Afiniczne zbiory algebraiczne
Andrzej Nowicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń, (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl)
Czerwiec 2003
Spis treści
1 Afiniczne zbiory algebraiczne 1
1.1 Zbiory algebraiczne i topologia Zariskiego . . . 1
1.2 Hiperpowierzchnie . . . 2
1.3 Zbiory algebraiczne na płaszczyźnie . . . 3
1.4 Zbiory algebraiczne w k3 . . . 4
1.5 Ideały postaci I(X) . . . 4
1.6 Topologia indukowana z topologii Zariskiego . . . 6
1.7 Uwagi . . . 6
2 Twierdzenie Hilberta o zerach 7 2.1 Wysłowienie twierdzenia Hilberta o zerach . . . 7
2.2 Twierdzenie Zariskiego . . . 7
2.3 Dowód twierdzenia Hilberta o zerach . . . 9
2.4 Uwagi . . . 10
3 Odwzorowania regularne 11 3.1 Funkcje regularne . . . 11
3.2 Twierdzenie Hilberta o zerach dla k[X] . . . 12
3.3 Odwzorowania regularne . . . 13
3.4 Homomorfizm indukowany przez odwzorowanie regularne . . . 15
3.5 Produkt zbiorów algebraicznych . . . 17
3.6 Wykres odwzorowania regularnego . . . 18
3.7 Pieścień k[X] dla zbiorów skończonych . . . 18
3.8 Odwzorowanie odwrotne do odwzorowania regularnego . . . 18
3.9 Parabola i uogólnienia . . . 19
3.10 Hiperbola . . . 20
3.11 Uwagi . . . 20
4 Zbiory nierozkładalne 23 4.1 Nieprzywiedlne przestrzenie topologiczne . . . 23
4.2 Noetherowskie przestrzenie topologiczne . . . 24
4.3 Nieprzywiedlne zbiory algebraiczne . . . 25
4.4 Uwagi . . . 27 i
ii Andrzej Nowicki, 2003 Afiniczne zbiory algebraiczne
5 Odwzorowania wymierne 28
5.1 Funkcje częściowe . . . 28
5.2 Funkcje wymierne . . . 28
5.3 Odwzorowania wymierne . . . 31
5.4 Homomorfizm indukowany . . . 32
5.5 Biwymierna równoważność zbiorów algebraicznych . . . 34
5.6 Wymierne zbiory algebraiczne . . . 36
5.7 Krzywe płaskie . . . 37
5.8 Wielkie twierdzenie Fermata dla wielomianów . . . 39
5.9 Punkty wymierne na krzywych płaskich . . . 42
5.10 Hiperpowierzchnie dla n > 2 . . . . 45
5.11 Zbiory uniwymierne . . . 45
References 46
1 Afiniczne zbiory algebraiczne
k = dowolne ciało, n = liczba naturalna,
k[T ] = k[T1, . . . , Tn], pierścień wielomianów nad k.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.1 Zbiory algebraiczne i topologia Zariskiego
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Definicja 1.1.1. Jeżeli F ⊆ k[T ] jest podzbiorem, to oznaczmy:
V(F ) = (
a ∈ kn; ∀
f ∈F
f (a) = 0 )
.
Zbiór postaci V(F ) nazywamy zbiorem algebraicznym lub afinicznym zbiorem algebraicznym lub zbiorem domkniętym.
Stwierdzenie 1.1.2. V(F ) = V((F )) = V(p(F )). Z twierdzenia Hilberta o bazie wynika:
Stwierdzenie 1.1.3. Dla każdego zbioru F ⊂ k[T ] istnieje skończony podzbiór F0 ⊆ F taki, że V(F0) = V(F ).
Oto podstawowe własności zbiorów algebraicznych:
Stwierdzenie 1.1.4.
(1) ∅ = V({1}) = V(k[T ]), kn= V(0), (2) TαV(Fα) = V(SαFα) = V(Pα(Fα)),
(3) V(F1) ∪ V(F2) = V(F1F2) = V((F1)(F2)) = V((F1) ∩ (F2)).
Zbiory postaci V(F ) zadają więc na zbiorze kn pewną topologię zwaną topologią Zariskiego.
Stwierdzenie 1.1.5. Niech k = R lub C. Każdy zbiór domknięty w knw topologii Zariskiego jest domknięty w zwykłej topologii tej przestrzeni.
Dowód. Niech X = V(f1, . . . , fs), gdzie f1, . . . , fs ∈ k[T ], będzie zbiorem domkniętym w kn z topologią Zariskiego. Rozpatrzmy odwzorowanie f : kn −→ ks, a 7−→ (f1(a), . . . , fs(a)). Odwzoro- wanie to jest ciągłe w naturalnych topologiach, gdyż jest to odwzorowanie wielomianowe. Ponieważ X = f−1({(0, . . . , 0)}) więc X jest zbiorem domkniętym w naturalnej topologii przestrzeni kn, gdyż jednoelementowy zbiór {(0, . . . , 0)} jest domknięty w naturalnej topologii przestrzeni ks.
Stwierdzenie 1.1.6. Każdy zbiór jednoelementowy {a} ⊂ kn jest zbiorem algebraicznym.
1
2 Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 1. Afiniczne zbiory algebraiczne
Dowód. Niech a = (a1, . . . , an). Wtedy {a} = V(Ma), gdzie Ma jest ideałem (maksymalnym) równym (T1− a1, . . . , Tn− an).
Topologia Zariskiego jest więc T1-topologią. Jeżeli k jest ciałem skończonym, to topologia ta jest dyskretna. Pokażemy, że jeżeli k jest ciałem nieskończonym, to topologia Zariskiego nie jest T2-topologią (tzn. nie jest topologią Hausdorffa). W tym celu zanotujmy najpierw następujący, dobrze znany, lemat.
Lemat 1.1.7. Niech R będzie nieskończoną dziedziną i niech h ∈ R[T1, . . . , Tn]. Jeżeli h(a) = 0 dla każdego a ∈ Rn, to h = 0.
Stwierdzenie 1.1.8. Jeżeli k jest ciałem nieskończonym, to topologia Zariskiego na kn nie jest topologią Hausdorffa.
