchu o o k re ś la n a j e s t z z a le ż n o ś c i
P (4)
(5)
(6)
88 Sta n isła w F rącze k , Bronisław Seweryn
W z a le ż n o śc i (6) t fc oznacza śre d n ią arytmetyczną rozkładu odstępów czaso
wych między dwoma odjazdami. W jednokanałowym urządzeniu masowej o b słu g i wartość intensywności ruchu g> nie może osiągnąć je d n o s tk i ( g < 1 ) . W przypadku gdy w c ią gu zmiany czas pracy urządzenia wyciągowego j e s t większy n iż czas pracy tra n sp o rtu poziomego T,przekroczenie t e j w a rto śc i
j e s t dopuszczalne, bowiem warunek ę < 1 p rz y b ie ra postać
o x = o f - < 1 (7)
w
6. p r o b a b ilis ty c z n y opis zmienności o b ciąże n ia kopalnianego tra n sp o rtu szynowego
W wyniku przeprowadzonych ob serw ac ji na poziomach wydobywczych kopalń węgla kamiennego o różnych w ielko ściach wydobycia, dokonanych sz c z e g ó ln ie przez E. Eenthera i k . Miraniego [i] , można s t w i e r d z i ć , że rozkład o d stę
pu czasowego między zgłoszeniam i pociągów, a więc między obsługą pociągów przez układ torowy, można z d o state cz n ą dokładnością o p isać jako ro zkład Erlanga o p o s t a c i
(k t J K_1 - k ^ t
p / t / = k fc — . e (8)
oraz o parametrze k = 2.
Przyjmując parametr k a ł , otrzymuje s i ę jako szczegółowy przypadek rozkład wykładniczy o p o s t a c i
-% t
P / t / = fce a (9)
Dystrybuanta rozkładu Erlanga p o siad a p ostać [3]
0 d la a ^ 0
H Ca) =. ( 1 0 )
k-1
1-e-ka y /-k.a/ . d la a > O L i n!
n=0 gdzieś a = t-
śr
t - zmienna wartość odstępu czasu między przybyciem kolejnych po
ciągów,
t ^ - ś r e d n i a wartość odstępu c z a su . Przy k=2 otrzymuje s i ę dystrybuantę o p o s t a c i
U stale n ie parametrów d la m atematycznej ocen y .. 89
H(a) = ( 11)
0 d l a a 0
1 - e- 2 a (1+2a) d l a a > O
Przy k=1 otrzymuje s i ę dystrybuantę rozkładu wykładniczego (9) o p o s t a c i
O d l a a ^ 0
H / a / (1 2)
1 - e d l a a > O
zaś przy k —— o c dystrybuantę rozkładu punktowego o dwu wartościach r0 d l a a ig 1
1 d l a a > 1
H / a / = (13)
Autorzy n i n ie js z e g o arty k u łu p rzep ro w a d z ili b a d a n ia rozkładów odstępu cza
sowego między zg łoszen iam i pociągów na podszybiu d l a 6 kopalń węgla ka
miennego w p r z e d z ia ła c h czasu od 8 do 72 godzin. Badania p o tw ierd ziły za
ło żen ie p r z y ję t e przez E. Renthera i A. M iraniego, że ro zkład odstępu c z a sowego między zgłoszeniam i pociągów na podszybiu można o p isać Jako ro z kład E rlan ga o parametrze k=2. Przykładowo na r y s . 4 przedstawiono empi
ryczny ro z k ła d odstępu czasowego między zgłoszeniam i pociągów na podszy
b i e je d n e j z kopalń węgla kamiennego oraz aproksymujący ro z k ła d E rlanga o s t a ł e j k=2.
aoe
0.02
0.00
~r V / r* m
N
- 35*
1 1 \
\
O o z k ta d emf. iry c z n y-L ! \
.R o zkła dK
E rla n g a ak*2
1 i
i . . ...
10 X 30
M ortość odstępu czasow ego, t m h
W
R y s. 4 . Empiryozny ro zkład odstępu czasowego między zgłoszeniam i pociągów na podszybiu kopalń węgla kamiennego oraz aproksymujący ro zkład E rlanga o
k = 2
20 S ta n isła w F rącza k , Bronisław Seweryn 7 . Zakończenie
Metody matematyczne zaczyna s i ę ooraz powszechniej stosować w t e o r i i projektowania kopalń. Wzrost k o n c e n t r a c ji wydobycia z poziomu powoduje ko
nieczność a n a liz y zagadnień transportowych za pomocą metod matematycznych, z je d n e j stro n y jako czynnika decydującego o d alszych możliwościach kon
c e n t r a c j i a z d r u g ie j strony jako problemu ekonomicznego.
LITERATURA
[1] Reuther E . , Mirani A.t Zur Berechnung des g ü n s t i g s t e n Speichervermö- gens von F ü l lö r t e r n - "Glückauf - Forschungshefte" nr 1/1966.
[2] Seweryn B . : Zastosowanie metod matematycznych do o k r e ś le n i a wybranych parametrów głównego t r a n s p o r tu dołowego - Zeszyty Naukowe P o li t e o h n i - k i Ś l ą s k i e j , Górnictwo nr 61.
[3] Węgierski J . i Metody p r o b a b ilis ty c z n e w projektowaniu tr a n s p o r tu szy
nowego WKiŁ 1971.
OnPEÜEJIEHKE I1APAMET POB jy ifl MATEMATHHECK0Î5 OIJEHKH nP0H3B0^HTEJIBH0CTH FYÆHHHHOrO PEJIbCOBOrO TPAHCÏÏOPTA
P e 3 ¡0 u e
B c T a i s e r,ai3TCH ochobhub napaneipm nosBOjimoruae, npn HcnojiS30BaHKH M axeua- THVeCKHX MeTOAOB H3 OÓJiaCTH XeOpHH BepOHTHOCTH, OnpeflejIHIb np0H3B0flHlejIb- h o ctł pyflHHVHoro p e a tc o B o r o x p a H c n o p ia .
3 x o xaKHe napaMeipu k s k s
pacnzcaH H e BpeueHHOro HHxepaaaa Meac^y 3aaBjieHHHMH noe3^oB,nHxeHCHBHocxb no—
xoKa 3a«BJieHH8 noe3^0B, HHxeHCHBHocxB .jBHxeHHä n x.ä.
ASSESSMENT OF PARAMETERS FOR THE MATHEMATICAL EVALUATION OF A COAL-MINE RAIL TRANSPORT TRAFFIC CAPACITY
S u m m a r y
In the paper the main param eters have been giv en , which u sin g the ma
th em atica l methods o f the p r o b a b i l i t y c a l c u l u s allow the assessm ent of the coal-mine r a i l t r a n s p o r t t r a f f i c c a p a c it y .
The param eters were a s f o l l o w s :
schedule o f time i n t e r v a l s between t r a i n s n o t i f i c a t i o n s , i n t e n s i t y o f train t r a f f i c l i n e s , i n t e n s i t y o f t r a f f i c , e t c .
