Stateczność środników zginanych stref blachownic w świetle teorii, norm, analiz numerycznych i eksperymentalnych

Wydział In i Ś

Imię i nazwisko autora rozprawy: mgr in Dyscyplina naukowa: budownictwo

ROZPRAWA DOKTORSKA

Tytuł rozprawy w języku polskim:

Stateczność środników zginanych stref blachownic w eksperymentalnych

Tytuł rozprawy w języku angielskim:

Stability analysis of bending experimental analysis

Promotor

...

podpis

dr hab. inż. Krzysztof Żółtowski prof. nadzw. PG

Gdańsk, rok 2015

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

i nazwisko autora rozprawy: mgr inż. Marcin Kasiak budownictwo

ROZPRAWA DOKTORSKA

zyku polskim:

rodników zginanych stref blachownic w świetle teorii, norm, analiz n

zyku angielskim:

bending webs of plate girder based on the theory, standards, numerical and

...

podpis

Żółtowski prof. nadzw. PG

wietle teorii, norm, analiz numerycznych i

standards, numerical and

Wydział In i Ś

OŚWIADCZENIE

Autor rozprawy doktorskiej:

Ja, niżej podpisany, wyraż

rozprawy doktorskiej zatytułowanej:

Stateczność środników zginanych stref blachownic w eksperymentalnych

do celów naukowych lub dydaktycznych.

Gdańsk, dnia ...

Świadomy odpowiedzialnoś

1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. z 2006 r., nr 90, poz. 631) i konsekwencji dyscyplinarnych okre

z 2012 r., poz. 572 z późn. zm.),

przedkładana rozprawa doktorska została napisana przeze mnie samodzielnie.

Oświadczam, że treść rozprawy opracowana została na podstawie wyników bada prowadzonych pod kierunkiem i w

Żółtowski prof. nadzw. PG

Niniejsza rozprawa doktorska nie była wcze związanej z nadaniem stopnia doktora.

Wszystkie informacje umieszczone w ww. rozprawie uzyskane ze

i elektronicznych, zostały udokumentowane w wykazie literatury odpowiednimi odno zgodnie z art. 34 ustawy o prawie autorskim i prawach pokrewnych.

Potwierdzam zgodność niniejszej wersji pracy doktorskiej z zał

Gdańsk, dnia ...

Ja, niżej podpisany, wyraż

doktorskiej w wersji elektronicznej w otwartym, cyfrowym repozytorium instytucjonalnym Politechniki Gdańskiej, Pomorskiej Bibliotece Cyfrowej oraz poddawania jej procesom weryfikacji i ochrony przed

Gdańsk, dnia ...

*) niepotrzebne skreślić

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Autor rozprawy doktorskiej: Marcin Kasiak

ej podpisany, wyrażam zgodę/nie wyrażam zgody* na bezpłatne korzystanie z mojej doktorskiej zatytułowanej:

rodników zginanych stref blachownic w świetle teorii, norm, analiz n do celów naukowych lub dydaktycznych.¹

sk, dnia ... ...

podpis doktoranta

odpowiedzialności karnej z tytułu naruszenia przepisów ustawy z dnia 4 lutego prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. z 2006 r., nr 90, poz. 631)

dyscyplinarnych określonych w ustawie Prawo o szkolnictwie wy źn. zm.),² a także odpowiedzialności cywilno-prawnej o doktorska została napisana przeze mnie samodzielnie.

ść rozprawy opracowana została na podstawie wyników bada h pod kierunkiem i w ścisłej współpracy z promotorem dr hab. in

ółtowski prof. nadzw. PG, drugim promotorem *.

Niniejsza rozprawa doktorska nie była wcześniej podstawą żadnej innej urz zanej z nadaniem stopnia doktora.

Wszystkie informacje umieszczone w ww. rozprawie uzyskane ze

i elektronicznych, zostały udokumentowane w wykazie literatury odpowiednimi odno zgodnie z art. 34 ustawy o prawie autorskim i prawach pokrewnych.

iniejszej wersji pracy doktorskiej z załączoną wersją

sk, dnia ... ...

podpis doktoranta

ej podpisany, wyrażam zgodę/nie wyrażam zgody* na umieszczenie ww. rozprawy w wersji elektronicznej w otwartym, cyfrowym repozytorium instytucjonalnym Pomorskiej Bibliotece Cyfrowej oraz poddawania jej procesom weryfikacji i ochrony przed przywłaszczaniem jej autorstwa.

sk, dnia ... ...

podpis doktoranta

* na bezpłatne korzystanie z mojej wietle teorii, norm, analiz numerycznych i

...

podpis doktoranta

ci karnej z tytułu naruszenia przepisów ustawy z dnia 4 lutego prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. z 2006 r., nr 90, poz. 631) lonych w ustawie Prawo o szkolnictwie wyższym (Dz. U.

prawnej oświadczam, że doktorska została napisana przeze mnie samodzielnie.

rozprawy opracowana została na podstawie wyników badań dr hab. inż. Krzysztof

adnej innej urzędowej procedury

Wszystkie informacje umieszczone w ww. rozprawie uzyskane ze źródeł pisanych i elektronicznych, zostały udokumentowane w wykazie literatury odpowiednimi odnośnikami

wersją elektroniczną.

...

podpis doktoranta

na umieszczenie ww. rozprawy w wersji elektronicznej w otwartym, cyfrowym repozytorium instytucjonalnym Pomorskiej Bibliotece Cyfrowej oraz poddawania jej procesom

...

podpis doktoranta

PODZIĘKOWANIA

Serdecznie dziękuję promotorowi Panu dr hab. inż. Krzysztofowi Żółtowskiemu za inspirację, zaangażowanie, poświęcony czas i opiekę naukową udzieloną w realizacji niniejszej pracy.

Dziękuję również firmie VISTAL Gdynia S.A., która wyprodukowała i dostarczyła dźwigary blachownic do laboratorium Politechniki Gdańskiej, a także firmie GEO-BOR Roman Borucki, która udostępniła aparat Leica i wykonała pomiary przemieszczeń środników badanych dźwigarów.

Szczególne podziękowania kieruję do Pani prof. dr hab. inż. Krystyny Nagrodzkiej-Godyckiej za udostępnienie zasobów i laboratorium Katedry Konstrukcji Betonowych.

Pracę dedykuję żonie. Wyrazy wdzięczności za wsparcie, motywację i długotrwałą wyrozumiałość.

SPIS TREŚCI

Wykaz ważniejszych oznaczeń i skrótów ... 9

1. Wstęp... 11

1.1. Wprowadzenie ... 11

1.2. Cel i zawartość pracy... 13

1.3. Teza pracy ... 14

2. Przegląd literatury ... 15

2.1. Charakterystyka konstrukcji cienkościennych ... 15

2.2. Stateczność konstrukcji cienkościennych w ujęciu klasycznej teorii ... 18

2.2.1. Klasy przekroju w ujęciu normowym ... 18

2.2.2. Główne założenia teorii cienkich płyt ... 20

2.2.3. Klasyczne równania teorii stateczności cienkich płyt prostokątnych wg Timoshenko [15] ... 20

2.2.4. Metody obliczania obciążeń krytycznych wg Timoshenko [15] ... 24

2.2.5. Płyta poddana jednokierunkowemu ściskaniu wg Timoshenko [15] ... 26

2.2.6. Wyboczenie swobodnie podpartej płyty prostokątnej, obciążonej siłami ściskającymi zmieniającymi się liniowo wg Timoshenko [15] ... 31