Dowód. Niech a1, a2 ∈ kn, a1 6= a2. Przypuśćmy, że istnieją zbiory otwarte U1, U2 takie, że a1∈ U1, a2∈ U2, U1∩ U2= ∅. Wtedy U1= knr V(F1), U2= knr V(F2),gdzie F1, F2są podzbiorami w k[T ]. Zatem a16∈ V(F1), a26∈ V(F2) oraz ∅ = (knr V(F1)) ∩ (knr V(F2)) = knr (V(F1) ∪ V(F2)), tzn. V(F1) ∪ V(F2) = kn, czyli V(F1F2) = kn a zatem, (f1f2)(a) = 0, dla każdego a ∈ kn oraz dla wszystkich wielomianów f1∈ F1, f2∈ F2.
Z tego, że a1 6∈ V(F1) i a2 6∈ V(F2) wynika, że istnieją wielomiany f1 ∈ F1, f2 ∈ F2 takie, że f1(a1) 6= 0 oraz f2(a2) 6= 0, tzn. f1 6= 0 i f2 6= 0. Ale wtedy f1f2 ∈ F1F2, więc (f1f2)(a) = 0 dla wszystkich a ∈ kn. Z Lematu 1.1.7 wynika, że f1f2= 0 a zatem, f1= 0 lub f2= 0, gdyż k[T ] nie ma dzielników zera. Otrzymaliśmy więc sprzeczność.
Stwierdzenie 1.1.9. Topologia Zariskiego na kn jest quasi-zwarta, tzn. spełnia warunek zwartości bez T2.
Dowód. Niech kn =S
s∈SUs, gdzie Ussą zbiorami otwartymi. Każdy zbiór Us (dla s ∈ S) jest postaci knr V(As), s ∈ S, gdzie As jest ideałem w k[T ]. Mamy wtedy
kn=S
s∈S(knr V(As)) = knrT
s∈SV(As) = knr V(P
s∈SAs), czyli V(P
s∈SAs) = ∅. Z noetherowskości pierścienia k[T ] wynika, że istnieje skończony podzbiór S0⊆ S taki, żeP
s∈SAs=P
s∈S0As. Stąd dalej wynika, że kn=S
s∈S0Us.
Stwierdzenie 1.1.10. Każdy zbiór algebraiczny w k1 jest albo całym zbiorem k1 albo zbiorem skończonym.
Dowód.Każdy zbiór algebraiczny w k1jest postaci V(A), gdzie A jest ideałem głównym w k[T1].
Niech A = (F ). Jeżeli F = 0, to V(A) = k1. Jeżeli F 6= 0, to V(A) jest zbiorem skończonym, gdyż każdy wielomian z k[T1] ma co najwyżej skończoną liczbę zer.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.2 Hiperpowierzchnie
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Zbiór algebraiczny wyznaczony przez jeden wielomian (tzn. postaci V({f }), gdzie f ∈ k[T ]), nazywa się hiperpowierzchnią. Z twierdzenia Hilberta o bazie wynika więc, że każdy zbiór algebraiczny jest skończonym przekrojem pewnych hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie w k2 nazywamy krzywymi algebraicznymi lub płaskimi krzywymi algebraicznymi.
Poniższy lemat jest łatwym uogólnieniem Lematu 1.1.7.
Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 1. Afiniczne zbiory algebraiczne 3
Lemat 1.2.1. Niech D1, . . . , Dn będą nieskończonymi podzbiorami nieskończonej dziedziny R i niech D = D1× · · · × Dn. Niech h ∈ R[T1, . . . , Tn]. Jeżeli h(a) = 0 dla każdego a ∈ D, to h = 0.
Z tego lematu wynika w szczególności:
Stwierdzenie 1.2.2. Jeżeli k jest ciałem nieskończonym i f ∈ k[T ] jest wielomianem nieze- rowym, to knr V(f ) jest zbiorem nieskończonym.
Zanotujmy także następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 1.2.3. Jeżeli k jest ciałem algebraicznie domkniętym i n > 2, to każda hiper- powierzchnia V(f ), gdzie f ∈ k[T ] r k, jest zbiorem nieskończonym.
Dowód. Załóżmy, że zmienna Tn istotnie występuje w wielomianie f . Niech f = asTns+ as−1Tns−1 + · · · + a0, gdzie as, . . . , a0 ∈ k[T1, . . . , Tn−1] oraz as 6= 0. Ponieważ as 6= 0 więc, na mocy Stwierdzenia 1.2.2, istnieje nieskończony podzbiór D ⊆ kn−1 taki, że as(d) 6= 0, dla wszystkich d ∈ D. Dla każdego d ∈ D mamy więc niezerowy wielomian jednej zmiennej as(d)Tns+ as−1(d)Ts−1+
· · · + a0(d), który posiada pierwiastek bd ∈ k (bo ciało k jest algebraicznie domknięte). Każdy więc punkt postaci (d, bd) ∈ kn jest zerem wielomianu f .
Zbiory algebraiczne określone jako zbiory rozwiązań liniowych układów równanań nazy- wają się zbiorami liniowymi. Badaniem zbiorów liniowych, stożkowych (tzn. krzywych pła- skich określonych przez wielomian kwadratowy) oraz kwadryk (tzn. hiperpowierzchni w k3 określonych przez wielomian kwadratowy) zajmuje się geometria analityczna, najbardziej ele- mentarny i najstarszy rozdział geometrii algebraicznej ([Bial71] str 146).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.3 Zbiory algebraiczne na płaszczyźnie
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Opiszemy teraz zbiory algebraiczne w k2. W tym celu udowodnimy najpierw następujące dwa lematy o pierścieniu k[x, y], wielomianów dwóch zmiennych nad ciałem k.
Lemat 1.3.1. Niech f, g ∈ k[x, y] będą wielomianami bez wspólnego podzielnika (różnego od stałej). Wtedy w pierścieniu k(x)[y] zachodzi równość: NWD(f, g) = 1.
