Ćwiczenia 3, AM 2, semestr letni, 23.03.2017 Splot funkcji, L1, zadania różne.
Zadanie 1. Niech G będzie grupą skończoną. Dla f, g : G → R definiujemy splot (f ∗ g)(z) = X
(x,y) x·y=z
f(x)g(y), z∈ G.
(a) Czy f ∗ g = g ∗ f? A jeśli G jest abelowa?
(b) Uzasadnić krótko, że (f1∗ f2) ∗ f3= f1∗ (f2∗ f3).
(c) Czy istnieje funkcja e : G → R taka, że e ∗ f = f ∗ e = f dla każdej funkcji f : G → R. Jeśli tak, to czy jest tylko jedna taka funkcja?
(d) Czy dla każdej funkcji f : G → R, f 6= 0 istnieje funkcja g : G → R taka, że f ∗ g = e?
Zadanie 2. Niech f : [0, ∞] → R będzie funkcją ograniczoną, ciągłą. Wykazać, że
y→0lim+ Z ∞
0
yf(x)
x2+ y2dx =π 2f(0).
Zadanie 3. Obliczyć
∂
∂t Z 1
0
lnp
x2+ t2dx, Z 1 0
∂
∂tlnp
x2+ t2dx.
Zadanie 4. Wykazać, że
Z 1 0
x
ln1−x1 dx = ln 2.
Wskazówka: Rozważyć podstawienie x 7→ 2x − x2 w całce Rǫ1lndx1 1−x
.
Zadanie 5. Niech F (t) = R0∞e−txcos(tx)f(x)dx dla funkcji f : [0, ∞) → R całkowalnej na [0, ∞) (względem miary Lebesgue’a ℓ1 na R).
(a) Czy z całkowalności f : [0, ∞) → R wynika całkowalność F na [1, ∞)?
(b) Udowodnić, że jeśli f jest całkowalna, to funkcja F jest ciągła na [0, ∞).
(c) Czy z całkowalności f : [0, ∞) → R wynika różniczkowalność F w punktach otwartej półprostej (0, ∞)?
Zadanie 6. Obliczyć
x→∞lim Z x
0
Z x 0
eu− ev u− v dudv . Zadanie 7. Zbadać całkowalność funkcji
(a) f(x1, x2, . . . , xn) =x1kxkx2...xαndx na kuli n-wymiarowej B(0, 1) (w zależności od wymiaru n i parametru α >0),
(b) f(x, y) = k(x,y)kx2−y24 na kwadracie [0, 1]2, (c) f(x, y) = ln x+ln y1+x2y3 na R2+.
Zadanie 8. Wykazać, że dla dowolnej funkcji mierzalnej f : (0, 1) → (0, 1) zachodzi nierówność Z 1
0
f(x)dx · Z 1 0
dx f(x) 1, oraz zbadać, kiedy zachodzi równość.
Zadanie 9. Obliczyć wartość średnią funkcji f(x, y, z) = x2+ y2+ z2na zbiorze {(x, y, z) : x2+ y2+ z2< x+ y + z}.
Zadanie 10. Obliczyć granice całek (a) R01 √n
xln x dx, (b) RRe−|x|sinnxdx.
Zadanie 11. Znaleźć środek masy zbioru {(x, y, z) :px2+ y2< z <1}.