2.2.7. Wyboczenie płyt wytężonych powyżej granicy proporcjonalności wg Timoshenko [15] ... 36

2.2.8. Nośność graniczna wyboczonych płyt wg Timoshenko [15] ... 37

2.2.9. Praca przekroju klasy 4 w zakresie nadkrytycznym. Szerokość efektywna przekroju ... 39

2.3. Możliwe sposoby zwiększania nośności belek zginanych ... 45

2.4. Możliwe sposoby zwiększania nośności słupów ściskanych ... 45

2.5. Nośności przekroju klasy 4 w ujęciu norm europejskich EN ... 47

2.6. Nośności przekroju klasy 4 w ujęciu norm polskich PN ... 49

2.7. Stany graniczne użytkowalności dźwigarów blachownicowych ... 53

2.8. Negatywne aspekty przyspawywania żeber usztywniających w dźwigarach blachownicowych ... 55

2.9. Podsumowanie literatury przedmiotu ... 56

3. Analiza numeryczna klasycznych przykładów MES ... 58

3.1. Utwierdzony panel walcowy obciążony prostopadle ciśnieniem ... 58

3.2. Wspornik płytowy obciążony wzdłużnie i poprzecznie ... 59

3.3. Swobodna powłoka cylindryczna obciążona parą sił zrównoważonych ... 60

3.4. Wnioski z analizy klasycznych modeli MES ... 61

4. Modele numeryczne. Prace wstępne ... 62

4.1. Dyskretyzacja siatki płyty ściskanej i zginanej ... 62

4.2. Wpływ szerokości płyty ściskanej jednokierunkowo swobodnie podpartej na całym obwodzie na wartość naprężeń krytycznych ... 65

4.3. Płyta ściskana - generacja liczby półfal ... 68

4.4. Lokalizacja żebra poziomego na środniku w dźwigarze zginanym ... 69

4.5. Porównanie nośności belek ściskanych ... 70

4.6. Porównanie nośności belek zginanych ... 71

4.7. Obliczenia płyty ściskanej wg przepisów normowych. Porównanie z wynikami numerycznymi ... 75

4.7.1. Zadanie 1 - Rozwiązanie analityczne ... 75

4.7.2. Zadanie 1 - Rozwiązanie numeryczne ... 76

4.7.3. Zadanie 2 - Rozwiązanie analityczne ... 77

4.7.4. Zadanie 2 - Rozwiązanie numeryczne ... 78

4.7.5. Zadanie 3 - Rozwiązanie analityczne ... 79

4.7.6. Zadanie 3 - Rozwiązanie numeryczne ... 80

4.8. Podsumowanie zagadnień numerycznych dotyczących wyboczenia środników przy założeniu występowania ściskania oraz "czystego" zginania ... 81

5. Projekt dźwigarów badawczych. Modele numeryczne dźwigarów ... 82

5.1. Założenia obliczeniowe MES ... 86

5.2. Budowa modelu geometrycznego ... 88

5.3. Ścieżki równowagi statycznej ... 90

5.3.1. Porównanie nośności belek dla modeli numerycznych. Zależność P-u dla belek z GRUPY1 ... 91

5.3.2. Porównanie nośności belek dla modeli numerycznych. Zależność P-u dla belek z GRUPY2 ... 92

5.4. Podsumowanie analiz MES modeli laboratoryjnych ... 92

6. Badania doświadczalne zginanych dźwigarów stalowych ... 93

6.1. Charakterystyka i cel badań doświadczalnych ... 93

6.2. Charakterystyka stanowiska badawczego ... 94

6.3. Belka transferowa ... 96

6.4. Zastosowana aparatura badawcza ... 97

6.5. Charakterystyka zastosowanych materiałów ... 98

6.6. Eksperymentalne badania stateczności dźwigara symetrycznego DZ1 ... 100

6.6.1. Realizacja obciążenia ... 101

6.6.2. Rozmieszczenie tensometrów i czujników indukcyjnych ... 102

6.6.3. Pomiar imperfekcji blach ... 103

6.6.4. Pomiar odkształceń dźwigara DZ1 ... 106

6.6.5. Pomiar przemieszczeń w płaszczyźnie yz dla dźwigara DZ1 ... 108

6.6.6. Pomiar przemieszczeń w płaszczyźnie xz - pomiar ugięcia dźwigara DZ1... 113

6.7. Eksperymentalne badania stateczności dźwigara z żebrem poziomym DZ2 ... 116

6.7.1. Realizacja obciążenia ... 117

6.7.2. Rozmieszczenie tensometrów i czujników indukcyjnych ... 118

6.7.3. Pomiar imperfekcji blach ... 119

6.7.4. Pomiar odkształceń dźwigara DZ2 ... 121

6.7.5. Pomiar przemieszczeń w płaszczyźnie xz - pomiar ugięcia dźwigara DZ2... 122

6.8. Eksperymentalne badania stateczności dźwigara z pogrubionym pasem

ściskanym DZ3 ... 126

6.8.1. Realizacja obciążenia ... 126

6.8.2. Rozmieszczenie tensometrów i czujników indukcyjnych ... 127

6.8.3. Pomiar imperfekcji blach ... 128

6.8.4. Pomiar odkształceń dźwigara DZ3 ... 131

6.8.5. Pomiar przemieszczeń w płaszczyźnie yz dla dźwigara DZ3 ... 132

6.8.6. Pomiar przemieszczeń w płaszczyźnie xz - pomiar ugięcia dźwigara DZ3 ... 137

6.9. Porównanie wyników eksperymentalnych z numerycznymi ... 140

6.9.1. Aktualizacja modelu MES o imperfekcje geometryczne ... 140

6.9.2. Porównanie wyników numerycznych z wynikami doświadczalnymi ... 142

6.10. Wnioski z badań doświadczalnych ... 146

7. Podsumowanie pracy doktorskiej ... 147

8. Literatura ... 149

8.1. Wykaz rysunków ... 153

8.2. Wykaz tabel ... 159

9. Streszczenie w języku polskim ... 161

10. Streszczenie w języku angielskim ... 162

WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ I SKRÓTÓW

A - pole przekroju poprzecznego Aef, Aeff - pole przekroju efektywnego

D - sztywność zginania płyty

E - moduł Younga dla stali, współczynnik sprężystości podłużnej materiału L - długość belki, rozstaw żeber pionowych

Mc,Rd - obliczeniowa nośność przy zginaniu względem głównej osi bezwładności

Mcr - moment krytyczny przy zwichrzeniu

MRk - charakterystyczna nośność przekroju krytycznego przy zginaniu Mx, My - momenty zginające

Mxy - moment skręcający

Nc,Rd - obliczeniowa nośność przekroju przy równomiernym ściskaniu Ngr - nośność nadkrytyczna (pokrytyczna)

Ncr - siła krytyczna

Npl - nośność plastyczna przy rozciąganiu przekroju poprzecznego Nx, Ny - siły normalne od obciążenia zewnętrznego

Nxy - siła styczna

Re - specyfikowana przez producenta (normowa) granica plastyczności Rm - specyfikowana przez producenta wytrzymałość na rozciąganie

Scr - sprężyste obciążenie krytyczne miejscowej utraty stateczności ścianek kształtownika

Se - nośność efektywna kształtownika Spl - nośność plastyczna przekroju

Wc - wskaźnik wytrzymałości przekroju rzeczywistego Wec - wskaźnik wytrzymałości przekroju współpracującego Wel - sprężysty wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie Wpl - plastyczny wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie

a₁₁ - strzałka ugięcia powierzchni be, bef, beff, bw - szerokość efektywna płyty

bp - szerokość płyty, ścianki

c - szerokość lub wysokość części przekroju dx, dy - deformacje elementu płaszczyzny środkowej

fd - wytrzymałość obliczeniowa stali fy - granica plastyczności stali

f_yb - granica plastyczności materiału wyjściowego hmax - grubość ścian dla elementu cienkościennego

k, kσ - współczynnik liczbowy dla poszczególnych krzywych m, który zależy od warunków podparcia i sposobu obciążenia płyty

m, n - liczba półfal powierzchni wyboczenia q - obciążenie użytkowe

t - grubość ścianki, blachy t_w - grubość środnika

γM0 - współczynnik częściowy stosowany przy sprawdzeniu nośności przekroju poprzecznego