Dowód. Niech NWD(f, g) = u(x, y)/v(x), gdzie u(x, y) ∈ k[x, y], v(x) ∈ k[x]. Jeżeli u(x, y) ∈ k[x], to nie ma czego dowodzić. Przypuśćmy więc, że u(x, y) 6∈ k[x] i niech p(x, y) będzie nieprzywie- dlnym wielomianem z k[x, y] dzielącym u(x, y) i istotnie zawierającym zmienną y. Istnieją wielomiany f1(x, y), g1(x, y) ∈ k[x, y] oraz a(x), b(x) ∈ k[x] takie, że
f (x, y) = f1a(x)(x,y)·u(x,y)v(x) , g(x, y) = g1b(x)(x,y)·u(x,y)v(x) .
W pierścieniu k[x, y] zachodzą zatem równości a(x)v(x)f (x, y) = f1(x, y)u(x, y) i b(x)v(x)g(x, y) = g1(x, y)u(x, y), z których wynika, że wielomian p(x, y) jest wspólnym podzielnikiem wielomianów f i g. Mamy więc sprzeczność z założeniem.
Powyższy lemat jest szczególnym przypadkiem następującego ogóniejszego stwierdzenia, wynikającego łatwo z Lematu Gaussa.
Stwierdzenie 1.3.2. Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu i niech R[t] bę- dzie pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad R. Niech f, g ∈ R[t] będą wielomianami bez wspólnego podzielnika (różnego od stałej). Wtedy wielomiany te nie mają również wspól- nego podzielnika w pierścieniu R0[t], (gdzie R0 jest ciałem ułamków dziedziny R).
4 Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 1. Afiniczne zbiory algebraiczne
Lemat 1.3.3. Niech f, g ∈ k[x, y] będą wielomianami bez wspólnego podzielnika (różnego od stałej). Wtedy wielomiany f i g mają co najwyżej skończoną ilość wspólnych zer.
Dowód. Z Lematu 1.3.1 wynika, że wielomiany f i g, traktowane jako elementy pierścienia k(x)[y], nie mają wspólnego podzielnika. Zatem
1 = a(x,y)b(x) f +c(x,y)d(x) g,
gdzie a(x, y), c(x, y) są pewnymi wielomianami z k[x, y] oraz b(x), d(x) są pewnymi niezerowymi wie- lomianami z k[x]. Mamy stąd równość w k[x, y]:
b(x)d(x) = d(x)a(x, y)f (x, y) + b(x)c(x, y)g(x, y).
Niech teraz (u, v) będzie wspólnym zerem wielomianów f i g. Wtedy f (u, v) = g(u, v) = 0, więc b(u)d(u) = 0. Istnieje zatem tylko skończona ilość wartości u (wielomian b(x)d(x) ∈ k[x] ma bowiem tylko skończoną ilość pierwiastków). Zmieniając rolami zmienne x, y i rozpatrując wielomiany f i g jako elementy pierścienia k(y)[x] dochodzimy do wniosku, że wartości v jest też tylko skończona ilość.
Stwierdzenie 1.3.4. Każdy algebraiczny podzbiór zbioru k2 jest albo równy k2, albo jest sumą X ∪ Y , gdzie X jest zbiorem skończonym lub pustym, a Y jest algebraiczną krzywą płaską lub jest zbiorem pustym.
Dowód. Niech V = V(f1, . . . , fs) będzie algebraicznym podzbiorem w k2 określonym przez wielomiany f1, . . . , fs ∈ k[T1, T2]. Jeżeli każde f1, . . . , fs jest wielomianem zerowym, to V = k2. W przeciwnym przypadku istnieje wielomian d = d(T1, T2) ∈ k[T1, T2] będący największym wspólnym podzielnikiem wielomianów f1, . . . , fs. Jeżeli d jest wielomianem stałym, to na mocy Lematu 1.3.3, V jest zbiorem skończonym (lub pustym). Załóżmy więc, że d 6∈ k. Wówczas fi= fi0d, fi0∈ k[T1, T2], dla i = 1, . . . , s, oraz NWD(f10, . . . , fs0) = 1. Wtedy V = X ∪ Y , gdzie X = V(f10, . . . , fs0), Y = V(d). X jest zbiorem skończonym (Lemat 1.3.3), a Y jest algebraiczną krzywą płaską.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.4 Zbiory algebraiczne w k3
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Hiperpowierzchnie w k3 nazywają się powierzchniami algebraicznymi. W szczególności więc powierzchniami algebraicznymi są kwadryki. Zbiór pusty, zbiory skończone, powierzch- nie algebraiczne oraz skończone sumy tych zbiorów nie wyczerpują jeszcze wszystkich zbiorów algebraicznych w k3, gdyż na ogół część wspólna dwóch powierzchni nie jest tej postaci. Pro- blem czy każdy podzbiór algebraiczny w k3 jest albo równy k3, albo jest postaci X ∪ Y ∪ Z, gdzie X jest zbiorem skończonym lub pustym, Y jest skończoną sumą przecięć dwóch po- wierzchni lub zbiorem pustym, a Z jest powierzchnią lub zbiorem pustym, jest nierozwiązany (dane z 1971 roku patrz [Bial71] strona 147).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.5 Ideały postaci I(X)
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Definicja 1.5.1. Jeżeli X ⊆ kn jest podzbiorem, to oznaczmy:
I(X) =
f ∈ k[T ]; ∀
x∈Xf (x) = 0
.
Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 1. Afiniczne zbiory algebraiczne 5
W szczególności I(∅) = k[T ].
Stwierdzenie 1.5.2.
(1) I(X) jest radykalnym ideałem w k[T ].
(2) Jeżeli X ⊆ Y , to I(Y ) ⊆ I(X).
(3) Jeżeli X ⊆ kn, to X ⊆ VI(X).
(4) Jeżeli F ⊆ k[T ], to F ⊆ IV(F ).
(5) VIV = V.
(6) IVI = I.
Jeżeli X ⊆ kn jest podzbiorem, to przez X oznaczamy domknięcie zbioru X w topologii Zariskiego na kn.
Stwierdzenie 1.5.3. X = VI(X).
