Najważniejsze wzory algebraiczne

(1)

GiS

Najważniejsze wzory algebraiczne

• a

²

− b

²

= (a − b)(a + b), a

³

− b

³

= (a − b) a

²

+ ab + b

²

, a

³

+ b

³

= (a + b) a

²

− ab + b

²

.

• a

ⁿ

− b

ⁿ

= (a − b) a

ⁿ⁻¹

+ a

ⁿ⁻²

b + . . . + ab

ⁿ⁻²

+ b

ⁿ⁻¹

, n ∈ N.

• √

x − √ y = x − y

√ x + √y , ^q

^m

√

ⁿ

x =

^nm

√

x , n, m ∈ N, zakres x zależy od n, m.

• (n + k)! = n!(n + 1)(n + 2) . . . (n + k), n, k ∈ N, n k

!

= n!

k !(n − k)! , 0 ¬ k ¬ n.

• (a + b)

ⁿ

= n 0

!

a

ⁿ

+ n 1

!

a

ⁿ⁻¹

b

¹

+ n 2

!

a

ⁿ⁻²

b

²

+ . . . + n n

!

b

ⁿ

, a, b ∈ R, n ∈ N.

• sin

²

α + cos

²

α = 1, sin

²

α = 1

2 (1 − cos 2α), cos

²

α = 1

2 (1 + cos 2α).

• sin 2α = 2 sin α cos α, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

• cos 2α = cos

²

α − sin

²

α , cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

• sin α + sin β = 2 sin α + β

2 cos α − β

2 , cos α + cos β = 2 cos α + β

2 cos α − β 2 .

• Niech t = tg x

2 . Wtedy sin x = 2t

1 + t

²

, cos x = 1 − t

²

1 + t

²

, tg x = 2t 1 − t

²

.

• a

⁻ⁿ

= 1

a

ⁿ

, (ab)

ⁿ

= a

ⁿ

b

ⁿ

,

a b

n

= a

ⁿ

b

ⁿ

.

• a

ⁿ

a

^m

= a

^n+m

, a

ⁿ

a

^m

= a

ⁿ^−m

, (a

ⁿ

)

^m

= a

^nm

.

• log

p

(xy) = log

_p

x + log

_p

y, log

_p

x

y = log

_p

x − log

p

y , x, y > 0, 0 < p 6= 1.

• log

p

(x

ⁿ

) = n log

_p

x, log

_p

a = 1

log

_a

p , log

_p

a = log

_q

a

log

_q

p , x > 0, 0 < a, p 6= 1, n ∈ N.

Wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów:

0 (0

^◦

) π

6 (30

^◦

) π

4 (45

^◦

) π

3 (60

^◦

) π 2 (90

^◦

)

sin α 0 1

2 √ 2 2

√ 3

2 1

cos α 1

√ 3 2

√ 2 2

1 2 0

tg α 0

√ 3

3 1 √

3 nie

istnieje ctg α nie

istnieje

√ 3 1

√ 3

3 0

Metody rozwiązywania typowych zadań z Algebry z geometrią analityczną oraz Analizy matematycznej 1 są omówione w skryptach z serii „Matematyka dla studentów

politechnik”.

Najważniejsze wzory algebraiczne