γM1 - współczynnik częściowy stosowany przy sprawdzeniu stateczności elementu

γM2 - współczynnik częściowy stosowany przy sprawdzeniu nośności przekroju na rozerwanie

∆T1 - praca sił zewnętrznych

∆U - sprężysta energia zginania λ - smukłość ścianki

ν - współczynnik Poissona

ρ - współczynnik stosowany przy wyznaczaniu zredukowanej nośności przekroju w warunkach interakcji ze ścinaniem

σ - naprężenia wewnętrzne w przekroju

σ(x) - naprężenia rzeczywiste w ściskanej ściance

σ1 - większe brzegowe naprężenie ściskające w ściance σ2 - mniejsze brzegowe naprężenie ściskające w ściance

σkr,σcr - naprężenia krytyczne, krytyczna wartość obciążenia ściskanego σ_max - naprężenia krawędziowe

φ - współczynnik wyboczeniowy

φp - współczynnik niestateczności miejscowej

φ_pe - współczynnik niestateczności dla stanu nadkrytycznego

χ - współczynnik zależny od rozkładu obciążenia i sposobu podparcia ψ - współczynnik redukcyjny nośności obliczeniowej przekroju

DSM - Direct Strength Method

EN - normy europejskie (m.in. Eurokod) płyta - powłoka płaska

PN - normy polskie

shear lag - efekt szerokiego pasa

1. WSTĘP

1.1. Wprowadzenie

Wraz z rozwojem technologii wytwarzania stali na świecie, znaczenie zagadnienia stateczności dla konstrukcji metalowych stawało się coraz bardziej istotne. Dynamicznie rozwijający się przemysł budowlany wymaga od projektantów obniżenia kosztów produkcji przy niezmniejszonej nośności i walorach użytkowych. Elementami konstrukcyjnymi, które stanowiły odwieczny problem w stosunku rozpiętości do masy, były elementy belkowe. Od dawna poszukiwano więc niemalże idealnego kształtu przekroju poprzecznego. Optymalizacja masy dźwigara zginanego prowadzi zawsze do rozwiązania, w którym masa koncentruje się w pasach z możliwie dużym odstępem od osi zginania. Zwrócono uwagę, że między pasami powinien znajdować się tylko materiał niezbędny do zapewnienia dystansu między elementem ściskanym i rozciąganym oraz przeniesienia sił ścinających (sił poprzecznych).

Stalowe budownictwo lądowe wymaga stosowania rozpiętości w różnym zakresie.

Branża budowlana oczekuje rozwiązań konstrukcyjnych, dzięki którym rozpiętość nawet kilkudziesięciu metrów nie będzie przeszkodą nie do pokonania. Wysokości konstrukcji dźwigarów pełnościennych związane są ściśle z rozpiętością i w praktyce zawierają się między 1/10 a 1/20 L. Pojawienie się w budownictwie stalowym nowych możliwości optymalizacji dźwigarów zginanych związane było m.in. z rozwojem spawalnictwa. Przy wysokościach konstrukcji przewyższających 1,5 m oraz przy automatyzacji procesów spawania, bardzo korzystne w produkcji okazały się dźwigary blachownicowe. Wysokość dźwigarów i przekroje pasów, podobnie jak w kratownicach, mogą być dostosowane na długości do wartości występujących w nich sił wewnętrznych. Jednym z kluczowych zagadnień teoretycznych, mających bezpośredni wpływ na nośność, jest niebezpieczeństwo uraty płaskiej postaci środników blachownic.

Rys. 1.1 Żebra poziome i pionowe na środniku mostu w Kiezmarku. Wizualizacja MES SOFiSTiK [1]

Standardowo dźwigary dwuteowe posiadają środniki wykonane z blach niewielkiej grubości. Wymagają więc one stosowania usztywnień zapewniających zachowanie ich płaskiej postaci. Najczęściej usztywnieniami tymi są żebra poprzeczne, podłużne lub ukośne mocowane do środników. Żebra te stanowią poważne utrudnienie w automatyzacji procesu produkcji

konstrukcji stalowych [2]. Utrudniają także uzyskanie wymaganych standardów antykorozyjnych w procesie produkcji i utrzymaniu.

Próby rezygnacji z wykonywania kosztownych żeber, zaowocowały wdrożeniem pod koniec XX wieku, blachownic ze środnikami z blachy fałdowej. Kształty i formy środników blachownic stały się również przedmiotem dyskusji dotyczących estetyki. Kompendium wiedzy na ten temat przedstawiono w [3].

Pierwsze zagadnienie stateczności sprężystej, obejmujące wyboczenia elementów ściskanych, sformułował ponad 200 lat temu Leonhard Euler [4]. Innymi, którzy mieli wpływ na rozwój teorii stateczności są począwszy od XVIII wieku Bresse, G.H. Bryan, Considere, Fr. Engesser, W. Fairbairn, A. G. Greenhill, F. Jasinski, Lagrange, M. Levy. Oraz autorzy sławnych książek i artykułów Biezeno and Grammel (1956), Bleich (1952), Hoff (1956), Leipholz (1970), Timoshenko i Gere (1961) [5].

O ważności tego zagadnienia może świadczyć fakt, iż między innymi, analizy do projektu Mostu Britannia, Robert’a Stephenson’a w latach pięćdziesiątych XIX wieku, opierały się głównie na wykorzystaniu zagadnienia wyboczenia środnika. Projektant wykonał wówczas wiele testów, by sprawdzić różnice w wyboczeniu różnych przekrojów poprzecznych dźwigarów. Badał przekroje eliptyczne, owalne, prostokątne, czy dwuteowe [6].

Rys. 1.2 Obraz przedstawiający Most Britannia oraz oryginalny segment z tego mostu. Źródło:

http://en.wikipedia.org

Obecnie, wraz z rozwojem techniki, a w szczególności sprzętu komputerowego, pojawiły się nowe możliwości, dzięki którym wyniki badań zagadnienia stateczności, wykonane na rzeczywistych konstrukcjach, można powtórzyć za pomocą modeli teoretycznych.

Powszechnie dzisiaj stosowana metoda elementów skończonych została wielokrotnie zweryfikowana jako skuteczne narzędzie do analiz konstrukcji stalowych. Komercyjne oprogramowanie MES umożliwia prowadzenie badań stalowych konstrukcji powłokowych w zakresie nieliniowości geometrycznej i materiałowej. Analizy numeryczne MES wraz z badaniami eksperymentalnymi, stały się podstawą w ocenie nośności konstrukcji stalowych, w programach badawczych i w projektowaniu [7].

1.2. Cel i zawartość pracy

Celem pracy jest zbadanie zjawiska utraty płaskiej postaci środnika dźwigara blachownicowego zabezpieczonego przed zwichrzeniem, a w szczególności:

• określenie wpływu żeber poziomych na stateczność przy zginaniu - wariantowa ocena nośności,

• określenie przebiegu zniszczenia blachownic zginanych,

• autorska propozycja alternatywy dla żeber poziomych,

•

Przedmiotem rozważań są cienkościenne stalowe blachownice ze środnikami o smukłości c/t większej niż 124, tzw. przekroje klasy 4 wg PN-EN 1993-1-1. Przyjęto stałą wartość sztywności na zginanie smukłej płyty.