Dowód. Z 1.5.2(3) widzimy, że VI(X) jest zbiorem domkniętym zawierającym X. Niech W = V(F ), gdzie F ⊆ k[T ], będzie dowolnym zbiorem domkniętym zawierającym X. Wtedy X ⊆ W więc I(W ) ⊆ I(X), więc X ⊆ VI(X) ⊆ VI(W ) = VIV(F ) = V(F ) = W. Zatem każdy zbiór domknięty zawierający X zawiera zbiór VI(X).
Stwierdzenie 1.5.4. Jeżeli X ⊆ kn jest podzbiorem, to I(X) = I(X).
Dowód. Wiemy, że X = VI(X). Zatem I(X) = IVI(X) = I(X).
Stwierdzenie 1.5.5. Niech k będzie ciałem nieskończonym i niech X ⊆ kn będzie podzbio- rem. Wtedy I(X) = 0 ⇐⇒ X = kn.
Dowód. Jeśli I(X) = 0, to z 1.5.3 mamy: kn = V(0) = VI(X) = X. Niech kn = X. Wtedy (na mocy Stwierdzenia 1.5.4 i Lematu 1.2.1) I(X) = I(X) = I(kn) = 0.
Lemat 1.5.6. Niech R[T ] = R[T1, . . . , Tn] będzie pierścieniem wielomianów nad pierście- niem (przemiennym) R. Niech a = (a1, . . . , an) ∈ Rn i niech Ma będzie ideałem w R[T ] generowanym przez wielomiany T1− a1, . . . , Tn− an. Jeśli F ∈ R[T ], to F − F (a) ∈ Ma.
Dowód. Wystarczy to wykazać w przypadku, gdy F jest jednomianem. Ponieważ Tis− asi = (Ti− ai)(Tis−1+ Tis−2ai1+ · · · + as−1i ) więc każdy wielomian postaci Tis− asi należy do Ma. Niech F = T1s1· · · Tnsn. Mamy wtedy:
F − F (a) = T1s1· · · Tnsn− as11· · · asnn
= T1s1T2s2· · · Tnsn− as11T2s2· · · Tnsn+ as11T2s2· · · Tnsn− as11as22· · · asnn
= (T1s1− as11)T2s2· · · Tnsn+ a1s1(T2s2· · · Tnsn− as22· · · asnn).
Lemat nasz wynika więc z prostej indukcji ze względu na n.
Lemat 1.5.7. Jeśli a = (a1, . . . , an) ∈ kn, to Ma = (T1 − a1, . . . , Tn − an) jest ideałem maksymalnym w k[T ].
Dowód. Rozpatrzmy k-algebrową surjekcję k[T ] −→ k, F 7→ F (a). Z Lematu 1.5.6 wynika, że jądrem tej surjekcji jest ideał Ma.
Poniższe stwierdzenie jest konsekwencją Lematu 1.5.7.
6 Andrzej Nowicki, 2003 1. Afiniczne zbiory algebraiczne
Stwierdzenie 1.5.8. Jeśli a = (a1, . . . , an) ∈ kn, to I({a}) = Ma = (T1− a1, . . . , Tn− an).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.6 Topologia indukowana z topologii Zariskiego
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech X będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni kn. Wtedy X jest przestrzenią to- pologiczną z topologią indukowaną z topologii Zariskiego na przestrzeni kn. Każdy zbiór domknięty w X jest postaci V ∩ X, gdzie V jest zbiorem algebraicznym w kn.
Lemat 1.6.1. Jeżeli X ⊆ kn jest podzbiorem i B jest ideałem w k[T ], to VI(V(B) ∩ X) ∩ X = V(B) ∩ X.
Dowód.Niech W = V(B)∩X. Mamy wykazać, że VI(W )∩X = W . Ponieważ W ⊆ VI(W ) (patrz Stwierdzenie 1.5.2) oraz W ⊆ X, więc W ⊆ VI(W ) ∩ X. Inkluzję w przeciwną stronę wykazujemy kolejno w następujący sposób: W ⊆ V(B), I(W ) ⊇ IV(B), VI(W ) ⊆ VIV(B) = V(B), VI(W ) ∩ X ⊆ V(B) ∩ X = W .
Stwierdzenie 1.6.2. Niech X będzie podzbiorem przestrzeni kn i niech W będzie podzbiorem zbioru X. Następujące warunki są równoważne.
(1) W jest zbiorem domkniętym w przestrzeni X, z topologią indukowaną z topologii Za- riskiego.
(2) Istnieje ideał C w k[T ] taki, że C ⊇ I(X) oraz W = V(C) ∩ X.
Dowód. Implikacja (2) ⇒ (1) jest oczywista. Załóżmy, że W = V(B) ∩ X, gdzie B jest pewnym ideałem w k[T ]. Niech C = I(W ). Wtedy C jest ideałem w k[T ] zawierającym ideał I(X) oraz (na mocy Lematu 1.6.1) V(C) ∩ X = VI(V(B) ∩ X) = V(B) ∩ X = W .
Każda zbiór algebraiczny w kn jest podzbiorem zbioru kn. Jest więc zatem przestrze- nią topologiczną z topologia indukowaną z topologii Zariskiego na kn. Poniższe stwierdzenie opisuje wszystkie jej zbiory domknięte.
Stwierdzenie 1.6.3. Niech X = V(A) będzie zbiorem algebraicznym określonym przez ideał A ⊆ k[T ]. Niech W ⊆ X będzie podzbiorem. Następujące warunki są równoważne.
(1) W jest zbiorem domkniętym w X.
(2) W = V(B), gdzie B jest ideałem w k[T ], zawierającym A.
Dowód. (1) ⇒ (2). Niech W = V(C) ∩ X, gdzie C ⊆ k[T ] jest ideałem. Wtedy W = V(C) ∩ V(A) = V(A + C) i ideał A + C zawiera oczywiście ideał A. (2) ⇒ (1). W = V(B) = V(B + A) = V(B) ∩ V(A) = V(B) ∩ X.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.7 Uwagi
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.1 Każdy zbiór algebraiczny w Rn, gdzie R jest ciałem liczb rzeczywistych, jest hiperpowierzchnią. Wynika to z równości V(f1, . . . , fs) = V(f12+ · · · + fs2).