W pracy zrealizowano następujące zagadnienia badawcze:

• analiza klasycznych zadań w środowisku MES SOFiSTiK,

• wykonano szereg modeli numerycznych w zakresie teorii sprężystej oraz sprężysto-plastycznej, dotyczących problemu wyboczenia środnika (wyznaczenie ścieżek równowagi) w zakresie czystego ściskania i czystego zginania,

• wykonano szczegółowe modele MES belek: z żebrem poziomym oraz bez, a także z pogrubionym pasem ściskanym. Przeprowadzono klasyfikację nośności blachownic.

Porównano zapasy nośności nadkrytycznej,

• wykonano badania doświadczalne na rzeczywistych, wykonanych ze stali o odpowiednich parametrach, zaprojektowanych w środowisku MES belkach blachownicowych oraz porównano otrzymane wyniki z modelami MES.

Wyniki badań eksperymentalnych były podstawą do weryfikacji badań numerycznych oraz założeń modelu obliczeniowego.

Zawartość pracy podzielono na X rozdziałów:

• w rozdziale I przedstawiono cel, zawartość pracy oraz postawiono tezę,

• w rozdziale II przedstawiono pojęcie stateczność w ujęciu teorii ścisłej, według światowej literatury, norm europejskich oraz polskich,

• w rozdziale III dokonano weryfikacji narzędzia numerycznego MES SOFiSTiK w oparciu o rozwiązania klasycznych modeli numerycznych,

• w rozdziale IV przedstawiono analizy szeregu modeli numerycznych w zakresie teorii sprężystej oraz sprężysto-plastycznej dotyczących problemu wyboczenia blach płaskich - słupy i belki. Wyniki zestawiono z rezultatami otrzymanymi wg norm europejskich,

• w rozdziale V przedstawiono wyniki analiz MES, przeprowadzone dla grupy modeli numerycznych uwzględniających wpływ żebra poziomego na nośność. Zaprojektowano belki do badań laboratoryjnych - pokazano gabaryty,

• w rozdziale VI przedstawiono modele laboratoryjnych belek rzeczywistych. Opisano badania przeprowadzone w laboratorium i zamieszczono kompendium wyników.

Zaktualizowano modele MES o rzeczywiste imperfekcje. Zestawiono wyniki badań z rezultatami analizy MES,

• w rozdziale VII przeprowadzono podsumowanie pracy doktorskiej. Przedstawiono wnioski i uwagi końcowe. Wykazano słuszność tezy, sformułowanej na początku pracy,

• w rozdziałach VIII, XIX i X zawarto literaturę oraz streszczenie w języku polskim i angielskim.

1.3. Teza pracy

W strefie ściskanej dźwigara blachownicowego, ze środnikiem klasy 4, zabezpieczonego przed zwichrzeniem i poddanego czystemu zginaniu, nie zawsze jest konieczne zastosowanie klasycznych żeber poziomych (wg norm PN [9] i EN [10]) w celu uzyskania oczekiwanej nośności.

Lepsze wyniki można uzyskać wbudowując materiał żebra poziomego w przekrój pasa ściskanego dźwigara.

2. PRZEGLĄD LITERATURY

2.1. Charakterystyka konstrukcji cienkościennych

Problem stateczności środników dźwigarów cienkościennych pojawił się wraz z pierwszymi rozwiązaniami technicznymi dla mostów metalowych. Pierwszym, który technicznie zajmował się elementami o przekrojach cienkościennych, był Stevenson [6].

Wykonał on szereg testów na potrzeby projektu przęseł mostu Britannia. Kompleksowe opracowania teoretyczne pojawiły się później. Kluczowe prace, dotyczące problemu, przedstawili między innymi: Winter [11], Kappus [12], Wagner [13], Własow [14].

Fundamentalną pracę, podsumowującą wiedzę analityczną, wykonał Timoshenko [15].

Stalowe cienkościenne dźwigary blachownicowe stosowane są jako główne elementy nośne w konstrukcjach mostów, budynków, budowli przemysłowych, a także dźwignic, belek podsuwnicowych i ciężkich maszyn roboczych.

Konstrukcja cienkościenna, zgodnie z teorią wytrzymałości, jest zdefiniowana jako struktura zbudowana z jednego lub kilku elementów cienkościennych (definicja p. 2.2.2.).

Najważniejszą zaletą konstrukcji cienkościennych jest ich niska masa, która przekłada się na szereg aspektów techniczno-ekonomicznych [16]. Konstrukcje cienkościenne znajdują zastosowanie w różnorodnych konstrukcjach. Spotykamy je w nowoczesnych elementach budowlanych, samolotach, czy statkach.

Pojęcie stateczności jest ściśle związane z nośnością struktury cienkościennej.

W przypadku dopuszczenia do pracy konstrukcji po lokalnej utracie stateczności, uplastycznienie jest wyznacznikiem możliwości przeniesienia projektowanego obciążenia. Rolą żeber usztywniających środnik jest zapewnienie ich płaskiej postaci co najmniej do momentu uplastycznienia pasa. Zjawisko utraty płaskiej postaci środnika nie oznacza jednak wyczerpania się nośności przekroju.

Konstrukcja cienkościenna jest narażona na dwa rodzaje utraty stateczności. Lokalną lub globalną. Często spotykane jest ich połączenie. Wówczas mamy do czynienia z wyboczeniem giętno-skrętnym lub zwichrzeniem (tzw. wyboczeniem bocznym). Zazwyczaj spadek nośności konstrukcji następuje po lokalnej utracie stateczności. Zachodzi wtedy zmiana parametrów wytrzymałościowych konstrukcji. Należy przy tym pamiętać, iż obciążenie, które doprowadza do lokalnej utraty stateczności, nie musi być obciążeniem niszczącym.

Po wyboczeniu środnika belka (dźwigar) dalej może pracować w zakresie sprężystym lub sprężysto-plastycznym.

Według Piekarczyka [17] aktywność dźwigarów dwuteowych o smukłych środnikach, w przypadku rozważania modelu idealnego - bez imperfekcji (krzywa "a" - rys. 2.1), można podzielić na cztery następujące po sobie fazy:

• Faza I (0-A) - fazę podkrytyczną (faza przedwyboczeniowa), ograniczoną od góry przez wartość obciążenia krytycznego Ncr, obliczonego wg klasycznej teorii stateczności dla wyseparowanego środnika z określonymi kinematycznymi i statycznymi warunkami brzegowymi (zakres klasycznej teorii liniowej),

Rys. 2.1 Fazy pracy idealnego i rzeczywistego modelu dźwigara blachownicowego [17]

• Faza II (A-B) - sprężystą fazę nadkrytyczną (fazą powyboczeniową w zakresie sprężystym) do momentu pojawienia się pierwszych obszarów uplastycznienia w środniku, charakteryzującą się wystąpieniem widocznych wygięć środnika. Możliwość wystąpienia lokalnej, bądź globalnej utraty stateczności lub interakcji pomiędzy nimi (zakres nieliniowości geometrycznej),

• Faza III (B-C) - sprężysto-plastyczną fazę nadkrytyczną, charakteryzującą się obecnością i rozwojem obszarów uplastycznionych najpierw w środniku, następnie w innych elementach dźwigara, aż do wytworzenia się mechanizmu zniszczenia plastycznego, w opisie pracy poszczególnych płyt należy uwzględnić nieliniowość geometryczną i materiałową, za kres górny tej fazy przyjąć maksymalne obciążenie, które przenosi dźwigar,

• Faza IV (C-D) - fazę zniszczenia, w której następuje redukcja nośności wraz z przyrostem przemieszczeń. Szczegółowa obserwacja tego zakresu pozwala określić sposób zniszczenia konstrukcji. Możliwy jest proces gwałtowny lub zachodzący powoli [16].

Zakres poszczególnych faz pokazano na krzywej zależności obciążenie P - ugięcie

"v" (rys. 2.1). Poprawne zaprojektowanie konstrukcji charakteryzuje się określeniem granic pomiędzy poszczególnymi fazami. Punktami charakterystycznymi są: obciążenie krytyczne, obciążenie przy którym pojawiają się pierwsze odkształcenia plastyczne, maksymalne obciążenie graniczne. Osiągnięcie wartości maksymalnej początkuje etap zniszczenia konstrukcji.

Analiza teoretyczna pracy dźwigara w stanie nadkrytycznym, który dla modelu idealnego obejmuje fazy II i III, jest złożona. Nie można dokonywać przejścia od zadania liniowo-sprężystego, charakterystycznego dla fazy I, wprost do zadania plastycznego na końcu fazy III bez uwzględnienia wpływu zmian geometrii w zakresie sprężystym (faza II) i sprężysto plastycznym (faza III).

Ponadto na zachowanie się cienkościennych rzeczywistych belek niekorzystny wpływ (obniżenie nośności - krzywa "b" rys. 2.1) mają wstępne imperfekcje geometryczne i początkowe naprężenia własne. Praktycznie niemożliwe jest wykonanie geometrycznie idealnego cienkościennego dźwigara spawanego bez naprężeń wywołanych procesem walcowania blach i ich spawania. Wpływ ten sprawia, że zachowanie dźwigara pod obciążeniem od początku wykazuje charakter nieliniowy. Efekt osłabienia dźwigara rzeczywistego może być znaczny i dlatego w praktyce budowlanej imperfekcje geometryczne powinny być ograniczone. Wobec tego, obciążenie krytyczne Ncr może służyć jako kryterium stanu pod i nadkrytycznego jedynie w przypadku uzyskania małych (dopuszczalnych) odchyłek wykonawczych. Tradycyjnie przyjmuje się, że obciążenie krytyczne obliczone dla dźwigara jako całości jest w przypadku dźwigarów o smukłych środnikach bliskie obciążeniu krytycznemu obliczonemu dla wydzielonej płyty środnika z odpowiednimi statycznymi i kinematycznymi warunkami brzegowymi.

Na dźwigar blachownicowy składają się płyty połączone ze sobą na wspólnych krawędziach. W nazewnictwie klasycznym płyty te są powłokami płaskimi. Pod wpływem obciążeń zewnętrznych w przekroju cienkościennym powstają siły wewnętrzne ściskające, rozciągające i ścinające oraz momenty gnące i skręcające. Siły te uzewnętrzniają się w elementach przekroju w postaci sił i naprężeń powłokowych. Przy określonych wartościach tych naprężeń występuje zjawisko utraty płaskiej postaci - wyboczenie (rys. 2.2).

Rys. 2.2 Możliwe deformacje płaskiej płyty wg [16]: a) płyta poddana jednokierunkowemu ściskaniu, b) płyta obciążona siłami ściskającymi zmieniającymi się liniowo, c) ścinanie

Analizę płyt należy rozpatrywać w trzech zakresach, kolejno dokrytycznym, następnie krytycznym oraz nadkrytycznym.

Analiza teoretyczna dźwigarów blachownicowych wymaga w ogólności przyjęcia modelu obliczeniowego w zakresie pracy sprężysto-plastycznej z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznej [18]. Natura pracy nadkrytycznej i sposobu zniszczenia dźwigarów zginanych zależą od wzajemnych relacji działających sił wewnętrznych i proporcji sztywności ich poszczególnych elementów składowych.

Rys. 2.3 Zniszczenie dźwigara w obszarze czystego zginania. Nośność nadkrytyczna belki blachownicowej [17]

W przekrojach czysto zginanych i przy dominacji zginania utrata stateczności miejscowej smukłego środnika dla blachownicy występuje w kształcie pokazanym na rys. 2.3.

Mamy do czynienia z redystrybucją naprężeń normalnych σ ze strefy ściskanej środnika do ściskanego pasa. Obojętna oś przekroju poprzecznego belki zostaje przesunięta w strefę pasa rozciąganego. Zniszczenie w wyniku uplastycznienia lub utraty płaskiej postaci pasa ściskanego (rys. 2.3), związane jest z dużymi przemieszczeniami poprzecznymi (odchyleniami) środników w strefie ściskanej.

Podsumowując, można stwierdzić, że konstrukcje cienkościenne, złożone z blach płaskich, charakteryzują się zjawiskiem lokalnej utraty płaskiej postaci tych blach przed osiągnięciem granicy nośności.

2.2. Stateczność konstrukcji cienkościennych w ujęciu klasycznej teorii

2.2.1. Klasy przekroju w ujęciu normowym

Odporność wydzielonych ścianek na miejscową utratę stateczności determinuje nośność projektowanej konstrukcji. Lokalna utrata stateczności składowego elementu powoduje zmniejszenie nośności. Pełne lub częściowe uplastycznienie w stanie granicznego wytężenia zależy od smukłość jego części składowych.

Normy (m.in. PN-90/B-03200) grupują przekroje do 4 klas. Głównym warunkiem klasyfikacji jest smukłość ściskanej płyty elementu wyodrębnionego.

Klasa przekroju uzależniona jest od następujących czynników:

• rozkład naprężeń w przekroju,

• warunki podparcia,

• wytrzymałość obliczeniowa,

• smukłość ścianek.

Podział na klasy przekrojów zginanych wg PN-90/B-03200:

• klasa 1 (rys 2.4), przekroje mogą osiągnąć nośność pełnego przegubu plastycznego, istnieje możliwość nieograniczonego obrotu [19],

Rys. 2.4 Przekrój klasy 1

• klasa 2 (rys 2.5), przekroje mogą osiągnąć nośność pełnego przegubu plastycznego, jednakże obrót jest ograniczony niestatecznością plastyczną [19],

Rys. 2.5 Przekrój klasy 2

• klasa 3 (rys 2.6), nośność przekroju ograniczona jest początkiem uplastycznienia strefy ściskanej [19],

Rys. 2.6 Przekrój klasy 3

• klasa 4 (rys. 2.7), nośność przekroju ograniczona jest utratą stateczność lokalnej, co najmniej jednej ścianki przekroju znajdującej się w strefie ściskanej [19].

Rys. 2.7 Przekrój klasy 4

Klasę 1 i 2 definiuje się za pomocą rozkładu naprężeń w fazie pełnego uplastycznienia.

Natomiast klasy 3 oraz 4 za pomocą rzeczywistego rozkładu naprężeń w fazie sprężystej.

Z miejscową utratą stateczności [9, 20, 21], mamy do czynienia jeżeli ścianki w elemencie ściskanym (półki dwuteowników, środnik) ulegną wybrzuszeniu przy krytycznej wartości obciążenia. Elementami zagrożonymi utratą stateczności miejscowej są: środnik dźwigara od ścinania, środnik dźwigara w strefie ściskanej od zginania, pas ściskany belki od zginania.

2.2.2. Główne założenia teorii cienkich płyt

Cienka płyta charakteryzuje się tym, że jeden wymiar (grubość lub wysokość) jest znacznie mniejszy (h < 1/10 wymiaru krótszego boku) od dwóch pozostały.

Dla płyt cienkich równania stateczności są prawdziwe dla poniższych założeń:

• płyta ma stałą grubość (jednorodny materiał izotropowy, w szczególności nieuwarstwiony),

• w płycie mogą występować wstępne deformacje oraz naprężenia pozostające pod warunkiem, że znany jest ich rozkład i definicja,

• naprężenia normalne prostopadłe do płaszczyzny płyty przyjmuje się równe zero,

• rozpatrując zagadnienie przy obciążeniach przykładanych stycznie wartości naprężeń w tym samym kierunku są znacząco małe w odniesieniu do naprężeń działających w płaszczyźnie płyty (stan tarczowy),

• materiał jest liniowo sprężysty - prawo Hooke'a [16],

• w zakresie nieliniowości geometrycznej, ugięcia płaszczyzny środkowej płyty mogą być duże,

• obowiązują założenia Kirchhoffa mówiące, że środkowa płaszczyzna płyty nie doznaje żadnych wydłużeń ani odkształceń postaciowych. Dodatkowo, punkty płyty, leżące na normalnej do płaszczyzny środkowej, są na niej zlokalizowane także po jej odkształceniu. Wartości przemieszczeń na płaszczyźnie środkowej płyty są znacząco mniejsze od wartości przemieszczeń rozpatrywanych w kierunku prostopadłym do środkowej płaszczyzny.