2 Twierdzenie Hilberta o zerach
Przypomnijmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte jeśli każdy wielomian należący do k[t] r k ma pierwiastek w k.
Stwierdzenie 2.0.1. Następujące warunki są równoważne:
(1) Ciało k jest algebraicznie domknięte.
(2) Każdy wielomian nierozkładalny w k[t] jest liniowy.
(3) Jeśli k ⊆ L jest algebraicznym rozszerzeniem ciał, to L = k.
(4) Jeśli k ⊆ L jest skończonym rozszerzeniem ciał, to L = k.
Powyższe stwierdzenie jest dobrze znane. Dowód można znaleźć na przykład w [Brow77]
107 lub [Brow68] 70.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 2.1 Wysłowienie twierdzenia Hilberta o zerach
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Twierdzenie 2.1.1 (Hilberta o zerach). Następujące warunki są równoważne.
(1) Ciało k jest algebraicznie domknięte.
(2) Każdy ideał maksymalny w k[T ] jest postaci
Ma= (T1− a1, . . . , Tn− an), gdzie a = (a1, . . . , an) ∈ kn.
(3) Dla każdego ideału A w k[T ], różnego od k[T ], zbiór V(A) jest niepusty.
(4) Dla każdego ideału A w k[T ] zachodzi równość IV(A) =√ A.
(5) Operacje V oraz I ustalają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy zbiorami algebraicznymi w kn i ideałami radykalnymi w k[T ].
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 2.2 Twierdzenie Zariskiego
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo W dowodzie twierdzenia Hilberta o zerach wykorzystamy następujące
Twierdzenie 2.2.1 (Zariski 1947). Niech B będzie skończenie generowaną algebrą nad ciałem k. Jeżeli B jest ciałem, to B jest skończonym (algebraicznym) rozszerzeniem ciała k.
Istnieją różne dowody tego twierdzenia. Patrz na przykład: [At-Mac] strony 85 lub 101 w tł. ros.
Przedstawimy dowód, pochodzący od Zariskiego (patrz [At-Mac] Zad.18 str.88). W tym celu udowodnimy najpierw kilka lematów. Pierwszy z tych lematów jest twierdzeniem Zari- skiego dla n = 1.
Lemat 2.2.2. Niech A będzie k-algebrą generowaną nad k przez jeden element. Jeśli A jest ciałem, to k ⊆ A jest skończonym (algebraicznym) rozszerzeniem ciał.
7
8 Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 2. Twierdzenie Hilberta o zerach
Dowód. Niech A = k[u], gdzie u ∈ A. Jeśli u = 0, to A = k i nie ma czego dowodzić. Załóżmy więc, że u 6= 0. Element u−1 należy do A (bo A jest ciałem). Istnieją zatem w ciele k elementy a0, a1, . . . , as takie, że
u−1= asus+ · · · + a1u1+ a0
oraz as6= 0. Stąd otrzymujemy równość asus+1+ · · · + a1u2+ a0u1− 1, z której wynika, że element u jest algebraiczny nad k. Ciało A = k[u] jest więc skończonym rozszerzeniem ciała k.
Lemat 2.2.3. Każda dziedzina z jednoznacznością rozkładu jest pierścieniem całkowicie dom- kniętym.
Dowód. Załóżmy, że A jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu i K jest jej ciałem ułamków.
Niech u ∈ K będzie elementem całkowitym nad A. Należy wykazać, że u ∈ A.
Istnieją elementy a1, . . . , as∈ A takie, że us+a1us−1+· · ·+an−1u+an= 0. Ponadto, u = p/q ∈ K, gdzie p, q są względnie pierwszymi elementami pierścienia A. Mamy zatem równość
(p/q)s+ a1(p/q)s−1+ · · · + an−1(p/q) + an= 0,
z której wynika, że ps= −a1ps−1q−a2ps−2q2−· · ·−anqs. Stąd dalej wynika, że q | p, czyli u = p/q ∈ A.
Jeśli f jest niezerowym wielomianem należącym do k[t], to przez k[t]f oznaczać będziemy podpierścień ciała k(t) (funkcji wymiernych jednej zmiennej nad k) zdefiniowany jako:
k[t]f = {fgs; g ∈ k[t], s> 0}.
Lemat 2.2.4. Pierścień k[t]f nie jest ciałem.
Dowód. Jeśli f ∈ k, to k[t]f = k[t] nie jest oczywiście ciałem. Niech więc f 6∈ k i przypuśćmy, że pierścień k[t]f jest ciałem. Element (f + 1)/f ma wtedy element odwrotny. Niech
(f + 1)/f · g/fs= 1,
dla pewnych g ∈ k[t], s> 0. Wtedy (f + 1)g = fs+1wbrew temu, że k[t] jest dziedziną z jednoznacz- nością rozkładu.
Dowód twierdzenia Zariskiego (indukcja ze względu na liczbę generatorów). Jeśli al- gebra B jest generowana przez jeden element, to teza wynika z Lematu 2.2.2. Niech B = k[u1, . . . , us], gdzie u1, . . . , us ∈ A. Załóżmy, że s > 1 oraz że twierdzenie jest prawdziwe dla algebr o s − 1 generatorach.
Oznaczmy u = us, A = k[u] i niech L będzie ciałem ułamków pierścienia A. Wówczas B = L[u1, . . . , us−1],
a zatem (na mocy indukcji) B jest skończonym rozszerzeniem ciała L.
Elementy u1, . . . , us−1 są pierwiastkami wielomianów monicznych o wspólczynnikach na- leżących do L. Niech f będzie iloczynem mianowników wszystkich współczynników tych wie- lomianów. Elementy u1, . . . , us−1 są więc całkowite nad Af = {g/fr; g ∈ A, r> 0}. Zatem pierścień B jest całkowity nad Af. W szczególności ciało L jest całkowitym rozszerzeniem pierścienia Af (gdyż L ⊆ B).