2.2.3. Klasyczne równania teorii stateczności cienkich płyt prostokątnych wg Timoshenko [15]

W przypadku czystego zginania pręta pryzmatycznego otrzymuje sie ścisły rozkład naprężeń, przy założeniu, że przekroje poprzeczne pręta pozostają przy zginaniu płaskie, a tylko obracają się dokoła swoich osi obojętnych i przyjmują położenie normalne do lini ugięcia. Kombinacja tego rodzaju zginania w dwóch kierunkach prostopadłych występuje w przypadku zginania płyty. Zacznijmy od czystego zginania płyty prostokątnej momentami rozłożonymi równomiernie wzdłuż jej brzegów (rys. 2.8). Płaszczyznę środkową płyty, znajdującą się w połowie odległości między jej zewnętrznymi płaszczyznami, przyjmujemy jako płaszczyznę xy i kierujemy osie x oraz y wzdłuż brzegów płyty, zgodnie z rysunkiem. Oś z obieramy prostopadle do płaszczyzny środkowej, o kierunku dodatnim ku dołowi. Moment zginający na jednostkę długości brzegów równoległych do osi y oznaczamy przez M_x, a moment na jednostkę długości brzegów równoległych do osi x - przez My. Momenty te uważamy za dodatnie, gdy wywołują ściskanie górnej powierzchni płyty i rozciąganie dolnej.

Grubość płyty oznaczamy przez h i uważamy ją za małą w porównaniu z pozostałymi wymiarami.

Zbadajmy element płyty przedstawiony na rys. 2.9, wycięty z niej dwiema parami płaszczyzn równoległych do płaszczyzny xz oraz yz. Przyjmując, że przy zginaniu płyty boczne ścianki tego elementu pozostają płaskie i tylko obracają się dokoła osi obojętnych n-n,

przybierając położenie prostopadłe do powierzchni ugięcia, wnioskujemy, że środkowa płaszczyzna płyty nie doznaje przy jej zginaniu żadnych odkształceń i tworzy powierzchnię obojętną.

Rys. 2.8 Płyta prostokątna zginana momentami

rozłożonymi równomiernie wzdłuż jej brzegów [15] Rys. 2.9 Schematyczny element płyty wycięty dwiema parami płaszczyzn [15]

Niech 1/ρx oraz 1/ρy oznaczają krzywizny tej powierzchni obojętnej w przekrojach równoległych odpowiednio do płaszczyzny zx oraz yz, przy czym dodatnie krzywizny odpowiadają wygięciu płyty wypukłością ku dołowi. Wówczas wydłużenie jednostkowe w kierunku z oraz y elementarnej warstewki abcd (rys. 2.9), znajduje się w odległości z od powierzchni obojętnej, można wyznaczyć jak w przypadku belki. Otrzymujemy zatem:

x x

ε = z

ρ

y

ε = z

ρ

Z prawa Hooke'a wynikają związki

x x y

1 ( )

ε = E σ − νσ

y y x

1 ( )

ε = E σ − νσ

Gdzie ν jest współczynnikiem Poissona, a więc odpowiednie naprężenia w warstewce abcd wynoszą

x 2

x y

y 2

y x

Ez 1 1

1

Ez 1 1

1

 

σ = − ν ρ    + ν ρ   

 

σ = − ν ρ    + ν ρ   

(2.3)

Naprężenia te są proporcjonalne do odległości z warstewki abcd od powierzchni obojętnej (środkowej) i zależą od wielkości krzywizny zginanej płyty.

Rys. 2.10 Układ sił w schematycznej płycie [15]

Naprężenia normalne, rozłożone na bocznych ściankach elementu przestawionego na rys. 2.9, sprowadzić można do par sił, które muszą być równe momentom zewnętrznym.

W ten sposób otrzymujemy związki

h 2

x x

h 2

zdydz M dy

−

σ =

∫

h 2

y y

h 2

zdxdz M dx

−

σ =

∫

Następnie podstawienie zamiast σx i σy wyrażeń (2.3) daje:

x

x y

1 1

M D  

=    ρ + ν ρ   

(2.5)

y

y x

1 1

M D  

=    ρ + ν ρ   

(2.6)

gdzie

h

3 2

2

2 2

h 2

E Eh

D z dz

1 12(1 )

−

= =

− ν ∫ − ν

Wielkość ta nazywa się sztywnością zginania płyty.

Oznaczając ugięcie płyty poprzez ω, otrzymujemy następujące przybliżone wzory na krzywizny płyty, analogiczne do wzorów na krzywizną belki

2 2 x

1

x

= − ∂ ω

ρ ∂

2 2 y

1

y

= − ∂ ω

ρ ∂

Podstawiając powyższe do związków (2.5) i (2.6), mamy:

2 2

x 2 2

M D

x y

 ∂ ω ∂ ω 

= −  + ν 

∂ ∂

 

2 2

y 2 2

M D

y x

 ∂ ω ∂ ω 

= −  + ν 

∂ ∂

 

Wzory te wyznaczają powierzchnię ugięcia płyty, jeżeli są dane momenty M_x i My, w szczególności w przypadku, gdy M_y=0, płyta prostokątna (rys. 2.8) jest zginana jak belka.

Ze wzoru (2.10) mamy wtedy

2 2

2 2

y x

∂ ω = −ν ∂ ω

∂ ∂

Płyta ma zatem dwie krzywizny o przeciwnych znakach i przyjmuje postać powierzchni siodłowej.

Rys. 2.11 Rzut sił na oś z [15]

Rozpatrując rzut sił na oś z (rys. 2.11), musimy wziąć pod uwagę ugięcie płyty. Wskutek krzywizny płyty w płaszczyźnie xz (rys. 2.11a) rzut sił normalnych Nx na oś z daje

2 x

x x 2

N dy N N dx dx dy

x x x x

 

∂ω  ∂  ∂ω ∂ ω

− +  +   + 

∂  ∂  ∂ ∂ 

Po uproszczeniu i pominięciu wielkości wyższego rzędu otrzymujemy

2

x

x 2

N dxdy N dxdy

x x x

∂ ω + ∂ ∂ω

∂ ∂ ∂

W ten sam sposób z rzutu sił normalnych Ny na oś z otrzymujemy

2

y

y 2

N dxdy N dxdy

y y y

∂ ω + ∂ ∂ω

∂ ∂ ∂

Przechodząc do rzutu sił stycznych Nxy na oś z, zbadajmy ugięcie elementu dx dy płaszczyzny środkowej, przedstawionego na rys. 2.12. Jak widać, wskutek powstania kątów

y

∂ω

∂

2

y x y dx

∂ω ∂ ω +

∂ ∂ ∂

rzut sił stycznych Nxy na oś z wynosi

2

xy xy

N dxdy N dxdy

x y x y

∂ ω + ∂ ∂ω

∂ ∂ ∂ ∂

Rys. 2.12 Układ sił stycznych płaszczyzny środkowej [15]

Analogiczne wyrażenie otrzymuje się, rzutując na oś z siły tnące Nyx=Nxy. Ostateczne wyrażenie dla rzutu wszystkich sił stycznych na oś z ma postać