Pokażemy teraz, że element u jest algebraiczny nad k. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wów- czas A = k[u] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad k. Jest to pierścień całko- wicie domknięty (Lemat 2.2.3). W szczególności A jest całkowicie domknięte w Af.
Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 2. Twierdzenie Hilberta o zerach 9
Zauważmy, że Af = L. Niech bowiem c ∈ L r Af. Ponieważ L jest całkowite nad Af więc cm+fwp11cm−1+ · · · + fwpmm = 0,
dla pewnych w1, . . . , wm ∈ A, m > 0, p1, . . . , pm > 0. Niech p = max(p1, . . . , pm) i niech g = fp. Możąc powyższą równość stronami przez gm otrzymujemy równość postaci
(gc)m+ d1(gc)m−1+ · · · + dm = 0,
w której elementy d1, . . . , dm należą do A. Stąd wynika, że element gc = fpc jest całkowity nad A. Wiemy, że pierścień A jest całkowicie domknięty w Af. Zatem fpc = a ∈ A, czyli c = a/fp∈ Af.
Wykazaliśmy, że Af = L. Jest to jednak sprzeczne z Lematem 2.2.4. Sprzeczność ta obala nasze przypuszczenie o niealgebraiczności elementu u.
Zatem L jest skończonym rozszerzeniem ciała k oraz B jest skończonym rozszerzeniem cia- ła L. Stąd wynika, że B jest skończonym rozszerzeniem ciała k. To kończy dowód twierdzenia Zariskiego.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 2.3 Dowód twierdzenia Hilberta o zerach
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo (1) ⇒ (2) Niech M będzie ideałem maksymalnym w k[T ]. Wtedy pierścień ilorazowy k[t]/M jest skończenie generowaną k-algebrą będącą ciałem. Ponieważ ciało k jest alge- braicznie domknięte więc z twierdzenia Zariskiego (oraz ze Stwierdzenia 2.0.1) wynika, że k[T ]/M = k. Istnieją zatem w ciele k elementy a1, . . . , an takie, że T1+ M = a1+ M , . . . , Tn+M = an+M . To implikuje, że Ma⊆ M . Zatem Ma= M , gdyż ideał Majest maksymalny (Stwierdzenie 1.5.7).
(2) ⇒ (3) Niech A będzie ideałem w k[T ] różnym od k[T ]. Istnieje wtedy ideał maksymalny M taki, że A ⊆ M . Z (2) wynika, że M = Ma, dla pewnego a ∈ kn, a zatem a ∈ V(Ma) ⊆ V(A), czyli V(A) 6= ∅.
(3) ⇒ (1) Niech f = f (T1) będzie wielomianem należącym do k[T1] r k. Wtedy f ∈ k[T ] = k[T1, . . . , Tn] i oczywiście ideał A = k[T ]f jest różny od całego pierścienia k[T ]. Istnieje zatem (na mocy (3)) punkt a = (a1, . . . , an) ∈ knbędący wspólnym zerem ideału A. W szczególności a1 jest pierwiastkiem wielomianu f .
(3) ⇒ (4) Wykazaliśmy już, że warunki (1), (2) i (3) są równoważne. Z (3) wynika zatem, że każdy właściwy ideał pierścienia wielomianów k[T, Y ] = k[T1, . . . , Tn, Y ] ma wspólne zero w kn+1.
Niech A będzie dowolnym ideałem w k[T ]. Należy wykazać, że IV(A) = √
A. Inkluzja
√
A ⊆ IV(A) zachodzi zawsze (Stwierdzenie 1.5.2). Wykażemy więc inkluzję w przeciwnym kierunku.
Niech f ∈ IV(A). Jeśli f = 0, to oczywiście f ∈√
A. Załóżmy więc, że f 6= 0 i rozważmy ideał w k[T, Y ] generowany przez zbiór A i wielomian 1−f Y . Jest oczywiste, że zbiór V(A, 1−
f Y ) jest pusty. Z (3) wynika zatem, że rozważany ideał jest całym pierścieniem k[T, Y ];
należy w szczególności do niego jedynka. Istnieją zatem wielomiany g1, . . . , gm, g ∈ k[T, Y ] oraz wielomiany h1, . . . , hm ∈ A takie, że
1 = h1g1+ · · · + hmgm+ (1 − f Y )g.
10 Andrzej Nowicki, 2003 2. Twierdzenie Hilberta o zerach
Zadziałajmy na tę równość k-algebrowym homomorfizmem ϕ : k[T, Y ] −→ k(T ), gdzie k(T ) := k(T1, . . . , Tn) takim, że ϕ(Ti) = Ti dla i = 1, . . . , n oraz ϕ(Y ) = 1/f . Otrzyma- my wówczas równość
1 = h1(T1, . . . , Yn)g1(T1, . . . , Tn, 1/f ) + · · · hm(T1, . . . , Yn)gm(T1, . . . , Tn, 1/f ),
z której wynika (po pomnożeniu stronami przez odpowiednią potęgę wielomianu f ), że fs ∈ A dla pewnego s > 0. Zatem f ∈√
A.
(4) ⇒ (3) Niech A 6= k[T ] będzie ideałem w k[T ]. Przypuśćmy, że V(A) = ∅. Mamy wówczas sprzeczność: k[T ] 6=√
A = IV(A) = I(∅) = k[T ].
(5) ⇒ (4) Niech A będzie ideałem w k[T ]. Wtedy IV(A) = IV(√
A) =√ A.
(4) ⇒ (5) Ponieważ zawsze zachodzi równość VIV = V (patrz Stwierdzenie 1.5.2), więc złożenie V ◦ I jest zawsze identycznością na rodzinie wszystkich zbiorów algebraicznych w kn.
Jeśli A jest ideałem radykalnym w k[T ], to A =√
A i (na mocy (4)) IV(A) =√
A = A.
Zatem złożenie I ◦ V jest identycznością na rodzinie wszystkich ideałów radykalnych w k[T ].
To kończy dowód twierdzenia Hilberta o zerach.
Przedstawiony tu dowód został opracowany na podstawie notatek z wykładu Romana Kiełpińskiego 1971/72 (GeomAlg117, patrz również ZIIIA83-85).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 2.4 Uwagi
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Twierdzenie Hilberta o zerach, to tzw. the Hilbert Nullstellensatz (patrz np. [ZarSam]).
Często twierdzeniem Hilberta o zerach nazywa się tylko pewną część Twierdzenia 2.1.1. Naj- bardziej popularna jest implikacja (1) ⇒ (4), którą podaje się zwykle w następującej wersji.
Twierdzenie 2.4.1. Jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte i wielomian f ∈ k[T ] przyj- muje wartość 0 we wszystkich punktach zbioru algebraicznego V(A) wyznaczonego przez ideał A ⊆ k[T ], to pewna potęga wielomianu f należy do ideału A.
Taką wersję (wraz z dowodem) możemy znaleźć np. w: [ZarSam], [Lang65], [Brow77], [BalJ85], [Bial87]. Implikacja (1) ⇒ (2) z Twierdzenia 2.1.1 jest znana w literaturze jako słaba wersja twierdzenia Hilberta o zerach. Patrz np. [ZarSam] lub [At-Mac]. Zanotujmy jeszcze pewne sformułowanie implikacji (1) ⇒ (3), które również nazywa się twierdzeniem Hilberta o zerach (patrz np. [Bial87] lub [Fult78]).
Twierdzenie 2.4.2. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech f1, . . . , fs będą wielomianami należącymi do pierścienia k[T ]. Rozważmy układ równań:
f1(T1, . . . , Tn) = · · · = fs(T1, . . . , Tn) = 0.
Jeżeli ideał (f1, . . . , fs) jest różny od k[T ], to powyższy układ posiada rozwiązanie w kn.
3 Odwzorowania regularne
k = dowolne ciało, n = liczba naturalna,
k[T ] = k[T1, . . . , Tn], pierścień wielomianów nad k.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 3.1 Funkcje regularne
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech X = V(A) będzie zbiorem algebraicznym.
Definicja 3.1.1. Mówimy, że funkcja f : X −→ k jest regularna na X jeżeli istnieje wielo- mian F ∈ k[T ] taki, że f (x) = F (x), dla wszystkich x ∈ X.
Zbiór wszystkich funkcji regularnych na X jest przemienną k-algebrą, którą oznaczamy przez k[X] i nazywamy k-algebrą funkcji regularnych na X lub pierścieniem funkcji regularnych na X Dodawanie, mnożenie i mnożenie przez skalar są określone następująco:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (f · g)(x) = f (x)g(x)
(αf )(x) = αf (x), dla wszystkich f, g ∈ k[X], x ∈ X oraz α ∈ k.
Stwierdzenie 3.1.2. k[X] ≈ k[T ]/I(X).
Dowód. Odwzorowanie k[T ] −→ k[X], F 7−→ F |X, jest surjekcją k-algebr z jądrem I(X). Ze stwierdzenia tego wynika w szczególności, że k[X] jest skończenie generowaną k-algebrą bez nilpotentów. Następne stwierdzenie pokazuje, że każda skończenie generowana algebra bez nilpotentów nad ciałem algebraicznie domkniętym jest takiej postaci.
Stwierdzenie 3.1.3. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Jeżeli A jest skończe- nie generowaną k-algebrą bez nilpotentów, to istnieje zbiór algebraiczny X taki, że k-algebry k[X] i A są izomorficzne.
Dowód. Algebra A jest postaci k[Z1, . . . , Zs]/a, gdzie a jest ideałem radykalnym w pierścieniu wielomianów k[Z] = k[Z1, . . . , Zs]. Niech X ⊆ ks będzie zbiorem algebraicznym wyznaczonym przez ideał a, tzn. X = V(a). Z twierdzenia Hilberta o zerach wiemy, że a =√
a = IV(a) = I(X). Zatem A ≈ k[Z]/a = k[Z]/I(X) ≈ k[X].
Zanotujmy jeszcze następne stwierdzenie.
Stwierdzenie 3.1.4. Niech W będzie podzbiorem algebraicznego zbioru X ⊆ kn. Następujące warunki są równoważne.
(1) W jest zbiorem gęstym w X.
(2) ∀f ∈k[X] f |W = 0 =⇒ f = 0.
(3) I(W ) = I(X).
11
12 Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 3. Odwzorowania regularne
Dowód. (1) ⇒ (2). Niech f = F |X, gdzie F ∈ k[T ], będzie funkcją regularną na X taką, że f |W = 0. Wtedy F |W = 0, więc W ⊆ V(F ). Ale V(F ) jest zbiorem domkniętym, więc X = W ⊆ V(F ). Zatem F |X = 0, czyli f = 0.
(2) ⇒ (3) Zawsze zachodzi inkluzja I(X) ⊆ I(W ). Warunek (2) mówi, że zachodzi również inkluzja odwrotna.
(3) ⇒ (1) W = VI(W ) = VI(X) = X.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 3.2 Twierdzenie Hilberta o zerach dla k[X]
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech X = V(F1, . . . , Fs) ⊆ kn będzie zbiorem algebraicznym określonym przez wie- lomiany F1, . . . , Fs ∈ k[T ] i niech, tak jak poprzednio, k[X] będzie pierścieniem funkcji re- gularnych na X. Z każdym podzbiorem A pierścienia k[X] możemy stowarzyszyć podzbiór VX(A) zbioru X, zdefiniowany następująco:
VX(A) = {x ∈ X; ∀f ∈A f (x) = 0}.
Jest oczywiste, że VX(A) = VX((A)) = VX(p(A)), gdzie (A) jest ideałem w k[X] genero- wanym przez zbiór A i p(A) jest radykałem w k[X] ideału (A). W szczególności VX(0) = X oraz VX(k[X]) = ∅. Ponieważ k[X] jest pierścieniem noetherowskim, więc istnieje skończony podzbiór A0 ⊆ A taki, że VX(A0) = VX(A). Łatwo sprawdzić, że rodzina zbiorów postaci VX(A) jest zamknięta ze względu na skończone sumy mnogościowe i dowolne przekroje (za- chodzi stwierdzenie podobne do Stwierdzenia 1.1.4). Rodzina ta zadaje więc na zbiorze X pewną topologię. Nazwijmy ją toplogią Zariskiego na X. Zwrócmy jednak uwagę, że topologia ta jest już nam znana. Pokrywa się ona bowiem z topologią indukowaną z topologii Zariskiego na kn. Wyjaśnia to poniższe oczywiste stwierdzenie.