2

xy xy

xy

N N

2N dxdy dxdy dxdy

x y x y y x

∂ ∂

∂ ω + ∂ω + ∂ω

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Dodając wyrażenia [a], [b] oraz [c] do obciążenia q, dx, dy działającego na element i korzystając z równań (2.13)

x xy

y xy

N N

x y 0

N N

y x 0

∂ + ∂ =

∂ ∂

∂ ∂

+ =

∂ ∂

(2.13)

otrzymujemy zamiast równania [g]

2 2

2

xy y

x

2 2

2 M M

M q

x x y y

∂ ∂

∂ − + = −

∂ ∂ ∂ ∂

gdzie

2 2

x 2 2

2 2

x 2 2

M D

x y

M D

y x

 ∂ ω ∂ ω 

= −  + ν 

∂ ∂

 

 ∂ ω ∂ ω 

= −  + ν 

∂ ∂

 

(2.14)

2

xy yx

M M D(1 )

x y

= − = − ν ∂ ω

∂ ∂

następujące równanie równowagi

2 2

2 2 2 2

xy y

x

x y xy

2 2 2 2

M M

M 2 q N N 2N

x x y y x y x y

∂ ∂  

∂ − + − =  + ∂ ω + ∂ ω + ∂ ω 

∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ 

Podstawiające zamiast M_x, My, oraz Mxy wyrażenia (2.14) i (2.15), otrzymujemy wyrażenie (2.17).

2.2.4. Metody obliczania obciążeń krytycznych wg Timoshenko [15]

Do obliczania krytycznych wartości sił działających w środkowej płaszczyźnie płyty (przy których płaska postać równowagi staje sie niestała i następuje wyboczenie płyty) można zastosować analogiczne metody, jak w przypadku ściskanych prętów.

Krytyczne wartości sił działających w środkowej płaszczyźnie płyty można otrzymać przyjmując, że płyta ma od razu pewną krzywiznę początkową lub poddana jest pewnemu obciążeniu poprzecznemu. Wówczas te wartości sił leżących w płaszczyźnie środkowej, przy których ugięcia rosną nieograniczenie, są zazwyczaj wartościami krytycznymi. Inny sposób rozwiązania zagadnienia stateczności zakłada, że pod działaniem sił przyłożonych

w płaszczyźnie środkowej płyty ulega ona nieznacznemu wygięciu z płaszczyzny. Wówczas należy obliczyć wielkość sił potrzebnych do utrzymania płyty w takiej nieznacznie zdeformowanej postaci. Równanie różniczkowe powierzchni ugięcia otrzymuje się w tym przypadku z zależności (2.17)

4 4 4 2 2 2

x y xy

4 2 2 4 2 2

2 1 q N N 2N

x x y y D x y x y

 

∂ ω + ∂ ω + ∂ ω =  + ∂ ω + ∂ ω + ∂ ω 

∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ 

podstawiając q=0, tj. przyjmując, że nie ma obciążenia poprzecznego. Jeżeli nie ma również sił masowych, równanie powierzchni wyboczenia płyty przyjmuje postać

4 4 4 2 2 2

x y xy

4 2 2 4 2 2

2 1 N N 2N

x x y y D x y x y

 

∂ ω + ∂ ω + ∂ ω =  ∂ ω + ∂ ω + ∂ ω 

∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ 

Najprostszy przypadek zachodzi wówczas, gdy siły N_x, N_y oraz N_xy są w całej płycie stałe.

Zakładając że dany jest stosunek wielkości tych sił, czyli N_y=α N_x oraz N_xy=β N_x po rozwiązaniu równania (2.18) dla przyjętych warunków brzegowych stwierdzamy, że założone wyboczenie płyty możliwe jest tylko przy określonych warunkach Nx. Najmniejsza z nich jest poszukiwaną wartością krytyczną.

Gdy siły Nx, Ny oraz Nxy nie są stałe, zagadnienie jest bardziej skomplikowane, ponieważ równanie (2.18) ma w tym przypadku zmienne współczynniki, jednak ogólny wniosek pozostaje ten sam. W takich przypadkach można przyjąć, że wyrażenia dla sił N_x, Ny oraz Nxy

mają wspólny mnożnik γ, tak że stopniowy wzrost obciążenia uzyskuje się drogą zwiększenia tego mnożnika. Badając równanie (2.18) łącznie z danymi warunkami brzegowymi, stwierdzimy, że niepłaskie postacie równowagi możliwe są tylko przy pewnych wartościach mnożnika γ i że najmniejsza z nich określa obciążenie krytyczne.

Do rozwiązania zagadnienia wyboczenia płyt można również stosować metodę energetyczną. Jest ona szczególnie korzystna w tych przypadkach, gdy ścisłe rozwiązanie równania (2.18) jest nieznane lub gdy mamy do czynienia z płytą wzmocnioną żebrami usztywniającymi i chcemy wyznaczyć przybliżoną wartość obciążenia krytycznego.

Przy zastosowaniu tej metody postępujemy jak w przypadku wyboczenia pręta i przyjmujemy, że płyta pozostająca pod działaniem sił leżących w jej płaszczyźnie środkowej ulega nieznacznej deformacji z płaszczyzny, której kształt zależy od jej warunków brzegowych. Takie ograniczone ugięcie może nie uwzględniać odkształceń w płaszczyźnie środkowej, wystarczy więc uwzględnić tylko energię sprężystą zginania oraz odpowiednią pracę wykonaną przez siły działające w środkowej płaszczyźnie płyty. Jeśli dla każdej możliwej postaci wyboczenia praca tych sił jest mniejsza niż sprężysta energia zginania, to płaska postać równowagi płyty jest stała. Jeśli zaś przy dowolnej postaci ugięcia praca ta staje się większa niż energia zginania, to następuje wyboczenie. Oznaczając przez ∆T₁ wymienioną wyżej pracę sił zewnętrznych, zaś przez ∆U - sprężystą energię zginania, wyznaczymy krytyczne wartości sił z równania (2.19)

T

U

∆ = ∆

Podstawiając zamiast pracy ∆T1 wyrażenie

2 2

1 x y xy

T 1 N N 2N dxdy

2 x y x y

  ∂ω   ∂ω  ∂ω ∂ω 

= − ∫ ∫      ∂   +   ∂   + ∂ ∂   

i zamiast ∆U wyrażenie

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

U 1 D 2(1 ) dxdy

2 x y x y x y

  ∂ ω ∂ ω   ∂ ω ∂ ω  ∂ ω   

 

=   +  − − ν  −    

∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ 

   

   

 

∫ ∫

otrzymujemy równanie równowagi (2.22)

2 2

2 2 2 2 2 2 2

x y xy 2 2 2 2

1 D

N N 2N dxdy 2(1 ) dxdy

2 x y x y 2 x y x y x y

  

 ∂ω ∂ω ∂ω ∂ω ∂ ω ∂ ω ∂ ω ∂ ω  ∂ ω 

−

∫ ∫

∫ ∫

(2.22) 2.2.5. Płyta poddana jednokierunkowemu ściskaniu wg Timoshenko [15]

Przypuśćmy, że płyta prostokątna (rys. 2.13) ściskana jest w płaszczyźnie środkowej siłami rozłożonymi równomiernie wzdłuż boków x=0 oraz x=a. Oznaczmy wielkość siły ściskającej na jednostkę długości brzegu przez Nx. Przy stopniowym wzroście Nx dochodzimy do stanu, w którym równowaga ściskanej płyty odpowiadająca nieodkształconej płaskiej postaci staje się niestała i następuje wyboczenie. Odpowiednią krytyczna wartość siły ściskającej znaleźć można całkując równanie (2.18).

Rys. 2.13 Schemat obciążenia - płyta ściskana swobodnie podparta na obwodzie [15]

Ten sam wynik otrzymuje się również z rozważania energii ustroju. W przypadku swobodnie podpartych brzegów powierzchnię wyboczenia płyty przedstawić można za pomocą podwójnego szeregu (2.23)

mn m 1 n 1

m x n y a sin sin

a b

∞ ∞

= =

π π

ω = ∑ ∑

Sprężysta energia zginania zgodnie z wyrażeniem (2.24)

2 2 2 2 2 2

mn 2 2

m 1 n 1

ab m n

U D a

8 a b

∞ ∞

= =

 π π 

=  + 

 

∑ ∑

wynosi (2.25)

4 2 2 2

2

mn 2 2

m 1 n 1

ab m n

U D a

8 a b

∞ ∞

= =

 

∆ = π  + 

 

∑ ∑

Pracę wykonaną przy wyboczeniu płyty przez siły ściskające obliczamy na podstawie wzoru (2.20) oraz wzoru (2.27)

2 2

1 x y xy

T 1 N N 2N dxdy

2 x y x y

  ∂ω   ∂ω  ∂ω ∂ω 

= − ∫ ∫      ∂   +   ∂   + ∂ ∂   

a b 2 2

2 2

x x mn

m 1 n 1 0 0

1 b

N dxdy N m a

2 x 8a

∞ ∞

= =

∂ω π

 

  =

∂

  ∑∑

∫ ∫

Zatem równanie (2.22), z którego wyznaczymy krytyczną wartość sił ściskających, przyjmuje postać

2 4 2 2 2

2 2 2

x mn mn 2 2

m 1 n 1 m 1 n 1

b ab m n

N m a D a

8a 8 a b

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

 

π = π  + 

 

∑∑ ∑∑

skąd

2 2 2

2 2 2

mn 2 2

m 1 n 1 x

2 2 mn m 1 n 1

m n

a D a

a b

N

m a

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

 

π  + 

 

=

∑∑

∑∑

(2.29)

Na podstawie takiego samego rozumowania w zakresie prętów ściskanych, można wykazać, że wyrażenie (2.29) osiąga minimum, gdy wszystkie współczynniki amn, z wyjątkiem jednego, są równe zeru. Otrzymujemy wtedy

2 2 2 2 2

x 2 2 2

a D m n

N m a b

 

= π  + 

 

(2.30)

Najmniejszą wartość N_x uzyskujemy przyjmując n=1. Fizyczny sens tego przyjęcia polega na tym, że powierzchnia wyboczenia płyty składa się z szeregu półfal w kierunku ściskania i tylko jednej półfali w kierunku prostopadłym. Tak więc wyrażenie dla krytycznej wartości siły ściskającej ma postać

( )

D 1 a

N m

a m b

 

= π  + 

 

(2.31)

Pierwszy mnożnik w tym wyrażeniu przedstawia siłę eulerowską dla pasma o długości a i szerokości jednostkowej. Drugi mnożnik wskazuje, ile razy stateczność ciągłej płyty jest większa niż stateczność izolowanego pasma. Wielkość tego mnożnika zależy od wartości ilorazu a/b oraz liczby m półfal powierzchni wyboczenia. Jeżeli a jest mniejsze niż b, to drugi człon w nawiasie wyrażenia (2.31) jest zawsze mniejszy niż pierwszy i najmniejszą wartość (Nx)kr otrzymuje się przy m=1, tj. przyjmując, że powierzchnia wyboczenia tworzy jedną półfale w kierunku ściskania i ma zatem postać określoną równaniem

11

x y

a sin sin

a b

π π

ω =

Strzałka a11 pozostaje nieokreślona, jeżeli uważamy ugięcia za małe i pomijamy wydłużenia środkowej płaszczyzny płyty powstałe wskutek wyboczenia.

Obciążenie krytyczne, po podstawieniu m=1 do wyrażenia (2.31), można ostatecznie przedstawić w następującej postaci

( )

D b a

N b a b

π  

=  + 

 

Jeżeli przy stałej szerokości płyty będziemy stopniowo zmieniać jej długość a, to mnożnik przed nawiasem w wyrażeniu (2.33) pozostanie stały, mnożnik zaś w nawiasie zmieniać się będzie wraz ze wzrostem ilorazu a/b. Łatwo zauważyć, że mnożnik ten przyjmuje najmniejszą wartość, gdy a=b, a więc dla płyty o danej szerokości krytyczna wartość obciążenia jest mniejsza, gdy płyta jest kwadratowa. W tym przypadku

( )

N 4 D b

= π

Ten sam wynik można otrzymać rozpatrując równoczesne zginanie i ściskanie płyty.

Przy innych wymiarach płyty można nadać wyrażeniu (2.33) postać

( )

N k D b

= π

gdzie k jest współczynnikiem liczbowym, którego wielkość zależy od ilorazu a/b. Współczynnik ten przedstawiono na rys. 2.14 za pomocą krzywej oznaczonej m=1. Widzimy, że jest on duży przy małych wartościach a/b i maleje ze wzrostem a/b, osiąga minimum przy a=b, a następnie znów wzrasta.

Przyjmijmy teraz, że powierzchnia wyboczenia płyty tworzy dwie półfale i wyraża się równaniem

21

2 x y

a sin sin

a b

π π

ω =

Rys. 2.14 Wartość współczynnika k dla poszczególnych krzywych m [15]

Mamy teraz linię przegięcia dzielącą płytę na połówki, z których każda znajduje się w takich samych warunkach jak swobodnie podparta płyta o długości a/2. Możemy znów zastosować do obliczenia obciążenia krytycznego wzór (2.33), podstawiając w nim a/2 zamiast a.

Otrzymamy wtedy

( )

D 2b a

N b a 2b

π  

=  + 

 

Drugi mnożnik powyższego wyrażenia, zależy od ilorazu a/b, przedstawia krzywą m=2 na rys.

2.14. Łatwo zauważyć, że krzywą m=2 otrzymuje się z krzywej m=1, zachowując niezmienione rzędne i podwajając odcięte. Postępując dalej w ten sam sposób i przyjmując kolejno m=3, m=4 itd., otrzymujemy szereg krzywych uwidocznionych na rys. 2.14. Mając te krzywe, możemy łatwo wyznaczyć krytyczne obciążenie oraz liczę półfal powierzchni wyboczenia przy dowolnej wartości ilorazu a/b. Wystarczy w tym celu przyjąć odpowiedni punkt na osi odciętych i wybrać krzywą, która ma w tym punkcie najmniejszą rzędną. Na rys. 2.14 oznaczono liniami pełnymi części krzywych, określające krytyczne wartości obciążenia. Z rysunku widać, że dla bardzo krótkich płyt najmniejsze rzędne, tj. najmniejsze wartości współczynnika k we wzorze (2.35), wyznacza krzywa m=1. Począwszy od punktu przecięcia krzywych m=1 i m=2 najmniejsze rzędne ma druga krzywa, co oznacza, że na powierzchni wyboczenia tworzą się dwie półfale.

Zachodzi to aż do punktu przecięcia krzywych m=2 i m=3. Począwszy od tego punktu na powierzchni wyboczenia tworzą się trzy półfale itd. Przejście od m do m+1 półfal następuje widocznie w punkcie, gdzie odpowiednio dwie krzywe z rys. 2.14 mają jednakowe rzędne, tj. przy

mb a (m 1)b a

a mb a (m 1)b

+ = + +

+

Z powyższego związku otrzymujemy

a m(m 1)

b = +

Podstawiając m=1, mamy

a 2 1,41

b = =

Przy tej wartości ilorazu a/b następuje przejście od jednej do dwóch półfal. Przyjmując m=2, stwierdzamy, że przejście od dwóch do trzech półfal następuje przy

a 6 2,45

b = =

Z powyższego widać, że liczba półfal rośnie ze wzrostem ilorazu a/b, czyli dla bardzo długich płyt m jest dużą liczbą. Wówczas na podstawie (2.39) otrzymujemy

a m

b ≈