Stwierdzenie 3.2.1. Niech X = V(F1, . . . , Fs) ⊆ kni niech g1, . . . , gr ∈ k[X] będą funkcjami regularnymi na X określonymi odpowiednio przez wielomiany G1, . . . , Gr∈ k[T ]. Wtedy
VX(g1, . . . , gr) = V(F1, . . . , Fs, G1, . . . , Gr) = X ∩ V(G1, . . . , Gr).
Z każdym podzbiorem Y ⊆ X stowarzyszony jest podzbiór IX(Y ) pierścienia k[X] zdefi- niowany następująco:
IX(Y ) = {f ∈ k[X]; ∀y∈Y f (y) = 0}.
Podzbiór ten jest radykalnym ideałem w k[X]. Z łatwością sprawdzamy, że ideały tej postaci mają podobne własności co ideały postaci I(X). Łatwo też wykazać następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 3.2.2. k-Algebry k[X]/IX(Y ) i k[T ]/I(Y ) są izomorficzne. Niech x ∈ X i niech mx= {f ∈ k[X]; f (x) = 0} = IX({x}).
Stwierdzenie 3.2.3. Zbiór mx jest maksymalnym ideałem w k[X].
Dowód. Przyporządkowanie k[X] −→ k, f 7→ f (x) jest surjekcją k-algebr, której jądro pokrywa się z ideałem mx.
Oznaczmy przez t1, . . . , tn funkcje regularne na X wyznaczone odpowiednio przez wie- lomiany T1, . . . , Tn (tzn. ti = Ti | X, dla i = 1, . . . , n). Funkcje te generują pierścień k[X]
nad k.
Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 3. Odwzorowania regularne 13
Stwierdzenie 3.2.4. Jeśli x = (x1, . . . , xn) ∈ X, to mx= (t1− x1, . . . , tn− xn).
Dowód. Niech A = (t1 − x1, . . . , tn − xn). Niech η : k[T ] −→ k[T ]/I(X) = k[X] będzie k- algebrowym homomorfizmem naturalnym i niech Mx= (T1− x1, . . . , Tn− xn). Wiemy (Lemat 1.5.7), że Mx jest ideałem maksymalnym w k[T ]. Ponieważ I(X) ⊆ Mx, więc A = η(Mx) jest ideałem maksymalnym w k[X]. Stąd wynika, że mx= A, gdyż jest oczywiste, że A ⊆ mx.
Twierdzenie 3.2.5 (Hilberta o zerach dla k[X]). Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech X będzie zbiorem algebraicznym w kn. Wtedy:
(1) Każdy ideał maksymalny w k[X] jest postaci mx, dla pewnego x ∈ X.
(2) Dla każdego ideału A w k[X], różnego od k[X], zbiór VX(A) jest niepusty.
(3) Dla każdego ideału A w k[X] zachodzi równość IXVX(A) =√ A.
(4) Operacje VX oraz IX ustalają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy zbio- rami domkniętymi w X a ideałami radykalnymi w k[X].
Dowód. (3). Inkluzja IXVX(A) ⊇ √
A jest oczywista. Założmy, że X = V(F1, . . . , Fs), gdzie F1, . . . , Fs∈ k[T ] i niech A = (g1, . . . , gr), gdzie g1, . . . , gssą funkcjami regularnymi na X określonymi odpowiednio przez wielomiany G1, . . . , Gr ∈ k[T ]. Niech h = H|X, gdzie H ∈ k[T ], będzie funkcją wymierną na X należącą do ideału
IXVX(A)3.2.1= IX(V(F1, . . . , Fs, G1, . . . , Gr)).
Wtedy H(y) = 0, dla wszystkich y ∈ V(F1, . . . , Fs, G1, . . . , Gr), a zatem (na mocy twierdzenia Hilberta o zerach) Hm należy do ideału (F1, . . . , Fs, G1, . . . , Gr) pierścienia k[T ], gdzie m jest pewną liczbą naturalną. Zatem
Hm= u1F1+ · · · + usFs+ v1G1+ · · · + vrGr, dla pewnych wielomianów u1, . . . , us, v1, . . . , vr∈ k[T ], a więc
(H|X)m= (u1|X)(F1|X) + · · · + (us|X)(Fs|X) + (v1|X)(G1|X) + · · · + (vr|X)(Gr|X).
Stąd wynika, że hm= (v1|X)g1+ · · · + (vr|X)gr (gdyż (F1|X) = · · · = (FS|X) = 0). Zatem h ∈√ A.
(2). Jeżeli VX(A) = ∅, to z (3) wynika, że√
A = IXVX(A) = IX(∅) = k[X], czyli A = k[X].
(1). Niech m będzie ideałem maksymalnym w k[X] i niech Y = VX(m). Z (2) wynika, że Y jest niepustym zbiorem. Istnieje więc y ∈ Y . Wtedy my ⊇ m, czyli m = my.
(4). Jest to prosta konsekwencja własności (3).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 3.3 Odwzorowania regularne
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Definicja 3.3.1. Niech X ⊆ kn, Y ⊆ kmbędą zbiorami algebraicznymi. Mówimy, że funkcja f : X −→ Y jest odwzorowaniem regularnym (X w Y ) jeżeli istnieją wielomiany F1. . . , Fm∈ k[T ] = k[T1, . . . , Tn] takie, że
f (x) = (F1(x), . . . , Fm(x)), dla wszystkich x ∈ X.
W tej definicji wielomiany F1, . . . , Fmmożna zastąpić funkcjami regularnymi F1, . . . , Fm∈ k[X]. Każda funkcja regularna f : X −→ k jest oczywiście odwzorowaniem regularnym zbioru algebraicznego X w k. Zanotujmy oczywiste stwierdzenie.
